보편 계수 정리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 호몰로지 보편 계수 정리
- 2.2. 코호몰로지 보편 계수 정리
3. 준비
4. Tor에 관한 보편 계수 정리
- 4.1. 호몰로지의 경우
  - 4.1.1. 계수를 갖는 호몰로지의 경우
- 4.2. 코호몰로지의 경우
  - 4.2.1. 계수를 갖는 코호몰로지의 경우
5. Ext에 관한 보편 계수 정리
6. 예시
7. 따름정리
8. 보편 계수 스펙트럼 열
참조

1. 개요

보편 계수 정리는 가환환 R, R-가군 M, 사슬 복합체 (C•, ∂)에 대해 호몰로지와 코호몰로지의 관계를 설명하는 정리이다. 호몰로지 보편 계수 정리는 Tor 함자를 사용하여 스펙트럼 열을 정의하며, R이 주 아이디얼 정역일 경우 분할 완전열을 얻는다. 코호몰로지 보편 계수 정리는 Ext 함자를 사용하여 스펙트럼 열을 정의하고, R이 주 아이디얼 정역일 때 분할 완전열을 얻는다. 특히, 정수 계수와 유한 순환군 계수를 사용하는 경우 복슈타인 스펙트럼 열의 특별한 경우가 된다. 보편 계수 정리는 계수를 갖는 호몰로지와 코호몰로지에서도 적용되며, Ext 함자를 이용한 형태도 존재한다. 이 정리는 실수 사영 공간의 특이 코호몰로지 계산에 활용될 수 있으며, 유한 CW 복합체의 적분 코호몰로지 계산에도 적용된다. 또한, 스펙트럼 열을 사용하여 꼬인 계수를 갖는 (코)호몰로지에 대한 일반화된 형태로도 제시될 수 있다.

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보편 계수 정리
보편 계수 정리
개요
분야	대수적 위상수학
설명	호몰로지 이론과 코호몰로지 이론 사이의 관계를 설정함
관련 개념	호몰로지 대수학
호몰로지
표기법	Hᵢ(X; Z)
설명	X의 정수 계수 호몰로지
일반화	Hᵢ(X; A)
설명	A 계수 호몰로지
베티 수
표기법	bᵢ
설명	X의 i번째 베티 수
장(field) F에 대한 일반화	bᵢ,F
설명	F 계수 베티 수
특징	F가 표수 p를 갖는 경우, p-랭크라고도 함
같이 보기
관련 항목	범계수정리

2. 정의

보편 계수 정리는 주어진 사슬 복합체에 대하여 호몰로지와 코호몰로지를 계산하는 방법을 제시한다. 호몰로지 보편 계수 정리와 코호몰로지 보편 계수 정리가 있으며, 각각은 Tor 함자와 Ext 함자를 포함하는 특정한 스펙트럼 열 또는 짧은 완전열의 존재성을 나타낸다.

이 정리들은 주 아이디얼 정역 위에서 계수 (가군)가 특정한 조건을 만족할 때 (예: 평탄 가군, 단사 가군) 더 단순한 형태로 축약될 수 있다. 하지만 이러한 축약, 즉 분할 완전열의 분할은 자연스럽지 않다.^[20]

2. 1. 호몰로지 보편 계수 정리

가환환

R

와

R

-가군

M

, 그리고 각 성분이

R

-평탄 가군인 사슬 복합체

(C_\bullet,\partial)

가 주어졌을 때, '''호몰로지 보편 계수 정리'''에 따르면 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.^[20]

:

E_{p,q}^2=\operatorname{Tor}_p^R(\operatorname H_q(C_\bullet),M)\Rightarrow_p\operatorname H_{p+q}(C_\bullet\otimes_RM)

여기서 Tor는 Tor 함자이다.

만약

R

가 주 아이디얼 정역이라면,

p\ge2

일 때

\operatorname{Tor}_p^R=0

이므로, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.^[20]

:

0\to\operatorname H_i(X;R)\otimes_{\mathbb Z}M=\operatorname{Tor}_0^R\left(\operatorname H_i(X;R),M\right)\to\operatorname H_i(X;M)\to\operatorname{Tor}_1^R\left(\operatorname H_i(X;\mathbb Z),M\right)\to0

그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다.

즉,

\operatorname H_i(X;M)

은 다음과 같은 상승 여과를 갖는다.

:

\frac{F_p\operatorname H_i(X;M)}{F_{p-1}\operatorname H_i(X;M)}=\operatorname{Tor}_p^R\left(\operatorname H_i(X;R),M\right)

특히,

R

가 주 아이디얼 정역이고

M

이 평탄 가군인 경우 (만약

R=\mathbb Z

라면,

M

은 꼬임 부분군이 없는 아벨 군)

\operatorname{Tor}_1^R(-,M)=0

이므로,

:

\operatorname H_i(X;R)\otimes_{\mathbb Z}M\cong\operatorname H_i(X;M)

이다.

가군(module)의 텐서곱

H_i(X; \mathbf{Z}) \otimes A

를 고려하면, 다음의 짧은 완전열이 존재한다. 이 완전열은 Tor 함자를 포함한다.

:

0 \to H_i(X; \mathbf{Z})\otimes A \, \overset{\mu}\to \, H_i(X;A) \to \operatorname{Tor}_1(H_{i-1}(X; \mathbf{Z}),A)\to 0.

이 열은 분할되지만, 자연스럽지는 않다. 여기서

\mu

는 쌍선형 사상

H_i(X; \mathbf{Z}) \times A \to H_i(X; A)

에 의해 유도된 사상이다.

만약 계수환

A

가

\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}

라면, 이것은 Bockstein 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

2. 2. 코호몰로지 보편 계수 정리

가환환 R과 R-가군 M, 그리고 각 성분이 R-자유 가군인 사슬 복합체 (C_•, ∂)가 주어졌을 때, '''코호몰로지 보편 계수 정리'''에 따르면, Ext 함자를 이용한 다음 스펙트럼 열이 존재한다.^[20]

:E^p,q₂ = Ext^p_R(H_q(X;R),M) ⇒_p H^p+q(X;M)

특히, R이 주 아이디얼 정역일 경우, p ≥ 2에 대해 Ext^p_R = 0이므로, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화한다. 따라서 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.^[20]

:0 → Ext¹_R(H_i-1(C_•),M) → H¹(C_•⊗_RM) → hom_R(H_i(C_•),M) = Ext⁰_R(H_i(C_•),M) → 0

그러나 이 분할은 자연스럽지 않다. 즉, Hⁱ(C_•⊗_RM)은 다음과 같은 하강 여과를 갖는다.

:F^pH_i(C_•⊗_RM) / F^p+1H_i(C_•⊗_RM) = Ext^p_R(H_i(C_•),M)

만약 R이 주 아이디얼 정역이고 M이 단사 가군이라면 (R = ℤ일 경우, M은 나눗셈군이다), Ext¹_R(-,M) = 0이므로,

:H¹(C_•⊗_RM) ≅ hom_R(H_i(C_•),M)

이다.

주 아이디얼 정역 R (예: ℤ 또는 체) 위의 가군 G에 대해, 코호몰로지에 대한 '''보편 계수 정리'''는 Ext 함자를 포함하며, 다음과 같은 자연스러운 짧은 완전열이 존재한다고 주장한다.

: 0 → Ext¹_R(H_i-1(X; R), G) → Hⁱ(X; G) → Hom_R(H_i(X; R), G) → 0.

이 수열은 분할되지만, 호몰로지의 경우처럼 자연스럽게 분할되지는 않는다.

여기서 h는 다음과 같은 자연스러운 사상이다.

:h([f])([x]) = f(x).

다른 관점에서, 코호몰로지는 Eilenberg–MacLane 공간을 통해 표현될 수 있다. 여기서 사상 h는 X에서 K(G, i)로의 사상의 호모토피 동치류를 호몰로지에서 유도된 해당 준동형으로 보낸다. 따라서, Eilenberg–MacLane 공간은 호몰로지 함자에 대한 ''약한 오른쪽 수반''이다.^[1]

3. 준비

가환환 $R$ 과 $R$ -가군 $M$ , 그리고 각 성분이 $R$ -평탄 가군인 사슬 복합체 $(C_\bullet,\partial)$ 가 주어졌을 때, '''호몰로지 보편 계수 정리'''와 '''코호몰로지 보편 계수 정리'''를 이해하기 위해서는 Tor 함자와 Ext 함자에 대한 이해가 필요하다.

코호몰로지에 대한 보편 계수 정리는 Ext 함자를 포함하며, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

: $0 \to \operatorname{Ext}_R^1(H_{i-1}(X; R), G) \to H^i(X; G) \, \overset{h} \to \, \operatorname{Hom}_R(H_i(X; R), G)\to 0.$

이와 비슷하게 가군(module)의 텐서곱를 고려할 때, 다음의 짧은 완전열이 존재하며, 이 완전열은 Tor 함자를 포함한다.

: $0 \to H_i(X; \mathbf{Z})\otimes A \, \overset{\mu}\to \, H_i(X;A) \to \operatorname{Tor}_1(H_{i-1}(X; \mathbf{Z}),A)\to 0.$

이러한 개념들을 바탕으로 보편 계수 정리를 더 깊이 있게 이해할 수 있다.

3. 1. 호몰로지

가환환 위의 체인 복합체는 정수 를 첨자로 갖는 -가군

C_n

과 사상

\partial_n~:~C_n \to C_{n-1}

의 짝

C_* := (C_n,\partial_n)_{n\in\mathbb{Z}}

으로, 다음 조건을 만족한다.^[2]

:

\partial_{n-1}\circ \partial_n =0

이때,

C_*

의 차 '''호몰로지 가군'''은 다음과 같이 정의된다.^[2]

:

H_n(C_*):=\mathrm{Ker}(\partial_n)/\mathrm{Im}(\partial_{n+1})

3. 2. 코호몰로지

가환환

R

에 대해,

C^* = (C^n,\delta^n)_{n\in\mathbb{Z}}

로

D_* := (C^{-n}, \delta^{-n})_{n\in\mathbb{Z}}

가

R

위의 사슬 복합체가 되는 것을 '''코체인 복합체'''라고 하며^[3],

:

H^n(C^*):=H_n(D_*)

를

C^*

의

n

차 '''코호몰로지 가군'''이라고 한다^[3]。

3. 3. Tor 함자

을 단항 아이디얼 정역으로 하고, 과 을 -가군으로 한다. 또한, 단사 완전열

:

에서 와 가 자유 -가군인 것을 선택하고,

:

을 생각하면, 항상 완전열이 되지 않는다. 그래서

:

로 정의한다^[6]. 의 정의는 와 의 선택에 의존하지만, 실제로는 와 를 다른 것으로 바꾸어 정의한 과 자연스럽게 동형이 됨이 알려져 있으므로 잘 정의된다^[6].

를 '''Tor 관수'''라고 한다.

이 단항 아이디얼 정역이 아닌 일반적인 환의 경우에도 를 정의할 수 있지만, 본 항목에서는 생략한다. 또한 를 로 표기하고, 보다 일반적으로 ()을 정의하는 경우도 있지만, 이것 역시 본 항목에서는 생략한다.

Tor 관수는 다음의 성질을 만족한다.

성질
1.
2. 여기서 「」는 -가군으로서의 직합을 나타낸다.
3. 이 자유 -가군이면
4.
5. ，여기서 는 와 의 최대공약수이다.
6. 를 표수 0의 체라고 할 때, 임의의 유한 생성 -가군 에 대해

이 단항 아이디얼 정역이므로, 과 이 유한 생성 가군인 경우, 유한 생성 가군의 기본 정리로부터, 은 과 여러 개의 의 직합으로 나타낼 수 있고, 도 마찬가지이다. 위에서 언급한 1, 2로부터 는 직합에 관해 분해할 수 있으므로, 위에서 언급한 3, 5를 사용하면, 이것들에 대한 를 쉽게 계산할 수 있다.

3. 4. Ext 함자

가환환 R 위의 가군 M과 R-자유 가군으로 구성된 사슬 복합체에 대해 정의되는 Ext 함자는 코호몰로지 보편 계수 정리에서 중요한 역할을 한다. 코호몰로지 보편 계수 정리에 따르면, Ext 함자를 사용하여 스펙트럼 열을 구성할 수 있다. 특히, R이 주 아이디얼 정역인 경우, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 분할 완전열을 얻는다.^[20]

:

0 \to \operatorname{Ext}_R^1(H_{i-1}(X; R), G) \to H^i(X; G) \, \overset{h} \to \, \operatorname{Hom}_R(H_i(X; R), G)\to 0.

이 수열은 분할되지만 자연스럽게 분할되지는 않는다.

Ext 함자는 R-가군 M, N에 대해 다음과 같이 정의된다. 단 완전열

:

0 \longrightarrow A \overset{\iota}{\longrightarrow} B \overset{p}{\longrightarrow} M \to 0

에서 A와 B가 자유 R-가군일 때,

:

0 \longrightarrow \mathrm{Hom}_R(M,N) \overset{p^*}{\longrightarrow} \mathrm{Hom}_R(B,N) \overset{\iota^*}{\longrightarrow} \mathrm{Hom}_R(A,N) \to 0

는 완전열이 되지 않는다. 따라서 Ext 함자는 다음과 같이 여핵으로 정의된다.^[11]

:

\mathrm{Ext}_R(M,N):=\mathrm{Coker}(\iota^*)

Ext 함자는 A와 B의 선택에 의존하지 않고 잘 정의된다.^[11]

Ext 함자는 다음 성질들을 만족한다.

성질
$\mathrm{Ext}(\oplus_{\lambda\in \Lambda}M_{\lambda},N)=\oplus_{\lambda\in \Lambda}\mathrm{Ext}(M_{\lambda},N)$ (여기서「 $\oplus$ 」는 R-가군으로서의 직합)^[12]
$\mathrm{Ext}(M,\textstyle\prod_{\lambda\in \Lambda}N_{\lambda})=\textstyle\prod_{\lambda\in \Lambda}\mathrm{Ext}(M,N_{\lambda})$ (여기서「 $\textstyle\prod$ 」는 R-가군으로서의 직적)^[12]
M이 자유 가군이면 $\mathrm{Ext}(M,N)=0$
$\mathrm{Ext}_R(R/(x),N) \approx N/(x)$ ^[9]
$\mathrm{Ext}_R(R/(x),R/(y)) \approx R/(\mathrm{gcd}(x,y))$ (여기서 gcd(x, y)는 x와 y의 최대공약원)
K를 표수 0인 체라고 할 때, 임의의 유한 생성 R-가군 M에 대해, $\mathrm{Ext}_R(M,K) = 0$

M이 유한 생성 R-가군이라면, 위의 성질들을 이용하여 Ext 함자를 구체적으로 계산할 수 있다.

4. Tor에 관한 보편 계수 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

가환환 $R$
$R$ -가군 $M$
각 성분이 $R$ -평탄 가군인 사슬 복합체 $(C_\bullet,\partial)$

이 경우, '''호몰로지 보편 계수 정리'''에 따르면, 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.^[20]

:

E_{p,q}^2=\operatorname{Tor}_p^R(\operatorname H_q(C_\bullet),M)\Rightarrow_p\operatorname H_{p+q}(C_\bullet\otimes_RM)

여기서 Tor는 Tor 함자이다.

특히,

R

가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면

p\ge2

에 대하여

\operatorname{Tor}_p^R=0

이다. 따라서, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.^[20]

:

0\to\operatorname H_i(X;R)\otimes_{\mathbb Z}M=\operatorname{Tor}_0^R\left(\operatorname H_i(X;R),M\right)\to\operatorname H_i(X;M)\to\operatorname{Tor}_1^R\left(\operatorname H_i(X;\mathbb Z),M\right)\to0

그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다.

가군(module)의 텐서곱

H_i(X; \mathbf{Z})\otimes A

를 고려하면, 다음의 짧은 완전열이 존재한다.

:

0 \to H_i(X; \mathbf{Z})\otimes A \, \overset{\mu}\to \, H_i(X;A) \to \operatorname{Tor}_1(H_{i-1}(X; \mathbf{Z}),A)\to 0.

이 완전열은 Tor 함자를 포함하며, 분할되지만 자연스럽지는 않다. 여기서

\mu

는 쌍선형 사상

H_i(X;\mathbf{Z}) \times A \to H_i(X;A)

에 의해 유도된 사상이다.

만약 계수환

A

가

\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}

라면, 이것은 Bockstein 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

4. 1. 호몰로지의 경우

주 아이디얼 정역

R

과

R

-가군

M

에 대해, 사슬 복합체의 호몰로지와 Tor 함자 사이에는 밀접한 관계가 있으며, 다음과 같은 짧은 완전열로 나타낼 수 있다.^[13]

:

0 \to H_n(C_*) \otimes_R  M \overset{\alpha}{\to} H_n(C_*\otimes M) \overset{\beta}{\to} \operatorname{Tor}_R(H_{n-1}(C_*),M) \to 0

여기서

\alpha

는

[c]\otimes_R m\in H_n(C_*) \otimes_R M \mapsto [c \otimes_R  m] \in H_n(C_* \otimes_R M)

로 정의되는 사상이다.^[13]

이 짧은 완전열은

C_*

와

M

에 대해 자연스럽게 성립하며, (자연스럽지는 않지만) 분할된다.^[13]

M

을 계수로 갖는 호몰로지 가군은 정의에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

H_n(C_*;M)=H_n(C_*\otimes_R M)

:

H_n(C_*;R)=H_n(C_*\otimes_R R)=H_n(C_*)

따라서, 앞서 언급한 호몰로지에 관한 보편 계수 정리의

H_n(C_*\otimes_R M)

,

H_n(C_*)

을 변경하면 다음과 같은 짧은 완전열을 얻는다.

:

0 \to H_n(C_*;R) \otimes_R  M \overset{\alpha}{\to} H_n(C_*; M) \overset{\beta}{\to} \operatorname{Tor}_R(H_{n-1}(C_*;R),M) \to 0

4. 1. 1. 계수를 갖는 호몰로지의 경우

가환환

R

와

R

-가군

M

, 그리고 각 성분이

R

-평탄 가군인 사슬 복합체

(C_\bullet,\partial)

가 주어졌다고 하자.

'''호몰로지 보편 계수 정리'''에 따르면, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.^[20]

:

0\to\operatorname H_i(X;R)\otimes_{\mathbb Z}M=\operatorname{Tor}_0^R\left(\operatorname H_i(X;R),M\right)\to\operatorname H_i(X;M)\to\operatorname{Tor}_1^R\left(\operatorname H_i(X;\mathbb Z),M\right)\to0

여기서 Tor는 Tor 함자이다. 그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다.

특히,

R

가 주 아이디얼 정역이고

M

이 평탄 가군인 경우 (만약

R=\mathbb Z

라면,

M

은 꼬임 부분군이 없는 아벨 군이다),

\operatorname{Tor}_1^R(-,M)=0

이므로 다음이 성립한다.

:

\operatorname H_i(X;R)\otimes_{\mathbb Z}M\cong\operatorname H_i(X;M)

가군(module)의 텐서곱를 고려하면, 다음의 짧은 완전열이 존재한다.

:

0 \to H_i(X; \mathbf{Z})\otimes A \, \overset{\mu}\to \, H_i(X;A) \to \operatorname{Tor}_1(H_{i-1}(X; \mathbf{Z}),A)\to 0.

이 완전열은 Tor 함자를 포함하며, 분할되지만 자연스럽지는 않다. 여기서

\mu

는 쌍선형 사상

H_i(X;\mathbf{Z}) \times A \to H_i(X;A)

에 의해 유도된 사상이다.

만약 계수환

A

가

\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}

라면, 이것은 Bockstein 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

R

을 주 아이디얼 정역,

M

을

R

-가군으로 하고,

C_* := (C_n,\partial_n)_{n\in\mathbb{Z}}

을

R

상의 체인 복합체로, 각

n

에 대해

C_n

이

R

-가군으로 자유인 경우, 다음의 단 완전 순서가 존재한다.^[13]

:

0 \to H_n(C_*) \otimes_R  M \overset{\alpha}{\to} H_n(C_*\otimes M) \overset{\beta}{\to} \operatorname{Tor}_R(H_{n-1}(C_*),M) \to 0

여기서

\alpha

는

[c]\otimes_R m\in H_n(C_*) \otimes_R M \mapsto [c \otimes_R  m] \in H_n(C_* \otimes_R M)

로 구체적으로 쓸 수 있다.^[13]

이 단 완전 순서는

C_*

및

M

에 관해 자연이며, (자연스럽지는 않지만) 분할한다.^[13]

계수환

R

이

\mathbb{Z}

이고

M

이

\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}

인 경우에는 복슈타인 스펙트럼 열의 특별한 경우에 해당한다.

R=\mathbb{Z}

이고 각

H_n(C_*)

가 유한 생성 가군인 경우, 유한 생성 가군의 기본 정리에 의해

H_n(C_*)

는 자유 가군 부분

F_n

와 소수

p

에 대한

T_{n,p}=\{x\in H_n(C_*) \mid \exists m>0~:~ p^mx=0 \}

의 합으로 쓸 수 있다. (유한 개의 소수

p

를 제외하고

T_{n,p}=0

이다). 앞서 언급한 Tor의 성질을 이용하면 다음이 성립한다.

:

H_n(C_*\otimes M) \approx H_n(C_*)\otimes M\oplus \operatorname{Tor}_R(H_{n-1}(C_*),M)\approx\begin{cases}\mathbb{Z}_p{}^{\mathrm{rank}(F_n)+\mathrm{rank}(T_{n-1,p}\otimes \mathbb{Z}_p)} & \text{if } M=\mathbb{Z}_p\\M^{\mathrm{rank}(F_n)} & \text{if } M=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\end{cases}

M

을 계수로 갖는 코호몰로지(예를 들어,

M

을 계수로 갖는 특이 코호몰로지)에 적용할 때는 주의가 필요하다.

M

을 계수로 갖는 호몰로지 가군은 그 정의에 의해,

:

H_n(C_*;M)=H_n(C_*\otimes_R M)

:

H_n(C_*;R)=H_n(C_*\otimes_R R)=H_n(C_*)

이므로, 전술한 호몰로지에 관한 보편 계수 정리의

H_n(C_*\otimes_R M)

,

H_n(C_*)

을 단순하게 바꾸면 다음의 따름정리가 된다.

R

,

M

을 전술한 정리와 마찬가지로 취하고,

C_*

를 임의의 체인 복합체라고 하면, 다음의 단사 완전열이 존재한다.

:

0 \to H_n(C_*;R) \otimes_R  M \overset{\alpha}{\to} H_n(C_*; M) \overset{\beta}{\to} \operatorname{Tor}_R(H_{n-1}(C_*;R),M) \to 0

4. 2. 코호몰로지의 경우

주 아이디얼 정역 R과 R-가군 M에 대해, 코체인 복합체의 코호몰로지와 Tor 함자 사이의 관계는 다음과 같은 짧은 완전열로 나타낼 수 있다.^[14]

:

0 \to H^n(C^*)\otimes_R  M \overset{\alpha}{\to} H^n(C^*\otimes_R  M) \overset{\beta}{\to} \operatorname{Tor}_R(H^{n+1}(C^*),M) \to 0

여기서

C^*

는 임의의 코체인 복합체이며,

\alpha

와

\beta

는 이 짧은 완전열을 구성하는 사상이다. 이 짧은 완전열은

C^*

와 M에 대해 자연적이며, 분할된다.

체인 복합체와 코체인 복합체는 첨자 표기에서 방향만 다를 뿐이므로, 코체인 복합체에 대해서도 유사한 관계가 성립한다.

4. 2. 1. 계수를 갖는 코호몰로지의 경우

가환환

R

와

R

-가군

M

, 그리고 각 성분이

R

-자유 가군인 사슬 복합체

(C_\bullet,\partial)

가 주어졌을 때, '''코호몰로지 보편 계수 정리'''에 따르면 다음 스펙트럼 열이 존재한다.^[20]

:

E^{p,q}_2=\operatorname{Ext}^p_R(\operatorname H_q(X;R),M)\Rightarrow_p\operatorname H^{p+q}(X;M)

여기서 Ext는 Ext 함자이다.

만약

R

이 주 아이디얼 정역이라면,

p\ge2

일 때

\operatorname{Ext}^p_R=0

이므로, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화한다. 따라서 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.^[20]

:

0\to\operatorname{Ext}^1_R\left(\operatorname H_{i-1}(C_\bullet),M\right)\to\operatorname H^1(C_\bullet\otimes_RM)\to\hom_R\left(\operatorname H_i(C_\bullet),M\right)=\operatorname{Ext}^0_R\left(\operatorname H_i(C_\bullet),M\right)\to0

그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다.

즉,

\operatorname H^i(C_\bullet\otimes_RM)

은 다음과 같은 하강 여과를 갖는다.

:

\frac{F^p\operatorname H_i(C_\bullet\otimes_RM)}{F^{p+1}\operatorname H_i(C_\bullet\otimes_RM)}=\operatorname{Ext}^p_R\left(\operatorname H_i(C_\bullet),M\right)

특히

R

이 주 아이디얼 정역이고

M

이 단사 가군인 경우 (만약

R=\mathbb Z

라면,

M

이 나눗셈군이라는 조건),

\operatorname{Ext}^1_R(-,M)=0

이므로 다음이 성립한다.

:

\operatorname H^1(C_\bullet\otimes_RM)\cong\hom_R\left(\operatorname H_i(C_\bullet),M\right)

주 아이디얼 정역

R

(예:

\mathbb Z

또는 체) 위의 가군

G

에 대해, 코호몰로지에 대한 '''보편 계수 정리'''는 Ext 함자를 포함하며, 다음과 같은 자연스러운 짧은 완전열이 존재한다고 주장한다.

:

0 \to \operatorname{Ext}_R^1(H_{i-1}(X; R), G) \to H^i(X; G) \, \overset{h} \to \, \operatorname{Hom}_R(H_i(X; R), G)\to 0.

이 수열은 호몰로지의 경우처럼 분할되지만, 자연스럽게 분할되지는 않는다.

사실,

:

H_i(X;G) = \ker \partial_i \otimes G / \operatorname{im}\partial_{i+1} \otimes G

:

H^*(X; G) = \ker(\operatorname{Hom}(\partial, G)) / \operatorname{im}(\operatorname{Hom}(\partial, G)).

를 정의하면, 위의

h

는 다음과 같은 자연스러운 사상이다.

:

h([f])([x]) = f(x).

다른 관점은 코호몰로지를 Eilenberg–MacLane 공간을 통해 표현하는 것이다. 여기서 사상

h

는

X

에서

K(G, i)

로의 사상의 호모토피 동치류를 호몰로지에서 유도된 해당 준동형으로 보낸다. 따라서, Eilenberg–MacLane 공간은 호몰로지 함자에 대한 ''약한 오른쪽 수반''이다.^[1]

체인 복합체와 코체인 복합체는 첨자의 방향만 다를 뿐이므로, 코체인 복합체에 대해서도 비슷한 사실이 성립한다.

R

,

M

을 위의 정리와 유사하게 취하고,

C^*

을 임의의 코체인 복합체라고 하면,

:

0 \to H^n(C^*)\otimes_R  M \overset{\alpha}{\to} H^n(C^*\otimes_R  M) \overset{\beta}{\to} \operatorname{Tor}_R(H^{n+1}(C^*),M) \to 0

가 짧은 완전열이 되는

\alpha

,

\beta

가 존재한다.^[14]

이 짧은 완전열이

C^*

,

M

에 관해 자연적이며 분할된다는 점은 앞의 정리와 같다.

R=\mathbb{Z}

이고 각

H^n(C_*)

가 유한 생성 가군인 경우에는, 호몰로지 경우와 유사한 형태로 구체적으로 쓸 수 있다.

M

을 계수로 갖는 코호몰로지(예를 들어,

M

을 계수로 갖는 특이 코호몰로지)에 위에서 언급한 체인 복체에 대한 보편 계수 정리를 적용할 때는 주의가 필요하다.

5. Ext에 관한 보편 계수 정리

Ext에 관한 보편 계수 정리에 따르면, 주 아이디얼 정역 $R$ 과 $R$ -가군 $M$ 이 주어졌을 때, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.^[20]

: $0\to\operatorname{Ext}^1_R\left(\operatorname H_{i-1}(C_\bullet),M\right)\to\operatorname H^1(C_\bullet\otimes_RM)\to\hom_R\left(\operatorname H_i(C_\bullet),M\right)=\operatorname{Ext}^0_R\left(\operatorname H_i(C_\bullet),M\right)\to0$

이 분할은 자연스럽지 못하다.

$R$ 이 주 아이디얼 정역이고 $M$ 이 단사 가군인 경우 (예를 들어 $R=\mathbb Z$ 일 때, $M$ 이 나눗셈군인 경우), $\operatorname{Ext}^1_R(-,M)=0$ 이므로 다음이 성립한다.

: $\operatorname H^1(C_\bullet\otimes_RM)\cong\hom_R\left(\operatorname H_i(C_\bullet),M\right)$

주 아이디얼 정역 $R$ 위의 가군 $G$ 에 대해, 코호몰로지에 대한 보편 계수 정리는 다음과 같은 자연스러운 짧은 완전열을 제시한다.

: $0 \to \operatorname{Ext}_R^1(H_{i-1}(X; R), G) \to H^i(X; G) \, \overset{h} \to \, \operatorname{Hom}_R(H_i(X; R), G)\to 0.$

이 수열은 분할되지만, 자연스럽게 분할되지는 않는다. 여기서 사상 $h$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $h([f])([x]) = f(x).$

$M$ 을 계수로 하는 코호몰로지 가군의 경우, $C^*:=\mathrm{Hom}_R(C_*,R)$ 로 정의하면,

: $H^n(C_*;R)=H^n(\mathrm{Hom}(C_*,R))=H^n(C^*)$

이지만,

: $H^n(C_*;M)=H^n(\mathrm{Hom}(C_*,M))$

이므로, 코호몰로지의 보편 계수 정리에서처럼 단순하게 대체할 수 없다.

그러나 $M$ 이 $R$ 상에서 유한 생성되거나, 모든 $n$ 에 대해 $H_n(C_*;R)$ 이 $R$ 상에서 유한 생성된다면, 임의의 $n$ 에 대해 다음 완전열이 존재한다.^[16]

: $0 \to H^n(C_*;R)\otimes_R M \overset{\alpha}{\to} H^n(C_*;M) \overset{\beta}{\to} \mathrm{Tor}_R(H^{n+1}(C_*;R),M)\to 0$ .

6. 예시

실수 사영 공간을 정의하고, 정수 계수를 사용하여 계수 Z/2Z^영어를 갖는 특이 코호몰로지를 계산하는 예시는 다음과 같다.

정수 호몰로지는 다음과 같이 주어진다.^[1]

: $H_i(X; \mathbf{Z}) =\begin{cases}\mathbf{Z} & i = 0 \text{ 또는 } i = n \text{ 홀수,}\\\mathbf{Z}/2\mathbf{Z} & 0$

Ext(''G'', ''G'') , Ext(''R'', ''G'') 이므로, 완전열은 다음과 같다.^[1]

: $\forall i = 0, \ldots, n: \qquad \ H^i (X; G) = G.$

총 코호몰로지 환 구조는 다음과 같다.^[1]

: $H^*(X; G) = G [w] / \left \langle w^{n+1} \right \rangle.$

7. 따름정리

정리의 특별한 경우는 적분 코호몰로지를 계산하는 것이다. 유한 CW 복합체 $X$ 에 대해, $H_i(X; \mathbf{Z})$ 는 유한 생성되므로, 다음과 같은 분해가 있다.

: $H_i(X; \mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}^{\beta_i(X)}\oplus T_{i},$

여기서 $\beta_i(X)$ 는 $X$ 의 베티 수이고 $T_i$ 는 $H_i$ 의 비틀림 부분이다. 다음을 확인할 수 있다.

: $\operatorname{Hom}(H_i(X),\mathbf{Z}) \cong \operatorname{Hom}(\mathbf{Z}^{\beta_i(X)},\mathbf{Z}) \oplus \operatorname{Hom}(T_i, \mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}^{\beta_i(X)},$

그리고

: $\operatorname{Ext}(H_i(X),\mathbf{Z}) \cong \operatorname{Ext}(\mathbf{Z}^{\beta_i(X)},\mathbf{Z}) \oplus \operatorname{Ext}(T_i, \mathbf{Z}) \cong T_i.$

이것은 적분 코호몰로지에 대한 다음의 결과를 제공한다.

: $H^i(X;\mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}^{\beta_i(X)} \oplus T_{i-1}.$

$X$ 가 가향 가능하고, 닫힌이며, 연결된 $n$ -다양체인 경우, 이 따름정리와 푸앵카레 쌍대성을 결합하면 $\beta_i(X) = \beta_{n-i}(X)$ 가 된다.

8. 보편 계수 스펙트럼 열

꼬인 계수를 갖는 (코)호몰로지에 대한 보편 계수 정리의 일반화는 스펙트럼 열을 이용하여 표현할 수 있다.

코호몰로지의 경우, 다음 식이 성립한다.

: $E^{p,q}_2=Ext_{R}^q(H_p(C_*),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_*;G)$

여기서 $R$ 은 단위를 갖는 환, $C_*$ 는 $R$ 위의 자유 가군들의 사슬 복합체, $G$ 는 단위 $S$ 를 갖는 어떤 환 $S$ 에 대한 $(R,S)$ -이중 가군, $Ext$ 는 Ext 군이다. 미분 $d^r$ 은 차수 $(1-r,r)$ 을 갖는다.^[1]

호몰로지의 경우, 다음 식이 성립한다.

: $E_{p,q}^2=Tor^{R}_q(H_p(C_*),G)\Rightarrow H_*(C_*;G)$

여기서 Tor는 Tor 군이며, 미분 $d_r$ 은 차수 $(r-1,-r)$ 을 갖는다.^[1]

참조

_[1] Harv
_[2] 문서 河田
_[3] 문서 河田
_[4] 문서
_[5] 문서 河田
_[6] 문서 Dieck
_[7] 문서 河田
_[8] 문서 河田
_[9] 문서 Davis
_[10] 문서 河田
_[11] 문서 Dieck
_[12] 문서 河田
_[13] 문서 Dieck
_[14] 문서 Dieck
_[15] 문서 河田
_[16] 문서 Dieck
_[17] 문서 Dieck
_[18] 문서 Davis
_[19] 문서 Davis
_[20] 서적 Lecture Notes in Algebraic Topology https://web.archive.[...] American Mathematical Society 2016-01-25

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