기하화 추측

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1. 개요
2. 정의
3. 서스턴 기하
- 3.1. 2차원 모델
- 3.2. 리 군 구조를 갖는 기하학
4. 기본 모델로의 분해
5. 기하화 추측의 개요
6. 기하화의 중요성
7. 역사
8. 미분기하학적 접근
9. 고차원 확장
참조

1. 개요

기하화 추측은 3차원 다양체를 기본적인 블록으로 분해하고 각 블록의 기하학적 구조를 특정하는 프로그램으로, 1980년 윌리엄 서스턴이 제안했다. 이 추측은 닫힌 3차원 다양체가 소수 다양체의 연결합으로 표현될 수 있으며, 각 소수 다양체는 원환면을 따라 잘라서 유한 부피를 갖는 기하학적 구조를 갖는다는 내용을 담고 있다. 기하화 추측은 푸앵카레 추측의 일반화이며, 3차원 다양체의 연구에 중요한 결론을 가져왔다. 2003년 그리고리 페렐만이 리치 흐름을 사용하여 기하화 추측을 증명했으며, 이로 인해 2006년 필즈상을 수상했으나 수상을 거부했다.

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기하화 추측
개요
분야	기하학적 위상수학
성격	추측
제안자	윌리엄 서스턴
제안 날짜	1982년
최초 증명자	그리고리 페렐만
최초 증명 날짜	2006년
함의
함의 대상	푸앵카레 추측
관련 추측	서스턴 타원화 추측

2. 정의

$M$ 이 경계가 없는 콤팩트 연결 다양체라고 할 때, 3차원 이하에서는 매끄러운 다양체와 위상다양체의 개념이 일치한다. 연결합으로 분해될 수 없는 3차원 콤팩트 연결 다양체를 '''소 3차원 다양체'''(prime 3-manifold^영어)라고 한다. 모든 콤팩트 연결 3차원 다양체는 소 다양체로 유일하게 분해될 수 있다.

'''기하화 추측'''에 따르면, 모든 콤팩트 연결 소 3차원 유향 다양체 $M$ 은 유한한 수의 조각들로 분해될 수 있으며, 다음 성질을 만족시킨다.

각 조각은 8가지의 서스턴 기하 가운데 하나를 기하 구조로 가지며, 서스턴 기하로서 유한한 부피를 가진다.
각 조각들 사이의 경계는 2차원 원환면이다.

비가향 콤팩트 3차원 다양체의 경우, 그 유향 2중 피복 공간을 취하여 마찬가지로 분류할 수 있다.

3-다양체가 콤팩트이고 경계가 없으면 '''닫힌''' 3-다양체라고 한다. 모든 닫힌 3-다양체는 소수 분해를 가지는데, 이는 소수 3-다양체의 연결합으로 표현됨을 의미한다. 이 분해는 비가향 다양체의 경우 약간의 문제를 제외하고는 본질적으로 유일하다. 따라서 3-다양체 연구의 대부분은 소수 3-다양체, 즉 자명하지 않은 연결합으로 표현할 수 없는 경우로 축소된다.

다음은 서스턴의 추측 내용이다.

: 모든 가향 소수 닫힌 3-다양체는 원환면을 따라 잘라서, 결과로 얻은 각 다양체의 내부가 유한 부피를 갖는 기하학적 구조를 갖도록 할 수 있다.

3차원에는 8가지 가능한 기하학적 구조가 있으며, 다음 절에서 설명한다. JSJ 분해라고 불리는, 가향 기약 3-다양체를 원환면을 따라 잘라서 자이페르트 다양체 또는 비토로이드 조각으로 만드는 최소한의 유일한 방법이 있다. 이는 기하화 추측의 분해와는 약간 다른데, JSJ 분해의 일부 조각이 유한 부피 기하학적 구조를 갖지 못할 수 있기 때문이다. 예를 들어, 토러스의 아노소프 사상의 사상 토러스는 유한 부피 솔 구조를 갖지만, 그 JSJ 분해는 하나의 원환면을 따라 잘라서 토러스와 단위 구간의 곱을 생성하며, 이의 내부는 유한 부피 기하학적 구조를 갖지 않는다.

비가향 다양체의 경우, 기하화 추측을 명시하는 가장 쉬운 방법은 먼저 가향 이중 덮개를 취하는 것이다. 비가향 다양체로 직접 작업하는 것도 가능하지만, 이는 몇 가지 추가적인 복잡성을 야기한다. 사영 평면과 클라인 병뿐만 아니라 구와 원환면을 따라 잘라야 할 수도 있으며, 사영 평면 경계 성분을 갖는 다양체는 일반적으로 기하학적 구조를 갖지 않는다.

2차원에서 모든 닫힌 곡면은 상수 곡률을 갖는 메트릭으로 구성된 기하학적 구조를 가지며, 다양체를 먼저 자를 필요는 없다. 구체적으로, 모든 닫힌 곡면은 '''S'''², '''E'''² 또는 '''H'''²의 몫과 미분 동형이다.^[13]

2차원 다양체에서는 3종류의 기하 구조(유클리드 구조, 로바체프스키 구조, 리만 구조)가 고려되며, 모든 2차원 다양체는 이 중 하나를 자연스러운 기하 구조로 갖는다는 것은 잘 알려진 사실이었다.^[14] 하지만 3차원 다양체는 자유도가 너무 높아서 일반적으로 자연스러운 기하 구조를 갖게 할 수는 없다고 생각되었다.

윌리엄 서스턴은 3차원 다양체 위의 자연스러운 기하 구조라는 것을 새롭게 정의하고, 8종류의 기하 구조를 제시하였다. 여기에는 2차원에도 존재하는 3종류의 기하 구조와 2차원의 원통에 대응하는 구면 및 쌍곡면과 선분의 곱 공간이 갖는 구조, 원주와 선분의 곱 공간인 2차원 다양체, 평면과 선분의 곱 공간은 3차원 유클리드 구조를 갖는다. 또한, 2차 실 특수 선형군(쌍곡 평면의 변환군)의 보편 피복 공간(구면의 변환군의 보편 피복 공간은 3차원 구면) 및 Nil과 Sol이라고 불리는, 합쳐서 3개의, 2차원과 1차원의 다양체의 단순한 곱으로는 구성할 수 없는 특수한 기하 구조가 있다. 서스턴의 기하화 추측은 모든 3차원 다양체는 이들 중 어느 하나의 기하 구조를 갖는 몇 개의 부분 다양체로 분해될 수 있다는 것이다.^[15]

3. 서스턴 기하

Thurston geometry^영어는 대칭군 $G$ 및 작용의 안정자군이 다음 표에 있는 8가지 목록 가운데 하나인 극대 모형 기하이다. 여기서 모형 기하 $(M,G,\cdot)$ 는 연결 단일 연결 매끄러운 다양체 $M$ , 리 군 $G$ , $G$ 의 $M$ 위의 매끄러운 추이적 작용 $\cdot\colon G\times M\to M$ (단, 안정자군은 콤팩트 리 군)으로 구성된 튜플이다.

이름	리 군	안정자군
초구 기하 (spherical geometry^영어)	$\operatorname{O}(4,\mathbb R)$	$\operatorname{O}(3,\mathbb R)$
유클리드 기하 (Euclidean geometry^영어)	유클리드 군 $\mathbb R^3\rtimes\operatorname{O}(3;\mathbb R)$	$\operatorname{O}(3;\mathbb R)$
쌍곡공간 기하 (hyperbolic geometry^영어)	로런츠 군 $\operatorname{O}^+(1,3;\mathbb R)$	$\operatorname{O}(3;\mathbb R)$
구면 기둥 기하	$\operatorname{O}(3;\mathbb R)\times\mathbb R\times(\mathbb Z/2)$	$\operatorname{O}(2;\mathbb R)\times(\mathbb Z/2)$
쌍곡 기둥 기하	$\operatorname{O}^+(1,2;\mathbb R)\times\mathbb R\times(\mathbb Z/2)$	$\operatorname{O}(2,\mathbb R)\times(\mathbb Z/2)$
SL(2,R) 기하	$(\mathbb R\times\operatorname{\widetilde{SL}}(2;\mathbb R))/\mathbb Z$ 의 2겹 피복군	$\operatorname{O}(2;\mathbb R)$
영기하 (nil geometry^영어)	$\operatorname{H}(3;\mathbb R)\rtimes\operatorname{O}(2;\mathbb R)$ (하이젠베르크 군과 원군의 반직접곱)	$\operatorname{O}(2;\mathbb R)$
해기하 (solv geometry^영어)	2차원 푸앵카레 군 $\mathbb R^2\rtimes\operatorname{O}(1,1)$ 의 2겹 피복군	$\operatorname{Dih}(8)$ (8개 원소의 정이면체군)

다양체 $M$ 위의 '''기하 구조''' $(M,X,G,\cdot,\Gamma,\phi)$ 는 다양체 $M$ , 극대 모형 기하 $(X,G,\cdot)$ , $G$ 의 이산 부분군 $\Gamma$ ( $\cdot|_\Gamma$ 는 $X$ 위에 자유 작용을 이룸), 미분동형사상 $\phi\colon M\to X/\Gamma$ 으로 구성된 튜플이다.

SL(2,R) 기하, 영기하, 해기하는 리 군 구조를 갖는다.

3. 1. 2차원 모델

2차원에서는 유클리드 평면

\mathbb{R}^2

, 2차원 구면

S^2

, 쌍곡 평면

\mathbb{H}^2

의 3가지 기하학적 모델이 있다. 콤팩트한 몫공간으로는 2-토러스가 유클리드 평면에 해당한다. 2차원 구면은 콤팩트하며, 모든 종수

g\ge2

의 곡면은 쌍곡 곡면의 콤팩트한 몫공간으로 나타낼 수 있다.

이러한 공간은 모든 점에서 동일하게 휘어져야 한다. 2차원에서는 곡률(스칼라 곡률, 또는 가우스 곡률)이 하나밖에 없으므로, 상수 스칼라 곡률에 따라 분류하면 0, 1, -1의 3가지 외에는 존재하지 않는다.

3. 2. 리 군 구조를 갖는 기하학

SL(2,R) 기하, 영기하(Nil geometry), 해기하(Solv geometry)는 리 군 구조를 갖는다.

'''SL(2,R) 기하:''' 특수 선형군 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 의 보편 피복인 $\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ 의 기하학 구조이다. $\mathrm{PSL}(2,\mathbb R)$ 는 실수 뫼비우스 변환의 군이고, 등방적인 쌍곡 평면은 $\mathbb{H}^2$ 이다. $\mathbb{H}^2$ 의 등방성은 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})\cong UT\mathbb{H}^2$ 을 적용하여 선택된 통일된 접벡터의 상에 의해 유일하게 결정된다. 그러면 길이가 1인 접벡터의 공간 $UT\mathbb{H}^2$ 은 유도된 계량 $\mathbb{H}^2$ 을 갖게 된다. 이와 같이 구성된 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ 위의 계량은 보편 피복 $\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ 위의 계량을 이끌어낸다.^[2]
'''영기하(Nil geometry):''' "Twisted ''E''² × R"로도 알려져 있으며, 하이젠베르크 군의 기하학이다. 점 안정자군은 O(2, '''R''')이다. 군 ''G''는 2개의 성분을 가지며, 3차원 하이젠베르크 군과 원의 등거리 변환군 O(2, '''R''')의 반직접곱이다. 이 기하학을 가진 콤팩트 다양체에는 2-토러스의 데른 꼬임의 매핑 토러스 또는 하이젠베르크 군을 "정수 하이젠베르크 군"으로 나눈 몫이 포함된다. 타입 II의 비앙키 군에서 왼쪽 불변 메트릭으로 모델링할 수 있다. 정규화된 리치 흐름 하에서, 이 기하학을 가진 콤팩트 다양체는 평탄한 메트릭을 가진 '''R'''²로 수렴한다.
'''해기하(Solv geometry):''' 선을 섬유로 하고 평면을 섬유로 하는 섬유화를 가지며, 그룹 ''G''의 항등 성분 기하학이다. 점 안정자는 8차 이면체군이다. 그룹 ''G''는 8개의 성분을 가지며, 2차원 민코프스키 공간에서 자체로 가는 사상 중 등거리 변환이거나 메트릭을 −1로 곱하는 사상으로 구성된다. 항등 성분은 몫이 '''R'''인 정규 부분군 '''R'''²를 가지며, 여기서 '''R'''은 '''R'''²에 2개의 (실수) 고유 공간으로 작용하며, 곱이 1인 서로 다른 실수 고유값을 갖는다. 유형 VI₀의 비앙키 군이며, 이 기하학은 이 군의 왼쪽 불변 메트릭으로 모델링할 수 있다. Sol 기하학을 가진 모든 유한 부피 다양체는 콤팩트하다. 콤팩트 다양체는 2-토러스의 아노소프 사상의 사상 토러스이거나, 또는 이러한 것들을 최대 8차의 군으로 나눈 몫이다. 토러스의 자기 동형 사상의 고유값은 실수 이차 필드의 차수를 생성하며, Sol 다양체는 이 차수의 단위 및 아이디얼 클래스 측면에서 분류할 수 있다.^[2] 정규화된 리치 흐름 하에서 이 기하학을 가진 콤팩트 다양체는 (상당히 느리게) '''R'''¹으로 수렴한다.

4. 기본 모델로의 분해

$M$ 이 경계가 없는 콤팩트 연결 다양체라고 할 때, (3차원 이하에서는 매끄러운 다양체와 위상다양체의 개념이 일치한다.) 연결합으로 분해될 수 없는 3차원 콤팩트 연결 다양체를 '''소 3차원 다양체'''(prime 3-manifold^영어)라고 한다. 모든 콤팩트 연결 3차원 다양체는 소 다양체로 유일하게 분해될 수 있다.^[13]

3차원 다양체의 기본 모델로의 분해는, 내장된 2차원 구면에 따라 2개의 성분으로 잘라 나누는 것이다. 결과로 나타나는 모서리(edge)는 2-구면(two spheres)이며, 여기서 각각을 하나의 3-구체에 붙여 다시 각 성분이 경계를 갖지 않도록 한다.^[18]

이 2-구면에 따른 분해를 통해, '''기약''' 성분에 도달할 수 있다. 이는 모든 내장된 2-구면은 하나의 3-구체의 모서리이며, 따라서 더 분해하면 추가되었던 $S^3$ 을 차례차례 생략할 수 있다는 것을 의미한다. 기약 성분으로의 분해는 더해지는 $S^3$ 이나 더하는 순서가 유일하게 결정된다는 것을 보일 수 있다.^[18]

$S^2\times S^1$ 의 형태를 한 기약 성분이 유한군인 기본군을 가지면, 이 성분은 더 이상 분해되지 않는다. 다른 성분은, 모두가 유일하게 비토로이드^[18]가 되거나, 또는 자이페르트 다양체^[19]가 될 때까지, 토러스에 따라 분해할 수 있다. 이 분해를 자코-샬렌-요한슨 분해^[20], 줄여서 '''JSJ 분해'''라고 한다.^[21]

이 방법을 통해, 분해를 거꾸로 따라가면('''연결합'''^[21]과 토러스를 붙임으로써), 모든 3차원 다양체를 다시 얻을 수 있다. 따라서, 3차원 다양체의 분류는, JSJ 분해의 기본 블록을 이해하면 충분하다는 것을 알 수 있다. 즉, '''기약''' 다양체는, 유한군을 기본군으로 가지는 것, '''자이페르트 섬유 공간'''과 '''비토로이드'''한 다양체이다.^[18]

5. 기하화 추측의 개요

윌리엄 서스턴이 1980년에 제안한 기하화 추측은 닫힌 3차원 다양체를 기본적인 조각으로 분해하고, 각 조각이 가질 수 있는 기하학적 구조를 특정하는 것을 목표로 한다. 이 추측은 "모든 3차원 다양체는 기본적인 블록으로 분해될 수 있다"는 내용을 담고 있으며, 푸앵카레 추측의 일반화된 형태이다.^[15] 그리고리 페렐만은 리치 흐름을 사용하여 푸앵카레 추측을 증명할 때 기하화 추측을 활용했다.

기하화 추측에 따르면, 모든 콤팩트 연결 소 3차원 유향 다양체는 유한한 수의 조각으로 분해될 수 있으며, 각 조각은 다음 성질을 만족시킨다.

각 조각은 8가지의 서스턴 기하 중 하나를 기하 구조로 가지며, 유한한 부피를 가진다.
각 조각 사이의 경계는 2차원 원환면이다.

3차원 다양체가 콤팩트하고 경계가 없으면 '닫힌' 3차원 다양체라고 한다. 모든 닫힌 3차원 다양체는 소수 분해를 통해 소수 3차원 다양체의 연결합으로 표현될 수 있다.

2차원 다양체는 유클리드 구조, 로바체프스키 구조, 리만 구조의 3가지 기하 구조를 가질 수 있으며, 모든 2차원 다양체는 이 중 하나의 기하 구조를 가진다.^[14] 3차원 다양체의 경우에는 8가지 종류의 기하 구조가 존재한다.^[15]

서스턴은 3차원 다양체가 기하화 가능하다는 것을 발견하고, 특히 Haken manifold^영어에서 이 사실을 증명하여 1982년에 필즈상을 수상했다.^[22]

6. 기하화의 중요성

3차원 다양체가 8개의 기하학적 모델 중 하나로 귀착될 수 있다는 것은 3차원 다양체의 위상수학에 중요한 결론을 가져온다. 다양체는 쌍곡적(hyperbolic)이거나 구면적(spherical)인 파이버 구조뿐만 아니라 자이페르트 파이버 공간(Seifert fibration)의 구조를 가질 수 있다. 자이페르트 다양체의 위상수학은 잘 알려져 있다. 이러한 기본군은, 예를 들어, 항상 2-토러스의 기본군 $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ 의 부분군에 동형이며, 기하화는 다음과 같이 공식화할 수 있다.

모든 기약 닫힌 3차원 다양체는 다음 3가지 조건 중 하나에 일치한다.

구면 계량을 가진 것
쌍곡 계량을 가진 것
기본군이 $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ 의 부분군이 되는 것

현재까지, 구면적 다양체와 쌍곡적 다양체에 대해 많은 가능성이 있으며, 이것들을 완전히 분류하지 못했다. 그러나 성질의 많은 부분이 이해되었고, 분류는 순수하게 군론적인 문제가 되었다 (즉,

S^3

나

\mathbb{H}^3

, 따라서

\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})

나

\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})

의 등장군의 모든 자유로운 이산 부분군을 결정하는 문제가 되었다).

기하화의 공식화로부터, '''Elliptization conjecture|타원화 추측^영어''' 또는, '''구면화 추측'''이 있다.

유한군을 (자기 동형군으로) 갖는 모든 닫힌 3차원 다양체는 구면 계량을 가지며, 따라서 3-구면 $S^3/\Gamma$ 의 몫 공간이다.

더욱이 '''쌍곡화 추측'''이 있다. (Hyperbolization theorem|쌍곡화 정리^영어를 참조.)

무한군을 (자기 동형군으로) 갖는 모든 닫힌 3차원 다양체는, 쌍곡형이거나, 또는 기본군이 $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ 에 동형인 부분군을 가진다.

한편, 기하화 추측의 특수한 경우로서, 잘 알려진 푸앵카레 추측이 있다.

자명한 기본군을 갖는 모든 닫힌 3차원 다양체는, 3-구면 $S^3$ 에 위상 동형이다.

7. 역사

윌리엄 서스턴은 1982년 논문에서 기하화 추측을 제안했다. 그는 쌍곡 기하학을 갖는 하켄 다양체(H³)에 한정해 자신의 추측을 증명하여 필즈상을 수상했다.^[22]

리처드 S. 해밀턴은 1982년에 양의 리치 곡률을 가진 닫힌 3차원 다양체에서 리치 흐름이 유한 시간 안에 다양체를 점으로 축소시키고, 축소 직전에 메트릭이 "거의 둥글게" 된다는 것을 보여 이 경우에 대한 기하화 추측을 증명했다. 그는 수술을 통한 리치 흐름을 통해 기하화 추측을 증명하는 프로그램을 개발했다. 리치 흐름은 양의 곡률 영역을 수축시키고 음의 곡률 영역을 확장시키므로, "양의 곡률" 기하학 '''S'''³ 및 '''S'''² × '''R'''을 가진 다양체의 조각들을 제거하면, 오랜 시간 후에는 쌍곡 기하학을 가진 "두꺼운" 조각과 "얇은" 그래프 다양체로의 두꺼운-얇은 분해가 남게 된다.

그리고리 페렐만은 2003년에 리치 흐름이 특이점을 지나 계속될 수 있으며 위에서 설명한 동작을 보인다는 것을 증명하여 기하화 추측의 증명을 발표했다. 페렐만의 증명 중 하나는 리만 기하학의 새로운 축소 정리였는데, 페렐만은 이 결과의 증명에 대한 세부 사항을 공개하지 않았다.^[3] 시오야와 야마구치의 공식은 페렐만의 연구를 처음으로 완전히 상세하게 공식화한 것이었다.^[4]^[5]

기하화를 증명하는 페렐만의 증명의 마지막 부분으로 가는 두 번째 경로는 로랑 베시에르와 공동 저자들의 방법으로, 헤이켄 다양체에 대한 써스턴의 쌍곡화 정리와 그로모프의 3차원 다양체에 대한 노름을 사용한다.^[6]^[7]^[8]^[9] 이 증명의 완전한 세부 사항은 유럽 수학회에서 출판되었다.^[10]

페렐만의 연구는 2002년과 2003년에 논문으로 제출되었으나, 정식 학술지에는 출판되지 않았다. 하지만 많은 수학자들은 이 연구에 큰 오류나 누락이 없음을 인정하고 있다. 페렐만은 이 공로로 2006년에 필즈상을 수상했지만, 수상을 거부했다.

8. 미분기하학적 접근

리처드 S. 해밀턴은 1981년 논문에서 리치 흐름을 제기하고 1988년에 2차원에 적용하여 균일화 정리를 증명했다. 그리고리 페렐만은 2차원의 리만 계량 텐서로 얻는 리치 흐름 텐서를 변형하는 방법을 사용하였다.^[3]

1982년, 해밀턴은 양의 리치 곡률을 가진 닫힌 3차원 다양체가 주어지면, 리치 흐름이 유한 시간 안에 다양체를 점으로 축소시켜, 축소 직전에 메트릭이 "거의 둥글게" 되면서 이 경우에 대한 기하화 추측을 증명한다는 것을 보였다. 그는 나중에 수술을 통한 리치 흐름을 통해 기하화 추측을 증명하는 프로그램을 개발했다. 리치 흐름은 양의 곡률 영역을 수축시키고 음의 곡률 영역을 확장시키므로, "양의 곡률" 기하학 '''S'''³ 및 '''S'''² × '''R'''을 가진 다양체의 조각들을 제거해야 하며, 오랜 시간 후에 남는 것은 쌍곡 기하학을 가진 "두꺼운" 조각과 "얇은" 그래프 다양체로의 두꺼운-얇은 분해가 되어야 한다.

2003년, 페렐만은 리치 흐름이 실제로 특이점을 지나 계속될 수 있으며 위에서 설명한 동작을 보인다는 것을 보여 기하화 추측의 증명을 발표했다.^[3] 페렐만의 증명의 한 구성 요소는 리만 기하학의 새로운 축소 정리였다. 페렐만은 이 결과의 증명에 대한 세부 사항을 공개하지 않았다. 시오야와 야마구치를 시작으로, 현재 페렐만의 축소 정리 또는 그 변형에 대한 여러 가지 다른 증명이 있다.^[3]^[4]^[5]

해밀턴이 도입한 리치 흐름이라는 편미분 방정식은 이 추측 해결에 큰 역할을 했다. 이것은 원래 해밀턴이 열전도를 설명하기 위해 고안한 것이었지만, 선 칭퉁이 기하화 추측 해결에 연결될 수 있다고 생각하여 해밀턴에게 연구를 촉구한 것이다. 19세기 수학자 그레고리오 리치-쿨바스트로의 이름을 딴 것은 그가 자신의 제자인 툴리오 레비-치비타와 함께 작성한 논문에서 도입했기 때문이다. 리치 흐름은 이후 수학뿐만 아니라 물리학까지 널리 사용되는 텐서의 개념을 기반으로 한다.

리치 흐름은 원래 열전도를 나타내는 것이다. 해밀턴과 야우의 아이디어는 이것을 사용하여 다양체의 곡률을 나타내려는 것이다. 그러나 곡률은 열에 비해 매우 복잡한 대상이다. 해밀턴은 어떤 매끄러운 다양체도 리치 흐름을 가짐을 증명했다.

그러나 리치 흐름에는 특이점이라는 계산 불가능한 점을 만들어내는 문제가 있었다. 해밀턴은 해결을 시도하여 몇 가지 특이점을 제거하는 데 성공했지만, 최종적인 해결은 페렐만을 기다리게 되었다.

해밀턴은 1980년대에 처음으로 리치 흐름을 사용하여 기하화 추측을 증명하려 했다. 그는 양의 리치 곡률을 갖는 다양체에 대해서는 성공했으며, 그러한 다양체 위에서는 리치 흐름이 비특이점이 됨을 보였다.

페렐만은 2002년과 2003년에 논문을 제출하여 기하화 추측 증명의 가장 중요한 단계인 특이점을 제어하는 방법을 발견했다.^[3]

9. 고차원 확장

4차원에서는 닫힌 4차원 다양체 중 매우 제한적인 부류만이 기하학적 분해를 허용한다.^[11] 하지만, 최대 모델 기하학의 목록은 여전히 주어질 수 있다.^[12]

4차원 최대 모델 기하학은 1983년 리처드 필리피에비츠에 의해 분류되었다. 그들은 18개와 가산 무한 가족을 이룬다.^[12] 닫힌 다양체는 기하학 '''F'''⁴를 허용하지 않지만, '''F'''⁴ 조각을 포함하는 적절한 분해를 가진 다양체가 있다.^[11]

} × '''E'''¹ || '''H'''² × '''E'''²

|-

| '''H'''² × '''H'''² || '''H'''⁴ || '''H'''²('''C''') (복소 쌍곡 공간) || '''F'''⁴ (쌍곡면의 접선 다발) || '''S'''² × '''E'''² || '''S'''² × '''H'''² || '''S'''³ × '''E'''¹ || '''S'''⁴ || '''CP'''² (복소 투영 평면) || '''S'''² × '''S'''²

|}

5차원 최대 모델 기하학은 2016년 앤드루 겡에 의해 분류되었다. 53개의 개별 기하학 및 6개의 무한 가족이 있다. 하위 차원에서는 관찰되지 않은 새로운 현상이 발생하며, 여기에는 두 개의 비가산 가족의 기하학과 조밀한 몫이 없는 기하학이 포함된다.^[13]

참조

_[1] 논문 Local S¹ actions on 3-manifolds
_[2] 논문 Cusp shapes of Hilbert–Blumenthal surfaces https://doi.org/10.1[...] 2020-06-01
_[3] 논문 Volume collapsed three-manifolds with a lower curvature bound
_[4] 논문 Locally collapsed 3-manifolds 2014
_[5] 논문 A simple proof of Perelman's collapsing theorem for 3-manifolds 2011
_[6] arXiv Weak collapsing and geometrization of aspherical 3-manifolds
_[7] 논문 Collapsing irreducible 3-manifolds with nontrivial fundamental group
_[8] 서적 Surveys in differential geometry Int. Press
_[9] 논문 Volume and bounded cohomology
_[10] 간행물 Geometrisation of 3-manifolds https://www-fourier.[...] European Mathematical Society
_[11] arXiv Four-manifolds, geometries and knots 2022-11-13
_[12] 학위논문 Four dimensional geometries https://wrap.warwick[...] University of Warwick 2024-01-31
_[13] arXiv 5-dimensional geometries I: the general classification 2016-06-09
_[14] 문서 ベルンハルト・リーマンの考察を受け1907年、アンリ・ポアンカレとパウル・ケーベがそれぞれ独立に証明。
_[15] 문서 全ての3次元多様体が幾つかの素な多様体に分解できることは1929年にヘルムート・クネーザーにより証明されていた。
_[16] 문서 熱はスカラー量だが曲率は行列で表される。
_[17] 문서 곡률은 매끄러운 다양체상에서만 정의되므로 매끄럽지 않은 다양체에서는 애초에 리치 흐름을 생각할 수 없다. 하지만 어떤 다양체에도 그와 동상이 아닌 매끄러운 다양체가 존재함이 나타나고 있으므로 매끄러운 다양체만 생각해도 상관없다. 이 사실은 에드윈 모이스, 어 빙, 피터 셸렌 등에 의해 증명되었다. 세 사람 모두 푸앵카레 예상을 해결하려고 하다 결국 실현되지 못한 수학자들이다.
_[18] 문서 "아트로이달"
_[19] 문서 "자이페르트 섬유 공간"
_[20] 문서 "JSJ분해"
_[21] 문서 "연결합"
_[22] 문서 "하켄 다양체"

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4차원 최대 모델 기하학^[11]
E⁴	Nil⁴	Nil\|닐^영어³ × E¹	Sol\|솔^영어⁴_m,n (가산 무한 가족)	Sol\|솔^영어⁴₀	Sol\|솔^영어⁴₁	H³ × E¹	{{lang\|en\|SL\|}