리 준대수

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1. 개요

리 준대수는 매끄러운 다양체, 매끄러운 벡터 다발, 리 대수 구조, 그리고 닻이라고 불리는 벡터 다발 사상으로 구성된다. 이들은 특정 호환 조건을 만족해야 하며, 리 대수 준다발은 벡터 다발, 리 괄호, 그리고 앵커라고 불리는 사상으로 구성된 삼중항이다. 리 준대수는 기본 성질과 부분 준대수, 아이디얼, 준동형사상 등의 개념을 가지며, 리 군을 리 대수에 대응시키는 표준적인 구성을 일반화한다. 리 준대수는 리 군-리 대수 대응, 리 함자, 그리고 리 준대수의 적분과 관련된 다양한 개념들을 포함한다. 리 준대수의 적분 가능성은 리 정리와 Ševera-Weinstein 군체와 관련이 있으며, 특정 조건에서 적분 불가능할 수 있다. 이 개념은 1967년 장 프라딘에 의해 처음 소개되었다.

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리 준대수

2. 정의

'''리 준대수'''(Lie algebroid) 또는 '''리 대수 준다발'''은 다음과 같은 데이터들로 구성된다.

매끄러운 다양체 $M$ 위에 정의된 벡터 다발 $A \to M$
$A$ 의 매끄러운 단면들의 공간 $\Gamma(A)$ 위에 정의된 리 대수 구조, 즉 리 괄호 연산 $[\cdot, \cdot] : \Gamma(A) \times \Gamma(A) \to \Gamma(A)$
'''닻'''(anchor^영어) 또는 '''앵커'''라고 불리는 벡터 다발 사상 $\rho : A \to TM$ . 여기서 $TM$ 은 $M$ 의 접다발이다.

이 데이터들은 다음의 호환 조건(또는 라이프니츠 규칙)을 만족해야 한다.

:

[X, fY] = (\rho(X)f) Y + f[X, Y] \qquad \forall X, Y \in \Gamma(A), \; f \in C^\infty(M, \mathbb{R})

여기서

C^\infty(M, \mathbb{R})

은

M

위에서 정의된 매끄러운 함수들의 공간이며,

\rho(X)f

는 벡터장

\rho(X)

를 따른 함수

f

의 리 미분을 의미한다.

(\rho(X)f) Y

는 함수

\rho(X)f

와 단면

Y

의 점별 곱셈을 나타낸다.

리 준대수는 종종 괄호와 앵커가 문맥상 명확할 때 단순히

A \to M

으로 표기되기도 한다. 일부 문헌에서는 리 준대수를 리 군대수(Lie groupoid)의 "무한소 극한"으로 간주하여

A \Rightarrow M

으로 표기하기도 한다.

2. 1. 기본 성질

정의에 따르면 다음이 성립한다.

모든 $x \in M$ 에 대해, 커널 $\mathfrak{g}_x(A)=\ker(\rho_x)$ 는 '''등방성 리 대수'''라고 불리는 리 대수이다.
커널 $\mathfrak{g}(A)=\ker(\rho)$ 는 (반드시 국소적으로 자명하지 않은) 리 대수의 다발로, '''등방성 리 대수 다발'''이라고 불린다.
이미지 $\mathrm{Im}(\rho) \subseteq TM$ 는 적분 가능한 특이 분포로, 즉, 모든 $x \in \mathcal O$ 에 대해 $\mathrm{Im}(\rho_x) = T_x \mathcal{O}$ 를 만족하는 '''궤도'''라고 불리는 최대의 몰입된 부분 다양체 $\mathcal O \subseteq M$ 을 허용한다. 동등하게, 궤도는 '''A-경로'''에 의해 연결된 점들의 집합으로 명시적으로 설명될 수 있다. 즉, $A$ 와 $M$ 의 경로 쌍 $(a: I \to A, \gamma: I \to M)$ 는 $a(t) \in A_{\gamma(t)}$ 이고 $\rho (a(t)) = \gamma'(t)$ 을 만족한다.
앵커 맵 $\rho$ 는 단면 간의 맵 $\rho: \Gamma(A) \rightarrow \mathfrak{X}(M)$ 로 내려가며, 이는 리 대수 준동형사상이다. 즉,

:

\rho([X,Y])=[\rho(X),\rho(Y)]

모든

X,Y \in \Gamma(A)

에 대해 성립한다.

\rho

가 리 대수 준동형사상을 유도한다는 속성은 리 준대수의 원래 정의에서 공리로 채택되었다.^[1] 이러한 중복성은 프라딘의 정의 이전에 이미 대수적인 관점에서 알려졌음에도 불구하고,^[3] 훨씬 나중에야 발견되었다.^[4]^[5]

2. 2. 부분 준대수와 아이디얼

리 대수 준다발

(A, [\cdot,\cdot], \rho)

의 '''리 부분 준다발'''은

A_{\mid M'} \to M'

의 벡터 부분다발

A'\to M'

이며, 다음 두 조건을 만족하는 것을 말한다.

1. 앵커 사상

\rho

를

A'

에 제한한

\rho_{\mid A'}

의 값이

TM'

안에 포함된다.

2.

A

의 단면 중

M'

위에서

A'

의 단면이 되는 것들의 집합

\Gamma(A,A'):= \{ \alpha \in \Gamma(A) \mid \alpha_{\mid M'} \in \Gamma(A') \}

가 전체 단면 공간

\Gamma(A)

의 리 부분 대수를 이룬다.

이때,

A'\to M'

는

\Gamma(A,A') \to \Gamma(A')

가 리 대수 준동형이 되도록 하는 유일한 리 대수 준다발 구조를 갖는다. 즉, 포함 사상

A' \hookrightarrow A

는 리 대수 준다발 준동형이다.

리 부분 준다발 중에서 밑공간이 원래 공간과 같은 경우, 즉

M' = M

일 때 이를 '''넓은 부분 준다발'''이라고 부른다.

리 대수의 아이디얼 정의와 유사하게, 리 대수 준다발의 '''아이디얼'''은 넓은 리 부분 준다발

I \subseteq A

중에서 그 단면 공간

\Gamma(I)

가

\Gamma(A)

의 리 아이디얼이 되는 것을 말한다. 그러나 이 정의는 아이디얼

I

가 반드시 앵커 사상의 핵

\ker(\rho)

안에 포함되어야 한다는 점에서 매우 제한적인 개념이다. 이러한 한계를 극복하기 위해 더 유연한 개념인 '''무한소 아이디얼 시스템'''이 도입되었다.^[6]

2. 3. 준동형사상

두 리 준대수

(A_1, [\cdot,\cdot]_{A_1}, \rho_1)

와

(A_2, [\cdot,\cdot]_{A_2}, \rho_2)

사이의 '''리 준대수 준동형사상'''은 다음 조건을 만족하는 벡터 다발 준동형사상

\phi: A_1 \to A_2

이다.

1. 두 리 준대수는 동일한 기저 다양체

M

을 가진다.

2.

\phi

는 리 괄호 연산을 보존한다. 즉,

A_1

의 모든 단면

\alpha, \beta \in \Gamma(A_1)

에 대해

\phi ([\alpha,\beta]_{A_1}) = [\phi(\alpha),\phi(\beta)]_{A_2}

가 성립한다.

3.

\phi

는 앵커 사상과 호환된다. 즉,

\rho_2 \circ \phi = \rho_1

이다.

만약 두 리 준대수가 서로 다른 기저 다양체를 가질 경우에도 준동형사상을 정의할 수 있지만, 리 괄호와의 호환성 조건은 더 복잡해진다.^[7] 리 준대수 준동형사상의 동등한 정의는, 준동형사상

\phi: A_1 \to A_2

의 그래프가 곱 리 준대수

A_1 \times A_2

의 부분 준대수(subalgebroid)가 되는 것이다.^[8]

리 준대수들과 그 사이의 준동형사상들은 하나의 범주를 형성한다.

3. 예시

리 준대수는 다양한 수학적 구조에서 자연스럽게 나타나는 개념이다. 몇 가지 기본적인 예시는 다음과 같다.

모든 유한 차원 실수 리 대수는 한원소 공간 위의 리 준대수로 볼 수 있다.
매끄러운 다양체 $M$ 의 접다발 $\mathrm TM$ 은 자연스러운 리 준대수 구조를 가진다. 이때 닻 사상은 항등 함수이고, 리 괄호는 벡터장의 리 미분으로 정의된다.
푸아송 다양체 $(M,\{-,-\})$ 의 코탄젠트 다발 $\mathrm T^*M$ 은 푸아송 리 준대수(Poisson Lie algebroid^영어)라는 리 준대수 구조를 가진다.
매끄러운 주다발에는 '''아티야 리 준대수'''라는 표준적인 리 준대수가 대응된다.

이 외에도 다양한 형태의 리 준대수가 존재하며, 구체적인 정의와 추가적인 예시는 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

3. 1. 자명한 경우와 극단적인 경우

모든 유한 차원 실수 리 대수는 한원소 공간

\{\bullet\}

위의 리 준대수로 간주할 수 있다.

또한, 임의의 매끄러운 다양체

M

위의 영 벡터 다발

M \times \{0\} \to M

은 영(0) 괄호 연산과 영(0) 앵커 사상을 부여하여 리 준대수로 만들 수 있다.

반대로, 하나의 점

\{*\}

위에 정의된 리 준대수

A \to \{*\}

는 일반적인 리 대수의 개념과 동일하다.

3. 2. 미분기하학에서의 예시

매끄러운 다양체

M

위에서, 접다발

E=\mathrm TM

에 항등 함수

\rho = \operatorname{id}_{\mathrm TM}

를 닻 사상으로, 리 미분

[X,Y] = \mathcal L_XY

를 리 괄호로 부여하면, 이는 리 준대수를 이룬다.

보다 일반적으로,

\mathrm TM

의 적분 가능 부분 다발, 즉

[E,E]\subseteq E

를 만족하는 부분 벡터 다발

E \subseteq \mathrm TM

은 위 리 준대수의 부분 리 준대수를 형성한다.

임의의 매끄러운 다양체

M

위의 임의의 매끄러운 벡터 다발

E \twoheadrightarrow M

에 대하여, 닻 사상과 리 괄호를 모두 0으로 정의하면 (

\rho = 0

,

[-,-] = 0

), 이는 자명하게 리 준대수를 이룬다. 이는 아벨 리 대수의 개념을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

푸아송 다양체

(M,\{-,-\})

가 주어졌다고 하자. 푸아송 괄호

\{-,-\}

는 항상

:

\{f,g\}=\pi(\mathrm df,\mathrm dg)

를 만족하는 (2,0)차 반대칭 텐서장

\pi

를 정의한다. 이때, 코탄젠트 다발

E=\mathrm T^*M

위에 다음과 같이 닻 사상

\rho

와 리 괄호

[-,-]

를 정의하면 리 준대수가 된다.

:

\rho(\alpha) = \pi(\alpha,-)\qquad(\alpha\in\Omega^1(M))

:

[\alpha,\beta] = \mathcal L_{\rho\alpha}\beta - \mathcal L_{\rho\beta}\alpha - \mathrm d(\pi(\alpha,\beta))\qquad(\alpha,\beta\in\Omega^1(M))

이를 푸아송 리 준대수(Poisson Lie algebroid^영어)라고 한다.

다음은 미분기하학에서 나타나는 리 준대수의 다른 예시들이다.

엽층 대수: 엽층 구조 $\mathcal{F}$ 가 $M$ 에 주어지면, 연관된 부분 다발 $\mathcal{F} \subseteq TM$ 은 접다발의 리 준대수 구조로부터 유도된 괄호와 닻 사상을 가지며, 이를 엽층 대수라고 한다.
작용 대수: 다양체 $M$ 에 대한 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 작용이 주어지면, 자명한 벡터 다발 $\mathfrak{g} \times M \to M$ 위에 리 준대수 구조를 줄 수 있다. 여기서 닻 사상은 주어진 리 대수 작용으로 정의되고, 리 괄호는 $\mathfrak{g}$ 의 리 괄호와 라이프니츠 규칙을 통해 유일하게 결정된다. 이를 작용 대수라고 한다.
아티야 대수: 다양체 '' $M$ '' 위에 정의된 주 $G$ -다발 '' $P$ ''가 주어지면, $A = TP/G$ 는 리 준대수를 이루며, 이를 아티야 대수라고 한다. 이는 다음 짧은 완전열을 만족한다.
: $0 \to \ker(\rho) \to TP/G\xrightarrow{\rho} TM \to 0.$

: 아티야 대수의 단면 공간은 ''

P

'' 위의 ''

G

''-불변 벡터장들의 리 대수와 동형이다. 핵

\ker(\rho)

는 수반 다발

P\times_G \mathfrak g

와 동형이며, 위 완전열의 오른쪽 분할은 ''

P

'' 위의 주 접속에 해당한다.

일반 선형 대수: 벡터 다발 $E \to M$ 이 주어지면, $E$ 의 미분 연산자들로 구성된 리 준대수를 정의할 수 있다. 이는 $\mathfrak{gl}(E)$ 또는 $\mathrm{Der}(E)$ 로 표기된다. 단면은 $E$ 의 미분, 즉 $f \in \mathcal{C}^{\infty}(M), \sigma \in \Gamma(E)$ 에 대해 라이프니츠 규칙 $D(f \sigma) = f D(\sigma) + \rho(D)(f) \sigma$ 를 만족하는 1차 미분 연산자 $D: \Gamma(E) \to \Gamma(E)$ 이다. 여기서 $\rho(D)$ 는 $M$ 위의 벡터장이다. 닻 사상은 $D \mapsto \rho(D)$ 로 주어지고, 리 괄호는 미분 연산자들의 교환자로 정의된다.
코탄젠트 대수: 푸아송 다양체 $(M,\pi)$ 가 주어지면, 코탄젠트 다발 $A = T^*M$ 은 다음과 같은 리 괄호와 닻 사상을 갖는 리 준대수를 이룬다.

::닻 사상:

\pi^\sharp: T^*M \to TM, \alpha \mapsto \pi(\alpha,\cdot)

::리 괄호:

[\alpha,\beta]:= \mathcal{L}_{\pi^\sharp (\alpha)} (\beta) - \mathcal{L}_{\pi^\sharp (\beta)} (\alpha) - d \pi( \alpha, \beta)

닫힌 2-형식으로 정의된 리 준대수: 닫힌 2-형식 $\omega \in \Omega^2(M)$ 가 주어지면, 벡터 다발 $A_\omega := TM \times \mathbb{R} \to M$ 위에 리 준대수 구조를 정의할 수 있다. 닻 사상은 첫 번째 성분으로의 사영이고, 리 괄호는 다음과 같다.

::

[(X,f), (Y,g)]:= \Big( [X,Y], \mathcal{L}_X(g) - \mathcal{L}_Y(f) - \omega(X,Y) \Big).

: 이 괄호는 임의의 2-형식

\omega

에 대해 정의될 수 있지만,

A_\omega

가 야코비 항등식을 만족하여 리 준대수가 되는 것은

\omega

가 닫힌 형식일 때뿐이다.

3. 3. 다른 리 준대수로부터의 구성

임의의 리 대수 올다발 $(A \to M,[\cdot,\cdot],\rho)$ 이 주어지면, 앵커의 접다발과 $M$ 의 미분을 고려하여 얻어지는 접선 대수 올다발이라고 하는 리 대수 올다발 $(TA \to TM,[\cdot,\cdot],\rho)$ 이 존재한다.
임의의 리 대수 올다발 $(A \to M,[\cdot,\cdot]_A,\rho_A)$ 이 주어지면, 리 괄호가 $[j^k \alpha,j^k\beta] := j^k [\alpha,\beta]_A$ 로 고유하게 정의되고 앵커가 $\rho(j^k_x\alpha):= \rho_A(\alpha(x) )$ 인 $A \to M$ 의 k-제트 다발을 고려하여 얻어지는 k-제트 대수 올다발이라고 하는 리 대수 올다발 $(J^k A \to M,[\cdot,\cdot],\rho)$ 이 존재한다.
두 개의 리 대수 올다발 $A_1 \to M_1$ 과 $A_2 \to M_2$ 가 주어지면, 이들의 직접 곱은 앵커가 $(\alpha_1, \alpha_2) \mapsto \rho_1(\alpha_1) \oplus \rho_2 (\alpha_2) \in TM_1 \oplus TM_2 \cong T(M_1 \times M_2),$ 이고 $\Gamma(A_1) \oplus \Gamma(A_2) \to \Gamma(A_1 \times A_2), \alpha_1 \oplus \alpha_2 \mapsto \mathrm{pr}_{M_1}^*\alpha_1 + \mathrm{pr}_{M_2}^*\alpha_2$ 가 리 대수 준동형사상인 고유한 리 대수 올다발 $A_1 \times A_2 \to M_1 \times M_2$ 이다.
리 대수 올다발 $(A \to M,[\cdot,\cdot]_A,\rho_A)$ 와 그 미분이 앵커 사상 $\rho: A \to TM$ 과 횡단하는 사상 $f: M' \to M$ 이 주어지면(예를 들어, $f$ 가 전사 서브머전이면 충분하다), 당겨올 대수 올다발은 $f^!A:=TM' \times_{TM} A \to M'$ 가 당겨올 벡터 다발이고 $\rho_{f^!A}: f^!A \to TM'$ 가 첫 번째 성분에 대한 투영인, $f^!A \to A$ 가 리 대수 올다발 사상인 고유한 리 대수 올다발 $f^!A \to M'$ 이다.

4. 리 준대수의 중요한 부류

리 준대수는 그 구조, 특히 앵커 사상 ρ: A → TM의 성질에 따라 여러 중요한 부류로 나눌 수 있다. 앵커 사상은 리 준대수 A의 구조를 바탕이 되는 다양체 M의 기하학적 구조(TM은 M의 접다발)와 연결하는 핵심적인 역할을 한다.

주요 부류들은 다음과 같다.

'''완전 비전이적 리 준대수''': 앵커 사상이 모든 점에서 0인 경우(ρ = 0)이다. 이는 리 준대수가 바탕 다양체의 접벡터 공간 구조와 직접적으로 상호작용하지 않음을 의미하며, 리 대수 다발의 개념과 밀접하게 연관된다.
'''전이적 리 준대수''': 앵커 사상이 전사 사상인 경우이다. 즉, 앵커 사상을 통해 리 준대수 A의 원소가 바탕 다양체 M의 모든 접벡터를 만들어낼 수 있다. 이 경우 리 준대수는 바탕 다양체 위에서 '자유롭게 움직이는' 성질을 가지며, 아티야 준대수가 대표적인 예이다.
'''정칙 리 준대수''': 앵커 사상의 계수(rank)가 바탕 다양체 M의 모든 점에서 일정한 값을 갖는 경우이다. 이는 앵커 사상이 만드는 상(image)이 바탕 다양체 위에 정칙적인 엽층 구조를 정의하게 한다.

이러한 분류는 리 준대수의 기하학적, 대수적 성질을 이해하고 응용하는 데 중요한 기초를 제공한다. 각 부류에 대한 자세한 내용은 해당 하위 섹션에서 다룬다.

4. 1. 완전 비전이적 리 준대수

리 준대수 올다발

(A, \rho, [-,-])

에서 벡터 다발 사상인 앵커 사상

\rho: A \to TM

이 영 사상일 때, 즉 모든

A

의 단면

X \in \Gamma(A)

에 대해

\rho(X) = 0 \in \mathfrak{X}(M)

(여기서

\mathfrak{X}(M)

은

M

위의 벡터장들의 공간)일 때, 이 리 준대수를 '''완전 비전이적'''(totally intransitive)이라고 한다.

이 정의는 리 대수 다발의 개념과 밀접하게 연관된다. 모든 리 대수 다발은 정의에 따라 앵커 사상이 0이므로, 항상 완전 비전이적 리 준대수가 된다. 역으로, 완전 비전이적 리 준대수는 그 구조상 필연적으로 리 대수 다발과 동일한 것으로 간주할 수 있다. 즉,

A

가 완전 비전이적이면, 이는 자신의 등방 리 대수 다발과 일치해야 한다.

가장 기본적인 완전 비전이적 리 준대수의 예시는 임의의 매끄러운 다양체

M

위의 임의의 매끄러운 벡터 다발

E \twoheadrightarrow M

위에 앵커 사상

\rho = 0

과 리 괄호

[-,-] = 0

(즉, 모든 단면

X, Y \in \Gamma(E)

에 대해

[X, Y] = 0

)을 부여하는 경우이다. 이 구조는 각 올

E_x

가 아벨 리 대수인 리 대수 다발에 해당하며, 자명하게 완전 비전이적 리 준대수의 조건을 만족시킨다.

4. 2. 전이적 리 준대수

리 준대수는 닻 사상

\rho: A \to TM

이 전사일 때 '''전이적'''(transitive)이라고 한다. 이 경우 다음과 같은 중요한 성질들이 성립한다.

다음과 같은 벡터 다발의 짧은 완전열이 존재한다.

:

0 \to \ker(\rho) \to A \xrightarrow{\rho} TM \to 0

여기서

\ker(\rho)

는 등방성 리 대수 다발이다.

닻 사상 $\rho$ 의 오른쪽 분할(right splitting), 즉 $\rho \circ s = \mathrm{id}_{TM}$ 을 만족하는 매끄러운 벡터 다발 사상 $s: TM \to A$ 는 등방성 리 대수 다발 $\ker(\rho)$ 에 대한 주 다발 접속을 정의한다.
등방성 다발 $\ker(\rho)$ 는 국소적으로 자명하다. 즉, 리 대수의 다발로서 국소적으로 곱공간과 동형이다.
임의의 매끄러운 함수 $f: M' \to M$ 에 대해, 리 준대수 $A$ 의 당김 $f^*A$ 가 존재한다.

전이적 리 준대수의 대표적인 예는 아티야 준대수이다. 구체적인 예시는 다음과 같다.

접선 준대수 $TM$ 은 닻 사상이 항등 사상이므로 자명하게 전이적이다. 이는 사실 항등 사상 $M \to M$ 을 주 다발로 보고, 자명한 구조 군 $\{e\}$ 에 대한 아티야 준대수로 해석할 수 있다.
리 대수 $\mathfrak{g}$ 는 한 점 $\{*\}$ 위의 리 준대수로 볼 수 있으며, $T\{*\} = \{0\}$ 이므로 닻 사상은 영 사상이다. 만약 $M = \{*\}$ 이면 $TM = \{0\}$ 이므로, 닻 사상 $\rho: \mathfrak{g} \to \{0\}$ 은 전사 사상이 되어 자명하게 전이적이다. 이는 $\mathfrak{g}$ 를 적분하는 리 군 $G$ 에 대한 주 $G$ -다발 $G \to \{*\}$ 의 아티야 준대수로 볼 수 있다.
벡터 다발 $E \to M$ 의 미분 연산자들로 구성된 일반 선형 준대수 $\mathfrak{gl}(E)$ 는 전이적이다. 이는 $E$ 의 틀 다발 $Fr(E)\to M$ 의 아티야 준대수이다.

아티야 준대수와 유사하게, 임의의 전이적 리 준대수는 때때로 '''추상 아티야 열'''(abstract Atiyah sequence)이라고 불리며, 그 등방성 리 대수 다발

\ker(\rho)

는 '''수반 다발'''(adjoint bundle)이라고도 불린다. 그러나 모든 전이적 리 준대수가 아티야 준대수인 것은 아니다. 예를 들면 다음과 같다.

전이적 리 준대수의 당김은 여전히 전이적이다.
푸아송 다양체 $(M,\pi)$ 와 관련된 여접선 준대수 $T^*M$ 은 푸아송 구조 $\pi$ 가 비퇴화(non-degenerate), 즉 심플렉틱 구조일 때 전이적이다. 이 경우 닻 사상은 $\pi^\sharp: T^*M \to TM$ 이다.
닫힌 2-형식 $\omega \in \Omega^2(M)$ 으로 정의된 리 준대수 $A_\omega = TM \times \mathbb{R}$ (특정 조건 하에 정의됨)는 전이적이다.

이러한 예시들은 리 준대수의 적분 이론에서 중요하다. 모든 아티야 준대수는 게이지 군 준환(gauge groupoid)으로 적분 가능하지만, 모든 전이적 리 준대수가 적분 가능한 것은 아니다.

4. 3. 정칙 리 준대수

리 준대수는 앵커 사상(anchor map)

\rho: A \to TM

의 계수가 일정할 때 '''정칙'''(regular)이라고 한다. 여기서

A

는 미분 다양체

M

위의 벡터 다발이고,

TM

은

M

의 접다발이다.

정칙 리 준대수는 다음과 같은 결과를 가진다.

앵커 사상 $\rho$ 의 상(image)은 $M$ 에 정칙 엽층 구조(foliation)를 정의한다.
각 잎(leaf) $\mathcal{O} \subseteq M$ 에 대한 $A$ 의 제한 $A|_{\mathcal{O}}$ 는 추이적 리 준대수(transitive Lie algebroid)이다.

정칙 리 준대수의 예시는 다음과 같다.

모든 추이적 리 준대수는 앵커 사상의 계수가 최대로 일정하므로 정칙이다.
모든 완전 비추이적 리 준대수(totally intransitive Lie algebroid)는 앵커 사상의 계수가 0으로 일정하므로 정칙이다.
엽층 구조에 대응하는 리 준대수는 항상 정칙이다.
푸아송 다양체 $(M,\pi)$ 에 관련된 코탄젠트 다발 $T^*M$ 위의 리 준대수는 푸아송 구조 $\pi$ 가 정칙일 때, 즉 $\pi$ 의 계수가 일정할 때만 정칙이다.

5. 추가적인 관련 개념

'''리 대수 준다발'''(Lie algebroid^eng)은 다음 세 가지 요소로 구성된 수학적 구조 $(A, [\cdot,\cdot], \rho)$ 이다.

다양체 $M$ 위의 벡터 다발 $A \to M$
$A$ 의 단면(section)들의 공간 $\Gamma (A)$ 위에 정의된 리 괄호 연산 $[\cdot,\cdot] : \Gamma(A) \times \Gamma(A) \to \Gamma(A)$
벡터 다발 사상 $\rho: A\rightarrow TM$ . 여기서 $TM$ 은 $M$ 의 접다발이며, 이 사상 $\rho$ 를 '''앵커'''(anchor)라고 부른다.

이 세 요소는 다음 라이프니츠 규칙(Leibniz rule)을 만족해야 한다.

:

[X,fY]=\rho(X)(f) \cdot Y + f[X,Y]

여기서

X, Y \in \Gamma(A)

는

A

의 단면들이고,

f \in C^\infty(M)

는

M

위의 매끄러운 함수이다.

\rho(X)(f)

는 벡터장

\rho(X)

를 따라 함수

f

를 미분한 것을 의미한다. 즉,

\rho(X)(f) = \mathcal{L}_{\rho(X)} f

이다.

\rho(X)(f) \cdot Y

는 함수

\rho(X)(f)

와 단면

Y

를 점별로 곱한 것이다.

리 대수 준다발은 종종 괄호

[\cdot,\cdot]

와 앵커

\rho

가 문맥상 명확할 때 간단히 ''

A \to M

''으로 표기된다. 일부 문헌에서는 리 군다발(Lie groupoid)의 "극한" 개념과 연관지어 ''

A \Rightarrow M

''으로 표기하기도 한다. 이는 리 군다발에서 원점(source)과 대상(target) 사상이 "무한소"로 가까워지는 상황을 나타낸다.

5. 1. 작용

리 대수 준다발

A \to M

은 매끄러운 다양체

P

위에 매끄러운 사상

\mu: P \to M

을 따라서 작용할 수 있다. 이 작용은 다음 두 조건을 만족하는 리 대수 준동형사상

a: \Gamma(A) \to \mathfrak{X}(P)

으로 정의된다. 여기서

\Gamma(A)

는

A

의 단면들의 공간이고,

\mathfrak{X}(P)

는

P

위의 벡터장들의 리 대수이다.

모든 점

p \in P

, 단면

X \in \Gamma(A)

, 그리고 함수

f \in \mathcal{C}^\infty(M)

에 대해 다음이 성립해야 한다:

:

d_p\mu (a(X)_p) = \rho_{\mu(p)} (X_{\mu(p)})

:

a(f \cdot X) = (f \circ \mu) \cdot a(X)

여기서

d\mu

는

\mu

의 미분이고,

\rho: A \to TM

는 리 대수 준다발

A

의 앵커 사상이다. 첫 번째 조건은 작용

a

가 앵커 사상

\rho

와 호환되어야 함을 의미하고, 두 번째 조건은 작용

a

가

\mathcal{C}^\infty(M)

-선형임을 의미한다.

만약

A

가 일반적인 리 대수

\mathfrak{g}

이고

M

이 하나의 점으로 이루어진 공간

\{*\}

이라면, 앵커 사상

\rho: \mathfrak{g} \to T\{*\} \cong \{0\}

과 사상

\mu: P \to \{*\}

는 모두 자명하다. 이 경우, 위의 두 조건은 아무런 제약을 주지 않으며, 따라서 이 정의는 다양체

P

에 대한 리 대수

\mathfrak{g}

의 표준적인 작용 개념으로 환원된다.

5. 2. 접속

리 대수 준다발

A \to M

이 주어졌을 때, 벡터 다발

E \to M

위의 A-접속은 다음 조건을 만족하는 사상

\nabla

를 의미한다.

\nabla: \Gamma(A) \times \Gamma(E) \to \Gamma(E), \quad (\alpha,s) \mapsto \nabla_\alpha (s)

여기서

\Gamma(A)

는 리 대수 준다발

A

의 단면(section)들의 공간이고,

\Gamma(E)

는 벡터 다발

E

의 단면들의 공간이다. 이 사상

\nabla

는 다음과 같은 성질을 가진다.

1. $\mathbb{R}$ -쌍선형성:

\nabla

는 실수체

\mathbb{R}

위에서 두 변수

\alpha

와

s

각각에 대해 선형이다.

2. 첫 번째 인수에 대한 $\mathcal{C}^\infty(M)$ -선형성: 임의의 매끄러운 함수

f \in \mathcal{C}^\infty(M)

에 대해

\nabla_{f\alpha}(s) = f \nabla_\alpha(s)

를 만족한다.

3. 라이프니츠 규칙: 임의의

\alpha \in \Gamma(A)

,

s \in \Gamma(E)

,

f \in \mathcal{C}^{\infty}(M)

에 대해 다음 규칙을 만족한다.

\nabla_\alpha (fs) = f \nabla_\alpha (s) + \mathcal{L}_{\rho(\alpha)} (f) s

여기서

\mathcal{L}_{\rho(\alpha)}

는 리 대수 준다발의 앵커 사상

\rho

에 의해 결정되는 벡터장

\rho(\alpha)

에 대한 리 미분을 나타낸다. 즉, 함수

f

를 벡터장

\rho(\alpha)

방향으로 미분한 값에 단면

s

를 곱한 항이 추가된다.

A-접속

\nabla

가 주어졌을 때, 이 접속의 곡률

R_\nabla

는 다음과 같이 정의되는 사상이다.

R_\nabla: \Gamma(A) \times \Gamma(A) \to \mathrm{Hom}(E,E), \quad (\alpha, \beta) \mapsto \nabla_\alpha \nabla_\beta - \nabla_\beta \nabla_\alpha - \nabla_{[\alpha,\beta]}

여기서

\mathrm{Hom}(E,E)

는

E

의 단면을

E

의 단면으로 보내는 선형 사상들의 공간이며,

[\alpha,\beta]

는 리 대수 준다발

A

의 단면 공간

\Gamma(A)

에 정의된 리 괄호이다. 곡률

R_\nabla

는

\mathcal{C}^\infty(M)

-쌍선형 사상이다. 만약 곡률이

R_\nabla = 0

이면, 즉 모든

\alpha, \beta \in \Gamma(A)

에 대해

\nabla_\alpha \nabla_\beta - \nabla_\beta \nabla_\alpha - \nabla_{[\alpha,\beta]} = 0

이 성립하면, 그 접속

\nabla

는 평탄하다고 한다.

특별히 리 대수 준다발이 접다발

A=TM

인 경우를 생각해보자. 이 경우, A-접속의 개념은 벡터 다발 위의 접속에 대한 일반적인 정의와 일치하게 된다. 마찬가지로, 곡률과 평탄성의 개념 역시 벡터 다발 이론에서 통용되는 곡률 및 평탄성의 개념과 동일해진다.

5. 3. 표현

리 준대수

A \to M

의 표현은 벡터 다발

E \to M

에 평탄한 A-접속

\nabla

가 주어진 것을 의미한다. 이는 리 준대수 준동형사상

A \to \mathfrak{gl}(E)

와 동일한 개념으로 볼 수 있다. 여기서

\mathfrak{gl}(E)

는 벡터 다발

E

의 자기 사상으로 이루어진 일반 선형 리 대수를 나타낸다.

리 준대수

A \to M

의 표현들의 동형류 집합

\mathrm{Rep}(A)

는 벡터 다발의 직합과 텐서 곱 연산을 통해 자연스러운 반환 구조를 가진다.

리 준대수 표현의 몇 가지 예시는 다음과 같다.

리 대수 $\mathfrak{g}$ 를 점으로 사상하는 가장 간단한 리 준대수 $A=\mathfrak{g} \to \{pt\}$ 의 경우, A-접속은 선형 사상 $\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)$ 가 된다. 이때 평탄 조건은 이 사상이 리 대수 준동형사상이 되어야 함을 의미하며, 이는 리 대수 표현의 표준적인 정의와 일치한다.
리 대수 $\mathfrak{g}$ 와 다양체 $M$ 의 곱으로 주어지는 리 준대수 $A = \mathfrak{g} \times M \to M$ 를 생각해보자. 만약 $V$ 가 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 표현이라면, 자명한 벡터 다발 $V \times M \to M$ 은 자연스럽게 $A$ 의 표현 구조를 가진다.
다양체 $M$ 의 접다발로 정의되는 접선 준대수 $A =TM \to M$ 의 표현은 평탄한 접속이 주어진 벡터 다발과 같다.
모든 리 준대수 $A \to M$ 는 $A$ 의 최고차 외대수 거듭제곱과 $T^*M$ 의 최고차 외대수 거듭제곱의 텐서 곱으로 정의되는 선다발 $Q_A := \wedge^{top} A \otimes \wedge^{top} T^*M \to M$ 위에 자연스러운 표현을 가진다. 이 표현과 관련된 코호몰로지 군 $H^1(A, Q_A)$ 의 특정 원소를 리 준대수의 모듈러 클래스라고 부른다.^[9] 특히, 푸아송 다양체 $(M,\pi)$ 에 대응하는 공변접 준대수 $T^*M \to M$ 의 경우, 이 모듈러 클래스는 푸아송 구조 $\pi$ 의 모듈러 클래스와 일치한다.^[10]

리 군이 자신의 리 대수에 대해 수반 표현을 가지는 것과 달리, 임의의 리 군로이드는 일반적으로 자신의 리 준대수에 대한 정규적인 표현을 가지지 않는다. 그러나 호모토피까지 고려하는 더 일반적인 표현 개념을 도입하면 이러한 표현을 정의할 수 있다.

5. 4. 리 준대수 코호몰로지

리 준대수

A \to M

와 그 표현

(E, \nabla)

가 주어졌다고 하자.

E

벡터 다발의 값을 가지는

A

위의

n

-미분 형식들의 공간을

\Omega^n(A,E) := \Gamma(\wedge^n A^* \otimes E)

로 표기한다. 이때 다음과 같은 코쥘(Koszul) 형식의 미분 연산자

d^n: \Omega^n(A,E) \to \Omega^{n+1}(A,E)

를 정의할 수 있다.

d \omega(\alpha_0,\ldots,\alpha_n) := \sum_{i=1}^n (-1)^i \nabla_{\alpha_i} \big( \omega (\alpha_0, \ldots, \widehat{\alpha_i}, \ldots, \alpha_n) \big) - \sum_{i

여기서

\nabla

는 평탄하다고 가정한다. 이 조건 덕분에,

(\Omega^n(A,E),d^n)

은 코체인 복합체를 이루게 된다. 이 코체인 복합체의 코호몰로지를

H^*(A,E)

로 표기하며, 이를 표현

(E, \nabla)

를 계수로 하는 리 준대수

A

의 '''리 준대수 코호몰로지'''라고 부른다.

리 준대수 코호몰로지의 정의는 매우 일반적이어서, 여러 잘 알려진 코호몰로지 이론들을 특별한 경우로 포함한다.

리 준대수가 점으로 사상하는 리 대수 $\mathfrak{g} \to \{*\}$ 인 경우, 그 코호몰로지는 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 슈발레-에일렌베르크 코호몰로지와 같다.
리 준대수가 다양체 $M$ 의 접다발인 경우, 즉 접 리 준대수 $TM \to M$ 의 코호몰로지는 다양체 $M$ 의 드람 코호몰로지와 같다.
리 준대수가 엽층 구조 $\mathcal{F}$ 에서 오는 경우, 즉 엽층 구조 리 준대수 $\mathcal{F} \to M$ 의 코호몰로지는 엽층 구조 $\mathcal{F}$ 의 잎별 코호몰로지(leafwise cohomology)와 같다.
리 준대수가 푸아송 구조 $\pi$ 를 가진 다양체 $M$ 의 공변접다발인 경우, 즉 여접 리 준대수 $T^*M$ 의 코호몰로지는 푸아송 구조 $\pi$ 의 푸아송 코호몰로지(Poisson cohomology)와 같다.

6. 리 군-리 대수 대응

리 군에 대응하는 리 대수를 찾는 일반적인 방법은 리 군체와 리 준대수의 관계로 확장될 수 있다. 모든 리 군체 $G \rightrightarrows M$ 에 대해, 다음과 같은 방법으로 리 준대수 $\mathrm{Lie}(G)$ 를 정의할 수 있다.

먼저, 리 준대수의 기반이 되는 벡터 다발 $A$ 는 $\mathrm{Lie}(G) = A:=u^*T^sG$ 로 정의된다. 여기서 $T^s G \subseteq TG$ 는 출발점 사상(source map) $s: G \to M$ 에 대한 수직 벡터들로 이루어진 다발(수직 다발)이며, $u: M \to G$ 는 군체의 항등원 사상(unit map)이다. 즉, 항등원 사상을 통해 수직 다발을 밑공간 $M$ 위로 당겨온 것이 벡터 다발 $A$ 가 된다.

다음으로, 벡터 다발 $A$ 의 단면들의 공간 $\Gamma(A)$ 에는 리 괄호가 주어진다. 이는 $A$ 의 단면들이 $G$ 위의 오른쪽 불변 벡터장들과 자연스럽게 동일시될 수 있기 때문에, 오른쪽 불변 벡터장들의 리 괄호 연산을 그대로 가져와 정의한다.

마지막으로, 앵커 사상 $\rho: A \to TM$ 은 목표점 사상(target map) $t: G \to M$ 의 미분을 벡터 다발 $A$ 에 제한한 것, 즉 $\rho := dt_{\mid A}$ 로 정의된다.

이 구성은 대칭적이다. 즉, 출발점 사상과 목표점 사상의 역할을 바꾸고, 오른쪽 불변 벡터장 대신 왼쪽 불변 벡터장을 사용해도 유사한 리 준대수를 구성할 수 있다. 이렇게 얻어진 두 리 준대수 사이의 동형 사상은 군체의 역원 사상(inverse map) $i: G \to G$ 의 미분을 통해 주어진다.

리 준대수의 단면 $\alpha \in \Gamma(A)$ 에 대해, 흐름(flow)이라는 개념을 정의할 수 있다. 이는 1-모수 이분(bisection) $\phi^\epsilon_\alpha \in \mathrm{Bis}(G)$ 으로 주어지며, $\alpha$ 에 대응하는 오른쪽 불변 벡터장 $\tilde{\alpha} \in \mathfrak{X}(G)$ 의 흐름 $\phi^\epsilon_{\tilde{\alpha}} \in \mathrm{Diff}(G)$ 를 이용하여 $\phi^\epsilon_\alpha(x):= \phi^\epsilon_{\tilde{\alpha}}(1_x)$ 와 같이 정의된다. 여기서 $1_x$ 는 $x \in M$ 에서의 항등원이다.

이 흐름 개념을 사용하여, 리 군 이론의 지수 사상과 유사한 사상을 리 준대수에서도 정의할 수 있다. 이는 $\exp: \Gamma(A) \to \mathrm{Bis}(G)$ 로 주어지며, $\exp(\alpha)(x):= \phi^1_\alpha(x)$ 로 정의된다. 즉, 시간 $\epsilon=1$ 에서의 흐름 값이 지수 사상의 값이 된다.

6. 1. 리 함자

리 군

G

를 그에 대응하는 리 대수

\mathrm{Lie}(G)

로 보내는 대응 관계는 범주론적인 함자 구조의 일부로 이해할 수 있다. 구체적으로, 임의의 리 군 준동형 사상

\phi: G_1 \to G_2

가 주어졌을 때, 이 사상을 미분하여 관련된 리 대수 사이의 준동형 사상

d\phi_{\mid \mathrm{Lie}(G_1)}: \mathrm{Lie}(G_1) \to \mathrm{Lie}(G_2)

를 얻을 수 있다.

이러한 대응 관계는 리 군과 그 준동형 사상들의 범주에서, 리 대수와 그 준동형 사상들의 범주로 가는 함자를 정의한다. 이 함자를 '''리 함자'''라고 부른다.

6. 2. 군체에서 준대수로 유도되는 구조와 성질

리 군체

G\rightrightarrows M

와 그에 연관된 리 준대수

(A \to M, [\cdot,\cdot],\rho)

사이에는 여러 구조와 성질이 다음과 같이 연결된다:

등방 대수 '' $\mathfrak{g}_x(A)$ ''는 등방 군 '' $G_x$ ''의 리 대수이다.
'' $G$ ''의 궤도는 '' $A$ ''의 궤도와 일치한다.
'' $G$ ''가 전이적이고 사상 '' $(s,t): G \to M \times M$ ''이 침강사상인 것은 '' $A$ ''가 전이적이라는 것과 동치이다.
'' $G$ ''가 올다발 '' $P \to M$ ''에 작용할 때 ( $m: G \times_M P \to P$ ), 이는 '' $A$ ''의 무한소 작용(''infinitesimal action'') $a: \Gamma(A) \to \mathfrak{X}(P)$ 를 유도한다. 이 작용은 다음과 같이 정의된다: $a(\alpha)_p := d_{1_{\mu(p)}} m (\cdot, p) (\alpha_{\mu(p)}) = d_{(1_{\mu(p)},p)} m (\alpha_{\mu(p)},0)$ .
벡터 다발 '' $E \to M$ ''에 대한 '' $G$ ''의 표현은 '' $A$ ''의 표현 '' $\nabla$ ''를 유도한다. 이는 다음과 같이 정의된다: $\nabla_\alpha \sigma (x):= \frac{d}{d \epsilon}_{\mid \epsilon=0} \Big(\phi^\epsilon_\alpha(x) \Big)^{-1} \cdot \sigma \Big (t (\phi^\epsilon_\alpha(x) )\Big)$ . 또한, 함자 $\mathrm{Rep}(G) \to \mathrm{Rep}(A)$ 가 존재하며, '' $G$ ''가 원점 단일 연결(source simply connected)이면 이는 동형 사상이 된다.
반 에스트 사상(''van Est map'') $VE^k: H_d^k(G,E) \to H^k(A,E)$ 이 존재한다. 이는 '' $E$ ''-계수를 갖는 '' $G$ ''의 미분 가능 코호몰로지에서 '' $E$ ''-계수를 갖는 '' $A$ ''의 코호몰로지로 가는 사상이다. 만약 '' $G$ ''의 '' $s$ ''-올(fiber)이 호몰로지적으로 '' $n$ ''-연결되어 있다면, 반 에스트 사상은 '' $k \leq n$ ''에 대해 동형사상이고, '' $k = n+1$ ''에 대해 단사 사상이다.^[11]

6. 3. 예시

리 군 $G \rightrightarrows \{*\}$ 의 리 준대수는 해당 리 군의 리 대수 $\mathfrak{g} \to \{*\}$ 이다.
다양체 $M$ 위의 쌍 군체 $M\times M \rightrightarrows M$ 와 기본 군체 $\Pi_1(M) \rightrightarrows M$ 의 리 준대수는 접다발 $TM \to M$ 이다.
다양체 $M$ 위의 단위 군체 $u(M) \rightrightarrows M$ 의 리 준대수는 영 벡터 다발 $M \times \{0\} \to M$ 이다.
리 군 다발 $G \rightrightarrows M$ 의 리 준대수는 대응하는 리 대수 다발 $A \to M$ 이다.
리 군 $G$ 가 다양체 $M$ 에 작용할 때 정의되는 작용 군체 $G\times M \rightrightarrows M$ 의 리 준대수는 작용 준대수 $\mathfrak{g} \times M \to M$ 이다. 여기서 $\mathfrak{g}$ 는 $G$ 의 리 대수이다.
주다발 $P \to M$ 에 대한 게이지 군체 $(P \times P)/G \rightrightarrows M$ 의 리 준대수는 아티야 준대수 $TP/G \to M$ 이다.
벡터 다발 $E \to M$ 위의 일반 선형 군체 $GL(E) \rightrightarrows M$ 의 리 준대수는 일반 선형 리 대수 다발 $\mathfrak{gl}(E) \to M$ 이다.
엽층 $\mathcal{F}$ 의 홀로노미 군체 $\mathrm{Hol}(\mathcal{F}) \rightrightarrows M$ 와 모노드로미 군체 $\Pi_1(\mathcal{F}) \rightrightarrows M$ 의 리 준대수는 엽층 $\mathcal{F} \to M$ 자체이다.
리 군 $G$ 의 접다발 $TG$ 로 구성된 접선 군체 $TG \rightrightarrows TM$ 의 리 준대수는 $G$ 의 리 대수 $A = \mathrm{Lie}(G)$ 의 접다발인 $TA \to TM$ 이다.
리 군 다발 $G \rightrightarrows M$ 의 $k$ -제트로 구성된 제트 군체 $J^k G \rightrightarrows M$ 의 리 준대수는 대응하는 리 대수 다발 $A = \mathrm{Lie}(G)$ 의 $k$ -제트 다발인 $J^k A \to M$ 이다.

7. 리 준대수의 적분

리 준대수를 '적분'한다는 것은 해당 리 준대수가 어떤 리 군군 $G \rightrightarrows M$ 의 미분 구조, 즉 $\mathrm{Lie}(G)$ 와 동형인지를 묻는 문제이다.^[12] 만약 이러한 리 군군이 존재하면, 리 준대수는 '''적분 가능'''하다고 한다.

고전적인 리 대수의 경우, 리 제3정리에 의해 모든 유한 차원 리 대수는 연결 단순 연결 리 군으로 적분될 수 있다. 그러나 리 준대수의 경우에는 상황이 다르다. 모든 리 준대수가 리 군군으로 적분될 수 있는 것은 아니며,^[15] 이는 리 준대수 이론의 중요한 특징 중 하나이다.

리 준대수의 적분 가능성에 대한 조건과 장애물은 오랫동안 연구되어 왔으며, 크라이닉과 페르난데스는 적분 가능성을 판별하는 일반적인 기준을 제시했다.^[17] 이는 '모노드로미 군'과 같은 개념과 관련되며, 특정 조건(예: 모노드로미 군의 이산성)을 만족해야 적분이 가능하다.

어떤 종류의 리 준대수는 항상 적분 가능하지만(예: 리 대수, 주 다발의 Atiyah algebroid|아티야 준대수^eng, foliation algebroid|엽층 준대수^eng 등^[21]^[12]), 특정 기하학적 구조에서 유도되는 리 준대수는 적분이 불가능한 경우도 존재한다.^[17] 적분 가능 여부는 리 준대수의 구조와 그것이 정의된 다양체의 위상적 성질에 따라 달라진다.

7. 1. 리 정리

리 준대수는 어떤 리 군군

G \rightrightarrows M

에 대해 동형일 경우, 즉

\mathrm{Lie}(G)

와 동형인 경우 '''적분 가능'''하다고 한다. 고전적인 '''리 제1정리'''의 리 준대수 버전은 다음과 같다.^[12]

만약 $A$ 가 적분 가능한 리 준대수라면, $A$ 를 적분하는 유일한(동형까지) $s$ -단순 연결 리 군군 $G$ 가 존재한다.

마찬가지로, 적분 가능한 리 준대수 사이의 사상

F: A_1 \to A_2

는 만약 그것이

A_1

과

A_2

의 두 적분 사이의 어떤 사상

\phi: G_1 \to G_2

에 대한 미분

F = d\phi_{ \mid A}

인 경우, '''적분 가능'''하다고 한다. 고전적인 '''리 제2정리'''의 리 준대수 버전은 다음과 같다.^[13]

만약 $F: \mathrm{Lie}(G_1) \to \mathrm{Lie}(G_2)$ 가 적분 가능한 리 준대수의 사상이고, $G_1$ 이 $s$ -단순 연결이라면, $F$ 를 적분하는 유일한 리 군군의 사상 $\phi: G_1 \to G_2$ 가 존재한다.

특히,

G_2

를 벡터 다발

E

의 일반 선형 군군

GL(E)

로 선택하면, 적분 가능한 리 준대수의 모든 표현은 해당

s

-단순 연결 적분 리 군군의 표현으로 적분된다는 것을 알 수 있다.

반면에, 고전적인 '''리 제3정리'''의 리 준대수 버전은 존재하지 않는다. 즉, 모든 리 준대수가 리 군군으로 적분될 수 있는 것은 아니다. 프라디네스(Pradines)는 그러한 명제가 성립한다고 주장했지만,^[14] 적분 불가능한 리 준대수의 첫 번째 명시적 예시는 엽층 이론 등에서 비롯되어 몇 년 후에 나타났다.^[15] 추이적인 경우에 대한 완전한 해를 포함한 여러 부분적인 결과에도 불구하고,^[16] 임의의 리 준대수가 적분 가능한지에 대한 일반적인 장애물은 2003년에 크라이닉(Marius Crainic)과 페르난데스(Rui Loja Fernandes)에 의해서야 발견되었다.^[17] 더 일반적인 접근 방식을 사용하면, 모든 리 준대수는 스태키(stacky) 리 군군으로 적분된다는 것을 알 수 있다.^[18]^[19]

7. 2. Ševera-Weinstein 군체

임의의 리 대수

A

가 주어졌을 때, 그 적분(integration)의 자연스러운 후보는

G(A):= P(A)/\sim

로 주어진다. 여기서

P(A)

는

A

-경로(path)들의 공간을 나타내고,

\sim

는 이들 사이의

A

-호모토피(homotopy) 관계를 나타낸다. 이 구성은 종종 '''바인슈타인 군체'''(Weinstein groupoid) 또는 '''셰베라-바인슈타인 군체'''(Ševera-Weinstein groupoid)라고 불린다.^[20]^[17]

실제로,

G(A)

는 경로의 연결(concatenation)에 의해 유도된 곱셈 연산을 갖는

s

-단순 연결 위상 군체(topological groupoid)임을 보일 수 있다. 또한, 만약 리 대수

A

가 적분 가능하다면,

G(A)

는 매끄러운 구조(smooth structure)를 가지며, 이는

A

를 적분하는 유일한

s

-단순 연결 리 군체(Lie groupoid)와 일치한다.

따라서, 리 대수

A

의 적분 가능성에 대한 유일한 방해 요소는

G(A)

가 매끄러운 구조를 가질 수 있는지 여부에 있다. 이러한 접근 방식은 임의의 리 대수와 관련된 '''모노드로미 군'''(monodromy group)이라는 객체의 도입으로 이어졌으며, 다음과 같은 기본적인 결과가 도출되었다.^[17]

리 대수는 그 모노드로미 군이 균일하게 이산적(uniformly discrete)일 때만 적분 가능하다.

이러한 진술은 리 대수가 추이적(transitive)인 경우 더 간단해진다.

추이적인 리 대수는 그 모노드로미 군이 이산적(discrete)일 때만 적분 가능하다.

위의 결과는 또한 모든 리 대수가 '국소' 리 군체(local Lie groupoid, 대략적으로 말하면 곱셈 연산이 항등원 근방에서만 정의되는 리 군체)로는 적분을 허용한다는 것을 보여준다.

7. 3. 적분 가능한 예시

리 대수는 리 제3정리에 따라 항상 적분 가능하다.
주 다발의 Atiyah algebroid|아티야 준대수^eng는 항상 적분 가능하며, 해당 주 다발의 게이지 군체로 적분된다.
주입적 앵커(injective anchor)를 갖는 리 준대수는 항상 적분 가능하다. 이는 엽층 준대수(foliation algebroid)를 포함하며, 프로베니우스 정리와 관련된다.
리 대수 다발은 항상 적분 가능하다.^[21]
action Lie algebroid|작용 리 준대수^eng는 항상 적분 가능하다. 다만, 그 적분이 반드시 action Lie groupoid|작용 리 군체^eng인 것은 아니다.^[22]
적분 가능한 리 준대수의 임의의 Lie subalgebroid|리 부분 준대수^eng 역시 적분 가능하다.^[12]

7. 4. 적분 불가능한 예시

닫힌 2-형식

\omega \in \Omega^2(M)

와 연관된 리 준대수

A_\omega = TM \times \mathbb{R} \to M

를 생각해 보자. 이 리 준대수의 적분 가능성은

\omega

와 관련된 '''구면 주기군'''

\Lambda

와 밀접한 관련이 있다. 구면 주기군

\Lambda

는 다음 호모토피 군의 두 번째 군 준동형 사상의 이미지(치역)로 정의된다.

\Phi: \pi_2(M) \to \mathbb{R}: \quad [f] \mapsto \int_{S^2} f^*\omega.

여기서

[f]

는

S^2

에서

M

으로 가는 연속 사상

f

의 호모토피 동치류를 나타내고, 적분은

f

에 의해 당겨진(pulled back) 2-형식

f^*\omega

를 구면

S^2

위에서 적분하는 것을 의미한다. 결과적으로

\Lambda

는

\mathbb{R}

의 부분군이 된다.

리 준대수

A_\omega

는 추이적(transitive)이다. 추이적인 리 준대수가 적분 가능하다는 것은, 그것이 어떤 주다발(principal bundle)의 아티야 대수(Atiyah algebroid)와 같다는 것을 의미한다. 더 자세히 분석하면, 이 조건은 구면 주기군

\Lambda \subseteq \mathbb{R}

이 격자, 즉 이산적인 부분군일 때와 동치임을 알 수 있다.

만약

\Lambda

가 격자가 아니라면, 리 준대수

A_\omega

는 적분 불가능하다. 이러한 예시 중 하나는

M = S^2 \times S^2

(두 개의 구면의 곱공간)이고,

\omega = \mathrm{pr}_1^* \sigma + \sqrt2 \mathrm{pr}_2^* \sigma \in \Omega^2(M)

인 경우이다. 여기서

\sigma \in \Omega^2(S^2)

는 구면

S^2

의 면적 형식(area form)이고,

\mathrm{pr}_i^*

는

i

번째 인자로의 사영(projection)에 의한 당김(pullback)이다. 이 경우, 구면 주기군

\Lambda

는

\mathbb{Z}+\sqrt2 \mathbb{Z}

가 된다. 이 집합은

\mathbb{R}

에서 조밀하며, 이산적이지 않으므로 격자가 아니다. 따라서 이 경우의 리 준대수

A_\omega

는 적분 불가능하다.

8. 역사

리 준대수의 개념은 1967년에 장 프라딘Jean Pradines^프랑스어이 도입하였다.^[27]

참조

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_[3] 논문 Pseudo-algèbres de Lie 1953
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_[5] 논문 Quasi-derivations and QD-algebroids https://www.scienced[...] 2003-12-01
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_[22] 논문 Groupoïde d'holonomie et géométrie globale https://www.scienced[...] 1997-01-01
_[23] 저널 https://www.ams.org/[...] 1996
_[24] 서적 https://archive.org/[...] 1987
_[25] 서적 2005
_[26] 저널 2002
_[27] 저널 1967

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