립시츠 연속 함수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
- 4.1. 립시츠 연속 함수 예시
- 4.2. 립시츠 연속이 아닌 함수 예시
5. 일방향 립시츠 연속성
참조

1. 개요

립시츠 연속 함수는 두 거리 공간 사이의 함수로, 두 점 사이의 거리 변화가 함수의 값 변화에 의해 제한되는 함수를 의미한다. 구체적으로, 함수 f가 K-립시츠 연속이라는 것은, 두 점 x, x'에 대해 f(x)와 f(x')의 거리 차이가 x와 x'의 거리에 K를 곱한 값보다 작거나 같다는 것을 의미한다. 립시츠 연속 함수는 절대 연속, 균등 연속이며, 거의 모든 곳에서 미분 가능하다는 성질을 갖는다. 립시츠 연속 함수의 예시로는 절댓값 함수, 사인 함수 등이 있으며, 지수 함수나 x²과 같은 함수는 립시츠 연속이 아니다.

2. 정의

두 거리 공간 $(X, d_X)$ 와 $(Y, d_Y)$ 가 주어졌다고 하자. 여기서 $d_X$ 는 집합 $X$ 위의 거리이고, $d_Y$ 는 집합 $Y$ 위의 거리이다. 함수 $f: X \to Y$ 에 대해, 만약 다음 조건을 만족시키는 실수 $K \ge 0$ 가 존재한다면, 함수 $f$ 를 ''' $K$ -립시츠 연속 함수'''라고 부른다.

모든 $x_1, x_2 \in X$ 에 대하여, $d_Y(f(x_1), f(x_2)) \le K d_X(x_1, x_2)$

만약 어떤 음이 아닌 실수

K

가 존재하여 함수

f

가

K

-립시츠 연속 함수가 된다면, 이 함수

f

를 간단히 '''립시츠 연속 함수'''라고 한다.^[3] 이러한 상수

K

를 '립시츠 상수'라고 부른다.

2. 1. 립시츠 상수

두 거리 공간 (''X'', ''d''_''X'')와 (''Y'', ''d''_''Y'') 사이의 함수 ''f'': ''X'' → ''Y''가 '''립시츠 연속 함수'''일 때, 모든 ''x''₁, ''x''₂ ∈ ''X''에 대해 다음 부등식을 만족시키는 0 이상의 실수 ''K''가 존재한다.

:''d''_''Y''(''f''(''x''₁), ''f''(''x''₂)) ≤ ''K'' ''d''_''X''(''x''₁, ''x''₂)^[3]

이러한 실수 ''K''를 함수 ''f''의 '''립시츠 상수'''라고 부른다. 하나의 함수 ''f''에 대해 여러 립시츠 상수가 존재할 수 있는데, 이들 중 가장 작은 값을 ''f''의 '''최적 립시츠 상수'''^[4]라고 한다. 때로는 립시츠 상수를 함수의 '''확대''' 또는 '''팽창'''^[5]^[6]^[7]이라고 부르기도 한다. 어떤 함수 ''f''가 특정 상수 ''K''를 립시츠 상수로 가질 때, 그 함수를 '''K''-립시츠'''라고도 한다.

만약 립시츠 상수 ''K'' = 1이면 함수 ''f''는 '''단축 사상'''이라고 불린다. 만약 0 ≤ ''K'' < 1이고 ''f''가 거리 공간을 자기 자신으로 사상한다면, 함수는 '''축약 사상'''이라고 한다.

특히, 실수 집합 '''R''' 또는 그 부분집합 ''X''에서 '''R'''로 가는 실수 값 함수 ''f'': ''X'' → '''R'''의 경우, 표준 거리 ''d''(''x''₁, ''x''₂) = |''x''₁ − ''x''₂|를 사용하면 립시츠 조건은 다음과 같이 표현된다. 모든 ''x''₁, ''x''₂ ∈ ''X''에 대해,

:|''f''(''x''₁) − ''f''(''x''₂)| ≤ ''K'' |''x''₁ − ''x''₂|

를 만족하는 ''K'' ≥ 0가 존재한다.

립시츠 조건은 ''x''₁ = ''x''₂일 때는 자명하게 성립한다. ''x''₁ ≠ ''x''₂인 경우, 립시츠 조건은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:''d''_''Y''(''f''(''x''₁), ''f''(''x''₂)) / ''d''_''X''(''x''₁, ''x''₂) ≤ ''K''

이는 두 점 사이의 거리 변화율이 상수 ''K'' 이하로 제한됨을 의미한다. 여러 실수 변수의 실수 값 함수의 경우, 이는 함수 그래프 위의 임의의 두 점을 잇는 할선의 기울기의 절댓값이 ''K'' 이하임을 뜻한다. 기하학적으로, 함수 그래프 위의 각 점을 꼭짓점으로 하는 특정 기울기 ''K''를 가진 원뿔을 생각할 때, 립시츠 연속 함수의 그래프는 항상 이 원뿔의 바깥쪽에 놓이게 된다.

2. 2. 국소 립시츠 연속성

사상 f가 '''국소 립시츠 연속'''(locally Lipschitz continuous)이라는 것은, 임의의 x ∈ X에 대해 x의 근방 U를 적당히 선택하면 f의 U에 대한 제한이 립시츠 연속일 때를 말한다.

만약 X가 국소 콤팩트 거리 공간이라면, f가 국소 립시츠 연속인 것과 X의 모든 콤팩트 부분 집합 위에서 립시츠 연속인 것은 서로 동치 조건이다. 하지만 X가 국소 콤팩트 공간이 아닐 경우, 모든 콤팩트 부분 집합 위에서 립시츠 연속이라는 조건은 국소 립시츠 연속이 되기 위한 필요조건이지만, 충분조건은 아니다.

2. 3. 쌍립시츠 연속성

두 거리 공간 (''X'', ''d''_''X'') 와 (''Y'', ''d''_''Y'') 사이의 함수 ''f'' : ''X'' → ''Y''가 있다고 하자. 만약 어떤 실수 ''K'' ≥ 1가 존재하여 모든 ''X'' 안의 ''x''₁, ''x''₂에 대해 다음 부등식이 성립하면, 함수 ''f''를 '''쌍립시츠 연속'''(bilipschitz continuous) 또는 단순히 '''쌍립시츠'''라고 부른다.

:

\frac{1}{K}\,d_X(x_1,x_2) \le d_Y(f(x_1), f(x_2)) \le K\,d_X(x_1, x_2)

이때 ''f''를 '''K-쌍립시츠'''라고도 한다.

쌍립시츠 연속 함수는 항상 단사 함수이다. 즉, 서로 다른 입력값에 대해서는 항상 서로 다른 출력값이 나온다. 더 나아가, 쌍립시츠 함수는 정의역 ''X''에서 그 치역 ''f''(''X'') 위로의 위상동형 사상이 된다. 이는 두 공간 사이의 거리 구조를 어느 정도 보존하면서 일대일 대응이 된다는 의미이다.

쌍립시츠 연속 함수의 중요한 특징은 함수 ''f''가 립시츠 연속이고 단사 함수이며, 그 역함수 ''f''⁻¹: ''f''(''X'') → ''X'' 역시 립시츠 연속이라는 점과 동치라는 것이다. 즉, 함수와 그 역함수가 모두 립시츠 연속이면 그 함수는 쌍립시츠 연속이다.

만약 쌍립시츠 함수 ''f''가 전사 함수(즉, 치역이 공역 ''Y'' 전체와 같은 경우)라면, 이 함수는 두 거리 공간 ''X''와 ''Y'' 사이의 동형 사상이 된다. 이는 두 공간이 거리 구조의 관점에서 사실상 동일하다고 볼 수 있음을 의미한다.

3. 성질

립시츠 연속 함수는 여러 중요한 성질을 가진다. 대표적으로, 모든 립시츠 연속 함수 $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ 는 절대 연속 함수이며, 거의 어디서나 미분 가능 함수이다. 또한, 모든 립시츠 연속 함수는 균등 연속이므로 당연히 연속 함수이기도 하다.

립시츠 연속 함수들의 집합은 몇 가지 중요한 연산에 대해 닫혀있다. 예를 들어, {''f_n''}이 두 거리 공간 사이의 립시츠 연속 함수열이고, 모든 ''f_n''의 립시츠 상수가 어떤 상수 ''K''로 균일하게 유계되어 있다고 하자. 만약 이 함수열 ''f_n''이 함수 ''f''로 균등 수렴한다면, 극한 함수 ''f'' 역시 립시츠 연속이며, 그 립시츠 상수는 동일한 ''K''로 유계된다. 이는 립시츠 상수에 대한 특정 상한을 갖는 콤팩트 거리 공간 상의 실수값 함수들의 집합이, 연속 함수들의 바나흐 공간에서 닫힌 볼록 부분 집합임을 의미한다.

또한, 공통 립시츠 상수를 갖는 립시츠 연속 함수들의 족 ''f''_α에 대해, 함수 $\sup_\alpha f_\alpha$ (상한 함수)와 $\inf_\alpha f_\alpha$ (하한 함수) 역시, 적어도 한 점에서 유한한 값을 가진다면, 동일한 립시츠 상수를 갖는 립시츠 연속 함수가 된다.

키르즈브라운 정리에 따르면, 거리 공간 ''M''의 부분집합 ''U''에서 정의된 립시츠 연속 함수 $f: U \to \mathbb R$ 는 항상 ''M'' 전체로 확장될 수 있으며, 확장된 함수 $\tilde f: M \to \mathbb R$ 는 원래 함수 ''f''와 동일한 립시츠 상수를 갖는다. 이러한 확장은 다음과 같은 공식으로 구체적으로 주어질 수 있다.

: $\tilde f(x):=\inf_{u\in U}\{ f(u)+k\, d(x,u)\}$

여기서 ''k''는 ''U'' 위에서 정의된 함수 ''f''의 립시츠 상수이다.

3. 1. 절대 연속성

립시츠 연속 함수

f\colon\mathbb R\to\mathbb R

는 절대 연속 함수이다. 이는 립시츠 연속 함수의 중요한 성질 중 하나이다.

구체적으로, 립시츠 함수

g\colon\mathbb R\to\mathbb R

는 절대 연속이기 때문에, 르베그 측도가 0인 집합을 제외한 거의 모든 점에서 미분 가능하다. 즉, 거의 모든 곳에서 미분 가능 함수이다.

또한, 립시츠 함수

f

가

K

-립시츠 함수라면, 그 도함수

f'

는 거의 어디서나

|f'|\le K

를 만족한다. 즉, 도함수는 본질적으로 유계이며, 그 절댓값은 립시츠 상수보다 작거나 같다.

절대 연속 함수의 성질에 따라, 임의의

a < b

에 대해 함수값의 차이

g(b) - g(a)

는 구간

[a, b]

에서 도함수

g'

의 적분과 같다.

g(b) - g(a) = \int_a^b g'(x) dx

반대로, 어떤 함수

f\colon I\to\mathbb R

가 절대 연속 함수이고 거의 어디서나 미분 가능하며, 그 도함수가 거의 어디서나

|f'(x)| \le K

를 만족한다면, 이 함수

f

는 립시츠 상수가 최대

K

인 립시츠 연속 함수가 된다.

3. 2. 미분 가능성

립시츠 연속 함수

f\colon\mathbb R\to\mathbb R

는 절대 연속 함수이며, 르베그 측도가 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 미분 가능하다. 만약

f

가 립시츠 상수

K

를 갖는 립시츠 함수(즉,

K

-립시츠 함수)라면, 거의 모든 곳에서 그 도함수의 절댓값은

K

보다 작거나 같다. 즉,

|f'(x)|\le K

가 거의 모든

x

에 대해 성립한다. 또한,

a < b

에 대해, 차분

f(b) - f(a)

는 구간

[a, b]

에서 도함수

f'

의 적분과 같다.

반대로, 어떤 함수

f\colon I\to\mathbb R

가 절대 연속이고 거의 모든 곳에서 미분 가능하며, 그 도함수가 거의 모든

x \in I

에 대해

|f'(x)| \le K

를 만족하면,

f

는 립시츠 상수가 최대

K

인 립시츠 연속 함수이다.

모든 곳에서 미분 가능한 함수

f\colon\mathbb R\to\mathbb R

에 대해, 이 함수가 립시츠 연속 함수가 될 필요충분조건은 그 도함수

f'

가 유계인 것이다. 즉,

\sup\

3. 3. 균등 연속성

모든 립시츠 연속 함수는 균등 연속이며, 따라서 연속 함수이다. 더 일반적으로, 유계인 립시츠 상수를 갖는 함수의 집합은 동등 연속 집합을 형성한다.아르첼라-아스콜리 정리에 따르면, 유계인 립시츠 상수를 갖는 균등 유계 함수열 ''f''_''n''은 수렴하는 부분 수열을 갖는다. 이때 극한 함수 역시 립시츠 연속이며, 원래 함수열과 동일한 립시츠 상수 상한을 갖는다. 특히, 콤팩트 거리 공간 ''X''에서 립시츠 상수가 ''K'' 이하인 모든 실수값 립시츠 함수의 집합은, 연속 함수 전체의 바나흐 공간 ''C''(''X'')에서 국소 콤팩트 볼록 부분 집합이 된다.

3. 4. 립시츠 다양체

'''R'''^''n''의 두 열린 집합 ''U'', ''V''가 있다고 하자. 사상 ''T'': ''U'' → ''V''가 '''쌍립시츠'''(bi-Lipschitz)라는 것은, 그 사상이 상으로의 립시츠 동형사상이며, 또한 그 역사상 역시 립시츠일 때를 말한다.쌍립시츠 사상은 유사군(pseudogroup)을 형성하기 때문에, 이를 이용하여 위상 다양체 위에 '''립시츠 구조'''를 정의할 수 있다. 이는 쌍립시츠인 지도들로 구성된 아틀라스를 사용하는 것이다.^[9] 이 립시츠 구조는 구간 선형 다양체(piecewise-linear manifold, PL 다양체)와 매끄러운 다양체 구조의 중간 단계에 해당한다. 실제로, PL 구조는 유일한 립시츠 구조를 생성한다.^[10]^[15]립시츠 구조가 주어진 다양체를 립시츠 다양체라고 한다. 립시츠 구조는 매끄러운 다양체 사이에서 매끄러운 사상을 정의하는 방식과 유사하게, 립시츠 다양체 간에 '''국소 립시츠''' 사상을 정의할 수 있게 한다. 즉, ''M''과 ''N''이 립시츠 다양체일 때, 함수 ''f'': ''M'' → ''N''이 국소 립시츠일 필요충분조건은 모든 좌표근방계 쌍 ''φ'': ''U'' → ''M'' 및 ''ψ'': ''V'' → ''N'' (여기서 ''U''와 ''V''는 해당 유클리드 공간의 열린 집합)에 대해, 합성 함수''ψ''⁻¹ ∘ ''f'' ∘ ''φ'': ''U'' ∩ (''f'' ∘ ''φ'')⁻¹(''ψ''(''V'')) → ''V''가 국소 립시츠인 경우이다. 이 정의는 ''M'' 또는 ''N''에 거리를 어떻게 정의하는지에 의존하지 않는다.^[9]립시츠 다양체는 위상 다양체와 밀접하게 관련되어 있지만, 라데마허 정리를 통해 미분과 같은 해석학적 분석을 수행할 수 있다는 장점이 있으며, 이는 다양한 응용 분야로 이어진다.^[9]

4. 예시

립시츠 연속 함수는 함수의 변화율, 즉 기울기가 특정 상수값 이하로 제한되는 함수를 의미한다. 어떤 함수가 립시츠 연속성을 만족하는지, 또는 만족하지 않는지에 대한 다양한 예시가 존재한다.일반적으로, 함수가 모든 점에서 미분 가능하고 그 도함수의 절댓값이 유계(bounded)이면 립시츠 연속 함수가 된다. 예를 들어, 사인 함수 sin x나 f(x) = √(x²+5)와 같은 함수는 도함수의 절댓값이 특정 값(각각 1)을 넘지 않으므로 립시츠 연속이다.미분 불가능한 점이 존재하더라도 립시츠 연속 함수가 될 수 있다. 대표적인 예로 절댓값 함수 f(x) = |x|는 x=0에서 미분 불가능하지만 립시츠 상수 1을 갖는 립시츠 연속 함수이다.반면, 함수가 연속이거나 심지어 미분 가능하더라도 립시츠 연속이 아닐 수 있다. 이는 함수의 기울기가 특정 구간이나 점에서 한없이 커질 수 있기 때문이다. 예를 들어, 구간 [0, 1]에서 정의된 함수 f(x) = √x는 x=0 근처에서 도함수가 무한대로 발산하므로 립시츠 연속이 아니다. 이 함수는 균등 연속 함수이지만 립시츠 연속 함수는 아닌 대표적인 사례이다.^[8]^[14] 또한, 지수 함수 e^x나 f(x) = x²와 같이 정의역 전체에서 정의된 함수도 x 값이 커짐에 따라 기울기가 무한정 커질 수 있으므로 전역적으로는 립시츠 연속이 아니다. (다만, f(x) = x²는 국소 립시츠 연속이다.)아래 하위 섹션에서는 이러한 립시츠 연속 함수와 립시츠 연속이 아닌 함수의 구체적인 예시들을 더 자세히 살펴본다.

4. 1. 립시츠 연속 함수 예시

다음은 립시츠 연속 함수의 몇 가지 예시이다.립시츠 연속 함수

실수 전체에서 정의된 함수 $f(x) = \sqrt{x^2 + 5}$ 는 립시츠 상수 $K=1$ 을 갖는 립시츠 연속 함수이다. 이 함수는 모든 곳에서 미분 가능하며, 그 도함수의 절댓값은 $1$ 이하로 제한되기 때문이다(성질 참조).
사인 함수 $\sin(x)$ 역시 립시츠 연속 함수이다. 도함수인 코사인 함수 $\cos(x)$ 의 절댓값이 $1$ 이하로 제한되기 때문이다.
실수 전체에서 정의된 절댓값 함수 $f(x) = |x|$ 는 역삼각 부등식에 의해 립시츠 상수 $1$ 을 갖는 립시츠 연속 함수이다. 이 함수는 $x=0$ 에서 미분 가능하지 않지만 립시츠 연속인 함수의 대표적인 예이다.
더 일반적으로, 벡터 공간 위의 노름은 그 노름이 유도하는 거리 함수에 대해 립시츠 상수 $1$ 을 갖는 립시츠 연속 함수이다.

모든 곳에서 미분 가능하지만 연속적으로 미분 가능하지 않은 립시츠 연속 함수

함수 $f(x) = \begin{cases} x^2\sin (1/x) & \text{if }x \ne 0 \\ 0 & \text{if }x=0\end{cases}$ 는 모든 점에서 미분 가능하지만, 그 도함수는 $x=0$ 에서 연속이 아니다. 그럼에도 불구하고 이 함수는 립시츠 연속이다.

립시츠 연속이 아닌 함수

연속이지만 (전역적으로) 립시츠 연속이 아닌 함수: 닫힌 구간 $[0, 1]$ 에서 정의된 함수 $f(x) = \sqrt{x}$ 는 립시츠 연속이 아니다. $x$ 가 0에 가까워질수록 도함수가 무한대로 발산하여 기울기가 얼마든지 커질 수 있기 때문이다. 그러나 이 함수는 균등 연속이며,^[14] $\alpha \le 1/2$ 에 대해 $C^{0,\alpha}$ -급 홀더 연속이고 절대 연속이다.
미분 가능하지만 (국소적으로) 립시츠 연속이 아닌 함수: $f(0)=0$ 이고 $0 < x \le 1$ 에 대해 $f(x) = x^{3/2}\sin(1/x)$ 로 정의된 함수는 닫힌 구간 $[0, 1]$ 에서 미분 가능하지만, $x=0$ 근방에서 도함수가 유계가 아니므로 국소적으로 립시츠 연속이 아니다.
해석 함수이지만 (전역적으로) 립시츠 연속이 아닌 함수:
지수 함수 $e^x$ 는 $x \to \infty$ 로 갈수록 기울기가 임의로 커지므로 전역적으로 립시츠 연속이 아니다. 하지만 해석 함수이다.
실수 전체에서 정의된 함수 $f(x) = x^2$ 역시 $x \to \infty$ 로 갈수록 기울기가 임의로 커지므로 전역적으로 립시츠 연속이 아니다. 그러나 이 함수는 국소 립시츠 연속이다.

4. 2. 립시츠 연속이 아닌 함수 예시

함수 $f(x) = \sqrt{x}$ 는 폐구간 [0, 1]에서 연속 함수이고 균등 연속 함수이지만, $x=0$ 근처에서 도함수가 무한대로 발산하여 기울기가 한없이 가팔라지므로 립시츠 연속 함수는 아니다.^[8]^[14] 그럼에도 이 함수는 $\alpha \le 1/2$ 에 대해 홀더 연속이며 절대 연속이기도 하다.
함수 $f(x) = \begin{cases} x^{3/2}\sin (1/x) & \text{if }x \ne 0 \\ 0 & \text{if }x=0\end{cases}$ 는 폐구간 [0, 1]에서 미분 가능하지만, 그 도함수가 유계가 아니므로 국소적으로 립시츠 연속이 아니다. 즉, 콤팩트 집합 위에서 미분 가능하더라도 국소적으로 립시츠 연속이 아닐 수 있다.
지수 함수 $f(x) = e^x$ 는 모든 실수에서 해석 함수이지만, $x$ 가 양의 무한대로 갈수록 기울기가 한없이 커지므로 전역적으로 립시츠 연속이 아니다.
함수 $f(x) = x^2$ 는 모든 실수에서 해석 함수이지만, $x$ 가 무한대로 갈수록 기울기가 한없이 커지므로 전역적으로 립시츠 연속이 아니다. 그러나 이 함수는 국소적으로는 립시츠 연속이다.

5. 일방향 립시츠 연속성

''F''(''x'')가 ''x''에 대한 상반연속 함수이고, 모든 ''x''에 대해 ''F''(''x'')가 닫힌 볼록 집합이라고 가정하자. 이때, 어떤 상수 ''C''에 대해 모든 ''x''₁과 ''x''₂에 대해 다음 부등식이 성립하면 함수 ''F''는 일방향 립시츠 연속(one-sided Lipschitz)이라고 한다.^[11]^[16]

: $(x_1-x_2)^T(F(x_1)-F(x_2))\leq C\Vert x_1-x_2\Vert^2$

함수 ''F''는 매우 큰 립시츠 상수 ''K''를 가질 수 있지만, 일방향 립시츠 상수 ''C''는 그보다 작거나 심지어 음수일 수도 있다.

예를 들어, 다음과 같은 함수를 생각해보자.

: $\begin{cases} F:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R},\\ F(x,y)=-50(y-\cos(x)) \end{cases}$

이 함수는 립시츠 상수 ''K'' = 50을 가지지만, 일방향 립시츠 상수 ''C'' = 0을 가진다.

또한, 함수 $F(x) = e^{-x}$ 는 일방향 립시츠 상수 ''C'' = 0을 가지므로 일방향 립시츠 연속이지만, 일반적인 의미의 립시츠 연속은 아니다.

참조

_[1] 서적 Basic Real Analysis https://books.google[...] Birkhäuser
_[2] 서적 Elementary Real Analysis https://books.google[...] Prentice-Hall
_[3] 서적 Metric Spaces Springer-Verlag
_[4] 서적 Geometric Nonlinear Functional Analysis American Mathematical Society 2000
_[5] 서적 A Course in Metric Geometry American Mathematical Society 2001
_[6] 논문 "'Dilatation' and 'dilation': trends in use on both sides of the Atlantic" https://bjo.bmj.com/[...] 2014
_[7] 서적 Prospects in Mathematics: Invited Talks on the Occasion of the 250th Anniversary of Princeton University, March 17-21, 1996, Princeton University American Mathematical Society 1999
_[8] 문서 Continuity and Uniform Continuity http://www.math.wisc[...]
_[9] 간행물 Applications of analysis on Lipschitz manifolds https://projecteucli[...] Australian National University
_[10] 문서 Topology of manifolds
_[11] 논문 Stability and Euler Approximation of One-sided Lipschitz Differential Inclusions
_[12] 서적 Basic real analysis https://books.google[...] Birkhäuser.
_[13] 문서 Compactness https://wiki.math.nt[...]
_[14] 문서 Continuity and Uniform Continuity http://www.math.wisc[...]
_[15] 문서 Topology of manifolds
_[16] 논문 Stability and Euler Approximation of One-sided Lipschitz Differential Inclusions

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com