매개계

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 정칙 국소환
- 3.2. 독립성
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

매개계는 뇌터 국소 가환환 R과 R-유한 생성 가군 M에 대해 정의되는 개념으로, M의 크룰 차원 d를 만족하는 R의 부분 집합 S이다. 특히 R = M인 경우, S는 R의 매개계가 되며, S가 정칙 매개계가 될 수도 있다. 정칙 국소환은 정칙 매개계를 가지며, 코언-매콜리 국소환은 모든 매개계가 정칙열이거나 적어도 하나의 정칙열을 매개계로 가진다. 아르틴 국소환의 경우 매개계는 공집합이며, 정수환의 국소화와 같은 구체적인 예시를 통해 매개계의 개념을 이해할 수 있다. 매개계 개념은 1943년 클로드 슈발레에 의해 사용되었으며, 대수다양체에서 국소 좌표계와 유사한 역할을 한다.

2. 정의

뇌터 국소 가환환 $(R,\mathfrak m)$ 위의 유한 생성 가군 $M$ 의 크룰 차원을 $\dim_R M = d$ 라고 하자. $|S| = d$ 이고 $\operatorname{length}\frac M{SM} < \infty$ 인 (즉, $\exists N\in\mathbb Z^+\colon \mathfrak m^NM \subseteq SM$ 인) 부분 집합 $S\subseteq R$ 를 $M$ 의 '''매개계'''라고 한다. 여기서 $\operatorname{length}(-)$ 는 가군의 길이이다.

특히, $M = R$ 인 경우, $|S| = d$ 이고 $\exists N \in \mathbb Z^+\colon \mathfrak m^N \subseteq S$ 인 부분 집합 $S$ 를 $R$ 의 '''매개계'''라고 한다. 만약 $N = 1$ 으로 놓을 수 있다면, $S$ 를 '''정칙 매개계'''(regular system of parameters^영어)라고 한다.^[1]

3. 성질

뇌터 국소 가환환에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

정칙 국소환이다.
정칙 매개계를 갖는다.

뇌터 국소 가환환

(R,\mathfrak m)

에 대하여 다음 세 조건은 서로 동치이다.^[4]

코언-매콜리 국소환이다.
모든 매개계가 정칙열이다.
적어도 하나 이상의 매개계가 정칙열이다.

3. 1. 정칙 국소환

d

차원 정칙 국소환

(R,\mathfrak m,\kappa=R/\mathfrak m)

의 부분 집합

S\subseteq\mathfrak m

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.^[2]

$S \subseteq S'$ 인 정칙 매개계 $S'\subseteq R$ 가 존재한다.
$R/(S)$ 는 $d-|S|$ 차원 정칙 국소환이다.
$\{s+\mathfrak m^2\colon s\in S\} \subseteq \mathfrak m/\mathfrak m^2$ 는 $\kappa$ -벡터 공간인 자리스키 공변접공간 $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ 속에서 선형 독립이다.

3. 2. 독립성

정칙 국소환

(R,\mathfrak m,\kappa=R/\mathfrak m)

의

d

차원 매개계

(r_1,\dotsc,r_d)

가 주어졌다고 하자. 임의의

R

계수

k

차 동차 다항식

p \in R[x_1,\dotsc,x_d]

에 대하여, 만약

p(r_1,\dotsc,r_d) = 0

이라면,

p

의 모든 계수는

\mathfrak m

에 속한다.^[2] (즉,

p

의

\kappa[x_1,\dotsc,x_d]

속의 상이 0이다.)

4. 예

아르틴 국소 가환환 $(R,\mathfrak m)$ 의 경우, 매개계는 공집합이다. 이 경우 극대 아이디얼 $\mathfrak m$ 은 멱영 아이디얼이다. 예를 들어, 소수 $p$ 에 대하여 국소 가환환 $R = \mathbb Z/(p^d)$ 가 이에 해당한다. 이 경우, $R$ 가 정칙 국소환인지 여부는 $R$ 가 체인지 여부와 동치이다. 체의 경우 $\mathfrak m = (0)$ 이므로, 공집합이 정칙 매개계를 이룬다.

체 $K$ 위의 아핀 평면 $K[x,y]$ 의 원점에서의 국소환 $K[x,y]_{(x,y)}$ 을 생각하자. 이는 2차원 정칙 국소환이다. 이 경우

: $\{x,y\} \subset K[x,y]_{(x,y)}$

는 정칙 매개계이다. 보다 일반적으로, 임의의

: $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \in \operatorname{GL}(2;K)$

에 대하여

: $\{ax+cy,bx+dy\}$

역시 정칙 매개계이다.

반면,

: $\{x,y^2-x\} \subset K[x,y]_{(x,y)}$

는 정칙 매개계가 아닌 매개계이다.^[3] 이 경우

: $\mathfrak m = (x,y) \not\subseteq (x,y^2-x)$

: $\mathfrak m^2 = (x^2,xy,y^2) \subsetneq (x,y^2-x)$

이다.

정수환의 소수 $p$ 에서의 국소화 $\mathbb Z_{(p)}$ 를 생각하자. 이는 1차원 국소 가환환이며, 그 극대 아이디얼은 $p$ 로 생성되는 주 아이디얼이다. 따라서 $\{p\}$ 는 정칙 매개계를 이룬다. 보다 일반적으로, $p$ 와 서로소인 임의의 0이 아닌 정수 $a$ 에 대하여 $\{ap\}$ 는 $\mathbb Z_{(p)}$ 의 정칙 매개계이다. 또한, 2 이상의 양의 정수 $k$ 에 대하여 $\{ap^k\}$ 는 $\mathbb Z_{(p)}$ 의 정칙 매개계이지만, 이는 매개계가 아니다.

5. 역사

볼프강 크룰이 1938년에 국소환의 개념을 도입한 뒤, 1943년에 클로드 슈발레가 매개계의 개념을 사용하였다.^[5]

데이비드 아이젠버드는 매개계의 개념에 대하여 다음과 같이 적었다.

{{llang|en|Geometrically, if ''R'' is the local ring of a point ''p'' on an

참조

_[1] 웹사이트 Math 711: Lecture of September 5, 2007 http://www.math.lsa.[...] University of Michigan 2007-09-05
_[2] 서적 Commutative ring theory Cambridge University Press 1989-06
_[3] 서적 Commutative algebra with a view toward algebraic geometry Springer-Verlag 1995
_[4] 저널 Hyman Bass and ubiquity: Gorenstein rings
_[5] 저널 On the theory of local rings 1943-10

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