머민-바그너 정리

3. 유도

머민-바그너 정리는 유한한 온도에서 1차원 또는 2차원 양자장론에서 연속적인 대칭성의 자발 대칭 깨짐이 불가능함을 보여준다. 이는 골드스톤 정리에 따라, 연속적인 대칭성이 자발적으로 깨질 때 무질량 골드스톤 보손이 존재해야 하기 때문이다.

시공간 차원을 $D$라고 할 때, 골드스톤 보손의 전파 인자는 다음과 같다.

:$\backslash langle\; \backslash phi(x)\backslash phi(x+r)\backslash rangle\backslash propto$

\begin{cases}1/r^{D-2}&D>2\\

\ln r&D=2\\

r&D=1

\end{cases}

2차원 이하에서는 무질량 전파 인자가 $r\backslash to\backslash infty$일 때 0으로 가지 않는다. 따라서, 매우 적은 에너지로 장거리 요동을 생성할 수 있다. 이러한 장거리 요동은 엔트로피를 증가시켜 자발 대칭 깨짐을 억제한다.

2차원에서 질량 $m$을 가진 자유 스칼라장 $\backslash varphi$의 전파자는 다음과 같다.

:$G(x)\; =\; \backslash left\backslash langle\; \backslash varphi\; (x)\backslash varphi\; (0)\; \backslash right\backslash rangle\; =\; \backslash int\; \backslash frac\{d^2\; k\}\{(2\backslash pi)^2\}\; \backslash frac\{e^\{ik\; \backslash cdot\; x\}\}\{k^2\; +\; m^2\}.$

이는 점 소스를 가진 라플라스 방정식의 해이며, 가우스 법칙을 사용하여 분석할 수 있다. 그 결과, 함수 $G(r)$은 다음과 같이 대수적으로 발산한다.

:$G(r)\; =\; \{1\backslash over\; 2\backslash pi\}\; \backslash log(r)$

이는 장 변동이 평균값 주위에 머물 수 없고, 멀리 이동할수록 시작 값에서 임의로 멀리 떨어져 있음을 의미한다. 1차원에서도 유사한 현상이 발생한다.

만약 장이 각도 $\backslash theta$이고, 멕시코 모자 모델에서처럼 복소장 $A=Re^\{i\backslash theta\}$가 기댓값을 가지지만 $\backslash theta$ 방향으로 자유롭게 미끄러질 수 있다면, 각도 $\backslash theta$는 먼 거리에서 무작위가 된다. 이는 2차원에서 연속 대칭의 자발적 깨짐이 존재하지 않는다는 머민-바그너 정리의 핵심 내용이다.

머민-바그너 정리는 전역적인 규모에서의 자발적 대칭 깨짐을 막지만, 코스터리츠-사울리스 형의 정렬 전이는 허용될 수 있다.

하이젠베르크 모형을 예로 들어 설명하면, 낮은 차원에서 대칭성 파괴를 방지하는 메커니즘을 직관적으로 이해할 수 있다. 이 모형의 해밀토니안은 다음과 같다.

:$H\; =\; -\; J\backslash sum\_\{\backslash left\backslash langle\; \{i,j\}\; \backslash right\backslash rangle\; \}\; \backslash mathbf\{S\}\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{S\}\_j.$

모든 스핀이 동일한 방향을 향하는 자발적 대칭 파괴가 있다고 가정하고, 스핀파를 이용하여 분석하면, 2차원 이하에서는 자화의 기대값이 발산하여 자발적 대칭 파괴가 불가능함을 알 수 있다.

결론적으로, 호헨버그-머민-와그너 정리에 따르면, 무한 시스템의 경우 2차원 이하에서 유한한 온도($T>0$)에서 연속적인 대칭의 자발적 파괴가 있는 상은 존재하지 않는다.

4. XY 모형에서의 상전이

머민-바그너 정리는 전역적인 규모에서의 자발적 대칭 깨짐을 막지만, 코스터리츠-사울리스 형의 정렬 전이는 허용될 수 있다. 이는 연속적인 O(2) 대칭을 가진 XY 모형에서 2차원 이하의 공간 격자상에서 스핀장의 기댓값이 유한한 온도에서 0으로 유지되는 경우이다(양자 상전이는 영향을 받지 않는다). 그러나, 이 정리는 발산하는 상관 길이 ξ의 의미에서 상전이의 존재를 막지는 못한다. 이러한 맥락에서, 이 모형은 두 개의 상을 가진다. 즉, 고온에서 상관 함수 G(r)∼exp(-r/ξ)가 r/ξ≫1에서 지수적으로 감소하는 일반적인 비정렬 상과, "충분히 큰" 유한 거리 r (a ≪ r ≪ ξ, 여기서 a는 격자 간격)에서 G(r)가 어떤 멱법칙에 따라 감소하는 준장거리 질서를 갖는 저온 상이다.

호헨베르그-머민-바그너 정리(2차원에서 장거리 질서 배제)와 2차원 결정화를 나타내는 최초의 컴퓨터 시뮬레이션(앨더 & 웨인라이트) 간의 불일치는 한때 J. 마이클 코스털리츠와 데이비드 J. 사울리스가 2차원 위상 전이에 대해 연구하도록 동기를 부여했다. 이 연구는 2016년 노벨 물리학상을 수상했다( 덩컨 홀데인과 공동 수상).

5. 하이젠베르크 모형

하이젠베르크 모형은 국소 스핀들 간의 상호작용을 설명하는 모델로, 머민-바그너 정리를 이해하는 데 좋은 예시이다. 이 모형은 ''n''-성분 스핀 '''S'''_''i''를 가지며, 이 스핀들은 단위 길이 ('''S'''_''i'' = 1)를 가지고, ''d'' 차원 정방 격자의 위치에 배열되어 가장 가까운 이웃끼리 상호작용(결합 상수 ''J'')한다. 이 시스템의 해밀토니안은 다음과 같이 주어진다.

:$H\; =\; -\; J\backslash sum\_\{\backslash left\backslash langle\; \{i,j\}\; \backslash right\backslash rangle\; \}\; \backslash mathbf\{S\}\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{S\}\_j.$

이 모형의 이름은 회전 대칭성에서 유래했다.

저온에서 모든 스핀이 동일한 방향(예: ''x'' 축)을 향하는 자발적 대칭 깨짐이 일어난다고 가정하면, 시스템의 ''O''(''n'') 회전 대칭성은 자발적으로 깨져서 ''O''(''n'' − 1) 대칭성으로 축소된다. 이 방향 주변의 작은 변동을 ''σ_α'' (''α'' = 1, ..., ''n''-1)로 나타내면, 스핀은 다음과 같이 표현될 수 있다.

:$\backslash mathbf\{S\}\; =\; \backslash left(\; \backslash sqrt\{1\; -\; \backslash sum\_\{\backslash alpha=1\}^\{n-1\}\; \backslash sigma\_\backslash alpha^2\},\; \backslash sigma\_1,\backslash dots,\; \backslash sigma\_\{n-1\}\; \backslash right)$

여기서 ''σ_α''는 매우 작다(<< 1). 이 식을 해밀토니안에 대입하고 테일러 전개를 하면, 다음과 같은 결과를 얻는다.

:$H\; =\; H\_0\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; J\backslash sum\_\{\backslash left\backslash langle\; i,j\; \backslash right\backslash rangle\}\; \backslash sum\_\backslash alpha\; \backslash left\; (\backslash sigma\_\{i\backslash alpha\}-\; \backslash sigma\_\{j\backslash alpha\}\; \backslash right\; )^2\; +\; \backslash cdots$

여기서 ''H''₀는 상수항이다. 연속체 극한을 취하면, 장파장 변동이 지배적인 저온 상태에서 해밀토니안은 다음과 같이 표현된다.

:$H\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}J\; \backslash int\; \{\backslash mathrm\{d\}^d\; x\backslash sum\_\backslash alpha\; \{(\backslash nabla\; \backslash sigma\; \_\backslash alpha\; )^2\; \}\; \}\; +\; \backslash ldots.$

이때, ''σ_α''는 스핀파라고 불리며, 골드스톤 보손으로 해석될 수 있다. 스핀파는 총 ''n''-1개이며, 질량항이 없으므로 질량이 0이다.

이 가정이 실제로 성립하는지 확인하기 위해, 자화의 기대값을 계산한다. 1차 보정을 고려하면, 평균 자화는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash left\backslash langle\; S\_1\; \backslash right\backslash rangle\; =1-\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash sum\_\backslash alpha\backslash left\backslash langle\; \backslash sigma\_\backslash alpha^2\; \backslash right\backslash rangle\; +\; \backslash ldots$

여기서

:$\backslash sum\_\backslash alpha\; \backslash left\backslash langle\; \backslash sigma\_\backslash alpha\; ^2\; (0)\; \backslash right\backslash rangle\; =\; (n-1)\backslash frac\{1\}\{\backslash beta\; J\}\; \backslash int^\{\backslash frac\{1\}\{a\}\}\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^d\; k\}\{(2\backslash pi)^d\}\; \backslash frac\{1\}\{k^2\}.$

(''a''는 격자 간격)

위 적분은 ''d'' > 2 에서는 유한하지만, ''d'' ≤ 2 에서는 발산한다. 이는 ''σ_α''의 변동이 커서, ''σ_α'' << 1 이라는 가정이 더 이상 유효하지 않음을 의미한다. 따라서 평균 자화는 0이 된다고 예상할 수 있다.

결론적으로, ''d'' ≤ 2 인 경우, 모든 ''T'' > 0 에 대해 자발적 자화 상이 존재하지 않는다. 즉, 스핀파의 요동이 자발 대칭 깨짐을 억제한다.

6. 일반화

머민-바그너 정리는 원래 형태보다 더 일반적인 경우에도 적용될 수 있다. 구체적으로 다음 조건에서도 성립한다.

이러한 일반적인 경우에도 머민-바그너 정리는 깁스 상태(Gibbs state)가 대칭군의 작용 하에 불변임을 의미한다. 즉, 깁스 상태는 원래 해밀토니안이 가진 대칭성을 그대로 유지한다.

리 군이 콤팩트하다는 가정을 제거하면, 무한 부피 깁스 상태가 존재하지 않는다는 결론이 나온다.

머민-바그너 정리의 아이디어와 방법은 다른 중요한 적용 분야에도 활용된다. 특히 2차원 시스템에서 병진 불변이 아닌 깁스 상태가 존재할 수 없다는 증명이 그 예시이다. 단단한 디스크 시스템(추가적인 인력 상호작용이 있을 수 있음)에서 결정 상태가 없다는 것이 전형적인 예이다.

그러나 하드코어 유형의 상호작용은 일반적으로 머민-바그너 정리를 위반할 수 있다는 것이 증명되었다.

7. 한계 및 예외

실제 물리 시스템은 완전한 연속 대칭성을 갖지 않는 경우가 많다. 예를 들어, 전자의 스핀-궤도 결합은 이방성을 부여하여 머민-바그너 정리의 적용을 제한할 수 있다.^[12] 그래핀과 같은 원자 시스템의 경우, 유의미한 크기의 변동 폭을 측정하기 위해서는 매우 큰 크기의 단일층이 필요하다.^[12]

2차원 초전도 전이의 경우, 유한 크기 효과^[14] 때문에 샘플 크기가 관측 가능한 우주보다 커야 100K 이하로 억제된다.^[14] 자성의 경우에도 유사한 현상이 나타나는데, 샘플 크기가 우주의 크기에 근접해야 밀리켈빈(mK) 범위의 퀴리 온도(T_c)를 갖는다.^[15] 그러나 무질서와 층간 결합이 질서를 회복하는 유한 크기 효과와 경쟁하기 때문에, 주어진 2차원 샘플에서 자기 정렬을 관찰할때 어떤 요인이 작용했는지 단정하기는 어렵다.^[16]

하드코어 유형의 상호작용은 일반적으로 머민-바그너 정리를 위반할 수 있다고 증명되었다.

8. 2차원 결정

2차원 결정은 머민-바그너 정리의 예측과 관련된 흥미로운 현상을 보여준다. 2차원 결정에서는 장거리 질서가 존재하지 않지만, 준장거리 질서(quasi-long-range order)가 나타날 수 있다. 이는 위치 상관 함수가 대수적으로 감소하는 특징을 보인다. 콜로이드 결정과 같은 실험 시스템에서 이러한 현상을 관찰할 수 있다.^[7][8][9]

9. 역사적 논쟁

1930년대 펠릭스 블로흐는 페르미온에 대한 슬레이터 행렬식을 대각화함으로써 2차원에서는 자성이 존재하지 않아야 한다고 주장했다.^[4] 루돌프 파이얼스는 엔트로피와 에너지 측면에서 몇 가지 쉬운 논증을 제시했다.^[5] 레프 란다우 또한 2차원에서 대칭성 파괴에 대한 연구를 수행했다.^[6]

전역적인 대칭성 파괴가 일어나지 않는 주된 이유는 완벽한 정렬을 파괴하는 장파장 요동을 쉽게 여기시킬 수 있기 때문이다. "쉽게 여기된다"는 것은 그러한 요동에 대한 에너지가 충분히 큰 시스템에서 0으로 수렴하는 경향이 있다는 것을 의미한다. 1차원 XY 모델과 같은 자기 모델을 생각해보자. 이 모델은 길이 $L$의 자기 모멘트 사슬로 구성된다. 인접한 모멘트 사이의 힘(토크)은 뒤틀림 각도 $\backslash gamma\_i$에 따라 선형적으로 증가한다고 가정한다(조화 근사). 이때 뒤틀림으로 인한 에너지는 $E\_i\; \backslash propto\; \backslash gamma\_i^2$와 같이 2차 함수 형태로 증가하며, 총 에너지는 모든 뒤틀린 자기 모멘트 쌍의 합 $E\_\{ges\}\; \backslash propto\; \backslash sum\_i\; \backslash gamma\_i^2$으로 주어진다.

1차원에서 가장 낮은 에너지를 가진 여기 모드(그림 참조)를 고려하면, 길이 $L$의 사슬에 있는 모멘트는 사슬을 따라 $\backslash pi$만큼 기울어진다. 인접한 모멘트 사이의 상대 각도는 이 모드에서 모든 모멘트 쌍에 대해 동일하며, 사슬이 $N$개의 자기 모멘트로 구성된 경우 $\backslash gamma\_i\; =\; \backslash pi/N$와 같다. 따라서 이 가장 낮은 모드의 총 에너지는 $E\_\{ges\}\; \backslash propto\; N\; \backslash cdot\; \backslash gamma\_i^2\; =\; N\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{N^2\}\backslash propto\; L\; \backslash frac\{\; \backslash pi^2\}\{L^2\}$이다. 이는 시스템 크기가 증가함에 따라 감소하고 $\backslash propto\; 1/L$ 열역학적 극한 $L\; \backslash to\; \backslash infty$, $N\; \backslash to\; \backslash infty$, $L/N\; =\; \backslash text\{const.\}$에서 0으로 수렴한다. 즉, 임의로 큰 시스템의 경우 가장 낮은 모드는 에너지를 전혀 소모하지 않으며 열적으로 여기되어 장거리 정렬을 파괴한다.

2차원(또는 평면)에서 자기 모멘트의 수는 평면의 면적 $N\; \backslash propto\; L^2$에 비례한다. 따라서 가장 낮은 여기 모드에 대한 에너지는 $E\_\{ges\}\; \backslash propto\; N^2\; \backslash cdot\; \backslash gamma\_i^2\; \backslash propto\; L^2\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{L^2\}$이며, 이는 열역학적 극한에서 상수로 수렴한다. 따라서 이 모드는 충분히 높은 온도에서 여기될 수 있다. 반면 3차원에서 자기 모멘트의 수는 부피 $V\; =\; L^3$에 비례하고 가장 낮은 모드의 에너지는 $E\_\{ges\}\; \backslash propto\; N^3\; \backslash cdot\; \backslash gamma\_i^2\; \backslash propto\; L^3\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{L^2\}$이다. 이는 시스템 크기에 따라 발산하므로 충분히 큰 시스템에서는 여기되지 않는다. 따라서 3차원에서는 장거리 정렬이 유지되고 전역적인 대칭성 파괴가 가능하다.

10. 결론

머민-바그너 정리에 따르면, 1차원 또는 2차원 양자장론에서는 유한한 온도에서 연속적인 대칭의 자발 대칭 깨짐이 나타날 수 없다. 이는 0이 아닌 모든 온도에서 성립한다. 1차원 양자장론은 양자역학을 의미한다.^[1]

골드스톤 정리에 따르면, 연속적인 대칭이 자발적으로 깨질 경우, 이에 해당하는 질량이 없는 골드스톤 보손이 존재해야 한다. 2차원 이하에서는 이러한 무질량 입자의 전파 인자가 거리가 멀어질수록 0으로 수렴하지 않는다. 따라서 매우 적은 에너지로도 장거리 요동이 생길 수 있으며, 이러한 요동들이 엔트로피의 대부분을 차지하여 자발적 대칭 깨짐이 유지될 수 없다.^[1]

하지만 머민-바그너 정리는 이산 대칭에는 적용되지 않는다. 예를 들어, 이징 모형에서는 스핀 반전 대칭($\backslash mathbb\; Z/2$)이 자발적으로 깨질 수 있다.^[1]

머민-바그너 정리는 전역적인 규모의 자발적 대칭 깨짐은 막지만, 코스터리츠-사울리스 형의 정렬 전이는 허용한다. 이는 연속적인 내부 대칭을 갖는 XY 모형에서 2차원 이하의 공간 격자 상에서 스핀장의 기댓값이 유한한 온도에서 0으로 유지되는 경우이다. 그러나 이 정리는 상관 길이가 발산하는 형태의 상전이는 막지 못한다. 이러한 맥락에서, XY 모형은 두 가지 상을 가진다. 고온에서는 상관 함수가 지수적으로 감소하는 비정렬 상이 나타나고, 저온에서는 "충분히 큰" 유한 거리에서 상관 함수가 멱법칙에 따라 감소하는 준장거리 질서를 갖는 상이 나타난다.^[1]

하이젠베르크 모형을 통해 낮은 차원에서 대칭성 파괴가 억제되는 메커니즘을 직관적으로 이해할 수 있다. 이 모형은 단위 길이의 성분 스핀 시스템으로, 차원 정방 격자의 위치에 있으며, 가장 가까운 이웃끼리 결합()을 갖는다. 이 모형의 해밀토니안은 다음과 같다.^[1]

:$H\; =\; -\; J\backslash sum\_\{\backslash left\backslash langle\; \{i,j\}\; \backslash right\backslash rangle\; \}\; \backslash mathbf\{S\}\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{S\}\_j.$

이 모형의 이름은 회전 대칭성에서 유래했다. 저온에서 모든 스핀이 동일한 방향(예: 축)을 향하는 자발적 대칭 파괴가 있다고 가정하면, 시스템의 회전 대칭성은 자발적으로 깨지고, 이 방향을 중심으로 한 회전 하에서 대칭성으로 축소된다. 이 방향 주변의 필드를 독립적인 변동 를 사용하여 매개변수화하면 다음과 같다.^[1]

:$\backslash mathbf\{S\}\; =\; \backslash left(\; \backslash sqrt\{1\; -\; \backslash sum\_\{\backslash alpha=1\}^\{n-1\}\; \backslash sigma\_\backslash alpha^2\},\; \backslash sigma\_1,\backslash dots,\; \backslash sigma\_\{n-1\}\; \backslash right)$

가 충분히 작을 때, 해밀토니안을 테일러 전개하면 다음과 같다.^[1]

:$\backslash begin\{align\}$

\mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j &= 1 - \tfrac{1}{2} \sum_\alpha \left (\sigma _{i\alpha} - \sigma _{j\alpha} \right )^2 + \ldots

\end{align}

따라서

:$H\; =\; H\_0\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; J\backslash sum\_\{\backslash left\backslash langle\; i,j\; \backslash right\backslash rangle\}\; \backslash sum\_\backslash alpha\; \backslash left\; (\backslash sigma\_\{i\backslash alpha\}-\; \backslash sigma\_\{j\backslash alpha\}\; \backslash right\; )^2\; +\; \backslash cdots$

관련 없는 상수항 를 무시하고, 연속체 극한을 취하면, 장파장 변동이 지배적인 저온 상에서 다음과 같은 결과를 얻는다.^[1]

:$H\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}J\; \backslash int\; \{\backslash mathrm\{d\}^d\; x\backslash sum\_\backslash alpha\; \{(\backslash nabla\; \backslash sigma\; \_\backslash alpha\; )^2\; \}\; \}\; +\; \backslash ldots.$

필드 변동 는 스핀파라고 하며, 골드스톤 보존으로 해석될 수 있다. 이들은 ''n''-1개이며, 해밀토니안에 질량항이 없으므로 질량이 0이다.^[1]

이 가상 상이 실제로 존재하는지 확인하기 위해, 이 틀 내에서 계산된 자화의 기댓값이 유한한지 확인해야 한다. 이를 위해 변동으로 인한 자화에 대한 1차 보정을 계산한다. 이 모형은 1차에서 가우시안이므로, 운동량 공간 상관 함수는 에 비례한다. 따라서 각 모드에 대한 실제 공간 2점 상관 함수는 다음과 같다.^[1]

:$\backslash left\backslash langle\; \backslash sigma\_\backslash alpha\; (r)\backslash sigma\_\backslash alpha\; (0)\; \backslash right\backslash rangle\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash beta\; J\}\; \backslash int^\{\backslash frac\{1\}\{a\}\}\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^d\; k\}\{(2\backslash pi)^d\}\; \backslash frac\{e^\{i\backslash mathbf\{k\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{r\}\}\}\{k^2\}$

여기서 ''a''는 격자 간격이다. 평균 자화는 다음과 같다.^[1]

:$\backslash left\backslash langle\; S\_1\; \backslash right\backslash rangle\; =1-\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash sum\_\backslash alpha\backslash left\backslash langle\; \backslash sigma\_\backslash alpha^2\; \backslash right\backslash rangle\; +\; \backslash ldots$

1차 보정은 다음과 같이 계산된다.^[1]

:$\backslash sum\_\backslash alpha\; \backslash left\backslash langle\; \backslash sigma\_\backslash alpha\; ^2\; (0)\; \backslash right\backslash rangle\; =\; (n-1)\backslash frac\{1\}\{\backslash beta\; J\}\; \backslash int^\{\backslash frac\{1\}\{a\}\}\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^d\; k\}\{(2\backslash pi)^d\}\; \backslash frac\{1\}\{k^2\}.$

위 적분은 에서는 유한하지만, 에서는 발산한다. 이 발산은 변동 가 커서, 가 작다는 가정 하에 수행된 전개가 자기 일관적이지 않음을 의미한다. 따라서 평균 자화가 0이 될 것으로 예상할 수 있다.^[1]

결론적으로, 인 경우, 모든 에 대해 자발적 자화 상이 존재한다는 가정이 잘못되었다. 변동이 자발적 대칭 파괴를 파괴할 만큼 강하기 때문이다. 이를 일반화하면 다음과 같다.^[1]

:'''호헨버그-머민-바그너 정리.''' 무한 시스템의 경우, 차원에서 에서 연속적인 대칭의 자발적 파괴가 있는 상은 존재하지 않는다.

이 결과는 다른 격자 시스템(허바드 모형, s-f 모형) 및 임의의 층을 가진 하이젠베르크 필름과 같은 다른 기하학적 구조에도 확장될 수 있다.^[1]

이 그림은 콜로이드 입자의 2차원 결정을 보여준다. 이 입자들은 물에 분산되어 평평한 경계면에 침전된 마이크로미터 크기의 입자이므로, 평면 내에서만 브라운 운동을 할 수 있다. 변위의 로그 증가가 매우 느리기 때문에 국부적인 규모에서 6중 결정질 배열을 쉽게 관찰할 수 있다. 격자 축(빨간색)에서의 편차(녹색 화살표)도 쉽게 감지할 수 있는데, 이는 탄성 격자 진동(음향 포논)에 의해 발생한다. 호헨베르크-머민-와그너 요동에 대한 직접적인 실험적 증거는 변위가 국부적으로 맞춰진 좌표계(파란색)의 거리에 따라 로그 방식으로 증가하는 경우이다. 이 로그 발산은 위치 상관관계의 대수적(느린) 감소와 함께 나타난다. 2차원 결정의 공간적 배열은 준 장거리라고 불린다.^[1]

흥미롭게도 호헨베르크-머민-와그너 요동의 특징은 결정뿐만 아니라 무질서한 비정질 시스템에서도 발견되었다.^[7][8][9]

이 연구는 격자 위치의 로그 변위(유한 시스템 크기에서는 정량화하기 어려움) 대신, 시간의 함수로서 입자의 평균 제곱 변위의 크기를 조사했다. 이를 통해 변위를 공간이 아닌 시간 영역에서 분석했다. 이론적 배경은 D. Cassi와 F. Merkl, H. Wagner에 의해 제공되었다.^[10][11] 이 연구는 다양한 차원에서 무작위 행보의 재귀 확률과 자발적 대칭 파괴를 분석한다. 1차원 및 2차원에서 무작위 행보의 유한 재귀 확률은 장거리 질서의 부재와 관련이 있으며, 3차원에서 무작위 행보의 소멸 재귀 확률은 장거리 질서의 존재 및 대칭 파괴의 가능성과 관련이 있다.^[1]

호헨베르그-머민-바그너 정리(2차원에서 장거리 질서 배제)와 2차원 결정화를 나타내는 최초의 컴퓨터 시뮬레이션(앨더 & 웨인라이트) 간의 불일치는 J. 마이클 코스털리츠와 데이비드 J. 사울리스가 2차원 위상 전이에 대해 연구하도록 이끌었다. 이 연구는 2016년 노벨 물리학상을 수상했다.

참조

_[1] 논문 On the Hohenberg–Mermin–Wagner Theorem and Its Limitations http://link.springer[...] 2019
_[2] 문서
_[3] 문서
_[4] 논문 Zur Theorie des Ferromagnetismus 1930-02-01
_[5] 논문 Bemerkungen über Umwandlungstemperaturen
_[6] 논문 Theory of phase transformations II
_[7] 논문 Unveiling Dimensionality Dependence of Glassy Dynamics: 2D Infinite Fluctuation Eclipses Inherent Structural Relaxation 2016
_[8] 논문 Long-wavelength fluctuations and the glass transition in two dimensions and three dimensions 2017
_[9] 논문 Mermin–Wagner fluctuations in 2D amorphous solids 2017
_[10] 논문 Phase transitions and random walks on graphs: A generalization of the Mermin-Wagner theorem to disordered lattices, fractals, and other discrete structures 1992
_[11] 논문 Recurrent random walks and the absence of continuous symmetry breaking on graphs 1994
_[12] 논문 Rippling of graphene 2009
_[13] 논문 On the Hohenberg–Mermin–Wagner Theorem and Its Limitations 2019
_[14] 논문 Physical Limitations of the Hohenberg–Mermin–Wagner Theorem 2021
_[15] 논문 Breaking through the Mermin-Wagner limit in 2D van der Waals magnets 2022
_[16] 논문 Physical Limitations of the Hohenberg–Mermin–Wagner Theorem 2021
_[17] 간행물 Mermin-Wagner Theorem
_[18] 간행물 Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one- or two-dimensional isotropic Heisenberg models
_[19] 간행물 There are no Goldstone bosons in two dimensions