모노제닉 계

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1. 개요
2. 수학적 정의
- 2.1. 일반화된 힘과 퍼텐셜
- 2.2. 보존계
3. 성질
- 3.1. 홀로노믹 모노제닉 계
참조

1. 개요

모노제닉 계는 물리계에서 구속력을 제외한 모든 힘이 일반화된 스칼라 퍼텐셜에서 유도되며, 이 퍼텐셜이 일반화 좌표, 일반화 속도, 또는 시간의 함수인 시스템을 의미한다. 일반화된 힘은 일반화된 퍼텐셜의 위치에 대한 편미분과 일반화 속도에 대한 편미분의 시간 미분을 통해 표현된다. 만약 일반화된 퍼텐셜이 일반화 좌표에만 의존하면, 해당 모노제닉 계는 보존계가 된다. 라그랑주 역학에서 모노제닉 계는 홀로노믹 조건을 만족하면 오일러-라그랑주 방정식을 유도하는 데 사용된다.

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모노제닉 계

2. 수학적 정의

모노제닉 계는 물리계 내 일반화된 힘 $\mathcal{F}_i$ 과 일반화된 퍼텐셜 $\mathcal{V}$ 사이의 특정 관계를 통해 수학적으로 정의된다. 이 퍼텐셜 $\mathcal{V}$ 는 일반적으로 일반화 좌표 $q_i$ , 일반화 속도 $\dot{q_i}$ , 그리고 시간 $t$ 의 함수, 즉 $\mathcal{V}(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N,\ \dot{q}_1,\ \dot{q}_2,\ \dots,\ \dot{q}_N,\ t)$ 로 표현될 수 있다.

이들 사이의 관계는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

: $\mathcal{F}_i = - \frac{\partial \mathcal{V}}{\partial q_i} + \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial \dot{q_i}}\right)$

만약 일반화된 퍼텐셜 $\mathcal{V}$ 가 오직 일반화 좌표 $q_i$ 에만 의존하고, 일반화 속도 $\dot{q_i}$ 나 시간 $t$ 에는 의존하지 않는다면, 즉 $\mathcal{V} = \mathcal{V}(q_1, q_2, \dots, q_N)$ 형태일 경우, 이 시스템은 보존계가 된다. 이때 힘과 퍼텐셜의 관계는 $\mathcal{F}_i = - \frac{\partial \mathcal{V}}{\partial q_i}$ 로 간단해진다.

라그랑주 역학에서는 모노제닉 계를 자주 다루는데, 특히 시스템이 홀로노믹 제약 조건을 만족하면서 모노제닉하다면, 달랑베르의 원리를 통해 고전역학의 기본 운동 방정식인 오일러-라그랑주 방정식을 유도할 수 있다.

2. 1. 일반화된 힘과 퍼텐셜

물리계에서 구속력을 제외한 모든 힘이 일반화된 스칼라 퍼텐셜에서 유도되고, 이 퍼텐셜이 일반화 좌표, 일반화 속도, 시간의 함수일 때, 이 시스템을 '''모노제닉 계'''라고 한다.

수학적으로, 일반화된 힘

\mathcal{F}_i

와 일반화된 퍼텐셜

\mathcal{V}(q_1, q_2, \dots, q_N, \dot{q}_1, \dot{q}_2, \dots, \dot{q}_N, t)

사이의 관계는 다음과 같이 표현된다.

\mathcal{F}_i = - \frac{\partial \mathcal{V}}{\partial q_i} + \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial \dot{q_i}}\right)

여기서

q_i

는 일반화 좌표,

\dot{q_i}

는 일반화 속도,

t

는 시간을 의미한다.

만약 모노제닉 계의 일반화된 퍼텐셜이 일반화 좌표에만 의존하고 일반화 속도와 시간에는 의존하지 않는다면, 즉

\mathcal{V}(q_1, q_2, \dots, q_N)

형태라면, 위 관계식은 다음과 같이 간단해진다.

\mathcal{F}_i = - \frac{\partial \mathcal{V}}{\partial q_i}

이 경우, 시스템은 보존계가 된다.

2. 2. 보존계

모노제닉 계에서 일반화된 힘

\mathcal{F}_i

와 일반화된 퍼텐셜

\mathcal{V}(q_1, q_2, \dots, q_N, \dot{q}_1, \dot{q}_2, \dots, \dot{q}_N, t)

사이의 관계는 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

:

\mathcal{F}_i= - \frac{\partial \mathcal{V}}{\partial q_i}+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial \dot{q_i}}\right)

여기서

q_i

는 일반화 좌표,

\dot{q_i}

는 일반화 속도,

t

는 시간을 나타낸다.

만약 모노제닉 계의 일반화된 퍼텐셜이 일반화 좌표에만 의존하고, 일반화 속도와 시간에는 의존하지 않는다면, 즉

\mathcal{V}

가

\mathcal{V}(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N)

와 같이 위치만의 함수라면, 이 시스템은 보존계가 된다. 이 경우, 일반화된 힘과 일반화된 퍼텐셜 사이의 관계는 다음과 같이 간단해진다.

:

\mathcal{F}_i= - \frac{\partial \mathcal{V}}{\partial q_i}

3. 성질

물리계에서 구속력을 제외한 모든 일반화 힘이 일반화된 스칼라 퍼텐셜 $\mathcal{V}$ 로부터 유도될 때, 이 시스템을 '''모노제닉 계'''라고 한다. 이 일반화된 퍼텐셜은 일반적으로 일반화 좌표 $q_i$ , 일반화 속도 $\dot{q_i}$ , 그리고 시간 $t$ 의 함수, 즉 $\mathcal{V}(q_1, q_2, \dots, q_N, \dot{q}_1, \dot{q}_2, \dots, \dot{q}_N, t)$ 로 표현될 수 있다.

수학적으로 일반화 힘 $\mathcal{F}_i$ 와 일반화 퍼텐셜 $\mathcal{V}$ 사이의 관계는 다음과 같이 정의된다.

: $\mathcal{F}_i = - \frac{\partial \mathcal{V}}{\partial q_i} + \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial \dot{q_i}}\right)$

만약 모노제닉 계의 일반화 퍼텐셜이 오직 일반화 좌표에만 의존하고( $\mathcal{V} = \mathcal{V}(q_1, q_2, \dots, q_N)$ ), 일반화 속도나 시간에 직접적으로 의존하지 않는 특별한 경우에는 위 관계식이 다음과 같이 간단해진다.

: $\mathcal{F}_i = - \frac{\partial \mathcal{V}}{\partial q_i}$

이러한 조건을 만족하는 시스템을 보존계라고 한다. 즉, 일반화 힘이 퍼텐셜 에너지 함수의 그래디언트(기울기)로 표현되는 경우이다.

3. 1. 홀로노믹 모노제닉 계

라그랑주 역학에서는 홀로노믹이면서 모노제닉인 계를 중요하게 다룬다. 이러한 계에서는 달랑베르의 원리를 적용하여 고전역학의 기본 방정식 중 하나인 오일러-라그랑주 방정식을 유도할 수 있다.

모노제닉 계는 구속력을 제외한 모든 일반화 힘이 일반화된 스칼라 퍼텐셜로부터 유도되는 시스템을 의미한다. 이때 일반화 힘은 일반화 퍼텐셜과 일반화 좌표, 일반화 속도 사이의 특정 관계식으로 표현된다.

만약 일반화 퍼텐셜이 일반화 좌표에만 직접적으로 의존하고 일반화 속도나 시간에 의존하지 않는다면, 일반화 힘은 퍼텐셜을 좌표로 미분한 값에 음수를 취한 것과 같아지며, 이 경우 해당 시스템은 보존계가 된다.

참조

_[1] 웹사이트 Between Laws and Models: Some Philosophical Morals of Lagrangian Mechanics http://philsci-archi[...] 2004-09-03
_[2] 서적 The Variational Principles of Mechanics University of Toronto Press
_[3] 서적 Classical Mechanics http://www.pearsonhi[...] Addison Wesley
_[4] 서적 Classical Mechanics

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