홀로노믹
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1. 개요
홀로노믹은 수학, 물리학, 뇌 과학 등 다양한 분야에서 사용되는 개념이다. 수학에서는 홀로노믹 기저, 홀로노믹 구속 조건, 홀로노믹 함수 등의 개념이 있으며, D-모듈 이론과 관련된다. 물리학에서는 홀로노믹 계와 비홀로노믹 계로 물리계를 분류하며, 홀로노믹 계는 라그랑주 방정식을 이끌어내는 조건을 만족한다. 뇌 과학에서는 홀로노믹 뇌 이론이 인지 기능을 설명하는 모델로 제시된다.
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| 홀로노믹 | |
|---|---|
| 홀로노미 | |
| 유형 | 수학적 개념 |
| 관련 분야 | 미분기하학 미분위상수학 물리학 |
| Holonomy | |
| 분야 | 수학, 물리학 |
2. 수학
수학에서 홀로노미는 다양한 형태로 나타난다.
- 홀로노믹 기저: 다양체에서 좌표계 {''x''''k''}가 존재하여 이 성립하는 기저 벡터 ''e''''k''의 집합이다.
- 홀로노믹 구속 조건: 고전 역학에서 입자의 운동을 기술할 때, 입자의 좌표와 시간의 함수로 표현될 수 있는 구속 조건이다.
- 홀로노믹 모듈: D-모듈 이론에서 사용되는 개념이다.
- 홀로노믹 함수: 다항식 계수를 갖는 선형 동차 미분 방정식의 해인 매끄러운 함수이다.
2. 1. 홀로노믹 기저
다양체에서 '''홀로노믹 기저'''(holonomic basis)는 리 대수:
을 만족하는 기저 벡터 ''e''''k''의 집합이다.
좌표계 {''x''''k''}가 존재하여 이 성립하는 기저를 말한다. 때때로 홀로노믹 기저를 좌표 기저라고 부르기도 한다.
2. 2. 홀로노믹 구속 조건
고전 역학에서 입자의 운동을 기술할 때, 구속 조건이 입자의 좌표와 시간의 함수로 표현될 수 있다면, 즉:
의 형태로 주어진다면 그 구속 조건을 '''홀로노믹 구속'''이라고 한다. 이때 구속 조건은 속도 등에 관여되어서는 안 된다. 이러한 형태로 표현될 수 없는 구속 조건은 '''비홀로노믹'''이라고 한다.
만약 특정한 계의 모든 구속 조건이 홀로노믹 구속인 경우, 그 계는 홀로노믹이라고 정의된다.
2. 3. 홀로노믹 모듈
D-모듈 이론에서 사용되는 개념이다.2. 4. 홀로노믹 함수
다항식 계수를 갖는 선형 동차 미분 방정식의 해인 매끄러운(smooth) 함수이다.3. 물리학
물리학, 특히 고전 역학에서 홀로노미는 계의 구속 조건과 관련하여 중요한 역할을 한다.
3. 1. 홀로노믹 계
고전 역학에서 어떤 계의 모든 구속 조건이 홀로노믹 구속 조건인 경우, 그 계를 홀로노믹 계라고 한다. 물리계는 홀로노믹 계와 비홀로노믹 계로 분류할 수 있다. 예를 들어, 물리계가 홀로노믹 계이면서 모노제닉 계이면 해밀턴의 원리는 라그랑주 방정식을 이끌어내는 필요충분 조건이 된다.[1]3. 2. 물리계의 분류
물리계는 홀로노믹 계와 비홀로노믹 계로 분류할 수 있다. 홀로노믹 계이면서 모노제닉 계이면 해밀턴의 원리는 라그랑주 방정식을 이끌어내는 필요충분 조건이 된다.[1]4. 뇌 과학
뇌 과학에서도 홀로노미 개념이 응용된다. 홀로노믹 뇌 이론은 신경학적 파동 간섭 패턴의 매트릭스에 의해 안내되는 인지 기능 모델을 제시한다.[1]
4. 1. 홀로노믹 뇌 이론
홀로노믹 뇌 이론은 신경학적 파동 간섭 패턴의 매트릭스에 의해 안내되는 인지 기능 모델을 제시한다.
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