무한강하법

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1. 개요
2. 무한강하법의 기본 원리
- 2.1. 정수론에서의 활용
- 2.2. 증명의 논리 구조
3. 주요 증명 예시
4. 역사적 배경 및 발전
- 4.1. 페르마와 무한강하법
- 4.2. 20세기 수론에서의 재조명
  - 4.2.1. 모델-베유 정리
5. 현대적 응용
- 5.1. 갈루아 코호몰로지
참조

1. 개요

무한강하법은 특정 조건을 만족하는 해가 존재한다고 가정했을 때, 그 해보다 '작은' 해가 항상 존재한다는 것을 보이는 증명 방법이다. 주로 자연수에 관한 명제 증명, 특히 부정방정식에 자연수 해가 존재하지 않음을 증명하는 데 사용된다. 2의 제곱근이 무리수임을 증명하는 데 처음 사용되었으며, 페르마는 이 방법을 자신의 방법이라고 칭하며 여러 명제를 증명하는 데 사용했다. 20세기 수론에서 대수적 수론 및 L-함수 연구와 연결되어 발전했으며, 타원 곡선 위의 유리점 연구 등에 활용되었다.

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무한강하법
개요
유형	모순에 의한 증명의 특수한 경우
분야	수학, 특히 정수론
관련 개념	페르마의 마지막 정리
설명
정의	어떤 명제가 참임을 증명하기 위해, 그 명제가 거짓이라고 가정했을 때 모순이 발생함을 보이는 증명 방법
작동 원리	증명하려는 명제가 거짓이라고 가정한다. 이 가정으로부터 논리적인 단계를 거쳐 결론을 이끌어낸다. 이 결론이 기존에 알려진 사실이나 공리, 또는 가정 자체와 모순됨을 보인다. 따라서 원래 가정이 거짓이며, 증명하려는 명제가 참임을 결론짓는다.
핵심 아이디어	무한히 감소하는 수열은 존재할 수 없다는 원리 (정수의 집합은 아래로 유계되어 있기 때문)
역사
창시자	피에르 드 페르마
사용 시기	17세기
주요 사용 분야	디오판토스 방정식의 해가 존재하지 않음을 증명하는 데 사용
최초 사용 예시	페르마의 마지막 정리의 n=4인 경우 증명
예시
예시 1	2의 제곱근이 무리수임을 증명
예시 2	디오판토스 방정식 x² + y² = 3z²은 자명한 해 (x=0, y=0, z=0)만을 가짐을 증명
참고 사항
특징	간결하고 우아한 증명 가능 직관적으로 이해하기 어려울 수 있음
주의사항	가정에서 모순을 이끌어내는 과정에서 논리적 오류가 없어야 함
관련 항목
관련 항목	모순에 의한 증명 수학 귀납법 정수론 페르마의 마지막 정리

2. 무한강하법의 기본 원리

무한강하법은 어떤 조건을 만족하는 해가 존재한다고 가정했을 때, 그 해보다 '작은' 해가 항상 존재한다는 것을 보여주는 방식으로 작동한다. 이는 결국 모순을 이끌어내어, 애초에 그러한 해가 존재하지 않는다는 것을 증명하는 방법이다.

2의 제곱근( $\sqrt{2}$ )이 무리수임을 증명하는 과정을 통해 무한강하법의 기본 원리를 쉽게 이해할 수 있다. 만약 $\sqrt{2}$ 가 유리수라면, 서로소인 두 정수 $n$ , $m$ (m≠0)에 대해 $\sqrt{2} = \frac{n}{m}$ 으로 표현할 수 있다. 양변을 제곱하면 $2m^2 = n^2$ 을 얻는다. 이 방정식을 만족하는 정수쌍 $(n, m)$ 이 존재한다는 것은 $\sqrt{2}$ 가 유리수라는 것과 동치이다.

$(n, m)$ 이 위 방정식을 만족한다고 가정하면, $n^2$ 은 2의 배수이므로 $n$ 도 2의 배수가 된다. 따라서 $n = 2n'$ 인 자연수 $n'$ 이 존재하고, 이를 식에 대입하면 $m^2 = 2n'^2$ 을 얻는다. 같은 논리로 $m$ 도 2의 배수이므로, $m = 2m'$ 인 자연수 $m'$ 이 존재한다. 즉, $(n, m)$ 이 방정식의 해라면, $(n/2, m/2)$ 도 정수쌍이며 방정식의 해가 된다.

하지만 0을 제외한 정수는 2로 무한히 나눌 수 없다. 이는 무한강하법의 핵심으로, 해가 존재한다고 가정하면 더 작은 해가 무한히 존재해야 한다는 모순을 보여준다. 따라서 원래 가정이 틀렸고, $\sqrt{2}$ 는 유리수가 될 수 없다.

2. 1. 정수론에서의 활용

무한강하법은 주로 정수론에서 특정한 방정식의 해가 존재하지 않음을 증명하는 데 사용된다. 페르마가 자주 사용한 방법으로, 디오판토스 방정식의 해가 없음을 증명하는 데 사용되었다.

2의 제곱근(

\sqrt{2}

)이 무리수임을 증명하는 과정을 살펴보자.

\sqrt{2}

가 유리수라고 가정하면, 서로소인 두 정수

n

,

m

(m≠0)에 대해

\sqrt{2} = \frac{n}{m}

으로 표현할 수 있다. 양변을 제곱하면

2m^2 = n^2

을 얻는다.

n^2

은 2의 배수이므로,

n

도 2의 배수이다. 따라서

n = 2n'

인 정수

n'

이 존재한다. 이를 식에 대입하여 정리하면

m^2 = 2n'^2

이 된다. 같은 방식으로

m

도 2의 배수임을 알 수 있고,

m = 2m'

인 정수

m'

이 존재한다. 즉,

(n, m)

이 방정식의 해라면

(n', m') = (n/2, m/2)

도 정수쌍이며 방정식의 해가 된다.

하지만, 0을 제외한 정수는 2로 무한히 나눌 수 없으므로, 이러한 해는 애초에 존재하지 않는다. 따라서

\sqrt{2}

는 유리수가 아닌 무리수라는 것이 무한강하법으로 증명된다.

고대 그리스인들은 대수학이 없었기에 무한강하법을 이용한 기하학적 증명을 사용했다. 아래는 대수학적 증명이다.

\sqrt{2}

가 유리수라고 가정하면,

\sqrt{2} = \frac{p}{q}

(, 는 자연수)로 쓸 수 있다. 양변을 제곱하면

2 = \frac{p^2}{q^2}

, 즉

2q^2 = p^2

이다. 2는 소수이고

p^2

를 나누므로, 유클리드의 보조정리에 따라

p

도 나눈다. 따라서

p = 2r

(''r''은 정수)로 쓸 수 있다.

이를 식에 대입하면

2q^2 = (2r)^2 = 4r^2

, 즉

q^2 = 2r^2

이다. 따라서 2는

q

도 나누어야 하므로,

q = 2s

(''s''는 정수)로 쓸 수 있다.

결과적으로

\frac{p}{q}=\frac{2r}{2s}=\frac{r}{s}

이다. 즉,

\sqrt{2}

를 유리수로 표현할 수 있다면, 항상 더 작은 부분으로 이루어진 유리수로 표현할 수 있으며, 이는 ''무한히'' 계속될 수 있다. 그러나 자연수의 집합에서는 이것이 불가능하므로,

\sqrt{2}

는 무리수이다.^[11] (가 유리수라면 "가장 작은" 표현이 존재할 수 없고, "가장 작은" 표현 ''p''/''q''를 찾으려는 시도는 더 작은 표현의 존재를 암시하여 모순이 발생한다.)

양의 정수 ''k''에 대해,

\sqrt{k}

가 정수가 아닌 유리수라고 가정하고,

\sqrt{k} = \frac{m}{n}

(''m'', ''n''은 자연수)으로 표현하자. ''q''를

\sqrt{k}

보다 작은 가장 큰 정수(바닥값)라고 하면,

:

\begin{align}\sqrt k &=\frac mn\\&=\frac{m\left(\sqrt k-q\right)}{n\left(\sqrt k-q\right)}\\&=\frac{m\sqrt k-mq}{n\sqrt k-nq}\\&=\frac{\left(n \sqrt k\right)\sqrt k-mq}{n \left(\frac{m}{n}\right) -nq}\\&=\frac{nk-mq}{m-nq}\end{align}

분자와 분모에

(\sqrt{k} - q)

(양수, 1보다 작음)를 곱하고 정리하면, 더 작은 자연수 ''m′'' < ''m''과 ''n′'' < ''n''에 대해

\sqrt{k} = \frac{m'}{n'}

를 얻는다. 자연수에서 무한 강하는 불가능하므로,

\sqrt{k}

는 자연수의 비율로 표현될 수 없다는 가정이 거짓임을 알 수 있다.^[12]

무한강하법은 부정방정식에 자연수 해가 존재하지 않음을 증명하는 데 유용하다. 자연수 해가 존재한다고 가정하고, 한 해로부터 더 "작은" 해를 구성하여 모순을 유도한다. 작은 해를 계속 얻는 과정이 "무한히 강하"하는 것처럼 보여 "무한강하법"이라 불린다.

가장 "작은" 해가 존재한다는 가정에서 더 작은 해를 유도하여 모순을 보이는 방식으로 증명할 수도 있다. 이때 "대소 관계"는 해 자체일 필요는 없으며, 해에 대응하는 자연수 값의 함수 대소 관계여도 충분하다.

20세기 수론에서 무한강하법은 대수적 수론과 L-함수 연구의 주요 흐름과 연결되며 다시 사용되었다. 모델의 구조적 결과는 타원 곡선 ''E'' 위의 유리점이 유한 생성 아벨 군을 형성한다는 것이며, 페르마 방식의 ''E''/2''E''를 기반으로 한 무한 강하 논증을 사용했다.

앙드레 베유는 아벨 다양체 ''A''로 확장하기 위해 높이 함수를 사용하여 해의 크기를 정량화했다. ''A''(''Q'')/2''A''(''Q'')가 유한함을 보이는 것은 ''A''의 유리점 그룹 ''A''(''Q'')의 유한 생성에 대한 필요 조건이며, 갈루아 코호몰로지 계산을 통해 수행된다. 추상적으로 정의된 코호몰로지 군은 페르마의 "강하"와 동일시된다. 모델-베유 정리는 이후 광범위한 이론의 시작이 되었다.

2. 2. 증명의 논리 구조

\sqrt{2}

가 유리수라고 가정하면, 정수

n, m

(m≠0)이 존재하여

\sqrt{2} = \frac{n}{m}

로 표현할 수 있다. 양변을 제곱하면

2m^2 = n^2

를 얻는다. 따라서 이 방정식을 만족하는 정수쌍

(n, m)

이 존재하는 것과

\sqrt{2}

가 유리수인 것은 동치이다.

(n,m)

이 위 방정식을 만족한다고 가정하면,

n^2

는 2의 배수이므로,

n

도 2의 배수이다. 따라서

n = 2n'

인 자연수

n'

이 존재하고, 이를 식에 대입하여 정리하면

m^2 = 2n'^2

가 된다. 마찬가지로

m

도 2의 배수이므로

m = 2m'

인 자연수

m'

이 존재한다. 즉,

(n, m)

이 방정식의 해라면

(n', m') = (n/2, m/2)

도 정수쌍이며 방정식의 해이다.

하지만, (0을 제외한) 정수는 2로 무한히 나눌 수 없으므로, 이러한 해는 애초에 존재하지 않는다. 즉,

\sqrt{2}

는 유리수가 아닌 무리수라는 것이 무한강하법으로 증명된다.

무한강하법은 자연수에 관한 명제 증명, 특히 부정방정식에 자연수 해가 없음을 증명할 때 유용하다. 자연수 해가 존재한다고 가정하고, 어떤 해로부터 더 "작은" 자연수 해를 구성할 수 있음을 보인다. 이 과정을 반복하면 계속 작은 해를 얻을 수 있지만, 자연수의 (공집합이 아닌) 부분집합에는 최소 원소가 있으므로 모순이다. 따라서 최초 가정이 틀렸고, 해가 존재하지 않는다. 작은 해를 계속 얻는 과정이 "무한히 강하"하는 것처럼 보여 "무한강하법"이라 불린다.

이 증명은 다르게 표현할 수도 있다. 해가 존재한다면, 가장 "작은" 해가 존재한다. 앞선 방법으로 더 작은 해를 얻을 수 있지만, 이는 "가장 작은" 해라는 가정에 모순된다. 따라서 해는 존재하지 않는다.

핵심은 "가장 작은" 것이 존재해야 하는, 성질이 좋은 "대소 관계"를 찾는 것이다. 해 자체의 대소 관계뿐 아니라, 해에 어떤 자연수를 대응시키는 함수 값의 대소 관계여도 충분하다.

3. 주요 증명 예시

2의 제곱근이 무리수임을 증명하는 것은 무한강하법을 사용한 가장 초기의 예시 중 하나이다. $\sqrt{2}$ 가 유리수라고 가정하면, 정수 $n, m$ (m≠0)가 존재하여 $\sqrt{2} = \frac{n}{m}$ 로 표현할 수 있다. 양변을 제곱하면 $2m^2 = n^2$ 를 얻는다. 따라서 $\sqrt{2}$ 가 유리수인 것과 이 방정식을 만족하는 정수쌍 $(n, m)$ 이 존재하는 것은 동치이다.

만약 그러한 $(n,m)$ 이 존재한다고 가정하면, $n^2$ 는 2의 배수이므로, $n$ 은 2의 배수가 되어야 한다. 그러면 $n = 2n'$ 인 자연수 $n'$ 이 존재하고, 식을 정리하면 $m^2 = 2n'^2$ 가 된다. 마찬가지로 $m$ 은 2의 배수이므로 $m = 2m'$ 인 자연수 $m'$ 이 존재한다. 즉, $(n, m)$ 이 방정식의 해라면 $(n', m') = (n/2, m/2)$ 도 정수쌍이고 이 역시 방정식의 해가 된다.

하지만, (0을 제외한) 정수의 해를 2로 무한히 나눌 수 없으므로 그러한 해는 원래부터 존재하지 않는다. 즉, $\sqrt{2}$ 는 유리수가 될 수 없는 무리수라는 것이 무한강하법에 의하여 증명된다.

이 외에도, ''k''가 양의 정수일 때 $\sqrt{k}$ 가 정수가 아니지만 유리수라고 가정하고 무한강하법을 통해 증명하는 방법^[12], $a^2+b^2=3(s^2+t^2)\,$ 와 같은 부정방정식이 자명하지 않은 정수 해를 갖지 않음을 증명하는 방법이 있다.

3. 1. √2의 무리수 증명

2의 제곱근이 무리수라는 증명은 고대 그리스인들에 의해 발견되었으며, 무한강하법을 사용한 가장 초기의 예시 중 하나이다. 피타고라스 학파는 정사각형의 대각선이 그 변과 공약수가 없다는 것, 즉 2의 제곱근이 무리수임을 발견했다. 이 발견의 정확한 시기나 상황은 알려져 있지 않지만, 메타폰툼의 히파수스가 이 사실을 발설한 죄로 살해당했다는 전설이 있다.^[6]^[7]^[8] 2의 제곱근은 "피타고라스의 수" 또는 "피타고라스 상수"라고도 불린다.^[9]

\sqrt{2}

가 유리수라고 가정하면, 정수

n, m

(m≠0)가 존재하여

\sqrt{2} = \frac{n}{m}

로 표현할 수 있다. 양변을 제곱하면

2m^2 = n^2

를 얻는다. 따라서

\sqrt{2}

가 유리수인 것과 이 방정식을 만족하는 정수쌍

(n, m)

이 존재하는 것은 동치이다.

만약 그러한

(n,m)

이 존재한다고 가정하면,

n^2

는 2의 배수이므로,

n

은 2의 배수가 되어야 한다. 그러면

n = 2n'

인 자연수

n'

이 존재하고, 식을 정리하면

m^2 = 2n'^2

가 된다. 마찬가지로

m

은 2의 배수이므로

m = 2m'

인 자연수

m'

이 존재한다. 즉,

(n, m)

이 방정식의 해라면

(n', m') = (n/2, m/2)

도 정수쌍이고 이 역시 방정식의 해가 된다.

하지만, (0을 제외한) 정수의 해를 2로 무한히 나눌 수 없으므로 그러한 해는 원래부터 존재하지 않는다. 즉,

\sqrt{2}

는 유리수가 될 수 없는 무리수라는 것이 무한강하법에 의하여 증명된다.

고대 그리스인들은 대수학이 없었기에 무한강하법에 의한 기하학적 증명을 수행했다.

3. 1. 1. 대수적 증명

√2^영어가 유리수라고 가정하면, :

\sqrt{2} = \frac{p}{q}

로 쓸 수 있다. 여기서 ''p''와 ''q''는 서로소인 자연수이다. 양변을 제곱하면, :

2 = \frac{p^2}{q^2}

이고, 정리하면 :

2q^2 = p^2

이다.

따라서 2는 ''p''²를 나누어야 한다. 2는 소수이므로 유클리드의 보조정리에 따라 ''p''도 나누어야 한다. ''p'' = 2''r'' (''r''은 어떤 정수)이라 하면, :

2q^2 = (2r)^2 = 4r^2

이고, :

q^2 = 2r^2

이다.

이것은 2가 ''q''²도 나누어야 함을 의미하고, 같은 논리로 ''q''도 2로 나누어진다. 따라서 ''q'' = 2''s'' (''s''는 어떤 정수)이다.

결과적으로,

\frac{p}{q}=\frac{2r}{2s}=\frac{r}{s}

이다. 즉, √2^영어를 유리수로 표현할 수 있다면, 계속해서 더 작은 수로 표현할 수 있다는 의미이며, 이는 ''무한히'' 반복될 수 있다. 그러나 자연수의 집합에서는 이것이 불가능하다. √2^영어는 실수이며, 유리수 또는 무리수일 수 있으므로, 유일한 결론은 √2^영어가 무리수라는 것이다.^[11]

이는 √2^영어가 유리수라면 "가장 작은" 표현이 존재할 수 없다는 것을 증명한다. "가장 작은" 표현 ''p''/''q''를 찾으려는 시도는 항상 더 작은 표현이 존재함을 암시하여 모순이 발생한다.

3. 2. 기타 무리수 증명

''k''가 양의 정수일 때, 가 정수가 아니지만 유리수라고 가정한다. 이때 는 자연수 ''m''과 ''n''을 사용하여 으로 표현될 수 있다. 그리고 ''q''를 보다 작은 가장 큰 정수(바닥값)라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

:

\begin{align}\sqrt k &=\frac mn\\[6pt] &=\frac{m\left(\sqrt k-q\right)}{n\left(\sqrt k-q\right)}\\[6pt] &=\frac{m\sqrt k-mq}{n\sqrt k-nq}\\[6pt] &=\frac{\left(n \sqrt k\right)\sqrt k-mq}{n \left(\frac{m}{n}\right) -nq}\\[6pt] &=\frac{nk-mq}{m-nq}\end{align}

분자와 분모는 각각 양수이지만 1보다 작은 식 ( − ''q'')를 곱한 후 개별적으로 단순화되었다. 따라서 결과로 나오는 곱 ''m′''과 ''n′''은 정수이며 각각 ''m''과 ''n''보다 작다. 그러므로 를 표현하기 위해 어떤 자연수 ''m''과 ''n''이 사용되든, 같은 비율을 갖는 더 작은 자연수 ''m′'' < ''m''과 ''n′'' < ''n''이 존재한다. 그러나 자연수에는 무한 강하가 불가능하므로, 이는 가 자연수의 비율로 표현될 수 있다는 원래의 가정을 반증한다.^[12]

3. 3. 부정방정식의 해의 부존재 증명

a^2+b^2=3(s^2+t^2)\,

와 같은 부정방정식이 자명하지 않은 정수 해를 갖지 않음을 증명할 수 있다. 비자명한 정수해 (''a''₁, ''b''₁, ''s''₁, ''t''₁)가 존재한다고 가정하면,

:

a_1^2+b_1^2=3(s_1^2+t_1^2)\,

에서 ''a''₁² + ''b''₁²는 3의 배수이다. 제곱수를 3으로 나눈 나머지는 0 또는 1이므로, ''a''₁, ''b''₁ 모두 3의 배수여야 함을 알 수 있다. 따라서 ''a''₁ = 3''a''₂, ''b''₁ = 3''b''₂라고 두면,

:

s_1^2+t_1^2=3(a_2^2+b_2^2)\,

가 된다. 즉, 새로운 해 (''s''₁, ''t''₁, ''a''₂, ''b''₂)를 얻었다. 네 수의 합에 대해

:

|a_1|+|b_1|+|s_1|+|t_1|>|s_1|+|t_1|+|a_2|+|b_2|\,

이므로, 새로운 해가 더 작다. 이렇게 차례로 "작은" 해를 얻을 수 있지만, 이는 모순이다. 따라서 방정식은 비자명한 해를 갖지 않는다.

4. 역사적 배경 및 발전

2의 제곱근()이 무리수라는 증명은 고대 그리스에서 발견되었으며, 무한강하법에 의한 증명의 초기 예시 중 하나이다. 피타고라스 학파는 정사각형의 대각선이 그 변과 공약수가 없다는 것, 즉 현대 언어로는 2의 제곱근이 무리수임을 발견했다. 이 발견의 정확한 시기나 상황은 알려져 있지 않지만, 메타폰툼의 히파수스가 이 사실을 발설하여 살해당했다는 전설이 있다.^[6]^[7]^[8] 2의 제곱근은 "피타고라스의 수" 또는 "피타고라스 상수"라고도 불린다.^[9]

고대 그리스인들은 대수학이 없었기에 무한강하법을 이용한 기하학적 증명을 사용했다. 이와 유사한 방식의 대수학적 증명은 다음과 같다.

2의 제곱근이 유리수라고 가정하면, 자연수 p와 q를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$

양변을 제곱하면,

: $2 = \frac{p^2}{q^2},$

: $2q^2 = p^2,$

따라서 2는 ''p''²를 나누어야 한다. 2는 소수이므로 유클리드의 보조정리에 따라 ''p''도 나누어야 한다. 따라서 ''p'' = 2''r'' (''r''은 어떤 정수)로 표현할 수 있다.

이를 식에 대입하면,

: $2q^2 = (2r)^2 = 4r^2,$

: $q^2 = 2r^2,$

이는 2가 ''q''도 나누어야 함을 의미한다. 따라서 ''q'' = 2''s'' (''s''는 어떤 정수)로 표현할 수 있다.

결과적으로,

: $\frac{p}{q}=\frac{2r}{2s}=\frac{r}{s}$ .

즉, 2의 제곱근을 유리수로 표현할 수 있다면, 항상 더 작은 부분으로 이루어진 유리수로 표현할 수 있으며, 이는 무한히 반복될 수 있다. 그러나 자연수의 집합에서는 이것이 불가능하다. 2의 제곱근은 실수이며, 유리수 또는 무리수일 수 있으므로, 남은 유일한 경우는 2의 제곱근이 무리수라는 것이다.^[11]

4. 1. 페르마와 무한강하법

피에르 드 페르마는 무한강하법을 "나의 방법"이라고 칭하며, 이 방법을 통해 수많은 명제를 증명했다고 주장했다. 그는 자세한 증명을 거의 남기지 않았지만, 『산술』에 대한 45번째 기록에서 유일하게 거의 완벽한 증명을 남겼다.^[19]^[20] 여기서 그가 증명한 것은 "세 변의 길이가 유리수인 직각삼각형의 면적은 제곱수가 되지 않는다"라는 정리이며, 다시 말하면 "1은 합동수가 아니다"라는 것이다. 이 증명 과정에서 부정방정식 ''x''⁴ - ''y''⁴ = ''z''²가 비자명한 정수해를 갖지 않는다는 것을 (이로부터 페르마의 마지막 정리의 ''n'' = 4인 경우가 유도된다) 무한강하법을 통해 보였다.

페르마는 친구 카르카비에게 보낸 편지에서 "4로 나누어 1이 남는 소수가 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다"는 명제를 "직각삼각형 기본 정리"라고 부르며, 이 명제를 무한강하법으로 증명했다고 말했다. 페르마가 제시한 증명의 개략은 다음과 같다.

: 만약, 4로 나누어 1이 남는 소수 중 두 제곱수의 합으로 쓸 수 없는 것이 있다면, 그것보다 작은 것으로서, 같은 성질을 갖는 것을 구성할 수 있다. 이 구성법을 통해, 차례로 작은 것을 얻을 수 있다. 이는 모순이다.

무한강하법은, 전형적으로 "해가 존재하지 않는다"와 같은 부정적 명제의 증명에 사용되지만, 이처럼 긍정적 명제에도 사용된다.^[22]

4. 2. 20세기 수론에서의 재조명

20세기에 들어 수론에서 무한강하법은 다시 주목받기 시작했으며, 대수적 수론과 L-함수 연구와 연결되었다. 모델의 구조적 결과는 타원 곡선 ''E'' 위의 유리점이 유한 생성 아벨 군을 형성한다는 것을 보였는데, 이는 페르마 방식의 ''E''/2''E''를 기반으로 한 무한강하 논증을 사용한 것이었다.

앙드레 베유는 이를 아벨 다양체 ''A''의 경우로 확장하면서, 높이 함수를 사용하여 해의 크기를 정량화하는 방식을 더 명확하게 만들었다. 이러한 발전은 모델-베유 정리로 이어졌다.

4. 2. 1. 모델-베유 정리

모델-베유 정리는 타원 곡선 ''E'' 위의 유리점이 유한 생성 아벨 군을 형성한다는 모델의 정리에 대한 것으로, 페르마 방식의 ''E''/2''E''를 기반으로 한 무한강하법 논증을 사용했다.^[23] 앙드레 베유는 아벨 다양체 ''A''의 경우로 이를 확장하면서, 높이 함수를 사용하여 해의 크기를 정량화하는 방식을 더 명확하게 만들었다. ''A''(''Q'')/2''A''(''Q'')가 유한함을 보이는 것은 ''A''의 유리점 그룹 ''A''(''Q'')의 유한 생성에 대한 필요 조건이었으며, 이는 나중에 갈루아 코호몰로지로 인식된 것에서 계산을 수행해야 했다. 이러한 방식으로, 이론에서 추상적으로 정의된 코호몰로지 군은 페르마의 전통에서 ''강하''와 동일시되었다. 모델-베유 정리는 이후 매우 광범위한 이론의 시작점이 되었다.

5. 현대적 응용

현대 수학에서 무한강하법은 갈루아 코호몰로지와 연결되어 모델-베유 정리 증명에 중요한 역할을 한다. 앙드레 베유는 타원 곡선에서 아벨 다양체로 무한강하법을 확장하고, 높이 함수를 사용하여 해의 크기를 정량화하는 방법을 정립했다.

5. 1. 갈루아 코호몰로지

모델-베유 정리의 증명 과정에서 갈루아 코호몰로지의 개념이 도입되었고, 이는 페르마의 강하법과 연결된다.^[23] 모델의 구조적 결과는 타원 곡선 ''E'' 위의 유리점이 유한 생성 아벨 군을 형성한다는 것이었는데, 이는 페르마 방식의 ''E''/2''E''를 기반으로 한 무한 강하 논증을 사용했다. 앙드레 베유는 이를 아벨 다양체 ''A''의 경우로 확장하면서, 높이 함수를 사용하여 해의 크기를 정량화하는 방식을 더 명확하게 만들었다. ''A''(''Q'')/2''A''(''Q'')가 유한함을 보이기 위해, ''A''의 유리점 그룹 ''A''(''Q'')의 유한 생성에 대한 확실한 필요 조건으로, 나중에 갈루아 코호몰로지로 인식된 것에서 계산을 수행해야 했다. 이런 방식으로, 이론에서 추상적으로 정의된 코호몰로지 군은 페르마의 전통에서 '강하'와 동일시된다.

참조

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_[16] 문서 2019
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_[19] 문서 1986
_[20] 문서 2006
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_[22] 문서 1994
_[23] 문서 2012

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