갈루아 코호몰로지
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1. 개요
갈루아 코호몰로지는 갈루아 군의 군 코호몰로지를 연구하는 분야이다. 체 확대 $L|K$의 갈루아 군 $G(L|K)$와 $G(L|K)$가 작용하는 아벨 군 $M$에 대해, 코호몰로지 군 $H^n(L|K, M)$으로 정의된다. 1950년대 대수적 수론에서 시작되어, 에탈 코호몰로지 이론의 기본 계층으로 나타나고, 랭글랜즈 프로그램과도 연결되었다. 힐베르트의 정리 90과 같은 소멸 정리가 중요한 결과를 제공하며, 두 번째 코호몰로지 군은 브라우어 군과 관련된다.
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2. 역사
갈루아 코호몰로지 이론은 1950년대 대수적 정수론에서 이데알 유군의 갈루아 코호몰로지가 유체론을 공식화하는 방법 중 하나임을 깨닫게 되면서 발전하기 시작했다. 초기에는 L-함수와의 연결이 끊어져 있었고, 갈루아 군이 아벨 군이라는 가정을 하지 않는 비-아벨 이론이었으며, 유형 형성 이론으로 추상화되었다.
2. 1. 초기 결과
정규 기저 정리는 ''L''의 덧셈 군의 첫 번째 코호몰로지 군이 사라짐을 의미하며, 리처드 데데킨드에게 알려져 있었다. 곱셈 군에 해당하는 결과는 힐베르트의 정리 90으로 알려져 있으며, 1900년 이전에 알려졌다. 쿠머 이론은 ''m'' 번째 승사상에서 오는 연결 위상 동형에 대한 설명을 제공한다.에미 뇌터의 이름을 딴 뇌터 방정식은 1-여순환의 곱셈 사례를 공식화한 것으로, 에밀 아틴의 갈루아 이론에 등장하며 1920년대에 구전되었다. 곱셈 군에 대한 2-여순환의 경우는 브라우어 군의 경우이며, 1930년대 대수학자들에게 잘 알려졌다.
꼬임자(torsor)는 타원곡선에 대한 페르마의 무한강하법에 이미 암시되어 있었고, 모델-베유 정리의 증명은 특정 ''H'' 1 군에 대한 유한성 증명의 대용으로 진행되어야 했다. 대수적으로 닫히지 않은 체에 대한 '꼬인' 특성은 이차 형식, 단순 대수, 세베리-브라우어 다양체 등과 연결된 많은 경우에 1930년대에 알려져 있었다.
2. 2. 1960년대의 발전
1960년대에 두 가지 발전이 상황을 변화시켰다. 첫째, 갈루아 코호몰로지는 에탈 코호몰로지 이론의 기본 계층(대략 0차원 스킴에 적용되는 이론)으로 나타났다. 둘째, 비-아벨적 유체론이 랭글랜즈 프로그램의 일부로 시작되었다.2. 3. 국소-전역 원리
정수론에서 갈루아 코호몰로지에 대한 국소-전역 원리를 제어해야 할 필요성이 대두되었다. 이는 하세의 노름 정리와 같은 유체론의 결과를 통해 공식화되었다. 타원곡선의 경우, 이는 셀머 군에서 테이트-샤파레비치 군의 핵심 정의로 이어졌는데, 이는 국소-전역 원리의 성공을 가로막는 장애물이다. 버치-스위너턴다이어 추측에서 중요성에도 불구하고, 카를 루빈의 결과가 어떤 경우에 그것이 유한하다는 것을 보여줄 때까지 제어하기 어려운 것으로 판명되었다.2. 4. 테이트-푸아투 쌍대성
이론의 또 다른 주요 발전은 존 테이트와 관련된 테이트-푸아투 쌍대성 결과였다.3. 정의
갈루아 코호몰로지는 갈루아 군의 군 코호몰로지 연구이다.[1] `L|K`를 갈루아 군 `G(L|K)`를 갖는 체 확대, `M`을 `G(L|K)`가 작용하는 아벨 군이라고 할 때, 코호몰로지 군은 다음과 같이 정의된다.
:`H^n(L|K, M) := H^n(G(L|K),M), n\ge 0`
`M`이 비가환 군이고 `n=0,1`일 때 이 정의를 확장할 수 있다. 확대 체 `L=K^s`가 체 `K`의 분리가능 폐포일 때, `G_K = G(K^s|K)`와
:`H^n(K,M) := H^n(G_K,M)`
으로 쓴다.
4. 주요 결과
힐베르트의 정리 90은 갈루아 확대 L|K에 대해 L의 곱셈 군을 값으로 갖는 첫 번째 코호몰로지 군이 자명하다는 것을 의미한다.[1]
: H1(L|K,L*)=1.
이 소멸 정리는 임의의 준분리 K-토러스 T에 대해 H1(K,T) = 1로 일반화할 수 있다. 또한, H1(L|K,GLn(L))=1 인데, 힐베르트 정리 90은 n=1인 특수한 경우이다. 소멸 정리는 특수 선형 군 SLn(L)과 심플렉틱 군 Sp(ω)L에 대해서도 성립한다. 두 번째 코호몰로지 군은 갈루아 군에 부착된 인자계를 설명한다. 상대 브라우어 군은 Br(L|K) = H2(L|K, L*)와 같이 군과 동일시될 수 있다. 분리가능 폐포를 사용하면, Br(K) = H2(K,(Ks)*)이다.
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