대수적 수론
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목차
1. 개요
대수적 수론은 디오판토스 방정식 연구에서 시작하여, 페르마의 마지막 정리 증명과 같은 중요한 발전을 거치며 발전해 온 수학의 한 분야이다. 가우스, 디리클레, 데데킨트, 힐베르트, 아르틴 등의 수학자들이 기여했으며, 현재는 타원 곡선과 모듈러 형식 간의 관계를 밝힌 모듈성 정리와 페르마의 마지막 정리 증명에 이르기까지 다양한 결과들을 포함한다. 대수적 수론의 기본 개념으로는 유일 인수분해의 실패, 소 아이디얼로의 분해, 아이디얼 유군, 실수 및 복소수 임베딩, 위치, 단수, 제타 함수, 국소체 등이 있으며, 유수군의 유한성, 디리클레 단위 정리, 상호 법칙, 유수 공식 등이 주요 결과로 꼽힌다. 이 분야는 호몰로지 대수학, 대수 기하학, 산술 기하학 등 다양한 수학 분야와 밀접한 관련을 맺고 있다.
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- 대수적 수론 - 아이디얼
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| 대수적 수론 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 분야 | 정수론 |
| 설명 | 대수적 정수와 대수적 수 연구 |
| 역사 | |
| 기원 | 페르마의 마지막 정리 |
| 주요 인물 | 리하르트 데데킨트 에른스트 쿠머 레오폴트 크로네커 다비트 힐베르트 에미 뇌터 에리히 헤케 필리프 푸르트벵글러 테이지 다카기 에밀 아르틴 헬무트 하세 클로드 슈발리 앙드레 베유 고로 시무라 유타카 타니야마 이하라 야스다카 존 테이트 알렉산더 그로텐디크 피에르 들린 위르겐 노이키르히 세르주 랑 장피에르 세르 앤드루 와일스 |
| 주요 주제 | |
| 대수적 정수 | 대수적 정수 |
| 아이디얼 | 아이디얼 |
| 유일 인수 분해 | 유일 인수 분해 |
| 데데킨트 정역 | 데데킨트 정역 |
| 분수 아이디얼 | 분수 아이디얼 |
| 아이디얼 유군 | 아이디얼 유군 |
| 디리클레 단원 정리 | 디리클레 단원 정리 |
| 제타 함수 | 데데킨트 제타 함수 |
| L-함수 | L-함수 |
| 분해군 | 분해군 |
| 관성군 | 관성군 |
| 프로베니우스 원소 | 프로베니우스 원소 |
| 아벨 확대 | 아벨 확대 |
| 유체론 | 유체론 |
| 이와사와 이론 | 이와사와 이론 |
| 모듈러 형식 | 모듈러 형식 |
| 타원 곡선 | 타원 곡선 |
| 갈루아 표현 | 갈루아 표현 |
| 산술 기하학 | 산술 기하학 |
| 관련 분야 | |
| 정수론 | 정수론 |
| 가환대수학 | 가환대수학 |
| 군론 | 군론 |
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| 복소해석학 | 복소해석학 |
| 대수기하학 | 대수기하학 |
2. 대수적 수론의 역사
대수적 수론의 역사는 디오판토스 방정식에 대한 연구에서 시작되었다고 볼 수 있다. 알렉산드리아의 수학자 디오판토스는 이러한 방정식에 대한 해법을 연구했으며, 그의 주요 저서인 《산술》은 이 분야의 중요한 초기 저작 중 하나이다.[1]
피에르 드 페르마는 1637년 페르마의 마지막 정리를 처음으로 제시했다. 이 문제는 19세기에 대수적 수론의 발전을 이끌었으며, 20세기에 모듈성 정리가 증명되는 계기가 되었다.
카를 프리드리히 가우스는 1798년 《산술 탐구》를 저술하여, 페르마, 오일러 등 이전 수학자들의 연구 결과를 집대성하고 자신의 결과를 추가하여 대수적 수론의 기초를 확립했다.[4] 이 책은 19세기 유럽 수학자들에게 큰 영향을 주었다.
페터 구스타프 르죈 디리클레는 이차 형식에 대한 유수 공식을 증명하고, 디리클레 단위 정리를 증명하는 등 대수적 수론의 발전에 기여했다.[5]
리하르트 데데킨트는 아이디얼 개념을 도입하여 환론의 발전에 기여했으며, 이는 에른스트 에두아르트 쿠머의 아이디얼 수 개념을 일반화한 것이다.
다비트 힐베르트는 1897년 논문 ''Zahlbericht''를 통해 대수적 수론 분야를 통합하고,[7] 류체론에 대한 추측을 제시하여 힐베르트 유수체 등 중요한 개념을 남겼다.
에밀 아르틴은 아르틴 상호 법칙을 확립하여 수론의 일반적인 정리를 제시했으며,[9] 이는 힐베르트의 아홉 번째 문제에 대한 부분적인 해답을 제공했다.[24]
시무라 고로와 타니야마 유타카에 의해 제시된 모듈성 정리는 앤드루 와일스에 의해 증명되어 페르마의 마지막 정리를 증명하는데 사용되었다.[26]
2. 1. 디오판토스
알렉산드리아의 수학자 디오판토스는 디오판토스 방정식을 연구하고 해법을 개발했다.[1] 전형적인 디오판토스 문제는 두 정수 ''x''와 ''y''를 찾아 그 합과 제곱의 합이 각각 두 개의 주어진 수 ''A''와 ''B''와 같도록 하는 것이다.:
:
디오판토스 방정식은 수천 년 동안 연구되어 왔다. 예를 들어, 이차 디오판토스 방정식 ''x''2 + ''y''2 = ''z''2의 해는 피타고라스 삼중수로 주어지며, 이는 원래 바빌로니아인(기원전 1800년경)에 의해 풀렸다.[2] 26''x'' + 65''y'' = 13과 같은 선형 디오판토스 방정식의 해는 유클리드 호제법 (기원전 5세기경)을 사용하여 찾을 수 있다.[3]
디오판토스의 주요 저서는 ''산술''이며, 그중 일부만 남아있다.
2. 2. 페르마
피에르 드 페르마는 1637년 페르마의 마지막 정리를 처음으로 추측하였다. 그는 《산술》 사본의 여백에 너무 커서 여백에 들어맞지 않는 증명이 있다고 주장하여 유명해졌다. 358년 동안 수많은 수학자들이 노력했음에도 불구하고 1995년에야 성공적인 증명이 발표되었다. 이 문제는 19세기에 대수적 수론의 발전을 자극했으며 20세기에 모듈성 정리의 증명에 기여했다.2. 3. 가우스
카를 프리드리히 가우스는 21세이던 1798년에 라틴어로 《산술 탐구》(Arithmeticae Investigationesla)를 작성하여 24세이던 1801년에 처음 출판했다. 이 책은 대수적 수론의 기초적인 연구 중 하나로 손꼽힌다.[4] 가우스는 이 책에서 페르마, 오일러, 라그랑주, 르장드르와 같은 수학자들의 수론 결과를 모으고, 자신의 중요한 새로운 결과를 추가했다.《산술 탐구》 출판 전까지 수론은 고립된 정리와 추측의 모음으로 구성되어 있었다. 가우스는 선배들의 업적과 자신의 독창적인 연구를 체계적인 틀로 묶고, 빈틈을 메우고, 불완전한 증명을 수정하고, 여러 방면으로 이 분야를 확장했다.
《산술 탐구》는 쿠머, 디리클레, 데데킨트를 포함한 19세기 유럽 수학자들의 연구 시작점이 되었다. 가우스가 제시한 많은 주석은 사실상 그의 추가 연구에 대한 발표였으며, 그 중 일부는 출판되지 않았다. 그것들은 그의 동시대 사람들에게 특히 수수께끼처럼 보였을 것이다. 우리는 이제 그것들을, 특히 L-함수와 복소수 곱셈 이론의 씨앗을 담고 있는 것으로 읽을 수 있다.
2. 4. 디리클레
요한 페터 구스타프 레외네 디리클레는 1838년과 1839년에 발표한 두 편의 논문에서 이차 형식에 대한 최초의 유수 공식을 증명했다. 이 공식은 나중에 그의 제자인 레오폴트 크로네커에 의해 개선되었다. 야코비는 이 공식을 "인간의 지혜의 극치에 달하는" 결과라고 칭했으며, 이는 보다 일반적인 수체에 대한 유사한 결과로 이어지는 길을 열었다.[5] 그는 이차 체의 단위군 구조에 대한 연구를 바탕으로 대수적 수론의 기본 정리인 디리클레 단위 정리를 증명했다.[6]그는 처음으로 기본적인 수 세기 논법인 비둘기집 원리를 디오판토스 근사에 대한 정리의 증명에 사용했으며, 이는 후에 디리클레 근사 정리로 명명되었다. 그는 페르마의 마지막 정리에 중요한 기여를 했으며, 여기서 ''n'' = 5와 ''n'' = 14인 경우를 증명했으며, 사차 상호 법칙에도 기여했다.[5] 디리클레 약수 문제는 그가 처음 결과를 발견했지만, 이후 다른 연구자들의 기여에도 불구하고 여전히 수론의 미해결 문제로 남아 있다.
2. 5. 데데킨트
리하르트 데데킨트는 르줴네 디리클레의 연구를 통해 대수적 수체와 아이디얼에 대한 연구를 시작하였다. 1863년, 그는 르줴네 디리클레의 수론 강의를 묶어 ''수론 강의''(Vorlesungen über Zahlentheorie)를 출판했다.1879년과 1894년판 ''수론 강의''에는 환론의 근본적인 개념인 아이디얼을 소개하는 부록이 포함되었다. ("환(Ring)"이라는 단어는 다비트 힐베르트에 의해 도입되었으며 데데킨트의 저서에는 나타나지 않는다.) 데데킨트는 아이디얼을 정수 계수를 갖는 다항식 방정식을 만족하는 대수적 정수로 구성된 수 집합의 부분 집합으로 정의했다. 이 개념은 힐베르트와 특히 에미 뇌터에 의해 더욱 발전했다. 아이디얼은 에른스트 에두아르트 쿠머가 페르마의 마지막 정리를 증명하려는 1843년 시도의 일환으로 고안한 아이디얼 수를 일반화한 것이다.
2. 6. 힐베르트
다비트 힐베르트는 1897년 논문 ''Zahlbericht''(직역: "숫자에 관한 보고")를 통해 대수적 수론 분야를 통합했다.[7] 그는 또한 1770년 에드워드 와링이 제기한 수론 문제의 상당 부분을 해결했다. 유한성 정리와 마찬가지로 그는 답을 제시하는 메커니즘을 제공하기보다는 문제에 대한 해가 존재한다는 것을 보여주는 존재 증명을 사용했다.[7] 그 후 그는 이 주제에 대해 더 이상 발표할 내용이 거의 없었지만, 제자의 논문에서 힐베르트 모듈 형식이 등장하면서 그의 이름은 주요 분야와 더욱 관련되게 되었다.그는 류체론에 대한 일련의 추측을 했다. 이 개념들은 매우 영향력이 컸으며, 그의 기여는 힐베르트 유수체와 국소 류수론의 힐베르트 기호라는 이름으로 남아있다. 결과는 주로 다카기 데이지의 연구 이후 1930년까지 증명되었다.[8]
2. 7. 아르틴
에밀 아르틴은 일련의 논문(1924; 1927; 1930)을 통해 아르틴 상호 법칙을 확립했다. 이 법칙은 전역 류체론의 중심 부분을 이루는 수론의 일반적인 정리이다.[9] "상호 법칙"이라는 용어는 2차 상호 법칙, 아이젠슈타인 및 쿠머의 상호 법칙, 노름 기호에 대한 힐베르트의 곱 공식 등 아르틴 상호 법칙이 일반화한 일련의 구체적인 수론적 명제를 가리킨다. 아르틴의 결과는 힐베르트의 아홉 번째 문제에 대한 부분적인 해답을 제시했다.[24]2. 8. 현대 이론
시무라 고로와 타니야마 유타카는 타원 곡선과 모듈 형식이라는, 전혀 관련 없어 보이는 두 수학 분야 사이에 관계가 있을 수 있음을 발견했다.[25] 이들은 모든 타원 곡선이 모듈러이며, 이는 고유한 모듈 형식과 연관될 수 있다는 모듈성 정리(당시에는 타니야마-시무라 추측)를 제시했다.처음에는 이 추측이 가능성이 낮고 매우 추측적인 것으로 여겨졌으나, 수론학자 앙드레 베유가 이를 뒷받침하는 증거를 발견하면서 더 진지하게 받아들여졌다. 그 결과 이 "놀라운" 추측은 타니야마-시무라-베유 추측으로도 불리게 되었고, 랑글랜즈 프로그램의 중요한 부분이 되었다.
1990년대에 앤드루 와일스는 반안정 타원 곡선에 대한 모듈성 정리를 증명하였고,[26] 이는 리베의 정리와 함께 페르마의 마지막 정리를 증명하는 데 결정적인 역할을 했다. 당시 대부분의 수학자들은 페르마의 마지막 정리와 모듈성 정리 모두 증명이 불가능하다고 생각했지만, 와일스는 1993년에 증명을 처음 발표했다. 이후 증명 과정에서 발견된 오류를 리처드 테일러와의 공동 연구를 통해 수정하여 1994년에 최종 증명을 발표했고, 1995년에 공식적으로 출판되었다. 이 증명은 대수 기하학과 수론의 여러 기법을 사용했으며, 스키마의 범주 및 이와사와 이론 등 페르마가 알지 못했던 20세기 기법들을 활용했다.
3. 기본 개념
대수적 정수론은 디ophantus 방정식에서 시작되었다고 할 수 있다.[16] 디오판토스는 알렉산드리아의 수학자로, 이 방정식들을 연구하고 해를 구하는 방법을 개발했다. 예를 들어, 두 정수 x와 y의 합이 A이고 제곱의 합이 B인 경우, 즉 다음과 같은 방정식을 푸는 것이다.
:
:
디오판토스 방정식은 수천 년 동안 연구되었다. 이차 디오판토스 방정식 의 해는 피타고라스 삼중항으로 주어지며, 바빌로니아인들이 처음으로 풀었다.[17] 과 같은 선형 디오판토스 방정식의 해는 유클리드 호제법을 사용하여 찾을 수 있다.[18]
디오판토스의 주요 작품은 ''산술(Arithmetica)''였지만, 일부만 남아 있다.
3. 1. 유일 인수분해의 실패
대수적 수체의 정수환에서는 산술의 기본 정리에서처럼 유일 인수분해가 성립하지 않을 수 있다. 이는 소원과 기약원의 차이, 그리고 아이디얼 유군의 존재로 설명된다.정수환에서 단원 u와 소원 p에 대해 up도 소원이다. p와 up는 ''동반'' 관계이다. 정수에서는 p와 -p 중 양수만을 소수로 취급하지만, 일반적인 대수적 수체에서는 양수의 개념이 없어 이러한 구별이 불가능하다.
예를 들어, 가우스 정수 Z[''i'']에서 1 + 2''i''와 -2 + ''i''는 동반 관계이지만, 어느 하나를 선택할 기준이 없다. 따라서 다음 두 인수분해는 모두 유효하다.[12]
:
이는 유일 인수분해 정역(UFD)의 정의를 따르더라도 유일 인수분해가 성립하지 않는 예시이다.
아이디얼 유군이 자명하지 않은 경우, 소원과 기약원이 일치하지 않아 유일 인수분해가 실패한다. 예를 들어, 환 Z[]에서 3, 2 + , 2 - 는 모두 기약원이지만 소원은 아니다.[13] 따라서 다음 두 인수분해가 가능하다.
:
3은 (2 + )(2 - )를 나누지만, 2 + 나 2 - 를 나누지 않으므로 소원이 아니다. 이러한 이유로 Z[]에서는 유일 인수분해가 성립하지 않는다.
3. 2. 소 아이디얼로의 분해
대수적 수체의 정수환에서 아이디얼은 소 아이디얼의 곱으로 유일하게 분해된다. 이는 데데킨트 정역의 중요한 성질이다.[3] 만약 가 의 아이디얼이라면, 항상 다음의 소인수분해가 존재한다.[3]:
여기서 각 는 소 아이디얼이며, 이 표현은 인수의 순서를 제외하고 유일하다. 특히, 이것은 가 단일 원소에 의해 생성된 주 아이디얼인 경우에도 성립한다. 이것은 일반적인 수체(number field)의 정수환이 유일 인수분해를 허용하는 가장 강력한 의미이다. 링 이론의 언어로, 이것은 정수환이 데데킨트 정역임을 말해준다.[3]
가 유일 인수 분해 정역(UFD)일 때, 모든 소 아이디얼은 소수에 의해 생성된다. 그렇지 않으면, 소수에 의해 생성되지 않는 소 아이디얼이 존재한다. 예를 들어, 에서 아이디얼 는 단일 원소로 생성될 수 없는 소 아이디얼이다.[3]
역사적으로, 아이디얼을 소 아이디얼로 인수분해하는 아이디어는 에른스트 쿠머가 아이디얼 수(이상수)를 도입하기 전에 있었다. 이들은 의 확대체 에 속하는 수이다. 이 확대체는 현재 힐베르트 유체로 알려져 있다. 주 아이디얼 정리에 의해, 의 모든 소 아이디얼은 의 정수환의 주 아이디얼을 생성한다. 이 주 아이디얼의 생성자를 아이디얼 수라고 한다. 쿠머는 이러한 아이디얼 수를 원분체에서 유일 인수분해가 실패하는 것을 대신하는 것으로 사용했다. 이것들은 결국 리하르트 데데킨트가 아이디얼의 전신을 도입하고 아이디얼의 유일 인수분해를 증명하도록 이끌었다.[3]
3. 3. 아이디얼 유군
대수적 정수 링에서 소 아이디얼이 주 아이디얼이 되지 못하는 정도를 측정하는 군을 아이디얼 유군이라고 한다. 아이디얼 유군을 정의하려면 아이디얼을 분수 아이디얼로 일반화해야 한다. 분수 아이디얼은 K의 가법 부분군 J이며, O의 원소와의 곱에 대해 닫혀 있다. 즉, x ∈ O이면 xJ ⊆ J이다. O의 모든 아이디얼은 분수 아이디얼이기도 하다. I와 J가 분수 아이디얼이면, I의 원소와 J의 원소를 곱한 모든 곱의 집합인 IJ도 분수 아이디얼이다. 이 연산은 0이 아닌 분수 아이디얼 집합을 군으로 만든다. 군 항등원은 아이디얼 (1) = O이며, J의 역원은 (일반화된) 아이디얼 몫이다.:
주어진 분수 아이디얼, 즉 x ∈ K×인 형태의 Ox는 모든 0이 아닌 분수 아이디얼 군의 부분군을 형성한다. 이 부분군에 대한 0이 아닌 분수 아이디얼 군의 몫이 아이디얼 유군이다. 두 개의 분수 아이디얼 I와 J는 xI = J인 원소 x ∈ K가 존재하는 경우에만 아이디얼 유군의 동일한 원소를 나타낸다. 따라서 아이디얼 유군은 하나가 다른 것만큼 주 아이디얼에 가까운 경우 두 분수 아이디얼을 동일하게 만든다. 아이디얼 유군은 일반적으로 Cl K, Cl O, 또는 Pic O로 표시된다(마지막 표기법은 이를 대수 기하학의 피카르 군과 동일시한다).
아이디얼 유군의 원소의 개수를 K의 '''유수'''라고 한다. Q(√-5)의 유수는 2이다. 이는 주 분수 아이디얼의 유군과 (2, 1 + √-5)와 같은 비주 아이디얼의 유군, 두 개의 아이디얼 유군만 있음을 의미한다.
아이디얼 유군은 제수 측면에서 다른 설명을 가지고 있다. 이들은 숫자의 가능한 인수분해를 나타내는 형식적 객체이다. 제수 군 Div K는 O의 소 아이디얼에 의해 생성된 자유 아벨 군으로 정의된다. K×에서 Div K로의 군 준동형사상이 있다. x ∈ K×가
:
를 만족한다고 가정한다. 그러면 div x는 제수로 정의된다.
:
div의 커널은 O의 단원 군인 반면, 코커널은 아이디얼 유군이다. 호몰로지 대수학의 언어에서 이는 아벨 군의 완전열 (곱셈적으로 쓰여짐)이 있음을 의미한다.
:
3. 4. 실수 및 복소수 임베딩
Algebraic number field|대수적 수체영어는 실수체 또는 복소수체로의 준동형 사상을 통해 실수 또는 복소수 체에 임베딩될 수 있다. 이를 통해 수체의 성질을 분석하고, 민코프스키 공간을 정의할 수 있다.일부 수체는 실수체의 부분체로 지정될 수 있지만(예: ), 다른 수체는 그렇게 할 수 없다(예: ). 추상적으로, 이러한 지정은 체 준동형사상 또는 에 해당하며, 각각 '''실수 임베딩'''과 '''복소수 임베딩'''이라고 불린다.
이고 가 완전 제곱수가 아닌 경우, 실수 이차체 는 두 개의 실수 임베딩을 허용하지만 복소수 임베딩은 허용하지 않는다. 이것들은 를 로, 로 각각 보내는 체 준동형사상이다. 반대로, 허수 이차체 는 실수 임베딩은 허용하지 않지만 켤레 복소수 임베딩 쌍을 허용한다. 이러한 임베딩 중 하나는 를 로 보내고, 다른 하나는 그것의 켤레 복소수, 로 보낸다.
일반적으로 의 실수 임베딩 수는 으로 표시하고, 켤레 복소수 임베딩 쌍의 수는 로 표시한다. ''K''의 '''시그니처'''는 쌍 이다. 라는 정리가 있는데, 여기서 는 의 차수이다.
모든 임베딩을 한 번에 고려하면 함수 또는 동등하게 가 결정된다. 이것을 '''민코프스키 임베딩'''이라고 한다.
복소수 켤레에 의해 고정된 공역의 부분 공간은 민코프스키 공간이라고 불리는 차원 의 실수 벡터 공간이다. 민코프스키 임베딩은 체 준동형사상에 의해 정의되기 때문에, 인 원소 로 의 원소를 곱하는 것은 민코프스키 임베딩에서 대각 행렬을 곱하는 것에 해당한다. 민코프스키 공간의 내적은 트레이스 형식 에 해당한다.
민코프스키 임베딩 아래에서 의 이미지는 차원 격자이다. 가 이 격자의 기저인 경우, 는 의 '''판별식'''이다. 판별식은 또는 로 표시된다. 이미지의 공부피는