미 산란

3. 이론

4. 수학적 전개

벡터 구면 조화 함수를 이용하여 미 산란 문제를 수학적으로 전개하는 과정을 살펴본다.

먼저, 구면 좌표계에서 벡터 헬름홀츠 방정식의 해를 구한다. 헬름홀츠 방정식은 다음과 같다.

:$$

\nabla^{2} \mathbf{E} + {k}^{2} \mathbf{E} = 0, \quad

\nabla^{2} \mathbf{H} + {k}^{2} \mathbf{H} = 0.



이 방정식의 해는 벡터 구면 조화 함수 $\backslash mathbf\{M\}\_\{^e\_o\; m\; n\}$과 $\backslash mathbf\{N\}\_\{^e\_o\; m\; n\}$으로 표현된다. 이 함수들은 다음과 같이 정의된다.^[6]

:$$

\mathbf{M}_{^e_o m n}=\nabla \times\left(\mathbf{r} \psi_{^e_o m n}\right)

(자기 조화 함수, TE)

:$$

\mathbf{N}_{^e_o m n}=\frac{\nabla \times \mathbf{M}_{^e_o m n}}

(전기 조화 함수, TM)

여기서 $\backslash psi\_\{^e\_o\; m\; n\}$은 스칼라 함수이며, 다음과 같이 표현된다.

:$$

{\psi_{e m n} = \cos m \varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta) z_{n}({k} r),}



:$$

{\psi_{o m n} = \sin m \varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta) z_{n}({k} r),}



$P\_\{n\}^\{m\}(\backslash cos\; \backslash theta)$는 연관 르장드르 다항식이고, $z\_\{n\}(\{k\}\; r)$는 구면 베셀 함수이다.

입사 평면파는 다음과 같이 벡터 구면 조화 함수로 전개할 수 있다.^[6]

:$\backslash begin\{align\}$

\mathbf{E}_{\text{inc}} &= E_0e^{ikr\cos\theta}\mathbf{e}_x=E_{0}\sum_{n=1}^{\infty} i^n\frac{2n+1}{n(n+1)}\left( \mathbf{M}^{(1)}_{o1n}(k, \mathbf{r})-i \mathbf{N}_{e1n}^{(1)}(k, \mathbf{r})\right), \\

\mathbf{H}_{\text{inc}} &= \frac{-k}{\omega\mu}E_{0}\sum_{n=1}^{\infty} i^n\frac{2n+1}{n(n+1)}\left( \mathbf{M}^{(1)}_{e1n}(k, \mathbf{r})+i \mathbf{N}_{o1n}^{(1)}(k, \mathbf{r})\right).

\end{align}

산란파와 내부 필드 역시 벡터 구면 조화 함수로 전개된다. 산란파는 다음과 같다.

:$$

\mathbf{E}_{s}=\sum_{n=1}^{\infty} E_{n}\left(i a_{n} \mathbf{N}_{e 1n}^{(3)}(k, \mathbf{r})-b_{n} \mathbf{M}_{o 1 n}^{(3)}(k, \mathbf{r})\right),



:$$

\mathbf{H}_{s}=\frac{k}{\omega\mu}\sum_{n=1}^{\infty} E_{n}\left(a_{n} \mathbf{M}_{e 1n}^{(3)}(k, \mathbf{r})+ib_{n} \mathbf{N}_{o 1 n}^{(3)}(k, \mathbf{r})\right).



내부 필드는 다음과 같다.

:$$

\mathbf{E}_{1}=\sum_{n=1}^{\infty} E_{n}\left(-i d_{n} \mathbf{N}_{e 1n}^{(1)}(k_1, \mathbf{r})+c_{n} \mathbf{M}_{o 1 n}^{(1)}(k_1, \mathbf{r})\right),



:$$

\mathbf{H}_{1}=\frac{-k_1}{\omega\mu_1}\sum_{n=1}^{\infty} E_{n}\left(d_{n} \mathbf{M}_{e 1n}^{(1)}(k_1, \mathbf{r})+ic_{n} \mathbf{N}_{o 1 n}^{(1)}(k_1, \mathbf{r})\right).



여기서 $k\; =\; \backslash frac\{\backslash omega\}\{c\}n$은 입자 외부의 파수, $k\_1\; =\; \backslash frac\; \{\backslash omega\}\{c\}\{n\_1\}$은 입자 재료의 매질에서의 파수, $n$과 $n\_1$은 매질과 입자의 굴절률이다.

경계 조건 (인터페이스 조건)을 적용하면 미 계수(Mie coefficients) $a\_n,\; b\_n,\; c\_n,\; d\_n$을 계산할 수 있다.^[6]

:$$

c_n(\omega) = \frac {\mu_1\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho) - \mu_1\left[ \rho j_n(\rho)\right]'h_n(\rho)}{\mu_1\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho),



:$$

d_n(\omega) = \frac {\mu_1n_1n\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho) - \mu_1n_1n\left[ \rho j_n(\rho)\right]'h_n(\rho)}{\mu n_1^2\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu_1 n^2\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)},



:$$

b_n(\omega) = \frac {\mu_1\left[ \rho j_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'j_n(\rho)}{\mu_1\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)},



:$$

a_n(\omega) = \frac {\mu n_1^2\left[ \rho j_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu_1 n^2\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'j_n(\rho)}{\mu n_1^2\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu_1 n^2\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)},



여기서 $\backslash rho=ka$, $\backslash rho\_1=k\_1a$이며, $a$는 구의 반경, $j\_n$과 $h\_n$은 각각 베셀과 행켈의 구면 함수이다.

미 계수를 이용하여 산란 단면적, 소멸 단면적 등을 계산할 수 있다.^[7][8]

:$Q\_s\; =\; \backslash frac\{2\}\{k^2a^2\}\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; (2n\; +\; 1)\backslash left(|a\_\{n\}|^2\; +\; |b\_\{n\}|^2\backslash right)$

:$Q\_e\; =\; \backslash frac\{2\}\{k^2a^2\}\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; (2n\; +\; 1)\backslash Re(a\_\{n\}\; +\; b\_\{n\})$

5. 응용 분야

미 산란 이론은 다양한 과학 및 기술 분야에 응용된다.

• 대기 과학: 구름, 안개, 에어로졸 등에 의한 빛의 산란 현상을 분석하고, 미세먼지 농도 측정 등에 활용된다. 특히 한국에서는 미세먼지 문제 해결을 위한 기술 개발에 미 산란 이론이 적극적으로 활용되고 있다. 구름이 하얗게 보이는 이유도 구름 입자가 가시광선 파장에 대해 미 산란을 일으켜 모든 파장의 빛을 거의 동일하게 산란시키기 때문이다. 화성의 하늘이 붉거나 푸르게 보이는 현상도 화성 대기의 먼지에 의한 미 산란으로 설명할 수 있다^[45][46].
• 암 진단 및 스크리닝: 각도 분해 저간섭성 간섭법을 이용하여 조직의 산란 특성을 분석하고, 암세포와 정상 세포를 구별하는 데 활용된다.
• 임상 검사: 혼탁도 측정법을 이용한 혈액 단백질 분석에 미 산란 이론이 사용된다.
• 자기 입자 연구: 자기 구체의 특이한 전자기 산란 효과를 연구하는 데 활용된다.
• 메타물질 설계: 음의 굴절률 등 특이한 광학적 성질을 갖는 메타물질 설계에 미 산란 이론이 사용된다.
• 입자 크기 측정: 레이저 회절 분석을 통해 입자 크기를 측정하는 데 미 산란 이론이 사용된다.^[30] 1990년대 이후부터 미 산란 이론이 널리 사용되었으며, ISO 13320:2009 가이드라인에서는 50 마이크로미터 미만의 입자에 대해 공식적으로 권장한다.^[31]
• 기생충학: 말라리아 원충과 같은 기생충의 구조 연구에 활용된다.^[37]
• 안테나: 유전체 입자의 미 산란 공진 현상을 활용하여 지향성 안테나를 제작하는 연구가 진행되고 있다. 유전체 내에서의 파장 변화를 이용하여 안테나를 소형화할 수 있어, 높은 지향성과 소형화를 동시에 달성할 수 있다. 또한, 유전체 입자의 공진 미 산란을 이용하여 야기-우다 안테나를 형성하고, 이를 나노 스케일의 광학 소자로 활용하는 방법도 제안되고 있다.

5. 1. 케르커 효과 (Kerker effect)

계수의 특정 조합에 대해 위 식을 최소화할 수 있다.

예를 들어, $n>1$인 항을 무시할 수 있을 때 (쌍극자 근사), $(a\_1\; -\; b\_1)\; =\; 0$은 후방 산란의 최소값에 해당한다(자기 및 전기 쌍극자의 크기가 같고 위상이 동일하며, 이를 '제1 케르커' 또는 '후방 강도 제로 조건'이라고도 한다^[15]). 그리고 $(a\_1\; +\; b\_1)\; =\; 0$은 전방 산란의 최소값에 해당하며, 이를 '제2 케르커 조건' (또는 '전방 강도 근처 제로 조건')이라고도 한다. 광학 정리를 통해, 수동적인 입자의 경우 $(a\_1=-b\_1)$은 불가능하다는 것이 밝혀졌다.^[16] 문제의 정확한 해를 구하려면 모든 다중극의 기여를 고려해야 한다. 전기 및 자기 쌍극자의 합은 호이겐스 원천을 형성한다.^[17]

유전체 입자의 경우, 최대 전방 산란은 자기 쌍극자 공명 파장보다 긴 파장에서 관찰되고, 최대 후방 산란은 더 짧은 파장에서 관찰된다.^[18]

이후, 다른 종류의 케르커 효과도 발견되었다. 예를 들어, 전방 및 후방 산란장 모두 거의 완전하게 동시에 억제되는 가로 케르커 효과 (측면 산란 패턴),^[19] 광기계적 케르커 효과,^[20] 음향 산란,^[21] 그리고 식물에서도 발견되었다.^[22]

6. 관련 코드

• 구에 의한 전자기 산란 코드 — 단일 구, 코팅된 구, 다층 구 및 구 클러스터에 대한 솔루션이다.^[1]
• 실린더에 의한 전자기 산란 코드 — 단일 실린더, 다층 실린더 및 실린더 클러스터에 대한 솔루션이다.^[1]
• T-행렬 방법 — 맥스웰 방정식의 해에 대한 급수 근사에 의존하며, 더 일반적으로 모양이 지정된 입자를 처리할 수 있다.^[1]

7. 미 산란과 관련된 자연 현상

구름이 하얗게 보이는 것은 구름을 이루는 구름 입자의 크기가 수 μm ~ 수십 μm로, 태양광의 가시광선 파장과 비슷하기 때문이다. 이로 인해 미 산란이 발생하여 가시광선 영역의 모든 파장이 거의 동일하게 산란된다.^[45][46]

지구에서는 지구 대기의 공기 분자에 의한 레일리 산란으로 인해 하늘이 파랗게 보이지만, 화성에서는 화성 대기에 공기 분자가 적어 먼지에 의한 미 산란이 우세하다. 화성의 낮 하늘은 붉고, 저녁 노을은 푸른색인데, 이는 화성의 먼지 입자 크기에서 가시광선 영역 중 붉은색과 같은 긴 파장이 더 강하게 산란되기 때문이다. 낮에는 산란된 붉은색 빛이 하늘을 붉게 물들이고, 저녁에는 붉은색 빛이 과도하게 산란되어 줄어들면서 푸른색 빛이 보이게 된다.^[45][46]

참조

_[1] 웹사이트 Light Scattering Theory http://plaza.ufl.edu[...] 2009-07
_[2] 서적 Electromagnetic Theory McGraw-Hill
_[3] 서적 Absorption and scattering of light by small particles Wiley-Interscience
_[4] 간행물 Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen
_[5] 서적 Light scattering by small particles https://books.google[...] John Wiley and Sons
_[6] 서적 Absorption and scattering of light by small particles Wiley-Interscience
_[7] 서적 A-to-Z Guide to Thermodynamics, Heat and Mass Transfer, and Fluids Engineering Begel House 2019-01-28
_[8] 간행물 Measurements of Particle Size Distribution Based on Mie Scattering Theory and Markov Chain Inversion Algorithm https://pdfs.semanti[...] 2012-10
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_[11] 간행물 Electromagnetic scattering by magnetic spheres http://clgiles.ist.p[...]
_[12] 문서 Fresnel Reflection and Transmission at a Planar Boundary from Media of Equal Refractive Indices
_[13] 문서 Light Scattering by a Dielectric Sphere: Perspectives on the Mie Resonances
_[14] 문서 Generalized Kerker effects in nanophotonics and meta-optics [Invited]
_[15] 문서 Magnetic and Electric Coherence in Forward- and Back-Scattered Electromagnetic Waves by a Single Dielectric Subwavelength Sphere https://doi.org/10.1[...] 2012-11-06
_[16] 문서 Minimalist Mie coefficient model https://doi.org/10.1[...]
_[17] 문서 Global Mie Scattering
_[18] 문서 Directional visible light scattering by silicon nanoparticles
_[19] 문서 Transverse Scattering and Generalized Kerker Effects in All-Dielectric Mie-Resonant Metaoptics https://doi.org/10.1[...] 2019-05-17
_[20] 문서 Optomechanical Kerker Effect https://doi.org/10.1[...] 2019-01-15
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_[22] 문서 Biological Kerker Effect Boosts Light Collection Efficiency in Plants https://doi.org/10.1[...] 2019-10-09
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_[27] 간행물 A double negative (DNG) composite medium composed of magnetodielectric spherical particles embedded in a matrix
_[28] 간행물 Mie resonance-based dielectric metamaterials
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_[30] 간행물 Investigating the extrinsic size effect of palladium and gold spherical nanoparticles 2017
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_[45] 간행물 光の百科事典
_[46] 웹사이트 火星の夕焼けはなぜ「青い」のか？ 光の散乱と大気の美しい関係 (3/4) https://nazology.net[...] 2022-05-03