민코프스키 덧셈

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1. 개요
2. 정의 및 예시
- 2.1. 영 집합과 공집합
3. 성질
- 3.1. 볼록 집합의 민코프스키 덧셈
- 3.2. 비볼록 집합의 민코프스키 덧셈
4. 응용
5. 알고리즘
- 5.1. 평면 상의 두 볼록 다각형
- 5.2. 기타 경우
6. 본질적 민코프스키 덧셈
7. Lp 민코프스키 덧셈
참조

1. 개요

민코프스키 덧셈은 두 집합의 원소들을 더하여 새로운 집합을 생성하는 연산이다. 두 집합 A와 B의 민코프스키 합은 A의 각 원소와 B의 각 원소를 더하여 얻어진 모든 가능한 합의 집합으로 정의된다. 이 연산은 기하학, 특히 볼록 집합의 연구에서 중요한 역할을 하며, 수학적 형태학, 모션 계획, 충돌 감지 등 다양한 분야에 응용된다. 민코프스키 덧셈은 영집합을 항등원으로 가지며, 공집합과의 합은 공집합이다. 볼록 집합의 경우 민코프스키 덧셈은 볼록 폐포 연산과 가환적이며, 볼록 폐포의 덧셈은 각 집합의 볼록 폐포 덧셈과 같다. 알고리즘을 통해 평면상의 볼록 다각형의 민코프스키 합을 효율적으로 계산할 수 있다.

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민코프스키 덧셈
개요
정의	두 개의 벡터 집합 A와 B의 민코프스키 합은 A의 각 벡터와 B의 각 벡터를 더하여 얻은 벡터들의 집합임
표기법	A + B
응용 분야	이미지 처리 로봇 공학 볼록 기하학 수리 형태학
성질
교환 법칙	A + B = B + A
결합 법칙	(A + B) + C = A + (B + C)
항등원	{0} (영벡터 집합)
분배 법칙	람다(A + B) = 람다A + 람다B (람다는 스칼라)
볼록 집합	A와 B가 볼록 집합이면 A + B도 볼록 집합임
콤팩트 집합	A와 B가 콤팩트 집합이면 A + B도 콤팩트 집합임
추가 정보
참고 문헌	Hadwiger, Hugo (1950). Mathematische Zeitschrift 53 (3): 210–218. doi:10.1007/BF01175656. Li, Wei (Fall 2011). GPU-Based Computation of Voxelized Minkowski Sums with Applications (PhD). UC Berkeley. pp. 13–14. Lozano-Pérez, Tomás (February 1983). IEEE Transactions on Computers C-32 (2): 108–120. doi:10.1109/TC.1983.1676196.

2. 정의 및 예시

두 집합 ''A''와 ''B''의 민코프스키 덧셈 ''A'' + ''B''는 ''A''에 속하는 원소 ''a''와 ''B''에 속하는 원소 ''b''의 모든 가능한 합 ''a'' + ''b''로 이루어진 집합이다. 수식으로는 다음과 같이 정의된다.

: $A + B = \{a + b \mid a \in A, b \in B\}$

예를 들어, 2차원 평면 $\mathbb{R}^2$ 에서 두 개의 삼각형을 나타내는 꼭짓점 집합 ''A''와 ''B''가 다음과 같다고 하자.

: $A = \{(1,0), (0,1), (0,-1)\}$

: $B = \{(0,0), (1,1), (1,-1)\}$

이 두 집합의 민코프스키 덧셈은 다음과 같다.

: $A + B = \{(1,0), (2,1), (2,-1), (0,1), (1,2), (1,0), (0,-1), (1,0), (1,-2)\}$

이 결과 집합의 점들을 구하면 $\{(1,0), (2,1), (2,-1), (0,1), (1,2), (0,-1), (1,-2)\}$ 이며, 이는 육각형의 꼭짓점을 이룬다.

세 개의 정사각형이 데카르트 좌표의 제 1사분면에 나타나 있다. 정사각형 Q1

다른 예시로, 실수

\R

또는 복소수

\C

체

\mathbb{K}

에서 열린 공 또는 닫힌 공의 민코프스키 합을 생각해보자.

\mathbb{K}

에서 원점을 중심으로 하고 반지름이

r \in [0, \infty]

인 닫힌 공을

B_r := \{ s \in \mathbb{K} : |s| \leq r \}

이라고 정의하면, 모든

r, s \in [0, \infty]

에 대해 다음이 성립한다.

:

B_r + B_s = B_{r+s}

또한, 모든 스칼라

c \in \mathbb{K}

에 대해 (단,

c \neq 0

또는

r \neq \infty

일 때) 다음이 성립한다.

:

c B_r = B_

2. 1. 영 집합과 공집합

민코프스키 덧셈에서 영벡터 0만을 포함하는 집합 {0}은 항등원 역할을 한다. 벡터 공간의 어떤 부분집합 ''S''라도 {0}을 더하면 자기 자신 ''S''가 된다. 수식으로는 다음과 같이 표현할 수 있다.:

S + \{0\} = S

공집합

\emptyset

역시 민코프스키 덧셈에서 중요한 역할을 한다. 어떤 부분집합 ''S''라도 공집합과 더하면 결과는 항상 공집합이 된다. 이는 공집합이 다른 모든 부분집합을 '소멸'시키는 것처럼 작용하기 때문이다. 수식으로는 다음과 같다.

:

S + \emptyset = \emptyset

3. 성질

민코프스키 덧셈은 볼록 껍질(Convex Hull)을 구하는 연산과 관련하여 다음과 같은 중요한 성질을 가진다. 실수 벡터 공간의 공집합이 아닌 어떤 부분집합 $S_1$ 과 $S_2$ 에 대해서, 두 집합의 민코프스키 덧셈의 볼록 껍질은 각 집합의 볼록 껍질의 민코프스키 덧셈과 같다.^[4]^[5]

: $\operatorname{Conv}(S_1 + S_2) = \operatorname{Conv}(S_1) + \operatorname{Conv}(S_2).$

이 결과는 유한 개의 공집합이 아닌 집합들에 대해서도 일반적으로 성립한다.

: $\operatorname{Conv}\left(\sum{S_n}\right) = \sum\operatorname{Conv}(S_n).$

이는 민코프스키 덧셈 연산과 볼록 껍질을 만드는 연산이 서로 교환 가능함을 의미한다.^[4]^[5]

만약 $S$ 가 볼록 집합이라면, $\mu S + \lambda S$ 역시 볼록 집합이다. 더 나아가, 모든 음이 아닌 실수 $\mu, \lambda \geq 0$ 에 대해 다음의 분배 법칙과 유사한 관계가 성립한다.^[6]

: $\mu S + \lambda S = (\mu + \lambda)S$

반대로, 이 관계식이 모든 음이 아닌 실수 $\mu, \lambda$ 에 대해 성립한다면, 그 집합 $S$ 는 볼록 집합이다.^[6]

그러나 집합이 볼록하지 않은 경우에는 위의 분배 법칙이 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 비볼록 집합

A

에 대해서는

A + A \neq 2A

일 수 있으며, 종종

A + A \subsetneq 2A

가 성립한다. 오른쪽 그림은 이러한 비볼록 집합의 예를 보여준다. 1차원 예시로

B = [1, 2] \cup [4, 5]

의 경우,

B+B \subsetneq 2B

가 성립한다.

민코프스키 덧셈은 2차원 볼록체의 둘레(Perimeter)에 대해서는 선형적으로 작용한다. 즉, 두 볼록체의 민코프스키 합의 둘레는 각 볼록체의 둘레의 합과 같다. 또한, 만약

K

가 정폭 곡선(의 내부)이라면,

K

와

K

를 180° 회전시킨 도형의 민코프스키 합은 원판(Disk)이 된다. 이 두 가지 성질을 결합하면 정폭 곡선의 둘레에 관한 바르비에 정리를 간략하게 증명할 수 있다.^[7]

3. 1. 볼록 집합의 민코프스키 덧셈

만약

S

가 볼록 집합이라면

\mu S+\lambda S

역시 볼록 집합이다. 또한, 모든 음이 아닌 실수

\mu, \lambda \geq 0

에 대해서 다음 등식이 성립한다.^[15]

:

\mu S+\lambda S=(\mu+\lambda)S

반대로, 음이 아닌 어떤 실수

\mu, \lambda

에 대해서 이 "분배 법칙"이 성립한다면, 그 집합은 볼록 집합이라고 할 수 있다.^[15]

그러나 모든 집합에 대해 이 성질이 성립하는 것은 아니다. 오른쪽 그림은 볼록하지 않은 집합

A

에 대해

A + A \neq 2A

가 되는 예시를 보여준다. 더 정확히는

A + A \subsetneq 2 A

이다.

1차원에서의 예시로 집합

B = [1, 2] \cup [4, 5]

를 생각해보자. 이 경우

2B = \{2x | x \in B\} = [2, 4] \cup [8, 10]

이다. 반면,

B+B = \{x+y | x \in B, y \in B\}

를 계산하면

[2, 4] \cup [5, 7] \cup [8, 10]

이 된다. 따라서

B+B \subsetneq 2B

임을 확인할 수 있다.

민코프스키 덧셈은 2차원 볼록체의 둘레에 대해서는 선형적으로 작용한다. 즉, 두 볼록체의 민코프스키 합의 둘레는 각 볼록체의 둘레의 합과 같다. 또한, 만약

K

가 정폭도형(의 내부)이라면,

K

와

K

를 180° 회전시킨 도형의 민코프스키 덧셈은 원판이 된다. 이 두 가지 사실을 이용하면 정폭도형의 둘레에 관한 바르비에의 정리를 간략하게 증명할 수 있다.^[16]

민코프스키 덧셈은 볼록 폐포 (Convex Hull) 연산과도 잘 어울린다. 실수 벡터 공간의 어떤 공집합이 아닌 부분집합

S_1

과

S_2

에 대해, 두 집합의 민코프스키 덧셈의 볼록 폐포는 각 집합의 볼록 폐포의 민코프스키 덧셈과 같다.^[13]^[14]

:

\operatorname{Conv}(S_1 + S_2) = \operatorname{Conv}(S_1) + \operatorname{Conv}(S_2).

이 결과는 유한 개의 공집합이 아닌 집합들에 대해서도 일반화될 수 있다.

:

\operatorname{Conv}\left(\sum{S_n}\right) = \sum\operatorname{Conv}(S_n).

이는 민코프스키 덧셈 연산과 볼록 폐포를 만드는 연산이 서로 교환 가능함을 의미한다.^[13]^[14]

3. 2. 비볼록 집합의 민코프스키 덧셈

볼록 집합

S

의 경우, 모든 음이 아닌 실수

\mu, \lambda \geq 0

에 대해

\mu S + \lambda S = (\mu + \lambda) S

가 성립한다.^[6] 특히

\mu = \lambda = 1

일 때,

S + S = 2S

가 된다.

그러나 비볼록 집합의 민코프스키 덧셈은 이 성질을 만족하지 않을 수 있으며, 그 결과 역시 비볼록 집합이 될 수 있다. 즉, 비볼록 집합

A

에 대해서는

A + A = 2A

가 항상 성립하지 않는다.

오른쪽 그림은

A + A \subsetneq 2 A

인 비볼록 집합의 예를 보여준다.

1차원에서의 예시는 다음과 같다: 집합

B = [1, 2] \cup [4, 5]

를 생각해보자. 이 집합을 스칼라배 한

2B

는

2 B = [2, 4] \cup [8, 10]

이다. 하지만

B

와 자기 자신의 민코프스키 덧셈

B + B

를 계산하면, 각 구간의 합집합으로 나타낼 수 있다:

B + B = ([1, 2] + [1, 2]) \cup ([1, 2] + [4, 5]) \cup ([4, 5] + [1, 2]) \cup ([4, 5] + [4, 5])

= [2, 4] \cup [5, 7] \cup [5, 7] \cup [8, 10]

= [2, 4] \cup [5, 7] \cup [8, 10]

따라서

B + B \subsetneq 2 B

임을 알 수 있다.

4. 응용

민코프스키 덧셈은 수학적 형태학에서 중요한 역할을 한다. 이는 2차원 컴퓨터 그래픽스의 브러시-스트로크 패러다임에서 나타나는데, 다양한 용도로 활용되며 특히 도널드 E. 크누스가 메타폰트에서 사용한 것으로 유명하다. 또한 3차원 컴퓨터 그래픽스에서는 솔리드 스윕 연산의 기반이 된다. 이 외에도 지구 이동 거리와 밀접한 관련이 있으며, 이를 통해 최적 수송 문제와도 연결된다.

4. 1. 모션 계획 (Motion Planning)

민코프스키 덧셈은 물체가 장애물을 피해 움직이는 경로를 찾는 모션 계획 문제에 활용된다. 모션 계획에서는 물체가 존재할 수 있는 모든 위치와 자세의 집합인 짜임새 공간(Configuration Space, 또는 구성 공간)을 계산하는 것이 중요한데, 이때 민코프스키 덧셈이 사용된다.

가장 간단한 예로, 평면 위에서 물체가 평행이동만 하는 경우를 생각해 볼 수 있다. 이 경우, 물체의 위치는 물체 위의 한 고정된 점의 좌표로 나타낼 수 있다. 이때 짜임새 공간, 즉 물체가 장애물과 충돌하지 않고 위치할 수 있는 모든 지점의 집합은 다음과 같이 계산된다. 먼저 장애물들의 집합을 생각한다. 그리고 움직이려는 물체를 원점을 기준으로 180도 회전시킨 집합을 만든다. 이 두 집합의 민코프스키 덧셈 결과가 바로 짜임새 공간이 된다.

4. 2. 수치 제어 (NC) 가공

수치 제어(NC) 가공에서 NC 공구를 프로그래밍할 때는 민코프스키 덧셈의 원리가 이용된다. 즉, 절삭 공구의 이동 경로(궤적)와 절삭 공구 자체의 모양을 민코프스키 덧셈하면, 그 결과가 재료에서 실제로 깎여 나가는 부분의 형태와 일치한다는 점을 활용하는 것이다. 이를 통해 원하는 형상으로 정밀하게 재료를 깎아낼 수 있다.

4. 3. 3D 솔리드 모델링

OpenSCAD와 같은 3D 솔리드 모델링 소프트웨어에서 민코프스키 덧셈은 한 도형을 다른 도형의 윤곽을 따라 이동시키며 결합하여 새로운 복합 도형을 생성하는 데 사용된다.

4. 4. 충돌 감지 (Collision Detection)

민코프스키 합, 특히 민코프스키 차는 GJK 알고리즘과 함께 물리 엔진에서 볼록 껍질의 충돌 감지를 계산하는 데 자주 사용된다.

4. 5. 집성 이론(Aggregation Theory)

민코프스키 덧셈은 집성 이론 (Aggregation Theory)에서 집계 대상이 되는 각각의 물체가 집합으로 특정될 경우에 종종 사용된다.^[17]^[18]^[9]^[10]

5. 알고리즘

민코프스키 덧셈과 볼록 폐포. 왼쪽의 네 개 집합(각각 빨간 점 두 개로 구성)의 민코프스키 덧셈 결과가 오른쪽의 16개 빨간 점으로 나타난다. 각 집합의 볼록 폐포(분홍색 영역)와 각 집합 내 특정 점(더하기 기호)의 덧셈 관계를 보여준다.

민코프스키 덧셈을 계산하는 알고리즘은 덧셈 대상이 되는 집합의 형태에 따라 다양하다. 특히, 평면 상의 두 볼록 다각형의 민코프스키 덧셈은 각 다각형의 꼭짓점 수에 비례하는 효율적인 시간 안에 계산할 수 있는 알고리즘이 알려져 있다. 집합이 볼록하지 않은 경우에는 계산 복잡도가 증가한다. 구체적인 알고리즘과 시간 복잡도 분석은 아래 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

5. 1. 평면 상의 두 볼록 다각형

평면 상의 두 볼록 다각형 P와 Q가 각각 m개와 n개의 꼭짓점을 가진다고 할 때, 이들의 민코프스키 합은 최대 m + n개의 꼭짓점을 갖는 볼록 다각형이다. 이 민코프스키 합은 다음과 같은 간단한 절차를 통해 O(m + n) 시간에 계산할 수 있다.

먼저, 각 다각형의 변들을 경계를 따라 반시계 방향으로 나열한다고 가정한다. 이렇게 하면 각 볼록 다각형의 변들은 극각 순서대로 정렬된다.

다음으로, P와 Q에서 얻은 방향성 변들의 정렬된 순서를 단일 정렬 순서 S로 병합한다. 이때 각 변을 원래 방향과 평행하게 유지하면서 자유롭게 움직일 수 있는 단단한 화살표로 생각할 수 있다.

마지막으로, 순서 S의 순서대로 다음 화살표의 꼬리를 이전 화살표의 머리에 붙여서 모든 화살표를 조립한다. 이렇게 만들어진 폴리곤 체인이 바로 P와 Q의 민코프스키 합인 볼록 다각형이 된다.

5. 2. 기타 경우

한 다각형이 볼록이고 다른 하나는 그렇지 않다면, 그들의 민코프스키 덧셈의 복잡도는 O(''nm'')이다. 두 다각형 모두 비볼록이라면, 그들의 민코프스키 덧셈 복잡도는 O((''mn'')²)이다.

6. 본질적 민코프스키 덧셈

유클리드 공간의 두 부분집합에 대한 '''본질적 민코프스키 덧셈'''(essential Minkowski sum)은 +_e 기호로 표기한다. 일반적인 민코프스키 덧셈은 다음과 같이 정의된다.

: $A + B = \{ z \in \mathbb{R}^{n} \,|\, A \cap (\{z\} - B) \neq \emptyset \}.$

이를 바탕으로, '''본질적 민코프스키 덧셈'''은 다음과 같이 정의된다.

: $A +_{\mathrm{e}} B = \{ z \in \mathbb{R}^{n} \,|\, \mu \left[A \cap (\{z\} - B)\right] > 0 \},$

여기서 ''μ''는 ''n''-차원 르베그 측도를 나타낸다. 즉, 일반적인 민코프스키 덧셈과 달리 두 집합의 교집합(∩)이 공집합(∅)이 아닌지만 보는 것이 아니라, 그 교집합의 르베그 측도가 0보다 큰지를 확인한다.

"본질적"이라는 용어는 지시 함수와 관련된 다음 속성 때문에 사용된다. 일반적인 민코프스키 덧셈의 지시 함수는 다음과 같이 상한(sup)으로 표현된다.

: $1_{A \,+\, B} (z) = \sup_{x \,\in\, \mathbb{R}^{n}} 1_{A} (x) 1_{B} (z - x)$

반면, 본질적 민코프스키 덧셈의 지시 함수는 본질적 상한(ess sup)으로 표현된다.

: $1_{A \,+_{\mathrm{e}}\, B} (z) = \mathop{\mathrm{ess\,sup}}_{x \,\in\, \mathbb{R}^{n}} 1_{A} (x) 1_{B} (z - x),$

여기서 "ess sup"은 본질적 상한을 의미한다.

7. Lp 민코프스키 덧셈

$\mathbb{R}^n$ 의 콤팩트 볼록 집합 ''K''와 ''L''에 대해서, 민코프스키 합은 볼록 집합의 지지 함수로 설명될 수 있다:

: $h_{K+L} = h_K + h_L$

$p \ge 1$ 일 때, Firey^[19]^[11]는 원점을 포함하는 $\mathbb{R}^n$ 의 콤팩트 볼록 집합 ''K''와 ''L''에 대해 '''L^p 민코프스키 합''' $K+_p L$ 을 다음과 같이 정의했다:

: $h_{K +_p L}^p = h_K^p + h_L^p$

민코프스키 부등식에 의해서, 함수 $h_{K+_p L}$ 은 다시 양의 동차이고 볼록하며, 따라서 콤팩트 볼록 집합의 지지 함수이다. 이 정의는 L^p 브룬-민코프스키 이론에서 근본적이다.

참조

_[1] 간행물 Minkowskische Addition und Subtraktion beliebiger Punktmengen und die Theoreme von Erhard Schmidt https://gdz.sub.uni-[...] 2023-01-12
_[2] 학위논문 GPU-Based Computation of Voxelized Minkowski Sums with Applications https://escholarship[...] UC Berkeley 2011-09-22 #Fall 2011을 2011년 가을로 해석
_[3] 간행물 Spatial Planning: A Configuration Space Approach https://lis.csail.mi[...] 1983-02-01
_[4] 간행물 On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space
_[5] 서적 Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[6] 서적 Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory Cambridge University Press
_[7] 웹사이트 The Theorem of Barbier (Java) http://www.cut-the-k[...]
_[8] 간행물 Properties of the d-dimensional earth mover's problem
_[9] 간행물 Aggregation of scale efficiency https://ideas.repec.[...]
_[10] 간행물 Aggregation of Malmquist productivity indexes allowing for reallocation of resources https://ideas.repec.[...]
_[11] 간행물 "''p''-means of convex bodies"
_[12] 인용 Minkowskische Addition und Subtraktion beliebiger Punktmengen und die Theoreme von Erhard Schmidt
_[13] 뉴스 On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space
_[14] 서적 Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory Cambridge University Press
_[15] 서적 Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory Cambridge University Press
_[16] 웹사이트 The Theorem of Barbier (Java) http://www.cut-the-k[...]
_[17] 간행물 Aggregation of scale efficiency https://ideas.repec.[...]
_[18] 간행물 Aggregation of Malmquist productivity indexes allowing for reallocation of resources https://ideas.repec.[...]
_[19] 인용 "''p''-means of convex bodies"

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