밀러 효과

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1. 개요
2. 역사
3. 유도
4. 영향
- 4.1. 주파수 응답에 대한 영향
- 4.2. 밀러 근사
5. 회로 동작에 대한 영향 (일본어 위키 항목)
6. 고려해야 할 소자 (일본어 위키 항목)
7. 완화 기법
참조

1. 개요

밀러 효과는 1919년 존 밀턴 밀러가 처음 발표한 현상으로, 증폭기 회로에서 입력과 출력 사이의 임피던스로 인해 나타나는 유효 정전 용량의 증가를 의미한다. 이 효과는 증폭기의 대역폭을 감소시키고, 고주파 응답을 저하시키는 원인이 된다. 밀러 효과는 대부분의 반전 증폭기에서 발생하며, 달링턴 트랜지스터와 같은 소자의 고주파 응답 저하에 영향을 미친다. 밀러 효과는 작은 커패시터를 사용하여 큰 커패시터를 합성하는 데 활용되기도 하며, 증폭기 설계에서는 전류 버퍼 추가, 전압 버퍼 사용, 중화 기법 등을 통해 밀러 효과를 완화하려는 노력이 이루어진다.

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밀러 효과
밀러 효과
밀러 효과 개략도
종류	전기회로 효과
정의	증폭기의 입력 단자와 출력 단자 사이에 있는 커패시턴스로 인해 입력 임피던스와 유효 커패시턴스가 변화하는 현상
원인	증폭기의 출력과 입력 사이의 커패시턴스
관련 요소	증폭기 커패시턴스 입력 임피던스
영향	증폭기의 대역폭 감소 증폭기의 안정성 감소
작동 원리
밀러 커패시턴스	입력과 출력 사이의 커패시턴스가 증폭기의 이득에 의해 증폭되어 입력 측에 나타나는 효과
계산식	C_M = C(1 + \|A_v\|) (C_M : 밀러 커패시턴스, C: 실제 커패시턴스, A_v: 전압 이득)
유효 커패시턴스	C_eff = C(1 + \|A_v\|) (C_eff : 유효 커패시턴스, C: 실제 커패시턴스, A_v: 전압 이득)
응용 분야
사용 예시	트랜지스터 증폭기 연산 증폭기 진공관 증폭기
밀러 효과 감소 방법
캐스코드 증폭기	밀러 효과를 감소시키기 위해 사용되는 증폭기 구조
부귀환 회로	증폭기의 이득을 감소시켜 밀러 효과를 줄이는 방법

2. 역사

밀러는 1919년 자신의 연구를 발표했을 때, 진공관 트라이오드를 연구하고 있었다. 같은 분석은 트랜지스터의 바이폴라 접합형 및 전계 효과형과 같은 현대적인 소자에도 적용된다.^[5]^[6]

3. 유도

그림 1: 출력을 입력에 연결하는 임피던스가 있는 이상적인 전압 반전 증폭기 회로

이상적인 반전 전압 증폭기(-A_v 이득) 회로에서 입력과 출력 노드 사이에 임피던스 Z가 연결되어 있다고 가정한다. 출력 전압은 V_o = -A_vV_i이다. 증폭기 입력은 전류를 끌어들이지 않는다고 가정하면, 모든 입력 전류는 Z를 통해 흐르며, 다음과 같이 주어진다.

:I_i = (V_i - V_o)/Z = V_i(1 + A_v)/Z

회로의 입력 임피던스는 다음과 같다.

:Z_in = V_i/I_i = Z/(1 + A_v)

라플라스 변환 영역(s는 복소 주파수를 나타냄)에서 Z가 복소 임피던스 Z = 1/(sC)를 형성하는 단순한 축전기로 구성된 경우, 회로의 결과적인 입력 임피던스는 더 큰 커패시턴스 C_M과 동일하다.

:Z_in = 1/(sC(1 + A_v)) = 1/(sC_M) 여기서 C_M = C(1 + A_v)

이 '''밀러 커패시턴스''' C_M는 물리적 커패시턴스 C에 (1 + A_v) 계수를 곱한 값이다.^[2]

입력 임피던스가 무한대이고, 출력 임피던스가 0이며, 이득이

A

인 반전 증폭기에서, 입력 및 출력 단자 사이에 정전용량

C

를 연결하여 귀환 회로를 구성한 경우(회로의 이득은

-A

가 됨)를 생각해 본다.(오른쪽 그림 (a))

교류 입력 신호를

V_{in}

, 출력 신호를

V_{out}

, 입력 전류를

I_{in}

이라고 하면,

:

I_{in} = j \omega C ( V_{in} - V_{out} )

:

V_{out} = -A V_{in}

따라서,

:

I_{in} = j \omega C (1 + A) V_{in}

이 되고, 이 회로의 입력 단자에서 본 임피던스

Z_{in}

는,

:

\begin{align}Z_{in} &= \frac {V_{in}}{I_{in}}\\&= \frac{1}{j \omega (1 + A) C}\end{align}

이다. 즉, 입력 단자에 (1 + A)배의 용량 C가 연결되어 있는 것과 같다.(오른쪽 그림 (b))

이득이 클수록 이 효과는 크게 나타나므로, 미소한 정전용량이라도 등가적인 용량은 커진다.^[5]^[6] 또한, 입력 신호가 변화가 없는 일정 신호인 경우,

\omega=0

이므로,

|Z_{in}|=\infty

가 되어 밀러 효과는 소멸한다.

4. 영향

밀러 효과는 증폭기의 입력단에서 보이는 유효 정전용량을 증가시켜 증폭기의 대역폭을 감소시키고, 동작 범위를 낮은 주파수로 제한하는 현상이다. 예를 들어, 달링턴 트랜지스터의 베이스와 컬렉터 단자 사이의 작은 접합 및 기생 정전용량은 높은 이득으로 인해 밀러 효과에 의해 크게 증가하여 소자의 고주파 응답을 저하시킬 수 있다.

입력 임피던스가 무한대이고, 출력 임피던스가 0이며, 이득이 $A$ 인 반전 증폭기에서, 입력 및 출력 단자 사이에 정전용량 $C$ 를 연결하여 귀환 회로를 구성한 경우(회로의 이득은 $-A$ 가 됨)를 생각해 보자. 교류 입력 신호를 $V_{in}$ , 출력 신호를 $V_{out}$ , 입력 전류를 $I_{in}$ 이라고 하면, 다음과 같은 식이 성립한다.

: $I_{in} = j \omega C ( V_{in} - V_{out} )$

: $V_{out} = -A V_{in}$

: $I_{in} = j \omega C (1 + A) V_{in}$

이 회로의 입력 단자에서 본 임피던스 $Z_{in}$ 는 다음과 같다.

: $\begin{align}Z_{in} &= \frac {V_{in}}{I_{in}}\\&= \frac{1}{j \omega (1 + A) C}\end{align}$

즉, 입력 단자에 (1 + A)배의 용량 C가 연결되어 있는 것과 같다. 이득이 클수록 이 효과는 크게 나타나므로, 미소한 정전용량이라도 등가적인 용량은 커진다.^[5]^[6] 입력 신호가 변화가 없는 일정 신호인 경우, $\omega=0$ 이므로, $|Z_{in}|=\infty$ 가 되어 밀러 효과는 소멸한다.

밀러 효과는 작은 커패시터로 더 큰 커패시터를 합성하는 데에도 활용될 수 있다. 예를 들어 귀환 증폭기의 안정화에 사용될 수 있는데, 이 때 필요한 커패시터가 회로에 실제로 포함하기에는 너무 클 수 있다.

4. 1. 주파수 응답에 대한 영향

대부분의 증폭기는 반전 증폭기이므로 (

A_v

는 양수), 밀러 효과로 인해 입력단의 유효 정전용량이 증가한다. 이는 증폭기의 대역폭을 감소시켜 동작 범위가 낮은 주파수로 제한될 수 있다. 예를 들어, 달링턴 트랜지스터의 베이스와 컬렉터 단자 사이의 작은 접합 및 기생 정전용량은 높은 이득으로 인해 밀러 효과에 의해 크게 증가하여 소자의 고주파 응답을 저하시킬 수 있다.^[3]

그림 2A는 입력을 출력에 결합하는 임피던스가 결합 커패시터

C_C

인 예를 보여준다. 테브냉 전압원

V_A

는 테브냉 저항

R_A

로 회로를 구동한다. 증폭기의 출력 임피던스는

V_o = -A_v V_i

관계가 성립한다고 가정할 만큼 충분히 낮다고 간주된다. 출력에서

Z_L

은 부하 역할을 한다. 그림 2A에서 결합 커패시터는

j \omega C_C (V_i - V_o)

의 전류를 출력 노드에 전달한다.

그림 2B는 밀러 정리를 사용하여 그림 2A와 전기적으로 동일한 회로를 보여준다. 결합 커패시터는 회로의 입력 측에서 밀러 커패시턴스

C_M

로 대체되며, 이는 그림 2A의 결합 커패시터와 동일한 전류를 드라이버로부터 끌어온다.

밀러 커패시턴스가 그림 2B에서 그림 2A의 결합 커패시터와 동일한 전류를 끌어오기 위해서는 밀러 변환을 사용하여

C_M

을

C_C

와 관련짓는다. 이 예에서 이 변환은 전류를 같게 설정하는 것과 같다. 즉,

::

\  j\omega C_C (V _i - V _O ) = j \omega C_M V _i,

또는 이 방정식을 다시 정리하면

::

C_M = C_C \left( 1 - \frac { V _o} { V _i} \right )  = C_C (1 + A_v).

이 결과는 ''유도 부분''의

C_M

과 같다.

A_v

가 주파수에 무관한 이 예는

C_C

가 이 회로의 주파수 응답에 미치는 영향을 보여주며, 밀러 효과의 영향을 보여주는 전형적인 예이다 (예: 공통 소스 참조).

C_C

가 0이면 회로의 출력 전압은 주파수와 무관하게 단순히

A_v v_A

이다. 그러나

C_C

가 0이 아니면 그림 2B는 큰 밀러 커패시턴스가 회로의 입력에 나타나는 것을 보여준다. 이제 회로의 출력 전압은

::

V _o =- A_v V _i = - A_v \frac { V _A} {1+j \omega C_M R_A},

이 되며, ω''C_MR_A'' ≥ 1이 될 만큼 주파수가 충분히 높아지면 주파수에 따라 감쇠된다. 이는 저역 통과 필터이다. 아날로그 증폭기에서 이러한 주파수 응답의 감소는 밀러 효과의 주요 영향이다. 이 예에서 ω''_3dB'' ''C_MR_A'' = 1이 되는 주파수 ω''_3dB''는 저주파 응답 영역의 끝을 표시하며 증폭기의 대역폭 또는 차단 주파수를 설정한다.

저임피던스 드라이버의 경우 (''R''_A가 작으면 ''C''_M ''R''_A가 작다) 증폭기 대역폭에 대한 ''C''_M의 영향은 크게 감소한다. 따라서 대역폭에 대한 밀러 효과를 최소화하는 한 가지 방법은 저임피던스 드라이버를 사용하는 것이다. 예를 들어, 드라이버와 증폭기 사이에 전압 팔로워 단계를 삽입하여 증폭기에서 보이는 드라이버 임피던스를 줄인다.^[3]

입력 임피던스가 무한대이고, 출력 임피던스가 0이며, 이득이

A

인 반전 증폭기에서, 입력 및 출력 단자 사이에 정전용량

C

를 연결하여 귀환 회로를 구성한 경우(회로의 이득은

-A

가 됨)를 생각해 보자.(오른쪽 그림 (a))

교류 입력 신호를

V_{in}

, 출력 신호를

V_{out}

, 입력 전류를

I_{in}

이라고 하면,

:

I_{in} = j \omega C ( V_{in} - V_{out} )

:

V_{out} = -A V_{in}

따라서,

:

I_{in} = j \omega C (1 + A) V_{in}

이 되고, 이 회로의 입력 단자에서 본 임피던스

Z_{in}

는,

:

\begin{align}Z_{in} &= \frac {V_{in}}{I_{in}}\\&= \frac{1}{j \omega (1 + A) C}\end{align}

이다. 즉, 입력 단자에 (1 + A)배의 용량 C가 연결되어 있는 것과 같다.(오른쪽 그림 (b))

이득이 클수록 이 효과는 크게 나타나므로, 미소한 정전용량이라도 등가적인 용량은 커진다.^[5]^[6] 또한, 입력 신호가 변화가 없는 일정 신호인 경우,

\omega=0

이므로,

|Z_{in}|=\infty

가 되어 밀러 효과는 소멸한다.

일반적으로 신호원과 연결되는 증폭 회로 사이에는 어떤 임피던스가 존재하기 때문에^[7], 그 임피던스와 밀러 효과 용량에 의해 저역 통과 필터가 구성되어 고주파 특성이 제한된다.^[8]

따라서 고주파 특성이 좋은 증폭 회로를 만들려면, 귀환 용량이 작은 증폭 소자를 사용하거나, 귀환 용량의 영향을 작게 하는 회로 구성이 필요하다.

4. 2. 밀러 근사

A_v^영어의 저주파 값을 사용하여 C_M^영어을 결정하는 것을 '''밀러 근사(Miller approximation)'''라고 한다.^[2] 밀러 근사를 사용하면 C_M^영어은 주파수에 독립적이 되고, 저주파에서 커패시턴스로 해석하는 것이 타당해진다.

입력 임피던스가 무한대이고, 출력 임피던스가 0이며, 이득이 A^영어인 반전 증폭기에서, 입력 및 출력 단자 사이에 정전용량 C^영어를 연결하여 귀환 회로를 구성한 경우(회로의 이득은 -A^영어가 됨)를 생각해 보자. (오른쪽 그림 (a))

교류 입력 신호를 V_in^영어, 출력 신호를 V_out^영어, 입력 전류를 I_in^영어이라고 하면,

:I_in^영어 = jωC(V_in^영어 - V_out^영어)

:V_out^영어 = -AV_in^영어

따라서,

:I_in^영어 = jωC(1 + A)V_in^영어

이 되고, 이 회로의 입력 단자에서 본 임피던스 Z_in^영어는,

:Z_in^영어 = 1 / (jω(1 + A)C)

이다. 즉, 입력 단자에 (1 + A)배의 용량 C가 연결되어 있는 것과 같다. (오른쪽 그림 (b))

이득이 클수록 이 효과는 크게 나타나므로, 미소한 정전용량이라도 등가적인 용량은 커진다.^[5]^[6] 또한, 입력 신호가 변화가 없는 일정 신호인 경우, ω=0이므로, |Z_in^영어|=∞가 되어 밀러 효과는 소멸한다.

5. 회로 동작에 대한 영향 (일본어 위키 항목)

대부분의 증폭기는 반전 증폭기이므로( $A_v$ 는 위에서 정의한 대로 양수임), 밀러 효과로 인해 입력단의 유효 정전용량이 증가한다. 이로 인해 증폭기의 대역폭이 감소하여 동작 범위가 낮은 주파수로 제한될 수 있다. 예를 들어, 달링턴 트랜지스터의 베이스와 컬렉터 단자 사이의 작은 접합 및 기생 정전용량은 높은 이득으로 인해 밀러 효과에 의해 크게 증가하여 소자의 고주파 응답을 저하시킬 수 있다.^[7]

밀러 정전용량은 입력단에서 보이는 정전용량이라는 점도 중요하다. 모든 RC 시상수(극점)를 찾는 경우 출력단에서 보이는 정전용량도 포함하는 것이 중요하다. 출력단의 정전용량은 ${C}({1+\tfrac{1}{A_v}})$ 를 나타내고 증폭기 출력은 일반적으로 저임피던스이기 때문에 종종 무시된다. 그러나 이득 단이 출력 단이기도 한 경우와 같이 증폭기가 고임피던스 출력을 갖는 경우 이 RC는 증폭기 성능에 상당한 영향을 미칠 수 있다. 이때 극점 분리 기법이 사용된다.

밀러 효과는 작은 커패시터로 더 큰 커패시터를 합성하는 데에도 활용될 수 있다. 그 한 예로, 필요한 커패시터가 회로에 실제로 포함하기에는 너무 클 수 있는 귀환 증폭기의 안정화가 있다. 이는 커패시터가 상당한 면적을 차지하여 비용을 증가시킬 수 있는 집적 회로 설계에서 특히 중요할 수 있다.

일반적으로 신호원과 연결되는 증폭 회로 사이에는 어떤 임피던스가 존재하기 때문에, 그 임피던스와 밀러 효과 용량에 의해 저역 통과 필터가 구성되어 고주파 특성이 제한된다.^[7]^[8]

따라서 고주파 특성이 좋은 증폭 회로를 만들려면, 귀환 용량이 작은 증폭 소자를 사용하거나, 귀환 용량의 영향을 작게 하는 회로 구성이 필요하다.

6. 고려해야 할 소자 (일본어 위키 항목)

다음과 같은 증폭 기능을 가진 소자는 밀러 효과를 고려해야 한다.^[1]

트랜지스터 - 베이스-콜렉터 간 용량^[1]
전계 효과 트랜지스터(FET) - 게이트-드레인 간 용량^[1]
연산 증폭기 - 입력-출력 간 용량^[1]
진공관 - 그리드-플레이트 간 용량^[1]
IGBT - 게이트-콜렉터 간 용량^[1]

7. 완화 기법

증폭기 설계에는 밀러 효과를 줄이기 위한 몇 가지 기법이 사용된다.

출력에 전류 버퍼 단을 추가하여 증폭기의 입력과 출력 단자 간의 이득 Av^영어를 낮출 수 있다(전체 이득이 반드시 낮아지는 것은 아님). 예를 들어, 공통 베이스를 공통 이미터 단의 출력에서 전류 버퍼로 사용하여 캐스코드를 형성할 수 있다. 이렇게 하면 일반적으로 밀러 효과가 줄어들고 증폭기의 대역폭이 증가한다.

또는 증폭기 입력 전에 전압 버퍼를 사용하여 입력 단자에서 보이는 유효 소스 임피던스를 줄일 수 있다. 이렇게 하면 회로의 RC^영어 시간 상수가 감소하고 일반적으로 대역폭이 증가한다.

중화를 통해 밀러 커패시턴스를 완화할 수 있다. 이는 단계 출력에 존재하는 것과 위상이 반대인 추가 신호를 되먹임하여 달성할 수 있다. 적절한 커패시터를 통해 이러한 신호를 되먹임함으로써, 이론적으로는 밀러 효과를 완전히 제거할 수 있다. 그러나 실제로는 개별 증폭 소자의 커패시턴스 변화와 기타 미소한 커패시턴스로 인해 완전한 상쇄가 일어나도록 회로를 설계하기 어렵다. 역사적으로, 특히 대역폭이 매우 낮은 초기 트랜지스터의 경우, 증폭 소자에 맞춰 중화 커패시터를 테스트 중에 선택하는 것이 드문 일이 아니었다. 위상이 반전된 신호를 도출하려면 일반적으로 초크 또는 단간 변압기와 같은 유도성 부품이 필요하다.

진공관에서는 제어 그리드와 애노드 사이에 추가 그리드(스크린 그리드)를 삽입할 수 있다. 이것은 애노드를 그리드로부터 차폐하고 그 사이의 커패시턴스를 상당히 줄이는 효과가 있었다. 이 기법은 처음에는 성공적이었지만, 진공관의 대역폭이 향상됨에 따라 다른 요소들이 이 기법의 이점을 제한했다. 후기 진공관은 소자를 스크린 그리드로는 불가능한 주파수에서 작동할 수 있도록 커패시턴스를 줄이기 위해 매우 작은 그리드(프레임 그리드)를 사용해야 했다.

참조

_[1] 논문 Dependence of the input impedance of a three-electrode vacuum tube upon the load in the plate circuit http://web.mit.edu/k[...]
_[2] 서적 Introduction to electronic circuit design http://worldcat.org/[...] Prentice Hall/Pearson Education, Inc.
_[3] 문서 pole splitting
_[4] 서적 電子通信用語事典コロナ社
_[5] 서적 電気学会大学講座基礎電子回路工学 -アナログ回路を中心に- オーム社
_[6] 서적 電子回路森北出版
_[7] 문서 트랜지스터에 연결하는 베이스 저항 등
_[8] 서적 半導体電子回路培風館

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