보편 가역층

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 직관적 정의 (영어 문서 내용)
- 2.2. 형식적 정의 (한국어, 영어 문서 내용)
3. 성질
- 3.1. 베유 인자 (한국어 문서 내용)
- 3.2. 피카르 군 (영어 문서 내용)
4. 관련 개념
참조

1. 개요

보편 가역층은 체 K 위의 사영 공간에 대한 가역층으로, 사영 공간 위의 자명한 벡터 다발에서 아이디얼 층의 몫으로 정의된다. 이는 세르 뒤틀림층의 텐서 역원이며, 피카르 군의 생성원 역할을 한다. 보편 가역층은 국소적으로 자명하지만, 특정 조건에서는 자명하지 않으며, 뫼비우스 띠와 연관될 수 있다.

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보편 가역층
개요
유형	선형 다발
관련 개념	벡터 다발 사영 공간 접선 다발
상세 정보
정의	주어진 사영 공간 위에 정의되는 특수한 선형 다발
다른 이름	보편 가역층 보편 선형 다발 표준 다발 호프 다발
성질	이 다발의 단면은 사영 공간의 좌표 함수와 관련됨
응용	대수기하학 복소기하학 미분기하학
역사
기원	대수기하학 및 복소기하학 연구에서 발생

2. 정의

체 ''K'' 위의 사영 공간에서 보편 가역층은 특정한 아이디얼 층으로 정의되는 가역층이다. 이는 기하학적으로 사영 공간 위의 벡터 다발 구조를 가지며, 동차 좌표를 사용하여 설명할 수 있다.

좀 더 구체적으로, 체 ''K'' 위의 유한 생성 자유 가환 결합 대수 ''A'' = ''K''[''x''₀, ''x''₁, ..., ''x''_n]를 생각하자. ''n''차원 사영 공간은 이 대수의 사영 스펙트럼으로 정의된다.

: $\mathbb P^n_K = \operatorname{Proj}A$

이제, 구조층 $\mathcal O_{\mathbb P^n_K}$ 위의 대수층 $\mathcal A = \mathcal O_{\mathbb P^n_K}[y_0,\dotsc,y_n]$ 의 상대 스펙트럼을 다음과 같이 정의한다.

: $\operatorname{\underline{Spec}}\mathcal A = \mathbb A^{n+1}_{\mathbb P^n_K} = \mathbb P_K^n \times_K \mathbb A^{n+1}_K$

이는 기하학적으로 ''n''차원 사영 공간 위의 자명한 (''n''+1)차원 벡터 다발에 해당한다.

여기서, 다음과 같은 아이디얼 층을 고려한다.

: $\mathfrak I = (x_iy_j-x_jy_i)_{i,j\in \{0,1,\dotsc,n\}}\subseteq \mathcal A$

이 아이디얼 층에 대한 몫 대수층은 다음과 같다.

: $\mathcal O_{\mathcal P^n_K}(-1) = \operatorname{\underline{Spec}}(\mathcal A/\mathfrak I)$

이 몫 대수층은 가역층을 이루며, 이를 $\mathbb P^n_K$ 의 '''보편 가역층'''이라고 한다. 기하학적으로, 그 닫힌점들의 집합은 다음과 같다.

: $\{([x_0:x_1:\dotsb:x_n],y_0,y_1,\dotsc,y_n) \in \mathbb P_K^n \times_K \mathbb A^{n+1}_K \colon [x_0:\dotsb:x_n] = [y_0:\dotsb:y_n]\}\cup \mathbb P_K^n \times \{(0,0,\dotsc,0)\}$

여기서 (-, -, ..., -)은 아핀 공간의 데카르트 좌표이며, [-:-:...:-]는 사영 공간의 동차 좌표이다.

2. 1. 직관적 정의 (영어 문서 내용)

그라스만 다양체Grassmann manifold^영어는 주어진 벡터 공간의 선형 부분 공간들을 나타내는 공간이다.

G

가 그라스만 다양체이고,

V_g

가

G

에서

g

에 해당하는 부분 공간이라면, 각 점

g

에 대해 벡터 공간이 연속적으로 변하는 것을 볼 수 있다. 하지만,

V_g

들이 서로 교차하는 문제가 발생하는데, 이를 해결하기 위해 서로 겹치지 않는

V_g

의 복사본들을 만들어 전체 공간을 구성한다. 이렇게 하면 벡터 다발을 얻을 수 있다.^[3]

사영 공간의 경우, 쌍대 공간의 의미에서 자명한 다발을 가질 수 있다.

V

가

n+1

차원을 가지면, 자명한 선 다발은 하나는 자명한 다발이고, 다른 하나는 랭크가

n

인 다발이 된다.

G_n(\R^{n+k})

를

\R^{n+k}

에서 ''n''차원 벡터 부분 공간의 그라스만 다양체라고 할 때, ''n'' = 1인 경우는 실수 투영 ''k''-공간이 된다.

G_n(\R^{n+k})

위에 자명한 다발 γ_{''n'', ''k''}를 정의할 수 있다. 전체 공간은 그라스만 다양체의 점 ''V''와 ''V''의 벡터 ''v''로 구성된 쌍(''V'', ''v'')들의 집합이며, 투영 맵 π는 π(''V'', ''v'') = ''V''로 주어진다. 이를 통해 랭크가 ''n''인 벡터 다발을 얻을 수 있다.^[3]

이 정의는 실수체

\R

을 복소수체

\C

로 대체해도 동일하게 적용된다.

무한 그라스만 다양체

G_n

은

G_n(\R^{n+k})

의 직접 극한으로 정의되며, 이를 통해 자명한 다발 γ_''n''을 얻는다. 이 다발은 보편적인 다발로, 각 콤팩트 공간 ''X''에 대해 자연스러운 전단사 함수가 존재한다.

:

[X, G_n] \to \operatorname{Vect}^{\R}_n(X)

여기서 왼쪽은 호모토피 클래스를, 오른쪽은 랭크가 ''n''인 실수 벡터 다발의 동형 사상 클래스 집합을 의미한다.

2. 2. 형식적 정의 (한국어, 영어 문서 내용)

체

K

위의 유한 생성 자유 가환 결합 대수

A = K[x_0,x_1,\dots,x_n]

를 생각하자.

n

차원 사영 공간은 그 사영 스펙트럼이다.

:

\mathbb P^n_K = \operatorname{Proj}A

이제, 구조층

\mathcal O_{\mathbb P_K^n}

위의 대수층

\mathcal A = \mathcal O_{\mathbb P_K^n}[y_0,\dotsc,y_n]

의 상대 스펙트럼

:

\operatorname{\underline{Spec}}\mathcal A = \mathbb A^{n+1}_{\mathbb P^n_K} = \mathbb P_K^n \times_K \mathbb A^{n+1}_K

을 취한다. 기하학적으로, 이는

n

차원 사영 공간 위의 자명한

n+1

차원 벡터 다발에 해당한다.

이제, 대수층의 다음과 같은 아이디얼 층을 생각한다.

:

\mathfrak I = (x_iy_j-x_jy_i)_{i,j\in \{0,1,\dotsc,n\}}\subseteq \mathcal A

그렇다면, 이에 대한 몫 대수층

:

\mathcal O_{\mathcal P^n_K}(-1) = \operatorname{\underline{Spec}}(\mathcal A/\mathfrak I)

는 가역층을 이룬다. 이를

\mathbb P^n_K

의 '''보편 가역층'''이라고 한다. 기하학적으로, 그 닫힌점들의 집합은

:

\{([x_0:x_1:\dotsb:x_n],y_0,y_1,\dotsc,y_n) \in \mathbb P_K^n \times_K \mathbb A^{n+1}_K \colon [x_0:\dotsb:x_n] = [y_0:\dotsb:y_n]\}\cup \mathbb P_K^n \times \{(0,0,\dotsc,0)\}

이다. 여기서

(-,-,\dotsc,-)

은 아핀 공간의 데카르트 좌표이며,

[-:-:\dotsb:-]

는 사영 공간의 동차 좌표이다.

이 정의는

\R

을 복소수체

\C

로 대체해도 여전히 의미가 있다.

더 간결하게 말하면, 보편 가역층은 아핀 공간

\mathbb{A}^{n+1}

의 원점을 블로우 업한 것이고, 여기서 예외적 제수는 0이다.

일반적으로,

\mathbf{Spec}(\operatorname{Sym} \check{E})

는 유한 순위의 국소 자유 층 ''E''에 해당하는 대수적 벡터 다발이다.^[4] 다음 완전열이 존재하므로,

:

0 \to I \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}[x_0, \ldots, x_n] \overset{x_i \mapsto y_i}{\longrightarrow} \operatorname{Sym} \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1) \to 0,

위에 정의된 보편 가역층은 세르의 꼬임 층의 쌍대

\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)

에 해당한다. 실제로 보편 가역층과 꼬임 층의 쌍대라는 두 개념은 상호 교환적으로 사용된다.

체 위에서, 그 쌍대 선 다발은 초평면 제수 ''H''와 관련된 선 다발이며, 그 전역 단면은 선형 형식이다. 그 천수는 −''H''이다. 이것은 반충분한 선 다발의 예이다.

\C

위에서, 이것은 천수가 음수라는 것을 의미하며, 즉 천수의 음수가 표준 켈러 형식의 드람 클래스라는 것과 동일하다.

3. 성질

보편 가역층 $\mathcal O(-1)$ 은 세르 뒤틀림층( $\mathcal O(1)$ )의 (텐서곱에 대한) 역원이다.^[5]

3. 1. 베유 인자 (한국어 문서 내용)

체

K

위의 사영 공간

\mathbb P^n_K = \operatorname{Proj} K[x_0,x_1,\dotsc,x_n]

에서, 가환환의 몫 사상

:

K[x_0,x_1,\dotsc,x_n] \,\stackrel{x_0 \mapsto 0} \twoheadrightarrow \, K[x_1,\dotsc,x_n]

으로 정의되는 사영 공간 사이의 사상

:

\mathbb P^{n-1}_K \hookrightarrow \mathbb \mathbb P^n_K

을 생각할 수 있다. 이는 여차원 1의 닫힌 부분 스킴이므로,

\mathbb P^n_K

의 베유 인자를 이룬다. 이를 '''초평면 인자'''(hyperplane divisor^영어)라고 하며,

H

로 표기한다.

보편 가역층은 인자류

:

-[H] \in \operatorname{DivCl}(\mathbb P^n_K)

에 대응된다. 즉, 효과적 인자류

[H]

는 세르 뒤틀림층에 대응한다.

3. 2. 피카르 군 (영어 문서 내용)

사영 공간의 피카르 군은 무한 순환군이며, 보편 가역층이 그 생성원 중 하나이다.^[5] 보편 가역층의 차수는 음수이다.

4. 관련 개념

보편 가역층은 국소적으로는 자명하지만, ''k'' ≥ 1일 때 전역적으로는 자명하지 않은 선 다발의 한 예시이다.^[5] 이는 실수 자기동어반복 선속의 전체 공간이 뫼비우스 띠와 같다는 점을 통해 알 수 있다.

뫼비우스 띠는 실수체 위에서 차원이 1인 경우의 보편 가역층과 위상 동형이다.^[5]

세르 뒤틀림층(Serre’s twisting sheaf|세르 뒤틀림층^영어) $\mathcal O(1)$ 의 텐서곱에 대한 역원이 보편 가역층 $\mathcal O(-1)$ 이다.^[4] 즉, 보편 가역층은 세르 뒤틀림층의 쌍대이다.

4. 1. 자명성

보편 가역층은 국소적으로 자명하지만, ''k'' ≥ 1일 때 전역적으로 자명하지 않은 선 다발의 예시이다.^[5] 이는 실수 자기동어반복 선속의 전체 공간이 뫼비우스 띠인 다발과 같다는 점에서 확인할 수 있다. 다른 체에서도 마찬가지이다.

4. 2. 뫼비우스 띠

Möbius strip|뫼비우스 띠^영어는 실수체 위에서 차원이 1인 경우의 보편 가역층과 위상 동형이다.^[5] 실수 자기동어반복 선속은 전체 공간이 뫼비우스 띠인 잘 알려진 다발과 다름없다.^[5]

4. 3. 세르 뒤틀림층과의 관계

세르 뒤틀림층(Serre’s twisting sheaf^영어)

\mathcal O(1)

의 텐서곱에 대한 역원이 보편 가역층

\mathcal O(-1)

이다.^[4] 즉, 보편 가역층은 세르 뒤틀림층의 쌍대이다.

참조

_[1] 문서 Over a noncompact but paracompact base, this remains true provided one uses infinite Grassmannian.
_[2] 문서 In literature and textbooks, they are both often called canonical generators.
_[3] 문서 U is open since
_[4] 문서 Editorial note: this definition differs from Hartshorne in that he does not take dual, but is consistent with the standard practice and the other parts of Wikipedia.
_[5] 서적 1974

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