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사영 스펙트럼

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목차

1. 개요

사영 스펙트럼은 가환환 위의 등급환으로부터 정의되는 위상 공간으로, 스킴 이론에서 중요한 개념이다. 구체적으로, 등급환의 소 아이디얼 중 특정 조건을 만족하는 것들의 집합에 자리스키 위상을 부여하여 위상 공간으로 만든다. 이 위상 공간에 구조층을 부여하여 환 달린 공간, 즉 스킴의 구조를 정의할 수 있으며, 이는 사영 공간과 같은 기하학적 대상들을 연구하는 데 사용된다. 사영 스펙트럼은 구조층과 가군층을 가지며, 함자성을 가지지 않는 특징이 있다. 사영 공간, 가중 사영 공간, 사영 초곡면 등 다양한 예시가 존재하며, 대역적 사영 스펙트럼은 기저 스킴 위의 사영 공간 번들을 구성하는 데 활용된다. 또한, 준연접층에 대응되는 대역적 사영 스펙트럼과 사영 공간 다발을 정의하는 데 사용된다.

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사영 스펙트럼
개요
이름사영 스펙트럼
분야가환대수학, 대수기하학
정의등급환의 Proj 구성
성질스킴
관련 개념
상위 개념환의 스펙트럼
관련 항목등급환, Proj 구성, 스킴

2. 정의

가환환 R 위에 자연수 등급이 주어져 등급환

:R=\bigoplus_{i=0}^\infty R_i = R_0 \oplus R_1 \oplus R_2\oplus \dotsb

을 이룬다고 하자. (등급 가환이 아니라 가환이다.) 이 등급환의 무관 아이디얼 \textstyle R_+=\bigoplus_{i=1}^\infty R_i을 생각하자. 그렇다면, R의 '''사영 스펙트럼''' \operatorname{Proj}R는 집합으로서 다음 조건들을 만족시키는 R의 소 아이디얼 \mathfrak a들의 집합이다.

# 동급이다. 즉, 임의의 r\in\mathfrak a에 대하여, 그 성분들을 r_i\in R_i라고 하면, \forall i\in\mathbb N\colon r_i\in\mathfrak a이다.

# 무관 아이디얼을 부분 집합으로 포함하지 않는다. 즉, R_+\not\subseteq\mathfrak a이다.

여기서 두 번째 조건은 (고전적) 사영 공간에서 무관 아이디얼을 포함하는 아이디얼의 영점의 집합은 공집합이기 때문이다.

S를 가환 등급환이라고 하자. 여기서S = \bigoplus_{i \ge 0} S_i는 등급과 관련된 직합 분해이다. S의 무관한 아이디얼은 양의 차수를 가진 원소들의 아이디얼이다.S_+ = \bigoplus_{i > 0} S_i . 아이디얼이 균일한 원소에 의해 생성되면 균일 아이디얼이라고 한다. 그러면 집합으로,\operatorname{Proj} S = \{P \subseteq S \text{ 균일 소 아이디얼, } S_+ \not\subseteq P \}. 간단히 하기 위해 때때로 X를 \operatorname{Proj} S로 표기한다.

2. 1. 자리스키 위상

\operatorname{Proj} R에 자리스키 위상을 부여하여 위상 공간으로 만든다. \operatorname{Proj} R의 열린집합은 R의 임의의 동급 아이디얼 \mathfrak a에 대하여,

:U(\mathfrak a)=\{\mathfrak b\in\operatorname{Proj}R|b\not\subset\mathfrak a\}\subset\operatorname{Proj}R

와 같은 꼴이다. 이들은 위상 공간의 공리들을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있다.

2. 2. 구조층

\operatorname{Proj}R에 가환환 값의 층 \mathcal O를 주어, 환 달린 공간으로 만들 수 있다. 임의의 열린 집합 U에 대하여, \mathcal O(U)는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수들

:f\colon\mathcal O(U)\to\bigcup_{\mathfrak p\in U}R_{\mathfrak p}

이 이루는 가환환이다. 여기서 S\subset R\setminus\mathfrak p를 \mathfrak p의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면, R_{(\mathfrak p)}는 R의 S에서의 국소화이다. 모든 \mathfrak p\in U에 대하여,

# f(\mathfrak p)\in R_{(\mathfrak p)}

# \mathfrak p는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, 근방 \mathfrak p\in V\subset U가 존재하여, 모든 \mathfrak q\in V에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소 r,s\in R가 존재한다.

## f(\mathfrak q)=r/s

## r와 s는 둘 다 동급 원소이며, 그 등급이 서로 같다. 즉, r,s\in R_i인 i\in\mathbb N이 존재한다.

## s\not\in\mathfrak q.

이렇게 층을 주면, \operatorname{Proj}R는 스킴의 구조를 이룬다.

또한, 아핀 경우와 마찬가지로 \operatorname{Proj} S 위에 "구조층"이라고 불리는 층을 구성하여 이를 scheme으로 만든다. Spec 구성의 경우와 마찬가지로 여러 가지 방법으로 진행할 수 있다. 가장 직접적인 방법은 고전적인 대수 기하학에서 사영 다양체에 대한 정칙 함수의 구성 방식을 암시하는 다음과 같다. \operatorname{Proj} S의 임의의 열린 집합 U(정의에 따라 S_+를 포함하지 않는 ''S''의 동차 소 아이디얼의 집합)에 대해, 링 O_X(U)를 모든 함수 집합으로 정의한다.

: f \colon U \to \bigcup_{p \in U} S_{(p)}

(여기서 S_{(p)}는 동일한 차수의 동차 원소의 분수로 구성된 분수체 S_p의 부분 링을 나타낸다) 각 소 아이디얼 p에 대해:

# f(p)는 S_{(p)}의 원소이다.

# p를 포함하는 열린 부분 집합 V \subseteq U와 동일한 차수의 ''S''의 동차 원소 s,t가 존재하여 각 소 아이디얼 q에 대해:

#* t는 q에 포함되지 않는다.

#* f(q) = s/t

정의에 따르면 O_X(U)는 \operatorname{Proj} S 위에 링의 층 O_X를 형성하며, 쌍 (\operatorname{Proj} S, O_X)가 실제로 scheme임이 보일 수 있다(이는 각 열린 부분 집합 D(f)가 실제로 아핀 scheme임을 보여줌으로써 가능하다).

2. 3. 사영 스펙트럼 위의 가군층

등급환 R 위의 등급 가군 M이 주어졌을 때, 사영 스펙트럼 \operatorname{Proj}R 위에 가군층 \tilde M을 정의할 수 있다. \tilde M(U)는 f\colon\mathcal O_{\tilde M}(U)\to\bigcup_{\mathfrak p\in U}M_{(\mathfrak p)}와 같은 함수들로 이루어진 가환환이다.

이때, 모든 \mathfrak p\in U에 대하여,

# f(\mathfrak p)\in M_{(\mathfrak p)}

# \mathfrak p는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, 근방 \mathfrak p\in V\subset U가 존재하여, 모든 \mathfrak q\in V에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소 m\in M, s\in R가 존재한다.

## f(\mathfrak q)=m/s

## m과 s는 동급 원소이며, 그 등급이 서로 같다. 즉, m\in M_i, s\in R_i인 i\in\mathbb N이 존재한다.

## s\not\in\mathfrak q.

여기서 S\subset R\setminus\mathfrak p를 \mathfrak p의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면, M_{(\mathfrak p)}는 M의 S에서의 국소화이다.

특히, R 자체를 R의 등급 가군으로 간주하면, \tilde R는 \operatorname{Proj}R의 구조층이다.

임의의 등급 가군 \textstyle M=\bigoplus_iM_i가 주어지면, 임의의 정수 l\in\mathbb Z에 대하여 그 '''뒤틀림'''(twist) M(l)은

:M(l)_i=M_{i+l}

인 등급 가군이다. 즉, 등급을 단순히 l만큼 이동시킨 것이다. 이 연산을 층에 정의하면, 층 \tilde M의 '''뒤틀림''' \tilde M(l)을 정의할 수 있다. 구조층 \tilde R=\mathcal O의 뒤틀림 \mathcal O(1)은 '''세르 뒤틀림 층'''(Serre twisting sheaf영어)이라고 한다. 이는 항상 가역층이며, 장피에르 세르의 이름을 딴 것이다.[1]

\mathcal{O}(1)의 유용성의 한 가지 이유는, O_X의 구성에서 차수 0의 분수로 넘어갈 때 손실된 ''S''의 대수적 정보를 복구한다는 것이다. 스펙 함자가 전역 단면 함자에 인접하다는 사실과 대조된다.

3. 성질

\operatorname{Proj}R의 구조층 \mathcal O의 \mathfrak p\in\operatorname{Proj}R에서의 줄기 \mathcal O_{\mathfrak p}는 R_{(\mathfrak p)}이며, 국소환이다.[4] 여기서 R_{(\mathfrak p)}는 \mathfrak p의 원소가 아닌 동급 원소들에 대한 국소화이다.

\operatorname{Proj} S에는 자리스키 위상을 정의할 수 있다. 닫힌 집합은 다음 형식으로 정의한다.

:V(a) = \{ p \in \operatorname{Proj} S \mid a \subseteq p \},

여기서 a는 S의 동차 아이디얼이다.

열린 집합을 시작점으로 하는 동등한 정의도 가능하다.

: D(a) = \{ p \in \operatorname{Proj} S \mid a \not\subseteq p \}.

일반적으로 D(Sf)는 D(f)로 표기하는데, 여기서 Sf는 f에 의해 생성된 아이디얼이다. D(a)와 V(a)는 상호 보완적이므로, D(a) 집합이 \operatorname{Proj} S에 대한 위상을 형성함을 알 수 있다. 이 위상에 대한 기저는 D(f) 집합이며, 여기서 f는 환 S의 모든 동차 원소를 가리킨다.

\operatorname{Proj} S 위에 "구조층"을 층으로 구성하여 scheme으로 만들 수 있다. 이는 고전적인 대수 기하학에서 사영 다양체에 대한 정칙 함수 구성 방식을 따른다.

3. 1. 함자성

아핀 스펙트럼은 가환환의 범주의 반대 범주에서 스킴의 범주로 가는 함자를 이룬다. 반면, 사영 스펙트럼은 일반적으로 함자를 이루지 않는다. 즉, 등급환 사이의 등급 준동형은 일반적으로 그 사영 스펙트럼 사이의 스킴 사상을 정의할 필요가 없다.

다만, 가환 등급환 R의 동차 아이디얼 \mathfrak i가 주어졌을 때, 몫 사상 R \to R/\mathfrak i는 사영 스펙트럼 사이의 닫힌 몰입을 정의한다.[5]

아핀 스펙트럼과 달리, 사영 스펙트럼에서는 서로 다른 동차 아이디얼이 같은 닫힌 부분 스킴에 대응될 수 있다.[5] 예를 들어, 체 K에 대한 사영 공간에서 임의의 동차 아이디얼 \mathfrak i가 주어졌을 때, \mathfrak i와 \textstyle\sum_{n\ge N}\mathfrak i_n은 같은 닫힌 부분 스킴을 정의한다 (N\ge 0은 임의의 자연수).

4. 예

사영 스펙트럼은 다양한 예시를 가진다. 주요 예시는 다음과 같다.


  • 자명한 사영 스펙트럼: 등급환 \textstyle R=\bigoplus_{i\in\mathbb N}R_i에 대해, \operatorname{Proj}R=\varnothing인 것과 \textstyle R_+\subseteq\sqrt{(0)}인 것은 서로 동치이다.[4]
  • 사영 공간: 가환환 K에 대한 ''n''차원 사영 공간 \mathbb P_K^n은 등급환 K[x_0,x_1,\dots,x_n]의 사영 스펙트럼이다.[4]
  • 아핀 직선 위의 Proj: 밑 환이 A = \mathbb{C}[\lambda]인 경우, X = \operatorname{Proj}\left(\frac{A[X, Y, Z]_\bullet}{(ZY^2 - X(X - Z)(X - \lambda Z))_\bullet} \right)는 아핀 직선 \mathbb{A}^1_\lambda으로의 정규 사영 사상을 가지며, 그 올은 특정 점을 제외하고는 타원 곡선이 된다.
  • 사영 초곡면과 다양체: 사영 초곡면은 칼라비-야우 다양체의 한 예시이며, 동차 다항식 체계로 잘린 임의의 사영 다양체는 사영 스킴으로 변환될 수 있다.
  • 가중 사영 공간: 변수가 비표준 차수를 갖는 다항식 환을 사용하여 구성할 수 있다.
  • 이중 등급환: 기하학적으로 사영 스킴의 곱을 취하는 것에 해당하며, 이중 계수 층을 가진다.[1]

4. 1. 자명한 사영 스펙트럼

등급환 \textstyle R=\bigoplus_{i\in\mathbb N}R_i에 대하여, \operatorname{Proj}R=\varnothing인 것과 \textstyle R_+\subseteq\sqrt{(0)}인 것은 서로 동치이다.[4]

4. 2. 사영 공간

K가 가환환일 때, K에 대한 ''n''차원 사영 공간 \mathbb P_K^n은 등급환 K[x_0,x_1,\dots,x_n]의 사영 스펙트럼이다.[4] \mathbb P_K^n=\operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dots,x_n]의 경우, 세르 뒤틀림 층 \mathcal O(1)의 단면은 1차 동차다항식

:\sum_ic_ix_i

의 꼴의 함수들이다. 즉, 세르 뒤틀림 층은 일종의 좌표들의 층으로 볼 수 있다. 이 경우, 세르 뒤틀림 층은 가역층이고, 그 역은 사영 공간의 표준 선다발이다.

특히, 0차원 사영 공간은 아핀 스펙트럼과 같다. 즉, 임의의 가환환 K에 대하여

:\operatorname{Proj}K[x] = \operatorname{Spec}K

이다.

만약 ''A''가 환이라면, A 위의 사영 ''n''-공간을 다음과 같이 scheme으로 정의한다.

:\mathbb{P}^n_A = \operatorname{Proj} A[x_0,\ldots, x_n].

다항식 환 S=A[x_0,\ldots, x_n] 의 등급은 각 x_i 가 차수 1을 가지고 ''A''의 모든 원소가 차수 0을 갖도록 정의된다. 이를 위에서 정의된 \mathcal{O}(1)과 비교해 보면, \mathcal{O}(1)의 단면이 실제로 선형 동차 다항식이며, x_i 자체에 의해 생성됨을 알 수 있다. 이는 \mathcal{O}(1)에 대한 또 다른 해석, 즉 \operatorname{Proj} S에 대한 "좌표"의 묶음으로 볼 수 있게 하는데, 이는 x_i가 문자 그대로 사영 ''n''-공간에 대한 좌표이기 때문이다.

4. 3. 아핀 직선 위의 Proj

밑 환이 A = \mathbb{C}[\lambda]인 경우, X = \operatorname{Proj}\left(\frac{A[X, Y, Z]_\bullet}{(ZY^2 - X(X - Z)(X - \lambda Z))_\bullet} \right)는 아핀 직선 \mathbb{A}^1_\lambda으로의 정규 사영 사상을 가지며, 그 올은 점 \lambda = 0,1을 제외하고는 타원 곡선이 된다. 이 점에서는 곡선이 절점 곡선으로 퇴화한다. 따라서 다음과 같은 올묶음이 존재한다.

\begin{matrix}

E_\lambda &\longrightarrow& X \\

&& \downarrow \\

&& \mathbb{A}^1_\lambda - \{0,1\}

\end{matrix}

이는 또한 스키마의 매끄러운 사상이다(이는 야코비안 판별법을 사용하여 확인할 수 있다).

4. 4. 사영 초곡면과 다양체

사영 초곡면 \operatorname{Proj}\left( \mathbb{C}[X_0,\ldots,X_4]/(X_0^5 + \cdots + X_4^5) \right)는 페르마 5차 3차원 다양체이자 칼라비-야우 다양체의 한 예시이다. 사영 초곡면 외에도, 동차 다항식 체계로 잘린 임의의 사영 다양체는 등급 대수에 대한 proj 구성을 사용하여 사영 스킴으로 변환될 수 있으며, 이는 사영 다양체의 사영 스킴으로의 매립을 제공한다.

4. 5. 가중 사영 공간

가중 투영 공간은 변수가 비표준 차수를 갖는 다항식 환을 사용하여 구성할 수 있다. 예를 들어, 가중 투영 공간 \mathbb{P}(1,1,2)는 X_0, X_1의 가중치가 1이고 X_2의 가중치가 2인 환 A[X_0,X_1,X_2]의 \operatorname{Proj}를 취하는 것에 해당한다.

4. 6. 이중 등급환

사영 구조는 이중 계수 및 다중 계수 환으로 확장될 수 있으며, 이는 기하학적으로 사영 스킴의 곱을 취하는 것에 해당한다.[1] 예를 들어, 각 생성자가 1의 차수를 갖는 계수 환 A_\bullet = \mathbb{C}[X_0,X_1]와 B_\bullet = \mathbb{C}[Y_0,Y_1]가 주어졌다고 가정하면, \mathbb{C}에 대한 이러한 대수의 텐서 곱은 이중 계수 대수를 제공한다.[1]

:A_\bullet \otimes_\mathbb{C} B_\bullet = S_{\bullet,\bullet} = \mathbb{C}[X_0,X_1,Y_0,Y_1]

여기서 X_i는 가중치 (1,0)을 갖고, Y_i는 가중치 (0,1)을 갖는다. 그러면 사영 구조는 다음과 같이 사영 스킴의 곱을 제공한다.[1]

:\text{Proj}(S_{\bullet, \bullet}) = \mathbb{P}^1\times_{\text{Spec}(\mathbb{C})}\mathbb{P}^1

이러한 스킴은 전체 계수 대수를 취하여 사영 공간으로의 매립이 있다.[1]

:S_{\bullet,\bullet} \to S_{\bullet}

여기서 차수 (a,b)의 요소는 차수 (a+b)의 요소로 간주된다. 이는 S_\bullet의 k번째 계수 조각이 모듈임을 의미한다.[1]

:S_k = \bigoplus_{a+b = k} S_{a,b}

또한 스킴 \text{Proj}(S_{\bullet,\bullet})는 이제 이중 계수 층 \mathcal{O}(a,b)를 가지며, 이는 층 \pi_1^*\mathcal{O}(a) \otimes \pi_2^*\mathcal{O}(b)의 텐서 곱이다. 여기서 \pi_1: \text{Proj}(S_{\bullet,\bullet}) \to \text{Proj}(A_\bullet)이고, \pi_2: \text{Proj}(S_{\bullet,\bullet}) \to \text{Proj}(B_\bullet)는 가환 대수의 텐서 곱 다이어그램으로부터 이러한 대수의 주입에서 나오는 표준 투영이다.[1]

5. 대역적 사영 스펙트럼

스킴 (X,\mathcal O_X)와 \mathcal O_X-준연접층들의 족 (\mathcal S_i)_{i\in\mathbb N}이 주어졌을 때, '''대역적 사영 스펙트럼'''(또는 '''상대 사영 스펙트럼''') \operatorname{\underline{Proj}}\mathcal S를 정의할 수 있다. 이는 기저 스킴 위의 사영 공간 번들을 구성하는 데 사용된다.

각 아핀 열린집합 U\subseteq X에 대하여 스킴 Y_U=\operatorname{Proj} \Gamma(U,\mathcal S)를 정의한다. 여기서 \Gamma(U,\mathcal S)는 \mathcal O_X(U)-등급 대수이므로, 자연스러운 스킴 사상 \pi_U\colon Y_U\to U가 존재한다. 이러한 스킴 사상들을 짜깁기하여 얻는 스킴이 바로 대역적 사영 스펙트럼 \operatorname{\underline{Proj}}\mathcal S이다. 이때 준연접층 조건이 필요하다.

이러한 구성은 Lefschetz 연필을 구성하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, X = \mathbb{P}^1_{s,t}이고, 차수 k의 동차 다항식 f,g \in \mathbb{C}[x_0,\ldots,x_n]이 주어졌을 때, 아이디얼 층 \mathcal{I} = (sf + tg)를 고려하여 몫 대수 층 \mathcal{O}_X[x_0,\ldots,x_n]/\mathcal{I}의 전역 사영을 구성할 수 있다. 이는 사영 사상 \operatorname{Proj}(\mathbb{C}[s,t][x_0,\ldots,x_n]/(sf + tg)) \to \mathbb{P}^1_{s,t}로 나타낼 수 있다.

5. 1. 준연접층에 대응되는 대역적 사영 스펙트럼

스킴 (X,\mathcal O_X)와 \mathcal O_X-준연접층 \mathcal E가 주어지면, 대칭 대수층 \mathbf{Sym}_{O_X}(\mathcal E)는 자연스럽게 차수 1의 원소에 의해 생성되는 등급 O_X-가군의 준연접층이 된다. 이로부터 얻는 스킴은 \mathbb P(\mathcal E)로 표기한다.

\mathcal E가 유한 타입이면, 정규 사상 p : \mathbb P(\mathcal E)\to X는 '''사영 사상'''이다.[2] x\in X에 대해, 이 사상의 x에 대한 올은 k(x) 위의 벡터 공간 \mathcal E(x):=\mathcal E\otimes_{O_X} k(x)의 쌍대 공간에 관련된 사영 공간 \mathbb P(\mathcal E(x))이다.

\mathcal S가 \mathcal S_1에 의해 생성되고 \mathcal S_1이 유한 타입인 등급 O_X-가군의 준연접층이라면, \mathbf{Proj}\mathcal S는 \mathbb P(\mathcal S_1)의 닫힌 부분 스킴이며, 따라서 X 위에서 사영적이다. 실제로, 사영적 \mathbb P(\mathcal E)의 모든 닫힌 부분 스킴은 이 형태를 띤다.[3]

5. 2. 사영 공간 다발

\mathcal E가 랭크 n+1인 국소 자유 가군일 때, 상대 차원 n의 X 위의 사영 다발 \mathbb P(\mathcal E)를 얻는다. 실제로, 각 국소화에 제한했을 때 \mathcal E가 ''A'' 위에서 자유 가군이 되도록, 열린 아핀 U=\operatorname{Spec}(A)로 ''X''의 열린 덮개를 취하면 다음과 같다.

:\mathbb P(\mathcal E)|_{p^{-1}(U)} \simeq \operatorname{Proj} A[x_0, \dots, x_n] = \mathbb{P}^n_A = \mathbb{P}^n_U,

따라서 \mathbb P(\mathcal E)는 사영 공간 다발이다. 타원 곡선의 바이어슈트라스 모임과 같이, 다양한 종류의 다양체 모임들을 이러한 사영 다발의 부분 스킴으로 구성할 수 있다.

참조

[1] 서적 Foundations of Algebraic Geometry http://math.stanford[...]
[2] 간행물 Éléments de géométrie algébrique
[3] 간행물 Éléments de géométrie algébrique
[4] 서적 Algebraic geometry Springer 1977
[5] 서적 The geometry of schemes Springer-Verlag 2000


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