복소 곱셈

3. 복소 곱셈을 갖는 타원 곡선의 예

가우스 정수환 '''Z'''[''i'']에 의한 복소 평면의 몫공간은 복소 곱셈을 갖는 타원 곡선의 예시이다. 이 타원 곡선의 자기준동형환(endomorphism ring)은 가우스 정수환과 동형이다.

보다 일반적으로, 허수 이차 수체 $\backslash mathbb\; Q[\backslash sqrt\{-d\}]$의 순서 $O\backslash subset\backslash mathbb\; Q[\backslash sqrt\{-d\}]$에 대해, 복소 평면을 $O$에 의한 격자로 나눈 몫공간은 $O$에 대한 복소 곱셈을 갖는 타원 곡선이 된다.

이러한 타원 곡선은 $Y^2\; =\; 4X^3\; -\; aX$ ($a$는 복소수) 형태로 표현 가능하며, 이는 두 개의 켤레 4차 자기 동형 사상을 갖는다. 이는 바이어슈트라스 타원 함수에서 ''i''의 작용과 일치한다.

크로네커는 $K$의 모든 아벨 확장은 복소 곱셈을 갖는 적절한 타원 곡선의 (근) 방정식에 의해 얻어질 수 있다고 추측했으며, 이는 크로네커의 유겐트라움으로 알려져 있다. 이것은 현재까지 실제로 해결된 힐베르트의 열두 번째 문제의 몇 안 되는 경우 중 하나이다.

3. 1. 바이어슈트라스 타원 함수를 이용한 정의

4. 자기준동형환의 구조

타원 곡선의 자기 사상환은 정수 '''Z''', 허수 이차 수체의 order, 또는 '''Q''' 위의 결정적인 사원수 대수의 order 중 하나의 형태를 갖는다.^[6]

유한체 위에 정의된 타원 곡선은 항상 프로베니우스 사상이라는 비자명한 자기준동형을 가지므로, 복소 곱셈을 갖는 것이 일반적이다. 그러나 수체 위에 정의된 타원 곡선의 경우, 복소 곱셈을 갖는 것은 예외적인 경우에 해당하며, 이 경우 호지 추측을 푸는 것이 매우 어렵다.^[6]

5. 크로네커의 청춘의 꿈과 아벨 확대

크로네커의 청춘의 꿈(독일어: Kronecker Jugendtraum)은 허수 이차 수체의 최대 아벨 확대가 복소 곱셈을 갖는 타원 곡선의 유한 차수 점들의 좌표로 생성된다는 추측이다.^[7] 이는 유리수체의 최대 아벨 확장이 원분체의 원주 상의 점들의 좌표로 생성된다는 사실과 유사하다.

레오폴트 크로네커는 타원 함수의 비틀림 점에서의 값들이 허수 이차체에 대한 모든 아벨 확장을 생성하기에 충분할 것이라고 가정했는데, 이는 몇몇 경우에서 아이젠슈타인과 심지어 가우스까지 거슬러 올라가는 아이디어였다.^[7] 크로네커는 1880년 3월 15일 리하르트 데데킨트에게 보낸 서신에서 다음과 같이 적었다.

{{인용문2|이것이 내가 가장 좋아하는 청춘의 꿈이라네. 즉, 유리수의 제곱근에 대한 아벨 방정식이 타원 함수의 특이 모듈러스의 변환 방정식으로 소진되는 걸 증명하는 것이라네. 정수에 대한 아벨 방정식이 원분체 방정식으로 소진되는 것처럼 말일세.


크로네커, Collected Works, vol. V, p. 455/Es handelt sich um meinen liebsten Jugendtraum, nämlich um den Nachweis, dass die Abel’schen Gleichungen mit Quadratwurzeln rationaler Zahlen durch die Transformations-Gleichungen elliptischer Functionen mit singulären Moduln grade so erschöpft werden, wie die ganzzahligen Abel’schen Gleichungen durch die Kreistheilungsgleichungen.}}^de

''K''가 유수체 ''H''를 갖는 허수 이차체이고, ''E''가 ''H'' 위에서 정의된 ''K''의 정수로 복소 곱셈을 갖는 타원 곡선일 때, ''K''의 최대 아벨 확대는 ''H'' 위의 ''E''의 어떤 바이어슈트라스 모델의 유한 위수 점의 ''x''-좌표에 의해 생성된다.^[7]

크로네커의 청춘의 꿈을 허수 이차 수체 말고도 다른 수체로 확장시키는 것이 힐베르트의 12번째 문제이다. 시무라 상호 법칙을 통해 유리수체의 아벨 확장이 1의 멱근 방법으로 구성될 수 있음을 보이며, 류체론을 더욱 명백하게 만들었다.

크로네커의 아이디어에 대한 많은 일반화가 모색되었지만, 이는 랑글란즈 철학의 주요 흐름과는 다소 벗어나 있으며, 현재 알려진 확정적인 진술은 없다.

6. 특이 모듈러스

복소 곱셈을 갖는 타원 곡선의 주기 비율에 해당하는 상반 평면의 점 τ는 허수 이차 수이다.^[11][8] 이러한 점에서의 j-불변량 j(τ)를 특이 모듈러스(singular modulus^영어)라고 한다.^[11] 특이 모듈러스 j(τ)는 항상 대수적 수이며,^[11] j-불변량이 대수적인 상반 평면의 점은 특이 모듈러스에 해당한다.^[4][10] 여기서 '특이'는 특이 곡선을 지칭하기보다는 자명하지 않은 자기 준동형 사상을 갖는 속성을 지칭하는 이전 용어에서 유래되었다.^[8]

허수 이차체 K의 정수환의 아이디얼 a에 대한 특이 모듈러스 j(a)는 실수 대수적 정수이며, K의 힐베르트 유수체 H를 생성한다. 체 확대 [H:K]의 차수는 K의 유수와 같으며, H/K는 K의 아이디얼 유수군과 동형인 갈루아 군을 갖는 갈루아 확대이다. 유수군은 ['''b'''] : j('''a''') → j('''ab''')에 의해 값 j('''a''')에 작용한다.

특히, K가 유수가 1이면, j('''a''') = j(O)는 유리 정수이다. 예를 들어, j('''Z'''[i]) = j(i) = 1728이다.

7. 라마누잔 상수와 관련된 결과

라마누잔 상수는 초월수이며, $e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}\; =\; 262537412640768743.99999999999925007\backslash dots$ 혹은 $e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}\; =\; 640320^3+743.99999999999925007\backslash dots$ 와 같이 정수에 매우 근접한 값을 갖는다.^[2][3] 이는 수학적 우연이 아니며, 복소 곱셈 이론, 모듈 형식, 그리고 $\backslash mathbf\{Z\}\backslash left[\; \backslash frac\{1+\backslash sqrt\{-163\}\}\{2\}\backslash right]$가 고유 인수 분해 정역이라는 사실로 설명된다. 여기서 $(1+\backslash sqrt\{-163\})/2$는 ''α''² = ''α'' - 41을 만족하며, ''S''[''α'']는 ''α''와 ''S''를 포함하는 가장 작은 환을 나타낸다.

$e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}\; =\; 12^3(231^2-1)^3+743.99999999999925007\backslash dots$ 와 같이 표현할 수도 있는데, 이는 특정 아이젠슈타인 급수의 구조에 기인하며, 다른 헤그너 수에 대해서도 유사한 표현이 존재한다.

참조

_[1] 서적 Hilbert https://archive.org/[...] Springer
_[2] 웹사이트 Transcendental Number
_[3] 웹사이트 Ramanujan Constant – from Wolfram MathWorld http://mathworld.wol[...]
_[4] 서적 Transcendental Number Theory Cambridge University Press
_[5] 서적 Hilbert Springer
_[6] 문서
_[7] 문서
_[8] 문서
_[9] 문서
_[10] 서적 Transcendental Number Theory Cambridge University Press
_[11] 서적 Transcendental Number Theory https://archive.org/[...] Cambridge University Press