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모델-베유 정리

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목차

1. 개요

모델-베유 정리는 대수적 수체 K에 대해 정의된 아벨 다양체 A의 유리점 집합 A(K)가 유한 생성 아벨 군, 즉 모델-베유 군이라는 정리이다. 이 정리는 1922년 루이스 모델이 유리수체 위의 타원곡선에 대해 증명했으며, 1928년 앙드레 베유가 임의의 대수적 수체에 대한 아벨 다양체로 일반화했다. 모델-베유 정리는 아벨 다양체 A(K)의 유한 생성성을 보장하며, 랭크 계산, 랭크의 의미 부여, 그리고 팔팅스 정리 및 마닌-멈포드 추측 등과 연관되어 추가적인 연구 과제를 남기고 있다.

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모델-베유 정리
개요
Mordell-Weil_theorem
명칭
이름모델-바일 정리
분야
분야수론
역사
추측앙리 푸앵카레
추측 날짜1901년
최초 증명앙드레 베유
최초 증명 날짜1929년
미해결 문제
미해결 문제미해결 문제 없음
관련 정리
일반화팔팅스 정리
봄비에리-랑 추측
모델-랑 추측
결과
결과해당 사항 없음

2. 역사

앙리 푸앵카레는 1908년경 유리수체에 대하여 정의된 타원곡선(1차원 아벨 다양체)에 대한 문제를 제기하였다. 1922년 루이스 모델이 이 정리를 증명하였고,[4] 1928년에 앙드레 베유가 임의의 대수적 수체에 대한 임의의 아벨 다양체에 대하여 정리를 일반화하였다.[5]

페르마의 무한 강하법과 접선-현 과정(삼차 곡선에 대한 덧셈 정리의 한 형태)은 17세기부터 알려져 있었다. 모델은 E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})가 유한하다는 것을 증명하여, E(\mathbb{Q})가 유한 생성되기 위한 필요 조건을 보였다.

몇 년 후 앙드레 베유는 이 문제를 더 높은 속 곡선의 야코비 다양체로 일반화하여, 1928년에 박사 학위 논문으로 출판했다.[3] 증명에는 추상적인 방법과 높이 함수가 필요했다.

이후 갈루아 코호몰로지와 최상의 높이 함수(이차 형식) 연구를 통해 증명이 개선되었다.

2. 1. 초기 연구

페르마의 무한 강하법과 접선-현 과정(삼차 곡선에 대한 덧셈 정리의 한 형태)은 17세기부터 알려져 있었다.[4]

2. 2. 모델의 정리 (1922)

앙리 푸앵카레가 1908년경 유리수체 위에서 정의된 타원곡선(1차원 아벨 다양체)에 대한 문제를 제기하였다. 1922년 루이스 모델은 유리수체 위 타원곡선에 대한 정리(모델 정리)를 증명하였다.[4] 모델은 ''E''(''ℚ'')/2''E''(''ℚ'')가 유한함을 증명하여, ''E''(''ℚ'')가 유한 생성되기 위한 필요 조건을 보였다.

2. 3. 베유의 일반화 (1928)

앙드레 베유는 이 주제를 다루어 1928년에 발표된 박사 학위 논문에서[1] 임의의 대수적 수체 위의 임의의 아벨 다양체에 대한 정리로 일반화했다.[5] 베유는 더 높은 속 곡선의 야코비 다양체로 일반화했다. 동일한 기본 구조로 증명을 수행하려면 보다 추상적인 방법이 필요했고, 증명의 두 번째 부분은 A(K)의 점의 '크기'를 제한하기 위한 높이 함수가 필요했다.

3. 모델-베유 정리의 내용

모델-베유 정리는 대수적 수체 K 위의 아벨 다양체 A에 대해, A의 K-유리점 군 A(K)가 유한 생성 아벨 군(모델-베유 군)임을 나타내는 정리이다.

타원 곡선의 경우, 접선-현 과정(삼차 곡선에 대한 덧셈 정리의 한 형태)은 17세기부터 알려져 있었다. 페르마의 무한 강하법이 알려져 있었지만, 모델은 E(ℚ)/2E(ℚ)가 유한하다는 것을 증명하는 데 성공했다. 이는 증명의 주요 단계이며, 이 군의 유한성은 E(ℚ)가 유한 생성되기 위한 필요 조건이고, 랭크가 유한하다는 것을 보여준다.

몇 년 후 앙드레 베유는 이 문제를 대수적 수체 위의 더 높은 종수를 가진 곡선의 야코비 다양체로 일반화하여 1928년에 박사 학위 논문으로 발표했다.[1] 증명을 위해서는 보다 추상적인 방법이 필요했는데, 그중 하나는 A(K)의 점의 '크기'를 제한하기 위한 높이 함수였다. 높이는 로그 규모이므로 (대략 말해서) 동차 좌표 집합을 쓰는 데 필요한 자릿수의 문제이다. 아벨 다양체는 사영 다양체이므로 ''a priori'' 선호되는 표현은 없다.

이후 갈루아 코호몰로지와 최상의 높이 함수(이차 형식) 연구에서 기술적 발전이 이루어지면서 증명의 전반부와 후반부가 모두 크게 개선되었다.

3. 1. 정의

대수적 수체 K에 대하여 정의된 아벨 다양체 A의 유리점(rational point영어, 좌표가 K의 원소인 점) 집합을 A(K)라고 한다. 아벨 다양체는 정의상 아벨 군의 구조를 가지므로, A(K)는 아벨 군이다. '''모델-베유 정리'''에 따르면, A(K)는 유한 생성 아벨 군이며, '''모델-베유 군'''(Mordell–Weil group영어)이라고 한다.[1]

3. 2. 모델의 약정리 (Weak Mordell theorem)

페르마의 무한 강하법은 잘 알려져 있었지만, 모르델은 E(ℚ)/2E(ℚ)가 유한하다는 것을 증명하는 데 성공했는데, 이는 증명의 주요 단계이다.[1] 이 군의 유한성은 E(ℚ)가 유한 생성되기 위한 필요 조건이며, 이는 랭크가 유한하다는 것을 보여준다. 일반적으로 A/2A가 유한군이라도 A가 유한 생성된다고 할 수 없다.[3]

3. 3. 유리점의 높이 (Height of rational points)

유리수 ''x''에 대해 높이 ''H''(''x'')는 다음과 같이 정의된다. ''x'' = ''m''/''n'' (''n'', ''m'' ∈ '''Z'''이고, ''n''과 ''m''은 서로소)로 기약 분수로 표시될 때,

:H ( x ) = \max \{ \left| n \right| ,\left| m \right| \}

또한 ''P'' ∈ ''E''('''Q'''), ''P'' ≠ ''O''에 대해 ''H''(''P'')는 ''P''의 ''x'' 좌표의 높이로 하고, ''H''(''O'') = 1로 정의한다.

이때 다음 두 조건을 만족하는 양수 ''C''가 존재한다.

: (1) ''E''('''Q''')에 속하는 모든 ''P''에 대해 C \cdot H(2P)\ge H(P)^4

: (2) ''E''('''Q''')에 속하는 모든 ''P'', ''Q''에 대해 C \cdot H(P) \cdot H(Q) \ge min\{H(P+Q),H(P-Q)\}

이제 ''f''를 ''E''('''Q''')에서 ''E''('''Q''')/2''E''('''Q''') 위로의 자연스러운 준동형

:f \colon E ( \mathbb{Q} ) \to E ( \mathbb{Q} ) /2 E ( \mathbb{Q} )

로 하고, ''E''('''Q''')의 부분 집합 ''A''의 ''f''에 의한 상이 ''E''('''Q''')/2''E''('''Q''')라고 가정한다. (즉, ''f'': ''A'' → ''E''('''Q''')/2''E''('''Q''')가 전사이다. 이제 ''A''에 연산은 정의하지 않는다.)

이때, 모덜 약정리로부터 ''A''가 유한 집합이어도 괜찮다는 것을 알 수 있다. 여기서 A = \{Q_1,Q_2,\cdot \cdot \cdot,Q_n \} 로 둔다. 여기서 양수 ''M''을

: M = \max \{ C,H(Q_1),H(Q_2),\cdot \cdot \cdot,H(Q_n) \}

로 정의하면 다음의 모덜의 정리가 성립한다.

:''E''('''Q''')는 {''P'' ∈ ''E''('''Q'''), ''H''(''P'') ≦ ''M''}에 의해 생성된다.

높이의 정의에 의해 이는 유한 집합이므로, 결국 ''E''('''Q''')는 유한 생성임을 알 수 있다.

4. 추가 연구 및 과제

모델-베유 정리는 아직 해결되지 않은 몇 가지 질문을 남겨두고 있다.[1]


  • 계수: 계수 계산은 여전히 어려운 문제이며, 버치-스위너턴-다이어 추측을 통해 그 의미를 파악할 수 있다.
  • 비틀림 부분군: 배리 메이저는 모델-베유 군이 유한 개의 비틀림 부분군만을 가질 수 있다는 것을 증명했다.
  • 대수 곡선과 야코비 다양체: 대수 곡선 C와 그 야코비 다양체 A의 관계는 팔팅스와 미셸 레이노의 정리를 통해 연구되었다.

4. 1. 랭크 계산

모델-베유 군의 랭크 계산은 여전히 어려운 문제이며, 항상 효과적인 해법을 가지고 있는 것은 아니다.[1]

4. 2. 랭크의 의미

버치-스위너턴-다이어 추측을 통해 랭크의 의미를 밝힐 수 있다.[1]

4. 3. 비틀림 부분군 (Torsion subgroup)

배리 메이저는 1978년에 모델-베유 군이 유한 개의 비틀림 부분군만을 가질 수 있다는 것을 증명했다. 이는 비틀림 추측의 타원 곡선 경우이다. 대수 곡선 C가 야코비 다양체 A의 비틀림 점을 무한히 많이 포함할 수 있는지에 대한 질문은, 미셸 레이노가 증명한 마닌-멈포드 추측에 의해 타원 곡선 경우가 아닌 한 거짓임이 밝혀졌다.

4. 4. 팔팅스 정리와 마닌-멈포드 추측

팔팅스의 팔팅스 정리에 의해, 대수 곡선 C가 그 야코비 다양체 A 안에 있을 때, C = A가 아닌 한 C와 A(K)의 교집합은 유한하다. 같은 맥락에서, 미셸 레이노가 증명한 마닌-멈포드 추측에 의해, C가 A의 비틀림 점을 무한히 많이 포함할 수 있는 경우는 타원 곡선 경우를 제외하고는 불가능하다.

참조

[1] 학위논문 L'arithmétique sur les courbes algébriques http://www.numdam.or[...] Almqvist & Wiksells Boktryckeri AB, Uppsala
[2] 문서
[3] 학위논문 L'arithmétique sur les courbes algébriques http://numdam.org/nu[...] Almqvist & Wiksells Boktryckeri AB, Uppsala
[4] 저널 On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees 1922
[5] 저널 L'arithmétique sur les courbes algébriques 1929


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