야코비 다양체

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 복소수 곡선의 야코비 다양체
- 2.2. 일반적인 체 위에서의 정의
3. 성질
4. 예
5. 응용 및 확장
참조

1. 개요

야코비 다양체는 대수 곡선에서 파생된 아벨 다양체로, 닐스 헨리크 아벨과 카를 구스타프 야코프 야코비에 의해 정의되었으며, 아벨-야코비 정리를 통해 0차 선다발의 모듈라이 공간과 동형임이 밝혀졌다. 종수 g인 복소수 대수 곡선의 경우 g차원 복소 아벨 다양체로, 복소 토러스의 구조를 가지며, 일반적으로 차수 0의 정칙 선다발들의 모듈라이 공간이자 피카르 다양체의 연결 성분이다. 야코비 다양체의 차원은 곡선의 종수와 같으며, 아벨-야코비 사상을 통해 인자 공간과 연결된다. 토렐리 정리는 복소 곡선이 야코비 다양체에 의해 결정됨을, 쇼트키 문제는 어떤 편극 아벨 다양체가 곡선의 야코비 다양체인지 묻는 문제이며, 피카르 다양체, 알바네제 다양체, 중간 야코비 다양체는 고차원 다양체로의 일반화이다.

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야코비 다양체

2. 정의

복소수체 위의 완비 비특이 대수 곡선 (리만 곡면)의 경우, 야코비 다양체는 닐스 헨리크 아벨이 정의하였고, 카를 구스타프 야코프 야코비가 이 작도가 0차 선다발의 모듈라이 공간과 동형임을 보였다. 이를 '''아벨-야코비 정리'''(Abel–Jacobi theorem^영어)라고 한다.

임의의 체 위의 곡선의 야코비안은 베유에 의해 유한체 위의 곡선에 대한 리만 가설 증명의 일부로 구성되었다.

아벨-야코비 정리는, 이와 같이 만들어진 복소 토러스가 차수 0의 선다발의 모듈라이 공간인 피카르 다양체와 동형이라는 정리이다. 또한 야코비 다양체는 단순히 복소 토러스일 뿐만 아니라, 대수 다양체의 구조도 들어간다는 것이 알려져 있다.

복소수 곡선의 야코비 다양체에 대한 더 자세한 내용은 #복소수 곡선의 야코비 다양체를, 일반적인 체 위에서의 정의는 #일반적인 체 위에서의 정의를 참고하라.

2. 1. 복소수 곡선의 야코비 다양체

닐스 헨리크 아벨이 정의하고 카를 구스타프 야코프 야코비가 0차 선다발의 모듈라이 공간과 동형임을 보인 '''아벨-야코비 정리'''를 통해 복소수 대수 곡선의 야코비 다양체를 구성할 수 있다.

곡면 종수가

g

인 복소수 대수 곡선

\Sigma_g

의 호지 수는 다음과 같다.

	1
$g$		$g$
	1

즉, 위상수학적으로 $\Lambda=\operatorname H_1(\Sigma_g;\mathbb Z)\cong\mathbb Z^{2g}$ 이다. (리만 곡면의 경우, 호몰로지에 꼬임 부분군이 없다.)

또한, $V=(\operatorname H^{1,0}(\Sigma_g))^*=(\operatorname H^0(\Sigma_g,\mathcal K_{\Sigma_g}))^*\cong\mathbb C^g$ 를 정의할 수 있다. 여기서

$\operatorname H^{1,0}(\Sigma_g) = \operatorname H^0(\Sigma_g,\mathcal K_{\Sigma_g})$ 는 (1,0)차 복소수 미분 형식들의 복소수 벡터 공간이며, ((1,−1)차 복소수 미분 형식이 존재하지 않으므로) (1,0)차 돌보 코호몰로지와 같다. ( $\mathcal K_{\Sigma_g}$ 는 대수 곡선의 표준 선다발이며, 기하학적으로 그 단면은 (1,0)차 복소수 미분 형식이다.)
$(-)^*$ 는 유한 차원 복소수 벡터 공간의 쌍대 공간이다.

정수 계수 코호몰로지가 꼬임 부분군을 갖지 않으므로, 자연스럽게

\Lambda\subseteq V

이다. 이는 (1,0)차 복소수 미분 형식을 실수 1차원 부분 다양체에 대하여 적분하는 것에 해당한다.

이 경우, '''야코비 다양체'''

\operatorname{Jac}(\Sigma_g)

는

g

차원 복소수 아벨 다양체

:

\operatorname{Jac}(\Sigma_g)=V/\Lambda\cong\mathbb T^{2g}

이다.

야코비 다양체는 자연스럽게 주극성화 아벨 다양체의 구조를 갖는다. 구체적으로, 복소수 벡터 공간

V^*

에는 교차 형식(intersection form)에 의하여 다음과 같은 반쌍선형 심플렉틱 형식이 존재한다.

:

\omega^{-1}\colon\bar V^*\times V^*\to\mathbb C

:

\omega^{-1}\colon(\bar a,b)=\int_{\Sigma_g}\bar a\wedge b\qquad(a,b\in V^* = \Omega^{1,0}(\Sigma_g))

이 형식이 비퇴화이므로, 그 역

\omega\colon\bar V\times V\to\mathbb C

는

V

위의 반쌍선형형 심플렉틱 형식이다. 또한,

\omega(\Lambda,\Lambda)=\mathbb Z

임을 알 수 있다.

구체적으로,

\Lambda

의 적절한 기저

\{\alpha_i,\beta_i\}_{i=1,\dots,g}

에서

:

\omega(\alpha_i,\beta_i)=-\omega(\beta_i,\alpha_i)=\delta_{ij}

:

\omega(\alpha_i,\beta_i)=\omega(\beta_i,\beta_j)=\delta_{ij}

로 놓을 수 있다. 즉,

\omega(\mathrm ia,b)

는

V

위의 켈러 형식이며, 동형

:

\bar V\cong V^*

:

\bar\alpha \mapsto \omega(\alpha,-)

을 정의한다. 따라서,

\operatorname{Jac}(\Sigma_g)

는

\omega

에 의하여 주극성화 아벨 다양체를 이룬다.

야코비 다양체는 차원 ''g''의 주 편극된 아벨 다양체이며, 따라서 복소수 위에서는 복소 토러스이다. 만약 ''p''가 ''C''의 점이라면, 곡선 ''C''는 주어진 점 ''p''가 ''J''의 항등원으로 맵핑되는 ''J''의 부분 다양체로 맵핑될 수 있으며, ''C''는 군으로서 ''J''를 생성한다.

야코비 다양체는 복소수 위에서 몫 공간 ''V''/''L''로 실현될 수 있는데, 여기서 ''V''는 ''C''상의 모든 전역 정칙 미분의 벡터 공간의 쌍대 공간이고, ''L''은 다음과 같은 형태를 가진 ''V''의 모든 원소의 격자이다.

:

[\gamma]:\ \omega \mapsto \int_\gamma \omega

여기서 ''γ''는 ''C''상의 닫힌 경로이다. 즉,

:

J(C) = H^0(\Omega_C^1)^* / H_1(C)

이며,

H_1(C)

는 위의 사상을 통해

H^0(\Omega_C^1)^*

에 임베딩된다. 이는 세타 함수를 사용하여 명시적으로 수행할 수 있다.^[1]

아벨-야코비 정리는, 이와 같이 만들어진 복소 토러스가 차수 0의 직선 다발의 모듈라이 공간인 피카르 다양체와 동형이라는 정리이다. 또한 야코비 다양체는 단순히 복소 토러스일 뿐만 아니라, 대수 다양체의 구조도 들어간다는 것이 알려져 있다.

기초체가 복소수체일 때, 대수 곡선의 정칙 1형식이 이루는 벡터 공간의 쌍대 벡터 공간에서 야코비 다양체의 접공간으로 가는 사상을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\Gamma(C, \Omega^1_C)^{\vee}\to\Gamma(J, \Omega^1_J)^{\vee}\simeqT_0(J)\overset{\mathrm{exp}}{\longrightarrow}J(\mathbb{C})

여기서 첫 번째 사상은 아벨-야코비 사상에서 유도되며, 두 번째 사상은 와 의 접공간 의 자연스러운 동형 사상이고, 마지막 는 지수 사상이다. 이 사상의 핵이 임을 증명할 수 있으므로, 야코비 다양체가 복소 토러스 표현과 동형임을 알 수 있다.

2. 2. 일반적인 체 위에서의 정의

임의의 체 위에서, 위의 완비 비특이 대수 곡선 의 야코비 다양체는 다음과 같이 정의된다.^[3]

스키마 에 대해, 군 를 다음과 같이 정의한다.

: ''P''(''T'') = {ℒ ∈ Pic(''C''×''T'') | 모든 ''t'' ∈ ''T'' 에 대해 deg(ℒ = 0)} / ''q''Pic(''T'')

여기서,

는 스키마 의 피카르 군이다.
는 와 의 위의 섬유곱이다.
위의 직선 다발 과 의 점 에 대해 는 을 위의 섬유로 제한한 것이다.
는 직선 다발의 차수이다.
는 에서 두 번째 성분으로의 사영이다.

이때, 위에 있는 아벨 다양체 가 존재하여 와 가 에 관해 함자적으로 동형이 된다. 이 아벨 다양체 를 의 '''야코비 다양체'''라고 하며, 로 나타낸다.

이러한 정의는 피카르 다양체 와 동형이라는 아벨-야코비의 정리에 따른 것이다. 또한 야코비 다양체는 단순히 복소 토러스일 뿐만 아니라, 대수 다양체의 구조도 가지고 있는 것으로 알려져 있다.

3. 성질

야코비 다양체는 차수가 0인 정칙 선다발들의 모듈라이 공간이며, 이는 텐서곱에 의해 아벨 군을 이룬다. 모든 차수의 정칙 선다발들의 모듈라이 공간은 '''피카르 다양체'''라고 하며, 야코비 다양체는 그 속의 항등원을 포함하는 연결 성분이다.

야코비 다양체는 아벨-야코비 정리를 통해 닐스 아벨의 단사성을 동형사상으로 만든 카를 구스타프 야코비의 이름을 따서 명명되었다. 이는 차원 ''g''의 주 편광된 아벨 다양체이며, 복소수 위에서는 복소 토러스이다. 아벨-야코비 정리에 따르면, 이렇게 구축된 토러스는 곡선의 고전적인 야코비안, 즉 차수 0의 선다발을 매개변수화하는 다양체이며, 선형 동치에 대한 차수 0의 약수들의 피카르 다양체와 동일시될 수 있다. 군으로서, 곡선의 야코비 다양체는 차수 0인 약수 군을 주 약수, 즉 유리 함수의 약수의 부분군으로 나눈 몫과 동형이다.

리만 곡면 $X$ 의 야코비안 $\mathrm{Jac}\left( X \right)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\mathrm{Jac} \left( X \right) := \Omega^{1}_{hol}\left( X \right)^{\vee}/ H_{1}\left( X, \mathbb{Z} \right).$

여기서 $\Omega^{1}_{hol}\left( X \right)$ 는 $X$ 위에서 정의된 정칙 1형식이 이루는 복소 벡터 공간, $\Omega^{1}_{hol}\left( X \right)^{\vee}$ 는 그 쌍대 공간, $H_{1}\left( X, \mathbb{Z}\right)$ 는 $X$ 위의 1차 호몰로지 군이다. $\Omega^{1}_{hol}\left( X \right)^{\vee}$ 의 원소는 다음과 같이 명시적으로 나타낼 수 있다.

: $\mathbb{R} \int_{A_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R} \int_{A_{g}} \oplus \mathbb{R} \int_{B_{1}} \oplus \cdots \oplus \mathbb{R} \int_{B_{g}}$

여기서 $A_{1}, \cdots A_{g}$ , $B_{1}, \cdots B_{g}$ 는 각각 $X \left( \Gamma \right)$ 의 $\alpha$ -루프, $\beta$ -루프이며, $g$ 는 $X$ 의 종수이다.

임의의 체 위의 곡선의 야코비안은 유한체 위의 곡선에 대한 리만 가설 증명의 일부로 구성되었다. 야코비 다양체의 차원은 곡선의 종수 $g$ 와 같다.

3. 1. 아벨-야코비 사상

닐스 헨리크 아벨이 정의하고, 카를 구스타프 야코프 야코비가 0차 선다발의 모듈라이 공간과 동형임을 보인 '''아벨-야코비 정리'''에 따르면, 리만 곡면

\Sigma

의 0차 인자 공간

\operatorname{Div}_0(\Sigma)

에서 야코비 다양체로 가는 사상인 아벨-야코비 사상은 다음과 같이 정의된다.^[3]

:

\operatorname{AJ}_\Sigma\colon \operatorname{Div}_0(\Sigma) \to \operatorname{Jac}(\Sigma)

:

\operatorname{AJ}_\Sigma\colon\sum_{i=1}^k (p_i - q_i) \mapsto \left [ \omega \mapsto \sum_{i=1}^k\int_{q_i}^{p_i}\omega_1\right]\qquad p_1,\dotsc,p_k,q_1,\dotsc,q_k\in \Sigma,\;\omega\in\Omega^{1,0}(\Sigma)=V^*

여기서

\textstyle\int_{q_i}^{p_i}\omega

는

q_i

와

p_i

를 끝점으로 갖는

\Sigma

속의 임의의 곡선에 대한 1차 미분 형식

\omega

의 적분이다. 이는 사용한 곡선의 호모토피류에 의존하지만, 서로 다른 곡선을 사용했을 때의 차이는 야코비 다양체의 정의에 의해 상쇄된다.

이 사상은 전사 함수이자 군 준동형이며, 그 핵은 주인자의 부분군이다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

:

0 \to \operatorname{PDiv}(\Sigma) \to \operatorname{Div}_0(\Sigma) \to \operatorname{Jac}(\Sigma) \to 0

이는 0차 정칙 선다발이 인자류에 의해 분류되므로, 0차 선다발의 모듈라이 공간과 야코비 다양체 사이의 동형을 정의한다.

특히, 곡면 종수가

g\ge 1

인 경우, 임의의 점

q\in \Sigma

에 대하여 다음과 같은 사상을 생각할 수 있다.

:

\overbrace{\Sigma \times \dotsb \times \Sigma}^g \to \operatorname{Jac}(\Sigma)

:

(p_1,\dotsc, p_g) \mapsto \operatorname{AJ}_\Sigma\left(\sum_{i=1}^g(p_g-q)\right)

이는 대칭군의 작용에 대하여 불변이므로, 짜임새 공간 위에 정의된다. 이 사상은 항상 전사 함수이며, 거의 모든 곳에서 단사 함수이다.

아벨-야코비 사상은 미분 형식의 당김으로 정의되는 선형 사상을 유도하며, 이는 동형 사상이다.^[3]

3. 2. 리만 곡면의 야코비 다양체와의 관계

리만 곡면

\Sigma

의 야코비 다양체는 복소수체 위에서 대수기하학적으로 정의된 야코비 다양체와 자연스럽게 동형이다. 이 동형은 아벨-야코비 사상과 지수 함수를 통해 구성된다.^[4]

구체적으로, 리만 곡면

\Sigma

의 0차 인자의 공간

\operatorname{Div}_0(\Sigma)

에서 야코비 다양체로 가는 아벨-야코비 사상

\operatorname{AJ}_\Sigma

는 다음과 같이 정의된다.^[4]

:

\operatorname{AJ}_\Sigma\colon \operatorname{Div}_0(\Sigma) \to \operatorname{Jac}(\Sigma)

:

\operatorname{AJ}_\Sigma\colon\sum_{i=1}^k (p_i - q_i) \mapsto \left [ \omega \mapsto \sum_{i=1}^k\int_{q_i}^{p_i}\omega_1\right]

여기서

p_i, q_i \in \Sigma

는

\Sigma

위의 점들이고,

\omega \in \Omega^{1,0}(\Sigma)

는

\Sigma

위의 정칙 1-형식이다.

\int_{q_i}^{p_i}\omega

는

q_i

와

p_i

를 잇는

\Sigma

위의 임의의 곡선을 따라 적분한 값이다. 이 값은 곡선의 호모토피류에 의존하지만, 서로 다른 곡선을 선택했을 때의 차이는 야코비 다양체의 격자

\Lambda

에 속하므로, 야코비 다양체 안의 점을 잘 정의한다.^[4]

아벨-야코비 사상은 전사 함수이며, 군 준동형이다. 그 핵은 주인자의 부분군

\operatorname{PDiv}(\Sigma)

이다. 따라서 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.^[4]

:

0 \to \operatorname{PDiv}(\Sigma) \to \operatorname{Div}_0(\Sigma) \to \operatorname{Jac}(\Sigma) \to 0

이는 0차 정칙 선다발의 모듈라이 공간과 야코비 다양체 사이의 동형을 정의한다.^[4]

g \ge 1

인 경우 (여기서

g

는 곡면의 종수), 임의의 점

q \in \Sigma

에 대해 다음과 같은 사상을 생각할 수 있다.^[4]

:

\overbrace{\Sigma \times \dotsb \times \Sigma}^g \to \operatorname{Jac}(\Sigma)

:

(p_1,\dotsc, p_g) \mapsto \operatorname{AJ}_\Sigma\left(\sum_{i=1}^g(p_g-q)\right)

이는 대칭군

\operatorname{Sym}(g)

의 작용에 불변이므로, 짜임새 공간

\operatorname{Conf}(\Sigma,g) = \Sigma^g / \operatorname{Sym}(g)

위에 정의된다. 이 사상

\operatorname{Conf}(\Sigma,g) \to \operatorname{Jac}(\Sigma)

은 항상 전사 함수이며, 거의 모든 점에서 단사 함수이다.^[4]

야코비 다양체는 아벨-야코비 정리를 통해 닐스 아벨의 단사성을 동형사상으로 만든 카를 구스타프 야코비의 이름을 따서 명명되었다. 야코비 다양체는 차원 ''g''의 주 편광된 아벨 다양체이며, 복소수 위에서는 복소 토러스이다.^[4]

리만 면

X

의 야코비안

\mathrm{Jac}(X)

는 다음과 같이 정의된다.^[4]

:

\mathrm{Jac} \left( X \right) := \Omega^{1}_{hol}\left( X \right)^{\vee}/ H_{1}\left( X, \mathbb{Z} \right).

여기서

\Omega^{1}_{hol}(X)

는

X

위의 정칙 1-형식의 복소 벡터 공간,

\Omega^{1}_{hol}(X)^{\vee}

는 그 쌍대 공간,

H_{1}(X, \mathbb{Z})

는

X

의 1차 호몰로지 군이다.^[4]

\Omega^{1}_{hol}(X)^{\vee}

의 원소는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[4]

:

\mathbb{R} \int_{A_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R} \int_{A_{g}} \oplus \mathbb{R} \int_{B_{1}} \oplus \cdots \oplus \mathbb{R} \int_{B_{g}}

여기서

A_{1}, \cdots A_{g}

,

B_{1}, \cdots B_{g}

는 각각

X

의

\alpha

-루프,

\beta

-루프이고,

g

는

X

의 종수이다.^[4]

아벨-야코비 정리에 따르면, 이렇게 구성된 복소 토러스는 차수 0의 선다발의 모듈라이 공간인 피카르 다양체

\operatorname{Pic}^{0}(X)

와 동형이다.^[4]

기초체

k

가 복소수체

\mathbb{C}

일 때, 곡선

C

의

\mathbb{C}

값 점

C(\mathbb{C})

에는 콤팩트 리만 곡면의 구조가 자연스럽게 주어진다. 따라서 이 리만 곡면의 야코비 다양체

\operatorname{Jac}(C(\mathbb{C}))

를 생각할 수 있다. 이는 대수기하학적으로 정의된 야코비 다양체

J

의

\mathbb{C}

값 점

J(\mathbb{C})

와 자연스럽게 동형이다.^[4]

이 동형은 다음과 같은 합성 사상으로 주어진다.^[4]

:

\Gamma(C, \Omega^1_C)^{\vee}\to\Gamma(J, \Omega^1_J)^{\vee}\simeqT_0(J)\overset{\mathrm{exp}}{\longrightarrow}J(\mathbb{C})

첫 번째 사상은 아벨-야코비 사상에서 유도되며, 두 번째 사상은

J

의 접공간

T_0(J)

와의 동형 사상, 마지막

\exp

는 지수 사상이다. 이 사상의 핵이

H_{1}(C(\mathbb{C}), \mathbb{Z})

이므로,

\operatorname{Jac}(C(\mathbb{C})) = \Omega_{hol}^{1}(C(\mathbb{C})) / H_{1}(C(\mathbb{C}), \mathbb{Z})

와

J(\mathbb{C})

가 동형임을 알 수 있다.^[4]

3. 3. 알바네제 성질 (Albanese Functoriality)

P^일본어를 C^일본어의 유[리점], f를 아벨-야코비 사상이라고 하자. C^일본어에서 아벨 다양체 A^일본어로 가는 사상 φ: C → A^일본어가 존재하여 P^일본어를 A^일본어의 단위원으로 보낸다면, 어떤 유일하게 결정되는 준동형 사상 ψ: J → A^일본어가 존재하여 φ = ψ∘f가 성립한다^[4]. 이 성질을 '''알바네세 관형성'''(Albanese functoriality)이라고 한다.

특히, f: C′ → C^일본어를 비특이 사영 곡선의 유한 피복, P′^일본어와 P^일본어를 각각 C′^일본어와 C^일본어의 유[리점]으로 f(P′) = P^일본어가 성립한다고 할 때, 알바네세 관형성에 의해 아벨 다양체의 사상 Alb(f): Jac(C′) → Jac(C)^일본어가 존재하여 Alb(f)∘f∘f}}를 만족한다.

3. 4. 피카르 성질 (Picard Functoriality)

f|f^영어: C → C′를 k 위의 비특이 사영 곡선 사이의 사상이라고 하자. 이 때, k 위의 아벨 다양체의 사상 Jac(C′) → Jac(C)가 존재하며, 유도되는 사상 Pic⁰(C′_k) = Jac(C′)(k̅) → Jac(C)(k̅) = Pic⁰(C_k)는 선속의 당김 사상과 대응된다.^[4] 이를 '''피카르 관수성'''(Picard functoriality)이라고 부른다.

4. 예

종수 0의 리만 곡면(리만 구)의 야코비 다양체는 한원소 공간이다. 종수가 1인 리만 곡면(타원 곡선)의 야코비 다양체는 원래 곡선과 동형이며, 아벨-야코비 사상을 통해 이 동형이 주어진다.

5. 응용 및 확장

토렐리 정리에서는 복소수 곡선이 (편극을 포함한) 야코비 다양체에 의해 결정된다고 설명한다. 쇼트키 문제는 어떤 주 편극 아벨 다양체가 곡선의 야코비 다양체인지 묻는 문제이다.

피카르 다양체, 알바네제 다양체, 일반화된 야코비 다양체, 중간 야코비 다양체는 고차원 다양체에서 야코비 다양체를 일반화한 것이다. 고차원 다양체의 경우, 정칙 1-형식 공간의 몫으로 야코비 다양체를 구성하면 알바네제 다양체를 얻지만, 이것이 피카르 다양체와 동형일 필요는 없다.

5. 1. 토렐리 정리 (Torelli's Theorem)

토렐리의 정리(Torelli's theorem)는 복소 곡선이 (편극을 가진) 야코비 다양체에 의해 결정된다는 것을 말한다.

쇼트키 문제(Schottky problem)는 어떤 편극을 가진 아벨 다양체가 곡선의 야코비 다양체인지 묻는 문제이다.

5. 2. 쇼트키 문제 (Schottky Problem)

토렐리 정리는 복소수 곡선이 (편극을 가진) 야코비 다양체에 의해 결정된다고 명시한다.

쇼트키 문제는 어떤 주 편극 아벨 다양체가 곡선의 야코비 다양체인지 묻는 질문이다.

5. 3. 일반화된 야코비 다양체

피카르 다양체, 알바네제 다양체, 중간 야코비 다양체는 고차원 다양체에 대한 야코비 다양체의 일반화이다. 고차원 다양체의 경우 정칙 1-형식 공간의 몫으로 야코비 다양체를 구성하는 것은 알바네제 다양체를 제공하도록 일반화되지만, 일반적으로 이는 피카르 다양체와 동형일 필요는 없다.^[1]

5. 4. 암호학에서의 응용

초타원 곡선 및 그 야코비 다양체는 현대 암호학, 특히 공개키 암호 시스템에서 중요한 역할을 한다.^[1]

참조

_[1] 서적 Tata lectures on Theta I Birkhäuser 2007
_[2] 논문 From Abel's heritage: transcendental objects in algebraic geometry and their algebrization 2003
_[3] 간행물 LOCAL ARITHMETIC OF CURVES AND JACOBIANS https://heilbronn.ac[...]
_[4] 간행물 Lecture 2: Abelian varieties http://virtualmath1.[...]

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