분배 함수 (양자장론)

2. 범함수 생성하기

n-점 상관 함수 $G\_n(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n)$는 경로 적분 형식을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다. 이 표현은 양자장론에서 장들의 동적인 상호작용을 이해하는 데 기본이 된다.

:$$

G_n(x_1,...,x_n)

\equiv \langle \Omega | T \{ \phi(x_1) \cdots \phi(x_n) \} | \Omega \rangle

= \frac{\int \mathcal{D} \phi \, \phi(x_1) \cdots \phi(x_n) \exp ( iS[\phi]/\hbar )}

{\int \mathcal{D} \phi \, \exp ( iS[\phi]/\hbar )}



여기서 왼쪽 항은 S-행렬 요소 계산에 사용되는 시간 순서곱(time-ordered product)을 나타내며, $|\backslash Omega\backslash rangle$는 진공 상태를 의미한다. 오른쪽 항의 $\backslash mathcal\{D\}\; \backslash phi$는 가능한 모든 고전적 장 구성 $\backslash phi(x)$에 대해 적분하는 것을 의미하며, $S[\backslash phi]$는 해당 장 구성에 대한 고전적 작용이다.^[9]

이러한 상관 함수들을 체계적으로 생성하기 위해 모함수(generating functional) $Z[J]$를 도입한다. 이는 임의의 외부 소스(source) 또는 전류(current) $J(x)$를 사용하여 위의 경로 적분을 일반화한 것이다. (4차원 시공간을 예로 들면) 모함수는 다음과 같이 정의된다.

:$Z[J]\; =\; \backslash int\; \backslash mathcal\{D\}\backslash phi\; \backslash exp\; \backslash left\backslash \{\; \backslash frac\{i\}\{\backslash hbar\}\; \backslash left(\; S[\backslash phi]+\backslash int\; d^4\; x\; J(x)\backslash phi(x)\; \backslash right)\; \backslash right\backslash \}$

이 모함수 $Z[J]$가 바로 분배 함수이다. 분배 함수를 알면, 모든 n-점 상관 함수 $G\_n(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n)$를 범함수 미분을 통해 얻을 수 있다.

:$$

G_n(x_1,...,x_n) = (-i \hbar)^n \frac{1}{Z[0]} \left. \frac{\delta^n Z[J]}{ \delta J(x_1) \cdots \delta J(x_n)} \right|_{J=0}\ .



즉, 분배 함수는 이론의 모든 상관 함수 정보를 담고 있는 핵심적인 대상이다. 외부 소스 $J$에 대해 분배 함수를 반복적으로 미분하고 $J=0$으로 설정하면 원하는 상관 함수를 계산할 수 있다.

분배 함수를 정확하게 계산하는 것은 일반적으로 매우 어렵다. 자유장론과 같이 특별한 경우를 제외하고는 상호작용이 있는 대부분의 이론에서는 근사적인 방법, 예를 들어 섭동 이론을 사용하여 계산한다.

2. 1. 스칼라 장론

2. 2. 일반적 장론

2. 3. 열장론