분할 리 대수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 분할 카르탕 부분 대수
3. 성질
4. 예시
참조

1. 개요

분할 리 대수는 체 K 위의 리 대수와 관련된 개념으로, 특정 조건을 만족하는 카르탕 부분 대수를 갖는 리 대수를 의미한다. 분할 리 대수는 대수적으로 닫힌 체 위의 모든 반단순 리 대수가 가질 수 있는 구조이며, 준분할 리 대수와 밀접한 관련을 가진다. 실수 리 대수의 경우, 분할 가능성은 사타케 다이어그램의 특성과 관련이 있으며, 모든 복소수 단순 리 대수는 고유한 분할 실수 형식을 갖는다.

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분할 리 대수
기본 정보
유형	리 대수
분야	수학, 특히 리 이론
정의	분할 가능 대수를 포함하는 리 대수
역사
창시자	빌헬름 킬링
관련 개념
관련 개념	킬링 형식, 카르탕 부분대수, 루트 시스템, 바일 군

2. 정의

분할 카르탕 부분 대수를 갖는 리 대수를 '''분할 리 대수'''라고 한다.

2. 1. 분할 카르탕 부분 대수

체

K

위의 유한 차원 리 대수

\mathfrak g

의 카르탕 부분 대수

\mathfrak h

가 다음 조건을 만족시킨다면, 분할 카르탕 부분 대수라고 한다.

임의의 $x\in\mathfrak h$ 에 대하여, 선형 사상 $\operatorname{ad}_{\mathfrak g}x = [x,-] \colon \mathfrak g\to\mathfrak g$ 가 삼각 행렬이 되는 $\mathfrak g$ 의 $K$ -기저가 존재한다.

분할 카르탕 부분 대수를 갖는 리 대수를 분할 리 대수라고 한다.

3. 성질

대수적으로 닫힌 체 위의 모든 반단순 리 대수는 분할 리 대수의 구조를 가질 수 있다. 그러나 이는 대수적으로 닫힌 체가 아닌 체에 대하여 성립하지 않을 수 있다.

3. 1. 켤레 관계

대수적으로 닫힌 체 위에서는 모든 카르탕 부분 대수는 켤레 관계에 있다. 그러나 대수적으로 닫히지 않은 체 위에서는 일반적으로 모든 카르탕 부분 대수가 켤레 관계에 있는 것은 아니다. 다만, 가분 단순 리 대수에서는 모든 '''분할''' 카르탕 대수가 켤레 관계에 있다. 가분 리 대수에는 분할되지 않은 카르탕 부분 대수가 존재할 수도 있다.^[3]

3. 2. 분할 가능성

대수적으로 닫힌 체 위에서는 모든 반단순 리 대수가 분할 리 대수의 구조를 가질 수 있다. 즉, 복소수체와 같이 대수적으로 닫힌 체 위에서는 모든 반단순 리 대수가 가분(split)이다.

그러나 대수적으로 닫힌 체가 아닌 체, 예를 들어 실수체

\mathbb R

위에서는 가분되지 않는 반단순 리 대수가 존재한다.^[2]

표수 0의 체

K

위에서, 보렐 부분 리 대수(즉, 극대 가해 부분 리 대수)를 갖는 리 대수를 '''준분할 리 대수'''(quasisplit Lie algebra^eng)라고 한다. 분할 리 대수는 항상 준분할 리 대수이다. 만약

K

가 대수적으로 닫힌 체라면, 반단순 리 대수, 준분할 리 대수, 분할 리 대수의 개념은 모두 일치한다.

카르탕 부분 대수와의 관계는 다음과 같다.

대수적으로 닫힌 체 위에서는 모든 카르탕 부분 대수가 켤레 관계에 있다.
대수적으로 닫히지 않은 체 위에서는 일반적으로 모든 카르탕 부분 대수가 켤레 관계에 있는 것은 아니지만, 가분 단순 리 대수에서는 모든 ''분할'' 카르탕 대수가 켤레 관계에 있다.
가분 리 대수에도 분할되지 않은 카르탕 부분 대수가 존재할 수 있다.^[3]

또한, 가분 리 대수의 직합 및 가분 리 대수의 아이디얼은 가분이다.

3. 3. 연산

유한 개의 분할 리 대수

(\mathfrak g_i,\mathfrak h_i)_{i\in I}

가 주어졌을 때, 그 직합

:

(\mathfrak g,\mathfrak h)

:

\mathfrak g=\bigoplus_{i\in I}\mathfrak g_i

:

\mathfrak h=\bigoplus_{i\in I}\mathfrak h_i

역시 분할 리 대수를 이룬다.

또한, 가분 리 대수의 직합 및 가분 리 대수의 아이디얼은 가분이다.

3. 4. 준분할 리 대수

표수 0의 체

K

위에서, 보렐 부분 리 대수(즉, 극대 가해 부분 리 대수)를 갖는 리 대수를 준분할 리 대수(quasisplit Lie algebra^영어)라고 한다. 이 경우, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

: 분할 리 대수 ∪

\bar K

-반단순 리 대수 ⊆ 준분할 리 대수 ⊆ 반단순 리 대수

여기서

\bar K

는

K

의 대수적 폐포이다. 만약

K

가 대수적으로 닫힌 체(예를 들어, 복소수체)라면, 위 포함 관계들은 모두 등호가 된다. 그러나 만약

K=\mathbb R

(실수체)일 때, 이는 모두 등호가 아니다.

3. 5. 실수 분할 리 대수

실수 리 대수의 경우, 분할 가능성은 다음 조건 중 하나와 동등하다.^[4]

실수 계수가 복소수 계수와 같다.
사타케 다이어그램에 검은 꼭짓점이나 화살표가 없다.

모든 복소수 반단순 리 대수는 동형 사상을 제외하고 유일한 분할 가능 실수 리 대수를 가지며, 이 실수 리 대수는 반단순이고, 원래 복소수 리 대수가 단순할 경우에만 단순하다.^[5]

실수 반단순 리 대수의 경우, 분할 리 대수는 콤팩트 리 대수와는 반대되는 성질을 가진다. 즉, 분할 리 대수에 대응하는 리 군은 콤팩트성과는 거리가 멀다고 할 수 있다.

4. 예시

각 복소수 단순 리 대수는 정확히 하나의 분할 실수 형식을 갖는다.

4. 1. 복소수 단순 리 대수의 실수 형식

각 복소수 단순 리 대수는 정확히 하나의 분할 실수 형식을 갖는다. 그러나 이들은 하나 이상의 준분할 실수 형식을 가질 수 있다.

복소수 단순 리 대수들 가운데, 분할이 아닌 준분할 실수 형식을 갖는 것들은 다음과 같다.

복소수 단순 리 대수	분할 실수 형식	분할이 아닌 준분할 실수 형식
$\mathfrak{sl}(n;\mathbb C)$	$\mathfrak{sl}(n;\mathbb R)$	$\mathfrak{su}(\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil)$
$\mathfrak o(2n;\mathbb C)$	$\mathfrak o(n,n)$	$\mathfrak o(n-1,n+1)$
$\mathfrak e_6$	$\mathfrak e_{6(6)}$	$\mathfrak e_{6(2)}$

4. 2. 분할 실수 형식을 갖는 복소 반단순 리 대수

복소 반단순 리 대수의 분할 실수 형태는 다음과 같다.^[6]

$A_n, \mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbf{C}): \mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbf{R})$
$B_n, \mathfrak{so}_{2n+1}(\mathbf{C}): \mathfrak{so}_{n,n+1}(\mathbf{R})$
$C_n, \mathfrak{sp}_n(\mathbf{C}): \mathfrak{sp}_n(\mathbf{R})$
$D_n, \mathfrak{so}_{2n}(\mathbf{C}): \mathfrak{so}_{n,n}(\mathbf{R})$
예외 리 대수: $E_6, E_7, E_8, F_4, G_2$ 는 분할 실수 형태 EI, EV, EVIII, FI, G를 갖는다.

이는 복소 리 군의 분할 실수 군의 리 대수이다.

\mathfrak{sl}

과

\mathfrak{sp}

의 경우, 실수 형태는 동일한 대수적 군의 실수 점(리 대수)인 반면,

\mathfrak{so}

의 경우, 군 SO가 콤팩트하기 때문에, 분할 형태를 사용해야 한다.

4. 3. 분할이 아닌 준분할 실수 형식

각 복소수 단순 리 대수는 정확히 하나의 분할 실수 형식을 갖는다. 그러나 이들은 하나 이상의 준분할 실수 형식을 가질 수 있다.

복소수 단순 리 대수들 가운데, 분할이 아닌 준분할 실수 형식을 갖는 것들은 다음과 같다.

복소수 단순 리 대수	분할 실수 형식	분할이 아닌 준분할 실수 형식
$\mathfrak{sl}(n;\mathbb C)$	$\mathfrak{sl}(n;\mathbb R)$	$\mathfrak{su}(\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil)$
$\mathfrak o(2n;\mathbb C)$	$\mathfrak o(n,n)$	$\mathfrak o(n-1,n+1)$
$\mathfrak e_6$	$\mathfrak e_{6(6)}$	$\mathfrak e_{6(2)}$

참조

_[1] 서적 https://books.google[...]
_[2] 서적 https://books.google[...]
_[3] 서적 https://books.google[...]
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적

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