반단순 리 대수

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1. 개요
2. 정의
3. 중요성
4. 성질
5. 조르당 분해
6. 구조
7. 예시
8. 분류
- 8.1. 복소수 단순 리 대수
- 8.2. 실수 단순 리 대수
9. 표현론
10. 일반화
11. 역사
참조

1. 개요

반단순 리 대수는 리 대수 아이디얼이 자명하거나 자기 자신뿐인 단순 리 대수들의 직합으로 표현되는 리 대수이다. 체의 표수가 0이고 유한 차원 리 대수일 때, 가해 아이디얼이 자명하거나 킬링 형식이 비퇴화인 경우 반단순 리 대수라고 정의할 수 있다. 반단순 리 대수는 레비 분해를 통해 가해 리 대수와 반단순 대수의 반직접곱으로 표현되며, 가해 리 대수와는 다르게 딘킨 도표를 통해 분류할 수 있다. 반단순 리 대수의 표현론은 일반적인 리 대수보다 더 깔끔하며, 조르당 분해와 같은 성질을 보인다. 반단순 리 대수는 자신의 수반 표현이 완전 기약인 축약 리 대수의 특수한 경우이며, 엘리 카르탕과 펠릭스 루비노비치 간트마헤르에 의해 분류되었다.

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반단순 리 대수
개요
유형	리 대수
분야	수학, 리 이론
정의
정의	아벨 리 대수인 비자명 아이디얼을 갖지 않는 리 대수
성질
구조 정리	단순 리 대수의 직접 합
킬링 형식	비퇴화
표현	완전 환원 가능
근계	환원적
관련 개념
관련 개념	리 대수 단순 리 대수 근계

2. 정의

체 K 위의 리 대수 $\mathfrak g$ 가 다음 두 조건을 만족하면 '''단순 리 대수'''라고 한다.^[19]

$\mathfrak g$ 의 리 대수 아이디얼은 $\{0\}$ 과 $\mathfrak g$ 전체 밖에 없다.
$\mathfrak g$ 는 아벨 리 대수가 아니다. 즉, $[x,y]\ne0$ 인 $x,y\in\mathfrak g$ 가 존재한다.

K의 표수가 0이고,

\mathfrak g

가 K 위의 유한 차원 리 대수일 때, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건을 만족하는 리 대수를 '''반단순 리 대수'''라고 한다.

$\mathfrak g$ 의 가해(solvable^영어) 아이디얼은 $\{0\}$ 밖에 없다. 즉, $\mathfrak g$ 의 근기(radical^영어)가 $\sqrt{\mathfrak g}=\{0\}$ 이다.^[19]
$\mathfrak g$ 의 아벨 아이디얼은 $\{0\}$ 밖에 없다.
$\mathfrak g$ 는 단순 리 대수들의 직합이다.
(카르탕 반단순성 조건 Cartan’s criterion for semisimplicity^영어) $\mathfrak g$ 의 킬링 형식 $K(x,y)=\operatorname{tr}_K\operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y)$ 는 비퇴화 쌍선형 형식이다.^[19]

'''반단순 리 군'''은 그 리 대수가 반단순 리 대수인 연결 리 군이다.^[19] 마찬가지로, '''단순 리 군'''은 그 리 대수가 단순 리 대수인 연결 리 군이다.

3. 중요성

반단순 리 대수의 중요성은 모든 유한 차원 리 대수가 가해 아이디얼과 반단순 리 대수의 반직접곱으로 나타낼 수 있다는 레비 분해에서 비롯된다.^[19] 특히 가해적이면서 반단순인 영이 아닌 리 대수는 존재하지 않는다.

반단순 리 대수는 가해 리 대수와는 대조적으로 매우 우아한 분류를 가지고 있다. 표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수는 근계에 의해 완전히 분류되며, 이는 차례로 딘킨 도형에 의해 분류된다.^[19] 실수형식을 참고하면, 엘리 카르탕에 의해 분류된 실 반단순 리 대수의 경우를 알 수 있다.

나아가, 반단순 리 대수의 표현론은 일반적인 리 대수의 표현론보다 훨씬 더 깔끔하다. 예를 들어, 반단순 리 대수에서의 조르당-슈발레 분해는 그 표현에서의 조르당 분해와 일치한다.

만약 $\mathfrak g$ 가 반단순이면, $\mathfrak g = [\mathfrak g, \mathfrak g]$ 이다. 특히 모든 선형 반단순 리 대수는 특수 선형 리 대수 $\mathfrak{sl}$ 의 부분 대수이다. $\mathfrak{sl}$ 의 구조에 대한 연구는 반단순 리 대수의 표현론의 중요한 부분을 구성한다.

4. 성질

반단순 리 대수의 모든 아이디얼, 몫 및 곱은 다시 반단순이다.^[1] 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 의 중심은 자명하다 (중심은 아벨 아이디얼이기 때문이다). 즉, 수반 표현 $\operatorname{ad}$ 는 단사 함수이다. 더욱이, 그 이미지는 $\mathfrak{g}$ 에 대한 도함수 $\operatorname{Der}(\mathfrak g)$ 임이 밝혀진다.^[2] 따라서 $\operatorname{ad}: \mathfrak{g} \overset{\sim}\to \operatorname{Der}(\mathfrak g)$ 는 동형사상이다.^[3] (이것은 화이트헤드의 보조정리의 특별한 경우이다.)

수반 표현이 단사 함수이므로, 반단순 리 대수는 수반 표현 하에서 선형 리 대수이다. 만약 $\mathfrak g$ 가 반단순 리 대수이면, $\mathfrak g = [\mathfrak g, \mathfrak g]$ 이다 (왜냐하면 $\mathfrak g/[\mathfrak g, \mathfrak g]$ 는 반단순이고 아벨이기 때문이다).^[4] 표수가 0인 체 ''k'' 위의 유한 차원 리 대수 $\mathfrak g$ 는 기저 확장 $\mathfrak{g} \otimes_k F$ 가 각 체 확장 $F \supset k$ 에 대해 반단순일 경우에만 반단순이다.^[5]

5. 조르당 분해

유표수 0인 체 위의 유한 차원 선형 변환 ''x''는 반단순 연산자(대수적 폐포에서 대각화 가능)와 멱영 변환으로 고유하게 분해될 수 있다.

: $x=s+n$

여기서 ''s''와 ''n''은 서로 교환 가능하며, ''s''와 ''n'' 각각은 ''x''의 다항식이다. 이것이 ''x''의 조르당-슈발레 분해이다.

위 내용은 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 의 수반 표현 $\operatorname{ad}$ 에 적용된다. $\mathfrak g$ 의 원소 ''x''는 $\operatorname{ad}(x)$ 가 반단순 (각각, 멱영) 연산자인 경우 반단순 (각각, 멱영)이라고 한다.^[6] 만약 $x\in\mathfrak g$ 이면, '''추상 조르당 분해'''는 ''x''를 다음과 같이 고유하게 쓸 수 있다고 말한다.

: $x = s + n$

여기서 $s$ 는 반단순이고, $n$ 은 멱영이며 $[s, n] = 0$ 이다.^[7] 또한, 만약 $y \in \mathfrak g$ 가 ''x''와 교환 가능하면, $s, n$ 둘 다와 교환 가능하다.

추상 조르당 분해는 어떤 표현 ρ에 대해, $\mathfrak g$ 의 모든 표현을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\rho(x) = \rho(s) + \rho(n)\,$

는 표현 공간의 선형 변환 대수에서 ρ(''x'')의 조르당 분해이다.^[8] (이는 바일 완전 가약 정리의 결과로 증명된다. 바일의 완전 가약 정리#응용: 조르당 분해 보존 참고.)

6. 구조

표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 (유한 차원) 반단순 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 구조는 카르탕 부분 대수라고 하는 특이한 부분 대수의 수반 작용을 통해 설명될 수 있다.^[9] 카르탕 부분 대수 $\mathfrak{h}$ 는 각 $h \in \mathfrak{h}$ 에 대해 $\operatorname{ad}(h)$ 가 대각화 가능하도록 하는 최대 부분 대수이다. 결과적으로 $\mathfrak{h}$ 는 가환하며 따라서 $\operatorname{ad}(\mathfrak{h})$ 의 모든 연산자는 동시에 대각화 가능하다.

카르탕 부분 대수 $\mathfrak{h}$ 가 주어지면, $\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{h}$ 이고 ( $\mathfrak h$ -가군으로서의) 다음과 같은 근 공간 분해가 존재한다.^[10]

: $\mathfrak g = \mathfrak h \oplus \bigoplus_{\alpha \in \Phi} \mathfrak{g}_{\alpha}$

여기서 $\Phi$ 는 $\mathfrak g_{\alpha} \ne \{0\}$ 인 $\mathfrak h$ 의 모든 0이 아닌 선형 범함수 $\alpha$ 의 집합이다.

$\Phi$ 의 선형 범함수는 $\mathfrak h$ 에 상대적인 $\mathfrak g$ 의 '''근'''이라고 한다. 근은 $\mathfrak h^*$ 를 생성한다.

'''바일 군'''은 $\mathfrak{h}^* \simeq \mathfrak{h}$ 의 선형 변환 군으로, 다음과 같이 정의되는 $s_\alpha$ 에 의해 생성된다.

: $s_{\alpha} : \mathfrak{h}^* \to \mathfrak{h}^*, \, \gamma \mapsto \gamma - \gamma(h_{\alpha}) \alpha$

바일 군은 문제의 중요한 대칭이다. 예를 들어, $\mathfrak{g}$ 의 임의의 유한 차원 표현의 가중치는 바일 군에 대해 불변이다.^[11]

7. 예시

$\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ 와 대각 행렬의 카르탕 부분 대수 $\mathfrak{h}$ 에 대해, $\lambda_i \in \mathfrak{h}^*$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $\lambda_i(d(a_1,\ldots, a_n)) = a_i$

여기서 $d(a_1,\ldots, a_n)$ 은 대각선에 $a_1,\ldots, a_n$ 을 갖는 대각 행렬을 나타낸다. 그러면 분해는 다음과 같다.

: $\mathfrak{g} = \mathfrak{h}\oplus \left( \bigoplus_{i \neq j} \mathfrak{g}_{\lambda_i - \lambda_j} \right)$

여기서 $\mathfrak{g}_{\lambda_i - \lambda_j} = \text{Span}_\mathbb{C}(e_{ij})$ 는 표준 (행렬) 기저를 갖는 $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ 의 벡터 $e_{ij}$ 에 대해, $e_{ij}$ 는 $i$ 번째 행과 $j$ 번째 열에 있는 기저 벡터를 나타낸다. $\mathfrak{g}$ 의 이러한 분해는 관련된 근계를 갖는다.

: $\Phi = \{ \lambda_i - \lambda_j : i \neq j \}$

예를 들어, $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ 에서 분해는 다음과 같다.

: $\mathfrak{sl}_2= \mathfrak{h}\oplus \mathfrak{g}_{\lambda_1 - \lambda_2}\oplus \mathfrak{g}_{\lambda_2 - \lambda_1}$

그리고 관련 근계는 다음과 같다.

: $\Phi = \{\lambda_1 - \lambda_2, \lambda_2 - \lambda_1 \}$

$\mathfrak{sl}_3(\mathbb{C})$ 에서 분해는 다음과 같다.

: $\mathfrak{sl}_3 = \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{g}_{\lambda_1 - \lambda_2}\oplus \mathfrak{g}_{\lambda_1 - \lambda_3}\oplus \mathfrak{g}_{\lambda_2 - \lambda_3}\oplus \mathfrak{g}_{\lambda_2 - \lambda_1}\oplus \mathfrak{g}_{\lambda_3 - \lambda_1}\oplus \mathfrak{g}_{\lambda_3 - \lambda_2}$

그리고 관련된 근계는 다음과 같다.

: $\Phi = \{\pm(\lambda_1 - \lambda_2),\pm(\lambda_1 - \lambda_3),\pm(\lambda_2 - \lambda_3) \}$

만약 $\mathfrak{g}=\mathrm{sl}(n,\mathbb{C})$ 이면, $\mathfrak{h}$ 는 $\mathfrak{g}$ 의 대각 부분 대수, 즉 대각 성분의 합이 0인 대각 행렬로 취할 수 있다. $\mathfrak{h}$ 의 차원이 $n-1$ 이므로, $\mathrm{sl}(n;\mathbb{C})$ 의 계수가 $n-1$ 임을 알 수 있다.

이 경우 근 벡터 $X$ 는 $i\neq j$ 일 때 행렬 $E_{i,j}$ 로 취할 수 있으며, 여기서 $E_{i,j}$ 는 $(i,j)$ 위치에 1이 있고 다른 위치에는 0이 있는 행렬이다.^[18] 만약 $H$ 가 대각 성분이 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ 인 대각 행렬이면, 다음과 같다.

: $[H,E_{i,j}]=(\lambda_i-\lambda_j)E_{i,j}$ .

따라서, $\mathrm{sl}(n,\mathbb{C})$ 에 대한 근은 다음과 같이 주어진 선형 범함수 $\alpha_{i,j}$ 이다.

: $\alpha_{i,j}(H)=\lambda_i-\lambda_j$ .

$\mathfrak{h}$ 를 쌍대 공간과 식별한 후, 근은 합이 0이 되는 $n$ 개의 튜플 공간에서 벡터 $\alpha_{i,j}:=e_i-e_j$ 가 된다. 이것은 통상적인 표기법에서 $A_{n-1}$ 으로 알려진 근계이다.

근 $\alpha_{i,j}$ 와 관련된 반사는 $i$ 와 $j$ 대각 성분을 전치함으로써 $\mathfrak{h}$ 에 작용한다. 그러면 바일 군은 단순히 $n$ 개의 원소에 대한 순열군이며, $\mathfrak{h}$ 의 행렬의 대각 성분을 순열하여 작용한다.

다음은 딘킨 도형의 분류에서 유래한 표기법을 사용하여 나타낸 반단순 리 대수의 예이다.

$A_n:$ $\mathfrak {sl}_{n+1}$ , 특수 선형 리 대수
$B_n:$ $\mathfrak{so}_{2n+1}$ , 홀수 차원 특수 직교 리 대수
$C_n:$ $\mathfrak {sp}_{2n}$ , 심플렉틱 리 대수
$D_n:$ $\mathfrak{so}_{2n}$ , 짝수 차원 특수 직교 리 대수

이러한 리 대수는 ''n''이 랭크가 되도록 번호가 매겨져 있다. 저차원에서의 예외를 제외하면, 이들의 대부분은 단순 리 대수이다. 이 4개의 족과 5개의 예외형(E₆, E₇, E₈, F₄, G₂)으로 복소수체 위의 단순 리 대수는 모두 표현된다.

8. 분류

복소수체 위의 (유한 차원) 단순 리 대수는 근계 또는 이에 대응하는 딘킨 도표로 분류되며, 이에 따라 $A_n$ , $B_n$ , $C_n$ , $D_n$ , E₆, E₇, E₈, F₄, G₂가 있다. 단일 연결 단순 리 군은 단순 리 대수와 일대일 대응하며, 단일 연결이 아닌 리 군은 그 범피복군의 중심의 부분군인 정규 부분군에 대한 몫군이다.

앞선 내용에서 언급했듯이, 표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수는 카르탕 부분 대수와 관련된 근계에 의해 분류되며, 근계는 차례로 딘킨 다이어그램에 의해 분류된다.

고전적 리 대수는 딘킨 다이어그램에서 유래한 표기법을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$A_n:$ $\mathfrak {sl}_{n+1}$ , 특수 선형 리 대수.
$B_n:$ $\mathfrak{so}_{2n+1}$ , 홀수 차원 특수 직교 리 대수.
$C_n:$ $\mathfrak {sp}_{2n}$ , 심플렉틱 리 대수.
$D_n:$ $\mathfrak{so}_{2n}$ , 짝수 차원 특수 직교 리 대수 ( $n>1$ ).

D_n

에서

n>1

인 이유는

\mathfrak{so}_{2}

가 1차원이고 가환적이어서 반단순이 아니기 때문이다.

이러한 리 대수는 ''n''이 계수가 되도록 번호가 매겨져 있다. 이러한 반단순 리 대수의 거의 대부분은 실제로 단순하며, 이러한 족의 구성원들은 작은 계수에서 몇몇 충돌을 제외하고는 거의 모두 다르다. 예를 들어

\mathfrak{so}_{4} \cong \mathfrak{so}_{3} \oplus \mathfrak{so}_{3}

이고

\mathfrak{sp}_{2} \cong \mathfrak{so}_{5}

이다. 이 네 족과 다섯 개의 예외 (E₆, E₇, E₈, F₄, G₂)는 복소수 상에서 ''유일한'' 단순 리 대수이다.

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 모든 반단순 리 대수는 (정의에 의해) 단순 리 대수의 직합이며, 유한 차원 단순 리 대수는 A_n, B_n, C_n 및 D_n의 네 가지 계열과 5개의 예외(E₆, E₇, E₈, F₄ 및 G₂)로 분류된다.

이 분류는 카르탕 부분 대수(최대 가환 리 대수)와 이에 대한 수반 표현을 조사하여 진행된다. 그 작용의 루트 계는 원래의 리 대수를 결정하고, 또한 강한 제약을 만족하기 때문에 딘킨 도형에 의해 분류된다.

단순 리 대수의 분류는 수학에서 가장 우아한 결과 중 하나로 널리 여겨지며, 간결한 몇 가지 공리가 비교적 짧은 증명으로 완전하고 비자명하며 놀라운 구조를 갖춘 분류를 만들어낸다.

대수적으로 닫히지 않은 체에서는 분류가 더 복잡하다. 대수적 폐포 위의 단순 리 대수를 분류한 다음, 각 대수에 대해 이 형태(폐포에서)를 갖는 원래 체 위의 단순 리 대수를 분류한다.

8. 1. 복소수 단순 리 대수

모든 복소수 단순 리 대수는 다음 가운데 하나와 동형이다.

$\mathfrak a_k=\mathfrak{sl}(k+1,\mathbb C)=\mathfrak{su}(k+1)\otimes\mathbb C$ , $k=1,2,\dots$ (복소 무대각합(無對角合, traceless^영어) 행렬 대수)
$\mathfrak b_k=\mathfrak{so}(2k+1,\mathbb C)$ , $k=2,3,\dots$ (홀수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
$\mathfrak c_k=\mathfrak{sp}(2k,\mathbb C)$ , $k=2,3,\dots$ (복소 해밀턴 행렬(Hamiltonian matrix^영어) 대수)
$\mathfrak d_k=\mathfrak{so}(2k,\mathbb C)$ , $k=4,5,\dots$ (짝수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
𝖊₆, 𝖊₇, 𝖊₈
𝖋₄
𝖌₂

이 가운데, 처음 네 가지를 '''고전적'''(classical^영어), 나머지를 '''예외적'''(exceptional^영어)이라고 부른다. 여기서 아래 첨자는 근의 수를 나타낸다.

8. 2. 실수 단순 리 대수

대수적으로 닫힌 체가 아닌 체 위의 반단순 리 대수

\mathfrak g

의 경우, 우선 그 대수적 폐포

\bar K

위의 대수

\mathfrak g\otimes_K\bar K

를 분류한 뒤, 이를

\bar K

에서

K

로 제약시키는 방법을 분류하여야 한다.

실수체

K=\mathbb R

의 경우, 이에 대응되는 복소수 리 대수는 '''복소화'''(complexification^영어)

\mathfrak g\mapsto\mathfrak g\otimes\mathbb C

라고 하며, 주어진 복소수 리 대수에 대응되는 실수 리 대수들은 '''실수 형식'''(real form^영어)이라고 한다.

실수 단순 리 대수에서 복소수 단순 리 대수로 가는 복소화 사상은 전사 함수지만, 단사 함수는 아니며, 그 원상은 유한하다. 즉 각 단순 복소 단순 리 대수에 대하여 유한 개의 실수 단순 리 대수가 대응하고, 모두 알려져 있다.^[12]

9. 표현론

$\mathfrak g$ 를 표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 (유한 차원) 반단순 리 대수라고 하면, $\mathfrak g = \mathfrak h \oplus \bigoplus_{\alpha \in \Phi} \mathfrak g_{\alpha}$ 이고, 여기서 $\Phi$ 는 근계이다. 보렐 부분 대수는 다음과 같다. $\mathfrak b = \mathfrak h \oplus \bigoplus_{\alpha > 0} \mathfrak g_{\alpha}$
최고 무게 벡터와 최고 무게''V''를 (가능한 무한 차원) 단순 $\mathfrak g$ -가군이라고 하자. ''V''가 $\mathfrak b$ -무게 벡터 $v_0$ 를 갖는다면,^[13] 이는 스케일링까지 유일하며 ''V''의 최고 무게 벡터라고 한다. 또한 $\mathfrak h$ -무게 벡터이며, $\mathfrak h$ 의 선형 함수인 $v_0$ 의 $\mathfrak h$ -무게는 ''V''의 최고 무게라고 한다. $\mu \in \mathfrak h^*$ 를 최고 무게로 갖는 단순 $\mathfrak g$ -가군 $V^{\mu}$ 가 존재하고, 같은 최고 무게를 갖는 두 개의 단순 가군은 동치이다.^[14]
최고 무게 정리 $\mathfrak g$ 가 리 군의 리 대수(또는 그러한 대수의 복소화)인 경우, 리 대응을 통해 리 대수 표현을 리 군 표현으로 적분할 수 있기 때문에, 유한 차원 단순 $\mathfrak g$ -가군(유한 차원 기약 표현)에 관심이 있는 경우가 많다. 양 바일 공간 $C \subset \mathfrak{h}^*$ 는 $C = \{ \mu \in \mathfrak{h}^* | \mu(h_{\alpha}) \ge 0, \alpha \in \Phi > 0 \}$ 를 의미하며, 여기서 $h_{\alpha} \in [\mathfrak g_{\alpha}, \mathfrak g_{-\alpha}]$ 는 $\alpha(h_{\alpha}) = 2$ 인 고유 벡터이다.^[15]

$\dim V^{\mu} < \infty$ 는 각 양근 $\alpha > 0$ 에 대해 (1) $\mu(h_{\alpha})$ 가 정수이고 (2) $\mu$ 가 $C$ 에 속하는 경우에만 해당한다.

위의 조건을 만족하는 선형 함수

\mu

를 우세한 정수 무게라고 한다. 우세한 정수 무게와 유한 차원 단순

\mathfrak g

-가군의 동치류 사이에는 전단사 함수가 존재하며, 이를 최고 무게 정리라고 한다. 유한 차원 단순 가군의 문자는 바일 문자 공식으로 계산된다.
바일 완전 가약성 정리바일 완전 가약성 정리에 따르면, 표수가 0인 체 위에서 반단순 리 대수

\mathfrak g

의 모든 유한 차원 가군은 완전 가약이다. 즉, 단순

\mathfrak g

-가군의 직합이다.

10. 일반화

반단순 리 대수는 특정한 일반화를 허용한다. 우선, 반단순 리 대수에 대해 참인 많은 명제는 더 일반적으로 축약 리 대수에 대해서도 참이다.^[3] 추상적으로 축약 리 대수는 자신의 수반 표현이 완전 기약인 리 대수이며,^[3] 구체적으로 환원 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다.^[3] 예를 들어, $\mathfrak{sl}_n$ 은 반단순이며, $\mathfrak{gl}_n$ 는 환원이다.^[3] 반단순 리 대수의 많은 성질은 기약성에만 의존한다.^[3]

복소 반단순/환원 리 대수의 많은 성질은 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순/환원 리 대수뿐만 아니라, 더 일반적으로 다른 체 위의 분할 반단순/환원 리 대수에 대해서도 참이다.^[3] 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순/환원 리 대수는 항상 분할되지만, 다른 체에서는 항상 그런 것은 아니다.^[3] 분할 리 대수는 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수와 본질적으로 동일한 표현론을 가지며, 예를 들어, 분할 카르탕 부분 대수는 카르탕 부분 대수가 대수적으로 닫힌 체 위에서 하는 것과 동일한 역할을 한다.^[3]

11. 역사

엘리 카르탕이 1894년에 박사 학위 논문에서 복소수 반단순 리 대수를 분류하였다.^[20] 펠릭스 루비노비치 간트마헤르는 1939년에 실수 반단순 리 대수를 분류하였다.^[21]

복소수 위의 반단순 리 대수는 원래 빌헬름 킬링이 1888년에서 1890년 사이에 분류했지만, 킬링의 증명은 엄밀성이 부족했다. 엘리 카르탕은 1894년 박사 학위 논문에서 이 증명을 엄밀하게 만들었고, 실수 반단순 리 대수 또한 분류하였다. 이후 1947년에 유진 딘킨이 딘킨 다이어그램을 이용한 분류를 제시하면서 더욱 발전하였다.

참조

_[1] 서적
_[2] 문서
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 문서
_[10] 서적
_[11] 서적
_[12] 서적
_[13] 문서
_[14] 문서
_[15] 서적
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_[17] 서적
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_[19] 서적 Lie groups beyond an introduction https://www.springer[...] Birkhäuser 2002
_[20] 저널 Sur la structure des groupes de transformations finis et continus https://archive.org/[...] Librairie Nony et C^ie 1894
_[21] 저널 On the classification of real simple Lie groups http://mi.mathnet.ru[...] 1939

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