불변 부분 공간

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 단일 연산자에 대한 불변 부분 공간
- 2.2. 다중 연산자에 대한 불변 부분 공간
3. 성질
- 3.1. 행렬 표현
- 3.2. 투영을 통한 대각화
4. 불변 부분 공간 격자
5. 예시
6. 비가환 대수학의 기본 정리
7. 왼쪽 아이디얼
8. 불변 부분 공간 문제
9. 거의 불변 반공간
참조

1. 개요

불변 부분 공간은 선형 대수학에서 체 K에 대한 벡터 공간 V 위의 선형 변환 T에 대해 T에 의해 다시 W로 변환되는 부분 공간 W를 의미한다. T-불변 부분 공간은 임의의 벡터 w에 대해 Tw가 W에 속하는 부분 공간 W이며, T(W)가 W에 포함된다는 조건과 동치이다. 보다 일반적으로, 선형 변환의 집합 T에 대해 T-불변 부분 공간은 T에 속하는 모든 T에 대해 불변인 부분 공간 W이다. 불변 부분 공간은 선형 변환의 행렬 표현을 단순화하고, 연산자의 구조에 대한 통찰력을 제공하며, 불변 부분 공간 격자, 투영 연산자를 통한 대각화, 그리고 다양한 예시와 성질을 갖는다. 또한, 불변 부분 공간 문제는 아직 해결되지 않은 문제이며, 거의 불변 반공간에 대한 연구도 진행되고 있다.

더 읽어볼만한 페이지

연산자 이론 - 힐베르트 공간
힐베르트 공간은 내적 공간이면서 내적으로부터 유도된 거리 함수에 대해 완비 거리 공간을 이루는 공간으로, 다양한 함수 공간의 예시를 가지며 푸리에 해석, 양자역학 등 여러 분야에 응용된다.
연산자 이론 - C* 대수
C* 대수는 복소수 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조를 결합한 복소수 벡터 공간으로, 겔판트-나이마르크 정리에 따라 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 선형 연산자 대수로 표현될 수 있으며, 함수해석학, 수리물리학, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용된다.
표현론 - 매케이 화살집
매케이 화살집은 유한군 G의 기약 표현을 꼭짓점으로, 텐서곱 분해를 통해 변을 정의하여 군의 표현론적 구조를 시각적으로 나타내는 도구이다.
표현론 - 보렐-베유-보트 정리
보렐-베유-보트 정리는 복소수 반단순 리 군의 표현론에서 층 코호몰로지를 사용하여 리 군의 기약 표현을 설명하며, 보렐-베유 정리와 보트의 일반화를 포함한다.
선형대수학 - 벡터 공간
벡터 공간은 체 위의 가군으로 정의되는 대수적 구조로, 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈 연산을 가지며 특정 공리들을 만족하고, 기저, 차원, 선형 사상 등의 개념을 통해 수학과 물리학 등 다양한 분야에서 활용된다.
선형대수학 - 선형 결합
선형 결합은 벡터 공간에서 벡터들의 스칼라 곱의 합으로 표현되는 식으로, 벡터 집합의 선형 독립성 판단 및 부분 공간 생성과 관련되며, 계수 제약을 통해 다양한 종류의 결합을 정의할 수 있고, 위상 벡터 공간이나 가군으로 일반화될 수 있다.

불변 부분 공간
개요
정의	선형 사상에 의해 보존되는 부분 공간
관련 분야	선형대수학
상세 정보
정의	벡터 공간 V와 선형 변환 T: V → V가 주어졌을 때, V의 부분 공간 W가 모든 벡터 w ∈ W에 대해 T(w) ∈ W를 만족하면 W를 T-불변 부분 공간(T-invariant subspace) 또는 단순히 불변 부분 공간(invariant subspace)이라고 한다.
자명한 불변 부분 공간	{0}과 V 자신은 항상 T-불변 부분 공간이다.
고유 공간과의 관계	T의 고유 벡터에 의해 생성되는 부분 공간은 T-불변 부분 공간이다. 특히, T의 모든 고유 공간은 T-불변 부분 공간이다.
행렬 표현	V가 유한 차원 벡터 공간이고 W가 T-불변 부분 공간일 때, W의 기저를 V의 기저로 확장하면 T는 W에 대한 블록 상삼각 행렬로 표현될 수 있다.
예시	회전 변환에 대한 불변 부분 공간, 대칭 변환에 대한 불변 부분 공간 등 다양한 예시가 존재한다.
추가 정보
활용 분야	불변 부분 공간은 선형 변환의 구조를 이해하고 분석하는 데 중요한 도구로 활용된다. 특히, 선형 변환의 고유값과 고유 벡터를 찾는 데 도움을 준다.

2. 정의

체 K에 대한 벡터 공간 V 위의 선형 변환 T에 대해, T-불변 부분 공간은 T에 의해 변환되어도 여전히 그 안에 포함되는 부분 공간을 의미한다.

보다 일반적으로, V 위의 선형 변환의 집합 \mathcal T가 주어졌을 때, 부분 벡터 공간 W\subset V가 다음 두 조건을 만족하면 '''\mathcal T-불변 부분 공간'''이라고 한다.

임의의 T\in\mathcal T 및 w\in W에 대하여, Tw\in W.
임의의 T\in\mathcal T에 대하여, W는 T-불변 부분 공간.

2. 1. 단일 연산자에 대한 불변 부분 공간

체

K

에 대한 벡터 공간

V

위의 선형 변환

T\colon V\to V

가 주어졌다고 하자. 부분 벡터 공간

W\subset V

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는

W

를 '''

T

-불변 부분 공간'''이라고 한다.

임의의 $w\in W$ 에 대하여, $Tw\in W$
$T(W)\subset W$

벡터 공간

V

와 선형 사상

T: V \to V

를 고려해 보자. 부분 공간

W \subseteq V

는

T

에 대한 '''불변 부분 공간'''이라고 불리며, 이는

T

가 임의의 벡터

\mathbf{v} \in W

를 다시

W

로 변환하는 경우를 말한다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.^[1]

:

\mathbf{v} \in W \implies T(\mathbf{v}) \in W

또는

:

TW\subseteq W

이 경우,

T

는

W

의 제한으로 자기 준동형 사상이 된다.^[2]

:

T|_W : W \to W\text{;}\quad T|_W(\mathbf{w}) = T(\mathbf{w})

불변 부분 공간의 존재는 또한 행렬 표현을 가진다.

W

에 대한 기저

C

를 선택하고 이를

V

의 기저

B

로 완성한다.

B

에 대해, 연산자

T

는 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

T = \begin{bmatrix} T|_W & T_{12} \\ 0 & T_{22} \end{bmatrix}

여기서,

T|_W

는 기저

C

에 대한

T|_W

의 행렬을 나타낸다.

2. 2. 다중 연산자에 대한 불변 부분 공간

체

K

에 대한 벡터 공간

V

위의 선형 변환의 족

\mathcal T

가 주어졌다고 하자. 부분 벡터 공간

W\subset V

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는

W

를 '''

\mathcal T

-불변 부분 공간'''이라고 한다.

임의의 $T\in\mathcal T$ 및 $w\in W$ 에 대하여, $Tw\in W$
임의의 $T\in\mathcal T$ 에 대하여, $W$ 는 $T$ -불변 부분 공간이다.

여러 연산자 집합

\mathcal{T}

가 주어졌을 때, 부분 공간이 각

T \in \mathcal{T}

에 대해 불변이면

\mathcal{T}

-불변이라고 한다.

단일 연산자 경우와 마찬가지로,

\mathcal{T}

의 불변 부분 공간 격자를

\mathrm{Lat}(\mathcal{T})

로 표기하며, 이는 모든

\mathcal{T}

-불변 부분 공간의 집합이며, 동일한 교집합 및 결합 연산을 갖는다. 집합론적으로, 이는 교집합이다.

:

\mathrm{Lat}(\mathcal{T})=\bigcap_{T\in\mathcal{T}}{\mathrm{Lat}(T)}

\mathrm{End}(V)

를

V

상의 모든 선형 연산자의 집합이라고 하자. 그러면

\mathrm{Lat}(\mathrm{End}(V))=\{0,V\}

가 된다.

군 표현이 벡터 공간

V

상에서 군 ''G''의 표현으로 주어지면, ''G''의 모든 원소 ''g''에 대해 선형 변환 ''T''(''g'') : ''V'' → ''V''가 존재한다. 만약

V

의 부분 공간 ''W''가 이러한 모든 변환에 대해 불변이라면, 이는 부분 표현이며 군 ''G''는 자연스러운 방식으로 ''W''에 작용한다. 동일한 구성이 대수의 표현에도 적용된다.

또 다른 예로,

T \in \mathrm{End}(V)

이고,

\Sigma

를 {1, ''T''}에 의해 생성된 대수라고 하자. 여기서 1은 항등 연산자이다. 그러면 Lat(''T'') = Lat(Σ)이다.

3. 성질

선형 변환 $T, U \colon V \to V$ 가 $TU = UT$ 를 만족하면, $\ker U$ ( $U$ 의 핵)와 $U(V)$ ( $U$ 의 상)는 $T$ -불변 부분 공간이다.

특히, $T$ 는 다음과 같은 불변 부분 공간을 갖는다.

$\{0_V\}$ (영벡터 공간)
$V$ (전체 벡터 공간)
$\ker T$ ( $T$ 의 핵)
$T(V)$ ( $T$ 의 상)
$V_\lambda$ ( $\lambda$ 는 $T$ 의 고유값, 고유 벡터)
$\ker p(T)$ ( $p$ 는 $K[x]$ 의 다항식)

T

-불변 부분 공간

W

에 대해,

T

를

W

로 제한하여 선형 변환

T|_W \colon W \to W

를 얻을 수 있다. 또한, 몫 벡터 공간

V/W

위에 선형 변환

T_{/W} \colon V/W \to V/W

를 유도할 수 있다.

T|_W

의 특성 다항식과 최소 다항식은 각각

T

의 특성 다항식과 최소 다항식을 나눈다.

2차원 실수 벡터 공간에서 회전은 적절하고 자명하지 않은 불변 부분 공간을 갖지 않는 예시이다. 하지만 3차원 회전의 축은 항상 불변 부분 공간이 된다.

U

가 연산자

T

에 대한 1차원 불변 부분 공간이고 벡터

\mathbf{v} \in U

를 가진다면, 벡터

\mathbf{v}

와

T\mathbf{v}

는 선형 종속이다. 즉, 모든

\mathbf{v} \in U

에 대해

T\mathbf{v} = \alpha\mathbf{v}

를 만족하는

\alpha \in \mathbb{R}

가 존재한다. 여기서 스칼라

\alpha

는

\mathbf{v}

에 의존하지 않는다.

이 방정식은 고유값 문제를 나타낸다.

T

에 대한 모든 고유 벡터는 1차원 불변 부분 공간을 생성하며 그 역도 성립한다. 특히, 0이 아닌 '''불변 벡터'''는 차원이 1인 불변 부분 공간을 생성한다.

대수학의 기본 정리에 의해, 0이 아닌 유한 차원 복소수 벡터 공간에 대한 모든 선형 연산자는 고유 벡터를 가지므로, 2차원 이상의 모든 선형 연산자는 고유한 비자명 불변 부분 공간을 갖는다.

3. 1. 행렬 표현

유한 차원 벡터 공간에서, 불변 부분 공간의 존재는 선형 변환의 행렬 표현을 단순화하는 데 중요한 역할을 한다. 특히, 벡터 공간이 불변 부분 공간들의 직합으로 분해될 때, 선형 변환의 행렬은 해당 부분 공간에 대응하는 블록들로 구성된 블록 대각 행렬 형태가 된다.

다음이 주어졌다고 하자.

유한 $n$ 차원 벡터 공간 $V$
선형 변환 $T\colon V\to V$
$T$ -불변 부분 공간 $W$
$W$ 의 기저 $\{v_1,v_2,\dots,v_r\}$
$V/W$ 의 기저 $\{v_{r+1}+W,v_{r+2}+W,\dots,v_n+W\}$

그러면

T,T|_W,T_{/W}

의 행렬

$A=[T]_{(v_i)_{i=1}^n}$
$B=[T|_W]_{(v_i)_{i=1}^r}$
$C=[T_{/W}]_{(v_i+W)_{i=r+1}^n}$

사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

:

A=\begin{pmatrix}B&D\\0&C\end{pmatrix}\qquad D\in\operatorname{Mat}(r,n-r;K)

즉,

A

는

B

와

C

를 블록으로 가지는 블록 대각 행렬 형태이다.

부분 공간

W

에 대한 기저

C

를 선택하고 이를

V

의 기저

B

로 완성하면,

B

에 대한 연산자

T

는 다음과 같은 형태를 갖는다.^[1]

:

T = \begin{bmatrix} T|_W & T_{12} \\ 0 & T_{22} \end{bmatrix}

여기서

T|_W

는 기저

C

에 대한

T|_W

의 행렬을 나타낸다.

벡터 공간

V

가

T

-불변 부분 공간

W_1, W_2, \dots, W_k

들의 직합으로 분해된다고 가정하자. 즉,

V = W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_k

이다. 각

W_i

의 기저를

\{v_{i1}, v_{i2}, \dots, v_{ir_i}\}

라고 하면,

T

의 행렬

A

는 다음과 같은 블록 대각 행렬 형태가 된다.

:

A=\begin{pmatrix}A_1\\&A_2\\&&\ddots\\&&&A_k\end{pmatrix}

여기서

A_i

는

T|_{W_i}

의 행렬이다.

V

를 직합

W \oplus W'

로 나타내고, 관련된 투영 연산자

P

를 생각해보자.

P

는

W

에 대한 행렬 표현을 가지며,

W

가

T

에 대해 불변일 필요충분조건은

PTP = TP

이다.^[2]

만약

TP = PT

이면,

T

는 다음과 같은 블록 대각 행렬 표현을 갖는다.

:

T = \begin{bmatrix} T_{11} & 0 \\ 0 & T_{22} \end{bmatrix} : \begin{matrix} \operatorname{im}(P) \\ \oplus \\ \operatorname{im}(1-P) \end{matrix} \rightarrow  \begin{matrix} \operatorname{im}(P) \\ \oplus \\ \operatorname{im}(1-P) \end{matrix} \;.

3. 2. 투영을 통한 대각화

를 직합 로 나타낸다. 적절한 는 의 기저를 확장하여 항상 선택할 수 있다. 관련된 투영 연산자 ''P''는 ''W''에 대한 행렬 표현을 가진다.

:

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} : \begin{matrix}W \\ \oplus \\ W' \end{matrix} \rightarrow \begin{matrix}W \\ \oplus \\ W' \end{matrix}.

간단한 계산을 통해 ''W''가 에 대해 불변일 필요충분 조건은 ''PTP'' = ''TP''임을 알 수 있다.

1이 항등 연산자이면 는 에 대한 투영이다. 는 im(''P'')와 im(1 − ''P'')가 모두 ''T''에 대해 불변일 필요충분 조건이다. 이 경우, ''T''는 다음과 같은 행렬 표현을 가진다.

:

T = \begin{bmatrix} T_{11} & 0 \\ 0 & T_{22} \end{bmatrix} : \begin{matrix} \operatorname{im}(P) \\ \oplus \\ \operatorname{im}(1-P) \end{matrix} \rightarrow  \begin{matrix} \operatorname{im}(P) \\ \oplus \\ \operatorname{im}(1-P) \end{matrix} \;.

''T''와 교환하는 투영은 ''T''를 "대각화"한다.

4. 불변 부분 공간 격자

의 불변 부분 공간 집합은 의 '''불변 부분 공간 격자'''라고 불리며 로 표기된다. 이름에서 알 수 있듯이, 이는 (모듈러) 격자이며, 만남과 결합은 (각각) 집합 교집합과 선형 덮개로 주어진다. 의 최소 원소는 '''최소 불변 부분 공간'''이라고 한다.

무한 차원 연산자에 대한 연구에서 는 때때로 닫힌 불변 부분 공간으로만 제한된다.

5. 예시

2차원 실수 벡터 공간의 회전은 적절하고 자명하지 않은 불변 부분 공간을 갖지 않는 선형 변환의 예시이다. 그러나 3차원 회전의 축은 항상 불변 부분 공간이다.^[1]

U^영어가 연산자 T^영어에 대한 1차원 불변 부분 공간이고 벡터 '''v''' ∈ ''U''^영어를 가진다면, 벡터 '''v'''^영어와 ''T'''''v'''^영어는 선형 종속이어야 한다. 따라서 다음이 성립한다.

: $\forall\mathbf{v}\in U\;\exists\alpha\in\mathbb{R}: T\mathbf{v}=\alpha\mathbf{v}\text{.}$

사실, 스칼라 α^영어는 '''v'''^영어에 의존하지 않는다.^[1]

위의 방정식은 고유값 문제를 공식화한다. T^영어에 대한 모든 고유 벡터는 1차원 불변 부분 공간을 생성하며, 그 역도 성립한다. 특히, 0이 아닌 '''불변 벡터''' (즉, ''T''의 고정점)는 차원이 1인 불변 부분 공간을 생성한다.^[1]

6. 비가환 대수학의 기본 정리

대수학의 기본 정리가 유한 차원 복소 벡터 공간에 작용하는 모든 선형 변환이 자명하지 않은 불변 부분 공간을 갖는 것을 보장하는 것처럼, ''비가환 대수학의 기본 정리''는 Lat(Σ)가 특정 Σ에 대해 자명하지 않은 원소를 포함한다고 주장한다.

를 유한 차원 복소 벡터 공간이라고 가정한다. 의 모든 고유 부분 대수 에 대해 는 자명하지 않은 원소를 포함한다. (번사이드 정리)

결과 중 하나는 ''L''(''V'')의 모든 교환 가능한 집합을 동시에 상삼각화할 수 있다는 것이다. 이를 확인하려면 상삼각 행렬 표현이 불변 부분 공간의 깃발에 해당하고, 교환 가능한 집합이 교환 가능한 대수를 생성하며, 일 때 가 교환 가능하지 않다는 점에 유의해야 한다.

7. 왼쪽 아이디얼

만약 ''A''가 체에 대한 대수라면, ''A''에 대한 ''왼쪽 정칙 표현'' Φ를 정의할 수 있다. Φ(''a'')''b'' = ''ab''는 ''A''에서 ''L''(''A'')로의 준동형 사상이며, ''L''(''A'')는 ''A''에 대한 선형 변환의 대수이다.

Φ의 불변 부분 공간은 정확히 ''A''의 왼쪽 아이디얼이다. ''A''의 왼쪽 아이디얼 ''M''은 ''M''에 대한 ''A''의 부분 표현을 제공한다.

만약 ''M''이 ''A''의 왼쪽 아이디얼이라면, ''M''에 대한 왼쪽 정칙 표현 Φ는 몫 벡터 공간 ''A''/''M''에 대한 표현 Φ'로 내려간다. 만약 [''b'']가 ''A''/''M''의 동치류를 나타낸다면, Φ'(''a'')[''b''] = [''ab'']이다. 표현 Φ'의 커널은 {''a'' ∈ ''A'' | 모든 ''b''에 대해 ''ab'' ∈ ''M''}인 집합이다.

표현 Φ'는 ''M''이 극대 왼쪽 아이디얼인 경우에만 기약적이다. 왜냐하면 ''V'' ⊂ ''A''/''M''의 부분 공간은 {Φ'(''a'') | ''a'' ∈ ''A''}에 대해 불변이며, 이는 몫 사상에 따른 ''V''의 원상, ''V'' + ''M'',이 ''A''의 왼쪽 아이디얼인 경우에만 성립하기 때문이다.

8. 불변 부분 공간 문제

불변 부분 공간 문제는 ''V''가 차원이 1보다 큰, 분리 가능한 힐베르트 공간이고, ''T''가 유계 작용소일 경우에 관한 것이다. 이 문제는 이러한 모든 ''T''가 자명하지 않고 닫힌 불변 부분 공간을 갖는지 여부를 결정하는 것이다. 이 문제는 아직 해결되지 않았다.

더 일반적인 경우로 ''V''가 바나흐 공간이라고 가정할 때, 페르 엔플로 (1976)는 불변 부분 공간이 없는 작용소의 예를 찾았다.^[1] 불변 부분 공간이 없는 작용소의 구체적인 예는 1985년 찰스 리드에 의해 제시되었다.^[1]

9. 거의 불변 반공간

바나흐 공간 $X$ 의 닫힌 부분 공간 $Y$ 가 어떤 연산자 $T \in \mathcal{B}(X)$ 에 대해 $TY \subseteq Y+E$ 를 만족하는 경우, 즉 어떤 유한 차원 부분 공간 $E$ 에 대해 성립하는 경우 $T$ 에 대해 '''거의 불변'''이라고 한다. 이는 $Y$ 가 $(T+F)Y \subseteq Y$ 를 만족하는 유한 계수 연산자 $F \in \mathcal{B}(X)$ 가 존재한다는 것과 동치이며, 즉 $Y$ 가 $T+F$ 에 대해 (일반적인 의미에서) 불변이라는 의미이다. 이 경우, $E$ 의 최소 가능한 차원(또는 $F$ 의 계수)을 '''결함'''이라고 부른다.

모든 유한 차원 및 유한 여차원 부분 공간은 모든 연산자에 대해 거의 불변이다. 무한 차원과 무한 여차원을 가진 닫힌 부분 공간인 경우 $Y$ 를 반공간이라고 한다.

AIHS 문제는 모든 연산자가 AIHS를 갖는지 묻는다. 복소수 설정에서는 이미 해결되었다. 즉, $X$ 가 복소수 무한 차원 바나흐 공간이고 $T \in \mathcal{B}(X)$ 인 경우, $T$ 는 최대 결함이 1인 AIHS를 갖는다. $X$ 가 실수 바나흐 공간인 경우에도 동일한 내용이 적용되는지는 현재 알려져 있지 않다. 그러나, 몇 가지 부분적인 결과가 확립되었다. 예를 들어, 무한 차원 실수 힐베르트 공간에서 자기 수반 연산자는 AIHS를 가지며, 실수 무한 차원 반사 공간에서 작용하는 모든 엄밀 특이(또는 콤팩트) 연산자도 AIHS를 갖는다.

참조

_[1] 서적
_[2] 서적

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com