비교 판정법

2. 급수의 비교 판정법

주어진 급수의 각 항의 크기를 다른 급수의 항과 비교하여 수렴성을 판정한다.

비교 판정법은 크게 두 가지 형태로 나눌 수 있다. 하나는 기본적인 비교 판정법이고, 다른 하나는 절대 수렴의 개념을 사용한 비교 판정법이다.^[3]

기본 비교 판정법은 실수 항 급수와 바나흐 공간 항 급수에 대해 적용될 수 있다.

• 실수 항 급수에 대한 비교 판정법은 다음과 같다. 두 실수 항 급수 ${\displaystyle \sum_{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$와 ${\displaystyle \sum_{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$가 주어지고, 충분히 큰 ${\displaystyle n}$에 대하여 ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}}$이 성립한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
• ${\displaystyle \sum_{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$이 수렴하면, ${\displaystyle \sum_{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$도 수렴한다.
• ${\displaystyle \sum_{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$이 발산하면, ${\displaystyle \sum_{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$도 발산한다.
• 바나흐 공간 항 급수에 대한 비교 판정법은 다음과 같이 쓸 수 있다. ${\displaystyle \mathbb {K} }$가 실수체 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 또는 복소수체 ${\displaystyle \mathbb {C} }$이고, ${\displaystyle (V,\|{\cdot }\|)}$가 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간이며, ${\displaystyle \sum_{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$와 ${\displaystyle \sum_{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$가 ${\displaystyle V}$ 항의 급수라고 하자. 만약 충분히 큰 ${\displaystyle n}$에 대하여 ${\displaystyle \|a_{n}\|\leq \|b_{n}\|}$이 성립한다면, 다음이 성립한다.
• ${\displaystyle \sum_{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$이 절대 수렴하면, ${\displaystyle \sum_{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$도 절대 수렴한다.
• ${\displaystyle \sum_{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$이 절대 수렴하지 않으면, ${\displaystyle \sum_{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$도 절대 수렴하지 않는다.

• 무한 급수 ${\displaystyle \sum b_{n}}$이 절대 수렴하고, 충분히 큰 모든 ${\displaystyle n}$에 대해 ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$이면, 무한 급수 ${\displaystyle \sum a_{n}}$ 또한 절대 수렴한다.
• 무한 급수 ${\displaystyle \sum b_{n}}$이 절대 수렴하지 않고, 충분히 큰 모든 ${\displaystyle n}$에 대해 ${\displaystyle |b_{n}|\leq |a_{n}|}$이면, 무한 급수 ${\displaystyle \sum a_{n}}$ 또한 절대 수렴하지 않는다.

2. 1. 기본 비교 판정법

• $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; b\_n$이 수렴하면, $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; a\_n$도 수렴한다.
• $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; a\_n$이 발산하면, $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; b\_n$도 발산한다.

• $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; b\_n$이 절대 수렴하면, $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; a\_n$도 절대 수렴한다.
• $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; a\_n$이 절대 수렴하지 않으면, $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; b\_n$도 절대 수렴하지 않는다.

2. 1. 1. 실수 항 급수

• $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; b\_n$이 수렴하면, $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; a\_n$도 수렴한다.
• $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; a\_n$이 발산하면, $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; b\_n$도 발산한다.

• $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^2+1\}$은 $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}$이 수렴하고, 모든 n에 대해 $\backslash frac\{1\}\{n^2+1\}\; \backslash le\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}$이므로 수렴한다.
• $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{n\}\}$은 $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n\}$이 발산하고, 모든 n에 대해 $\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{n\}\}\; \backslash ge\; \backslash frac\{1\}\{n\}$이므로 발산한다.

2. 1. 2. 바나흐 공간 항 급수

• $\backslash mathbb\; K$는 실수체 $\backslash mathbb\; R$ 또는 복소수체 $\backslash mathbb\; C$이다.
• $(V,\backslash |\{\backslash cdot\}\backslash |)$는 $\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간|바나흐 공간^한국어이다.
• $n\_0$는 0 또는 1이다.
• $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; a\_n$와 $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; b\_n$는 $V$ 항의 급수이다. 만약 $V=(\backslash mathbb\; K,|\{\backslash cdot\}|)$라면, 이는 두 실수 또는 복소수 항 급수이다.

• 충분히 큰 $n$에 대하여, $\backslash |a\_n\backslash |\backslash le\backslash |b\_n\backslash |$이다. (즉, 어떤 $N\backslash ge\; n\_0$가 존재하여 모든 $n>N$에 대하여, $\backslash |a\_n\backslash |\backslash le\backslash |b\_n\backslash |$이다.) 만약 $V=(\backslash mathbb\; K,|\{\backslash cdot\}|)$라면, 노름은 절댓값이며, $\backslash |a\_n\backslash |\backslash le\backslash |b\_n\backslash |$은 $|a\_n|\backslash le|b\_n|$이 된다.

• 만약 $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; b\_n$이 절대 수렴한다면, $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; a\_n$ 역시 절대 수렴한다.^[3]
• 만약 $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; a\_n$이 절대 수렴하지 않는다면, $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; b\_n$ 역시 절대 수렴하지 않는다.

2. 2. 극한 비교 판정법

• $n\_0\backslash in\backslash \{0,1\backslash \}$
• 두 실수 항 급수 $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; a\_n$와 $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; b\_n$

• 충분히 큰 $n$에 대하여, $a\_n,b\_n\backslash ne0$

• 급수 $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; a\_n$이 수렴한다.
• 급수 $\backslash sum\_\{n=n\_0\}^\backslash infty\; b\_n$이 수렴한다.

2. 3. 비율 비교 판정법

• 무한 급수 $\backslash sum\; b\_n$이 수렴하고, $a\_n>0$, $b\_n>0$이며, 충분히 큰 모든 ''n''에 대해 $\backslash frac\{a\_\{n+1\}\}\{a\_n\}\; \backslash le\; \backslash frac\{b\_\{n+1\}\}\{b\_n\}$이면, 무한 급수 $\backslash sum\; a\_n$도 수렴한다.
• 무한 급수 $\backslash sum\; b\_n$이 발산하고, $a\_n>0$, $b\_n>0$이며, 충분히 큰 모든 ''n''에 대해 $\backslash frac\{a\_\{n+1\}\}\{a\_n\}\; \backslash ge\; \backslash frac\{b\_\{n+1\}\}\{b\_n\}$이면, 무한 급수 $\backslash sum\; a\_n$도 발산한다.