상용로그

3. 지표와 가수

상용로그의 값은 $\backslash log\_\{10\}\; x=n+\backslash alpha$ ($n$은 정수, ) 형태로 나타낼 수 있으며, 이때 $n$을 지표, $\backslash alpha$를 가수라고 한다. 지표는 정수 부분, 가수는 소수 부분을 나타낸다.^[3]

$\backslash log\_\{10\}\; 314$를 예로 들면, $\backslash log\_\{10\}\; 314\; =\; \backslash log\_\{10\}\; 10^2+\backslash log\_\{10\}\; 3.14=2+\backslash log\_\{10\}\; 3.14$ 이므로 지표는 $2$, 가수는 $\backslash log\_\{10\}\; 3.14$이다.

진수가 10배가 될 때마다 지표는 1씩 증가하고, 가수는 변하지 않는다.

120의 로그는 다음 계산과 같이 구할 수 있다.

:$\backslash log\_\{10\}(120)\; =\; \backslash log\_\{10\}\backslash left(10^2\; \backslash times\; 1.2\backslash right)\; =\; 2\; +\; \backslash log\_\{10\}(1.2)\; \backslash approx\; 2\; +\; 0.07918.$

여기서 0.07918은 120의 상용로그의 가수이다. 120에서 소수점의 위치는 120의 상용로그의 지표가 2임을 알려준다.

다음 표는 동일한 가수를 사용하여 10의 거듭제곱으로 표현된 여러 숫자들의 상용로그 값을 나타낸다.

3. 1. 음의 로그 (Bar Notation)

4. 상용로그 값의 예

로그의 성질에 의해 $\backslash log\_\{10\}10\; -\; \backslash log\_\{10\}2\; =\; \backslash log\_\{10\}5$, $\backslash log\_\{10\}10\; -\; \backslash log\_\{10\}5\; =\; \backslash log\_\{10\}2$가 성립하므로, 2와 5의 상용로그 값 중 하나만 알고 있어도 나머지 로그값을 구할 수 있다.

4, 6, 8, 9는 각각 2×2, 2×3, 2×2×2, 3×3으로 나타낼 수 있으며, 로그의 성질에 의해 덧셈으로 나타낼 수 있다. 하지만, 위에 열거된 상용로그값의 소수 2, 3, 5, 7을 제외한 나머지 소수는 2, 3, 5, 7의 곱셈과 나눗셈을 이용해서 나타낼 수가 없다. 즉, 2, 3, 5, 7의 곱과 나눗셈으로만 이루어진 합성수의 진수 또는 밑만 로그 값을 계산할 수 있다.

5. 상용로그표

임의의 양수 $x$는 $x\; =\; a\; \backslash times\; 10^s$ (, $s$는 정수^[5]) 형태로 나타낼 수 있다. 따라서, 임의의 진수 $x$에 대한 상용로그 $\backslash log\_\{10\}\; x$의 값을 알고 싶을 때, $\backslash log\_\{10\}\; x\; =\; s\; +\; \backslash log\_\{10\}\; a$에 따라 진수가 1 이상 10 미만일 때의 값으로부터 계산할 수 있다.

다음은 1.0에서 9.9까지의 상용로그표 (소수점 아래 4자리)이다.

6. 역사

상용로그는 17세기 영국의 수학자 헨리 브리그스의 이름을 따서 "브리그스 로그"라고도 불린다. 1616년과 1617년에 브리그스는 존 네이피어를 에든버러에서 방문하여 네이피어의 로그에 대한 수정을 제안했다. 브리그스가 제안한 변경 사항은 회의에서 합의되었으며, 두 번째 방문 후 브리그스는 자신의 로그 중 첫 번째 천을 출판했다.

헨리 브리그스는 존 네이피어와 협력하여 상용로그표를 작성했으며, 이러한 이유로 상용로그는 '브리그스의 로그'라고도 불린다.^[3]

7. 활용

상용로그는 지진의 규모, 수소 이온 농도(pH), 소리의 세기(데시벨)처럼 과학적 조사에서 측정값의 로그적인 성질을 분석하는 데 사용된다.^[1]

화학에서 사용되는 수소 이온 농도는 상용로그를 사용한 예시 중 하나이다. 수소 이온 농도는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mathrm\{pH\}\; =-\backslash log\_\{10\}\; \backslash frac\{[\backslash mathrm\{H\}^+]\}\{\backslash mathrm\{mol/L\}\}.$

상용로그를 이용하면 매우 큰 수나 매우 작은 수의 자릿수 및 최고 자리 숫자를 구할 수 있다. 예를 들어, $x$가 자연수인 경우, $x$의 자릿수를 $n$ ($n\; =\; \backslash lfloor\; \backslash log\_\{10\}\; x\; \backslash rfloor\; +\; 1$)이라고 하면, $x$의 최고 자리 숫자인 $a$ ($a\; =\; 1\; \backslash sim\; 9$)는 다음과 같이 구할 수 있다.

:

즉

:

이를 위해서는 다음의 상용로그 근사값을 사용하면 된다.

:$\backslash log\_\{10\}\; 2\; \backslash fallingdotseq\; 0.3010$

:$\backslash log\_\{10\}\; 3\; \backslash fallingdotseq\; 0.4771$

:$\backslash log\_\{10\}\; 7\; \backslash fallingdotseq\; 0.8451$

이 값을 이용하여, $\backslash log\_\{10\}\; 5\; =\; 1\; -\; \backslash log\_\{10\}\; 2$ 등과 같이 한 자리 수 (1~9)의 상용로그 근사값을 구할 수 있다.^[1]

7. 1. 대한민국 교육과정

8. 유효숫자

10의 거듭제곱 및 그 역수(…, 0.01, 0.1, 1, 10, 100, …)가 아닌 유리수의 상용로그는 무리수이다(무리수 중에서도 초월수로 분류된다). 따라서 상용로그표에 나타나는 수치는 이외에는 모두 무리수이며, 소수점 다섯째 자리에서 반올림되어 있다.^[1]

9. 기타

유니코드에는 상용로그를 나타내는 기호(LOG, ㏒)가 있다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 Introduction to Logarithms https://www.mathsisf[...] 2020-08-29
_[2] 웹사이트 Common Logarithm https://mathworld.wo[...] 2020-08-29
_[3] 서적 The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms in English https://books.google[...] American Mathematical Soc. 1994-12-31
_[4] 웹사이트 Derivatives of Logarithmic Functions https://www.math24.n[...] 2021-04-14
_[5] 문서 負の整数も含むことに注意