샤르코우스키 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 샤르코우스키 정리
- 3.1. 리-요크 정리
4. 예시
5. 일반화
6. 역사
참조

1. 개요

샤르코우스키 정리는 구간 위에 정의된 연속 함수가 특정 주기의 주기점을 가지면, 샤르코우스키 순서에 따라 다른 주기점도 가짐을 설명하는 정리이다. 샤르코우스키 순서는 양의 정수를 특정한 순서로 나열하며, 이 순서에서 앞선 주기의 주기점이 존재하면 뒤에 오는 주기의 주기점도 존재한다. 특히, 주기 3의 주기점이 존재하면 모든 주기의 주기점이 존재한다. 이 정리는 리-요크 정리와 연관되어 있으며, 로지스틱 맵과 같은 동적 시스템의 주기점 연구에 활용된다. 샤르코우스키 정리는 1964년 올렉산드르 샤르코우스키에 의해 증명되었으며, 1975년 리톈옌과 제임스 요크가 독립적으로 재증명하면서 혼돈 이론 연구에 기여했다.

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샤르코우스키 정리
개요
이름	샤르코우스키 정리
분야	역학계
종류	정리
발견자	O. M. 샤르코우스키
발표년도	1964년
내용
주요 내용	실수 선에서 연속 함수의 주기가 존재할 필요충분조건에 대한 정리
관련 개념	주기점
샤르코우스키 순서	3 ≻ 5 ≻ 7 ≻ 9 ≻ ... ≻ 2·3 ≻ 2·5 ≻ 2·7 ≻ ... ≻ 2²·3 ≻ 2²·5 ≻ ... ≻ 2³ ≻ 2² ≻ 2 ≻ 1
설명	만약 실직선에서 정의된 연속 함수 f가 주기점 p를 갖고, p의 주기가 m이라면, 샤르코우스키 순서에서 m보다 앞에 있는 모든 자연수 k에 대해, f는 주기가 k인 점도 갖는다.
따름정리	만약 실직선에서 정의된 연속 함수 f가 주기 3을 갖는 점을 가진다면, f는 모든 주기의 점을 갖는다.

2. 정의

양의 정수 집합 $\mathbb Z^+$ 위에 다음과 같은 함수를 정의한다.

: $f\colon\mathbb Z^+\to(\mathbb N\cup\{\infty\})\times\mathbb Z$

: $f\colon 2^a(2b+3)\mapsto(a,b)\qquad(a,b\in\mathbb N)$

: $f\colon 2^a\mapsto(\infty,-a)\qquad(a\in\mathbb N)$

$(\mathbb N\cup\{\infty\})\times\mathbb Z$ 위에 사전식 순서를 부여하고, 이 전순서를 $f$ 를 통해 $\mathbb Z^+$ 에 부여한 것을 '''샤르코우스키 순서'''라고 한다. 이는 다음과 같다.

: $3\prec5\prec7\prec9\prec\cdots\prec2\cdot3\prec2\cdot5\prec2\cdot7\prec\cdots\prec2^2\cdot3\prec2^2\cdot 5\prec\cdots\prec2^3\prec2^2\prec2^1\prec2^0$

구간 $I\subseteq\mathbb R$ 위에 정의된 함수

: $\phi\colon I\to I$

의 '''주기점'''은 $\phi^k(x)=x$ 인 $k\in\mathbb Z^+$ 가 존재하는 점이며, 이러한 최소의 양의 $k$ 를 주기점의 '''최소 주기'''라고 한다. 예를 들어, 고정점은 최소 주기가 1인 주기점과 같다.

'''샤르코우스키 정리'''에 따르면, 만약 $\phi\colon I\to I$ 가 연속 함수이며, $\phi$ 가 최소 주기가 $n\in\mathbb Z^+$ 인 주기점을 갖는다면, 모든 양의 정수 $m\succ n$ 에 대하여 최소 주기가 $m$ 인 $\phi$ 의 주기점이 존재한다. 특히, 만약 최소 주기가 3인 주기점이 존재한다면, 모든 양의 정수에 대하여 해당 최소 주기를 갖는 주기점이 존재한다.

샤르코우스키 정리의 역도 성립한다. 즉, 임의의 $n\in\mathbb Z^+$ 에 대하여, $\{m\in\mathbb Z^+\colon m\succeq n\}$ 이 최소 주기들의 집합인 연속 함수 $f\colon I\to I$ 가 존재한다.

샤르코우스키 순서는 다음과 같이 구성된다.

홀수 $= (2n+1)\cdot2^0$ 는 ''증가하는'' 순서로
홀수의 2배 $= (2n+1)\cdot2^1$ 는 ''증가하는'' 순서로
홀수의 4배 $= (2n+1)\cdot2^2$ 는 ''증가하는'' 순서로
홀수의 8배 $= (2n+1)\cdot2^3$
등. $= (2n+1)\cdot2^m$
마지막으로, 2의 거듭제곱 $= 2^n$ 는 ''감소하는'' 순서로

샤르코우스키 정리는, ''f''가 최소 주기 ''m''의 주기점을 가지고, 상기 순서에서 ''m''이 ''n''보다 먼저 나타나는 것이라면, ''f''는 최소 주기 ''n''의 주기점도 갖는다는 것을 보여준다.

따라서, ''f''가 기껏해야 유한 개의 주기점만 가진다면, 그들의 주기는 모두 반드시 2의 거듭제곱이어야 한다. 또한, 주기 3의 주기점이 존재한다면, 다른 모든 주기의 주기점이 존재한다는 것도 알 수 있다.

샤르코우스키 정리는 각 주기를 갖는 사이클의 존재를 나타내지만, 그것들이 '안정'하다는 것을 나타내지는 않는다.

3. 샤르코우스키 정리

샤르코우스키 정리는 특정 조건을 만족하는 연속 함수가 다양한 주기의 주기점을 갖는다는 것을 설명하는 정리이다. 여기서 주기점은 함수를 여러 번 반복 적용했을 때 원래 값으로 돌아오는 점을 의미한다.

먼저, 양의 정수들을 다음과 같은 특별한 순서로 나열한다. 이를 샤르코우스키 순서라고 한다.

: $3\prec5\prec7\prec9\prec\cdots\prec2\cdot3\prec2\cdot5\prec2\cdot7\prec\cdots\prec2^2\cdot3\prec2^2\cdot 5\prec\cdots\prec2^3\prec2^2\prec2^1\prec2^0$

이 순서는 다음과 같이 구성된다.

3, 5, 7, 9... 와 같은 홀수들을 작은 수부터 나열한다.
그다음, 홀수들에 2를 곱한 수들 (6, 10, 14, 18...)을 작은 수부터 나열한다.
그다음, 홀수들에 4를 곱한 수들 (12, 20, 28, 36...)을 작은 수부터 나열한다.
이런 식으로 2의 거듭제곱을 곱한 수들을 계속 나열한다.
마지막으로, 2의 거듭제곱 (..., 8, 4, 2, 1)을 큰 수부터 나열한다.

이제, 어떤 구간에서 정의된 연속 함수 f가 있다고 가정하자. 샤르코우스키 정리에 따르면, 만약 f가 최소 주기 n을 갖는 주기점을 가지면, 샤르코우스키 순서에서 n보다 뒤에 나오는 모든 m에 대해 최소 주기 m을 갖는 주기점도 반드시 존재한다. 예를 들어, 만약 함수 f가 최소 주기 3을 갖는 주기점을 가진다면, 샤르코우스키 순서에서 3보다 뒤에 나오는 모든 수는 최소 주기가 될 수 있다.

샤르코우스키 정리는 역도 성립한다. 즉, 임의의 양의 정수 n에 대해, 샤르코우스키 순서에서 n보다 뒤에 나오거나 같은 모든 수를 최소 주기로 갖는 연속 함수가 존재한다.

이 정리는 모든 주기의 주기점이 존재한다는 것을 의미하지만, 이 주기점들이 안정적인지는 보장하지 않는다. 예를 들어, 로지스틱 맵과 같은 시스템에서는 분기 다이어그램을 통해 특정 주기만 안정적으로 나타나는 것을 확인할 수 있다.

연속성 가정은 매우 중요하다. 만약 함수가 불연속이라면 샤르코우스키 정리가 성립하지 않을 수 있다.

3. 1. 리-요크 정리

구간

I\subseteq\mathbb R

위의 연속 함수

\phi\colon I\to I

가 최소 주기 3의 주기점을 갖는다면, 샤르코우스키 정리에 따라 모든 최소 주기의 주기점들이 존재한다. '''리-요크 정리'''([李]-Yorke定理, Li–Yorke theorem^영어)^[8]에 따르면, 최소 주기 3의 주기점이 존재할 경우 다음 네 가지 조건을 만족하는 부분 집합

S\subset I

가 존재한다.

$S$ 는 주기점들을 포함하지 않는다.
$|S|=2^{\aleph_0}$ 이다.
임의의 $x,y\in S$ 에 대하여 ( $x\ne y$ ),
: $\limsup_{n\to\infty}|\phi^n(x)-\phi^n(y)|>0$
: $\liminf_{n\to\infty}|\phi^n(x)-\phi^n(y)|=0$
임의의 $x\in S$ 및 주기점 $y\in I\setminus S$ 에 대하여,
: $\limsup_{n\to\infty}|\phi^n(x)-\phi^n(y)|>0$

4. 예시

샤르코우스키 정리에 따르면, 어떤 함수에 최소 주기가 특정 값인 주기점이 존재하면, 샤르코우스키 순서에서 그 값보다 뒤에 오는 모든 값에 대한 최소 주기를 갖는 주기점도 존재한다.

예를 들어, 구간 $I\subseteq\mathbb R$ 위의 연속 함수 $\phi\colon I\to I$ 가 최소 주기 3인 주기점을 갖는다면, 샤르코우스키 정리에 따라 모든 양의 정수를 주기로 하는 주기점들이 존재한다. 리-요크 정리^[8]에 따르면, 최소 주기 3의 주기점이 존재하면 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 $S\subset I$ 가 존재한다.

$S$ 는 주기점들을 포함하지 않는다.
$|S|=2^{\aleph_0}$ 이다.
임의의 $x,y\in S$ 에 대하여 ( $x\ne y$ ),
$\limsup_{n\to\infty}|\phi^n(x)-\phi^n(y)|>0$
$\liminf_{n\to\infty}|\phi^n(x)-\phi^n(y)|=0$
임의의 $x\in S$ 및 주기점 $y\in I\setminus S$ 에 대하여,
$\limsup_{n\to\infty}|\phi^n(x)-\phi^n(y)|>0$

로지스틱 사상의 경우,

r\gtrsim 1+\sqrt8

이면 최소 주기가 3인 주기점이 존재한다.^[9] 따라서 이 경우 로지스틱 사상은 모든 가능한 최소 주기의 주기점이 존재한다. 그러나 이들은 (주기 3을 제외하면) 모두 불안정 주기점이므로, 분기도에 나타나지 않는다.

반면, 원

\mathbb R/\mathbb Z

위에서

x\mapsto x+1/3

와 같이 정의된 함수의 경우, 모든 점이 최소 주기 3의 주기점이지만 다른 최소 주기의 주기점은 존재하지 않는다. 이는 샤르코우스키 정리가 고차원이나 구간이 아닌 다른 위상에서는 성립하지 않는다는 것을 보여준다.

다음은 샤르코우스키 정리가 성립하지 않는 반례이다.

불연속 구간별 선형 함수 $f:[0,3) \to [0,3)$

f: x\mapsto \begin{cases}x+1 &\mathrm{for\ } 0\le x<2 \\ x-2 &\mathrm{for\ } 2\le x< 3\end{cases}

는 모든 값이 주기 3을 가지므로, 연속성이 없을 때 샤르코우스키 정리가 성립하지 않는다.

5. 일반화

샤르코우스키 순서는 다음과 같이 정의된다.

: $3\prec5\prec7\prec9\prec\cdots\prec2\cdot3\prec2\cdot5\prec2\cdot7\prec\cdots\prec2^2\cdot3\prec2^2\cdot 5\prec\cdots\prec2^3\prec2^2\prec2^1\prec2^0$

이는 홀수, 홀수의 2배, 홀수의 4배, ..., 2의 거듭제곱 순으로 정렬된 것이다. 샤르코우스키 정리는 어떤 연속 함수가 특정 주기의 주기점을 가지면, 샤르코우스키 순서에서 그 주기보다 뒤에 오는 모든 주기에 대한 주기점도 가진다는 내용을 담고 있다.

샤르코우스키는 또한 역 정리를 증명했다. 즉, 샤르코우스키 순서의 임의의 상집합은 어떤 연속 함수가 구간에서 자신으로 가는 주기 집합이 된다.^[3]^[4]

리톈옌과 제임스 A. 요크는 1975년에 주기 3의 존재가 모든 주기의 주기의 존재를 의미할 뿐만 아니라, 혼돈 점의 존재를 의미한다는 것을 보였다.^[6]

샤르코우스키의 정리는 다른 위상 공간의 동적 시스템에는 즉시 적용되지 않는다. 예를 들어 120도 회전을 취하면 주기 3만 있는 원 맵을 쉽게 찾을 수 있다. 그러나 일반적으로 주기 궤도를 뺀 공간의 맵핑 클래스 그룹을 포함하는 몇 가지 일반화가 가능하다. 예를 들어, 페터 클로덴은 샤르코우스키의 정리가 삼각 매핑에 대해 성립한다는 것을 보였다.^[7]

6. 역사

샤르코우스키 정리는 올렉산드르 미콜라요비치 샤르코우스키(Олекса́ндр Миколайович Шарко́вський|^uk, Алекса́ндр Никола́евич Шарко́вский|알렉산드르 니콜라예비치 샤르콥스키^ru)가 1964년에 증명하였다.^[10]

샤르코우스키의 업적은 서방 수학계에서는 거의 알려지지 않았다. 이후 1975년에 리톈옌(李天岩|^중국어, Tien-Yien Li^영어)과 제임스 요크(James A. Yorke^영어)는 리-요크 정리를 통해 주기 3의 경우에 해당하는 샤르코우스키 정리의 특수한 경우를 재증명하였다.^[8] 리톈옌과 요크는 샤르코우스키의 논문을 알지 못했으나, 이후 샤르코우스키의 업적이 혼돈 이론의 일부로 재조명되었다. 리톈옌과 요크의 1975년 논문은 "혼돈"(chaos|케이오스^영어)이라는 용어가 전문 용어로 최초로 사용된 문헌이기도 하다.

참조

_[1] 논문 Co-existence of cycles of a continuous mapping of the line into itself
_[2] 문서 The Sharkovsky Theorem: A Natural Direct Proof https://www.math.ari[...]
_[3] 서적 Combinatorial dynamics and entropy in dimension one World Scientific Publishing Company 2000
_[4] 논문 The Sharkovsky theorem: A natural direct proof
_[5] 논문 Almost all orbit types imply period-3
_[6] 논문 Period Three Implies Chaos
_[7] 논문 On Sharkovsky's cycle coexistence ordering
_[8] 저널 https://archive.org/[...]
_[9] 저널
_[10] 저널

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