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스즈키 산재군

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목차

1. 개요

스즈키 산재군(Suz)은 1969년 스즈키 미치오에 의해 발견된 26개의 산재군 중 하나이다. 1782개의 점에 대한 3차 순열군으로, 점 안정자는 G₂(4)이며, 리 유형의 스즈키 군과는 관련이 없다. 슈어 승수는 차수가 6이고, 외부자기동형군은 차수가 2이다. 스즈키 산재군은 복소 리치 격자와의 관계를 가지며, 스즈키 사슬이라는 3차 순열군의 사슬을 형성한다. 또한, 스즈키 산재군의 극대 부분군 17개가 존재한다.

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스즈키 산재군
개요
종류산재군
위수17971200 = 213 ⋅ 37 ⋅ 52 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13
구조단순군
역사
발견스즈키 미치오 (1968년)
군론적 성질
슈어 승수자명군
외부 자기 동형군자명군

2. 역사

'''스즈키 산재군'''(''Suz'')은 26개의 산재군 중 하나이며, 1969년 스즈키 미치오에 의해 발견되었다. 1782개의 점에 대한 3차 순열군으로, 점 안정자는 G2(4)이다. 스즈키 산재군은 리 유형의 스즈키 군과는 관련이 없다. 슈어 승수는 차수가 6이고, 외부자기동형군은 차수가 2이다.

2. 1. 스즈키 미치오의 발견

'''스즈키 산재군'''(''Suz'')은 26개의 산재군 중 하나이며, 1969년 스즈키 미치오에 의해 발견되었다. 1782개의 점에 대한 3차 순열군으로, 점 안정자는 G2(4)이다. 스즈키 산재군은 리 유형의 스즈키 군과는 관련이 없다. 슈어 승수는 차수가 6이고, 외부자기동형군은 차수가 2이다.

2. 2. 스즈키 군의 특징

''Suz''는 26개의 산재군 중 하나이며 스즈키 미치오에 의해 발견되었다. 1782개의 점에 대한 3차 순열군이고, 점 안정자는 G2(4)이다. 리 유형의 스즈키 군과는 관련이 없다. 슈어 승수는 차수가 6이고, 외부 자기 동형 군은 차수가 2이다.

3. 복소 리치 격자와의 관계

24차원 리치 격자는 고정점이 없고 위수가 3인 자기동형을 갖는다. 이것을 1의 복소수 세제곱근으로 해석하면, 리치 격자는 '''복소 리치 격자'''라고 하는 아이젠슈타인 정수에 대한 12차원 격자가 된다. 복소 리치 격자의 자기동형군은 스즈키 군의 범피복군 6 · Suz이다. 군 6 · Suz · 2는 리치 격자의 자기동형군인 콘웨이 군 Co0 = 2 · Co1 의 극대 부분군이고, 두 개의 12차원 복소 기약 표현을 가지고 있다. 복소 리치 격자에 대한 6 · Suz의 작용은 리치 격자에 대한 2 · Co1의 작용와 유사하다.

3. 1. 복소 리치 격자의 정의

24차원 리치 격자는 고정점이 없고 위수가 3인 자기동형을 갖는다. 이것을 1의 복소수 세제곱근으로 해석하면, 리치 격자는 '''복소 리치 격자'''라고 하는 아이젠슈타인 정수에 대한 12차원 격자가 된다. 복소 리치 격자의 자기동형군은 스즈키 군의 범피복군 6 · Suz이다. 군 6 · Suz · 2는 리치 격자의 자기동형군인 콘웨이 군 Co0 = 2 · Co1 의 극대 부분군이고, 두 개의 12차원 복소 기약 표현을 가지고 있다. 복소 리치 격자에 대한 6 · Suz의 작용은 리치 격자에 대한 2 · Co1의 작용와 유사하다.

3. 2. 스즈키 군의 작용

24차원 리치 격자는 고정점이 없고 위수가 3인 자기동형을 갖는다. 이것을 1의 복소수 세제곱근으로 해석하면, 리치 격자는 '''복소 리치 격자'''라고 하는 아이젠슈타인 정수에 대한 12차원 격자가 된다. 복소 리치 격자의 자기동형군은 스즈키 군의 범피복군 6 · Suz이다. 군 6 · Suz · 2는 리치 격자의 자기동형군인 콘웨이 군 Co0 = 2 · Co1 의 극대 부분군이고, 두 개의 12차원 복소 기약 표현을 가지고 있다. 복소 리치 격자에 대한 6 · Suz의 작용은 리치 격자에 대한 2 · Co1의 작용와 유사하다.

4. 스즈키 사슬

스즈키 사슬(Suzuki chain) 또는 스즈키 탑(Suzuki tower)은 다음과 같은 3차 순열군의 사슬이다.


  • `G`2(2) = `U`(3, 3) · 2는 36 = 1 + 14 + 21개의 점에 대해 3차 작용을 가지고, 점 안정자는 PSL(3, 2) · 2이다.
  • `J`2 · 2는 100 = 1 + 36 + 63개의 점에 대해 3차 작용을 가지고, 점 안정자는 `G`2(2)이다.
  • `G`2(4) · 2는 416 = 1 + 100 + 315개의 점에 대해 3차 작용을 가지고, 점 안정자는 `J`2 · 2이다.
  • Suz · 2는 1782 = 1 + 416 + 1365개의 점에 대해 3차 작용을 가지고, 점 안정자는 `G`2(4) · 2이다.


사슬의 각 요소는 다음 요소의 안정자가 된다.

4. 1. 스즈키 사슬의 구조

스즈키 사슬은 계수 3 순열군의 사슬로, 각 군은 다음 군의 점 안정자가 된다.

  • G₂(2) = U(3, 3) · 2는 36개의 점에 대해 작용하며, 점 안정자는 PSL(3, 2) · 2이다.
  • J₂ · 2는 100개의 점에 대해 작용하며, 점 안정자는 G₂(2)이다.
  • G₂(4) · 2는 416개의 점에 대해 작용하며, 점 안정자는 J₂ · 2이다.
  • Suz · 2는 1782개의 점에 대해 작용하며, 점 안정자는 G₂(4) · 2이다.

4. 2. 점 안정자

스즈키 사슬의 각 군은 다음 군의 점 안정자 역할을 한다.

  • `G`2(2) = `U`(3, 3) · 2는 36개의 점에 대해 3차 작용을 가지며, 점 안정자는 PSL(3, 2) · 2이다.
  • `J`2 · 2는 100개의 점에 대해 3차 작용을 가지며, 점 안정자는 `G`2(2)이다.
  • `G`2(4) · 2는 416개의 점에 대해 3차 작용을 가지며, 점 안정자는 `J`2 · 2이다.
  • Suz · 2는 1782개의 점에 대해 3차 작용을 가지며, 점 안정자는 `G`2(4) · 2이다.

5. 극대 부분군

에 의해, 스즈키 산재군(''Suz'')의 극대 부분군의 켤레류 17개가 발견되었다.

''Suz''의 극대 부분군
구조차수지수비고
G2(4)251,596,800 = 212·33·52·7·131,782 = 2·34·11
32 · U(4, 3) · 2319,595,520 = 28·37·5·722,880 = 25·5·11·13차수가 3인 부분군의 정규화 부분군 (3A류)
U(5, 2)13,685,760 = 210·35·5·1132,760 = 23·32·5·7·13
21+6 · U(4, 2)3,317,760 = 213·34·5135,135 = 33·5·7·11·132A류의 대합의 중심화 부분군
35 : M111,924,560 = 24·37·5·11232,960 = 29·5·7·13
J2 : 21,209,600 = 28·33·52·7370,656 = 25·34·11·132C류의 외부 대합에 의해 고정된 부분군
24+6 : 3A61,105,920 = 213·33·5405,405 = 34·5·7·11·13
(A4 × L3(4)) : 2483,840 = 29·33·5·7926,640 = 24·34·5·11·13
22+8 : (A5 × S3)368,640 = 213·32·51,216,215 = 35·5·7·11·13
M12 : 2190,080 = 27·33·5·112,358,720 = 26·34·5·7·132D류의 외부 대합에 의해 고정된 부분군
32+4 : 2 · (A4 × 22) · 2139,968 = 26·373,203,200 = 27·52·7·11·13
(A6 × A5) · 243,200 = 26·33·5210,378,368 = 27·34·7·11·13
(A6 × 32 : 4) · 225,920 = 26·34·517,297,280 = 27·33·5·7·11·13
L3(3) : 211,232 = 25·33·1339,916,800 = 28·34·52·7·11두 개의 류, 외부 자기동형에 의해 융합됨
L2(25)7,800 = 23·3·52·1357,480,192 = 210·36·7·11
A72,520 = 23·32·5·7177,914,880 = 210·35·5·11·13


5. 1. 극대 부분군의 종류

에 의해, 스즈키 산재군(''Suz'')의 극대 부분군의 켤레류 17개가 발견되었다.

''Suz''의 극대 부분군
구조차수지수비고
G2(4)251,596,800 = 212·33·52·7·131,782 = 2·34·11
32 · U(4, 3) · 2319,595,520 = 28·37·5·722,880 = 25·5·11·13차수가 3인 부분군의 정규화 부분군 (3A류)
U(5, 2)13,685,760 = 210·35·5·1132,760 = 23·32·5·7·13
21+6 · U(4, 2)3,317,760 = 213·34·5135,135 = 33·5·7·11·132A류의 대합의 중심화 부분군
35 : M111,924,560 = 24·37·5·11232,960 = 29·5·7·13
J2 : 21,209,600 = 28·33·52·7370,656 = 25·34·11·132C류의 외부 대합에 의해 고정된 부분군
24+6 : 3A61,105,920 = 213·33·5405,405 = 34·5·7·11·13
(A4 × L3(4)) : 2483,840 = 29·33·5·7926,640 = 24·34·5·11·13
22+8 : (A5 × S3)368,640 = 213·32·51,216,215 = 35·5·7·11·13
M12 : 2190,080 = 27·33·5·112,358,720 = 26·34·5·7·132D류의 외부 대합에 의해 고정된 부분군
32+4 : 2 · (A4 × 22) · 2139,968 = 26·373,203,200 = 27·52·7·11·13
(A6 × A5) · 243,200 = 26·33·5210,378,368 = 27·34·7·11·13
(A6 × 32 : 4) · 225,920 = 26·34·517,297,280 = 27·33·5·7·11·13
L3(3) : 211,232 = 25·33·1339,916,800 = 28·34·52·7·11두 개의 류, 외부 자기동형에 의해 융합됨
L2(25)7,800 = 23·3·52·1357,480,192 = 210·36·7·11
A72,520 = 23·32·5·7177,914,880 = 210·35·5·11·13


6. 한국 수학계에의 영향

6. 1. 한국 수학자들의 연구

6. 2. 한국 수학계의 발전 기여


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