리치 격자

3. 구성

리치 격자는 다양한 방법으로 구성될 수 있다. 모든 격자와 마찬가지로, 행렬식이 1인 24 × 24 생성 행렬의 열벡터의 정수 생성을 사용하여 구성할 수 있다.^[2]

이진 골레이 부호를 사용하거나, 26차원 짝수 유니모듈 격자 II_25,1의 바일 벡터를 이용하는 방법도 존재한다.^[2] 니마이어 격자나 E8 격자 세 개의 복사본을 사용하는 튜린(Turyn) 구성 등, 다른 격자들을 기반으로 구성할 수도 있다.^[2] 아이젠슈타인 정수에 대한 12차원 격자로 구성하여 '''복소 리치 격자'''를 만들 수도 있는데, 이 때는 삼진 골레이 부호와 마티외 군 M₁₂를 사용한다.^[2]

그 외에도, 아이코시안 고리, 아다마르 행렬, 페일리 행렬, $Z\_4$ 링에 대한 고차 멱잉여 코드, 팔원수 등을 이용한 구성 방법이 있다.^[2]

3. 1. 생성 행렬

3. 2. 이진 골레이 부호

• G: 24비트 골레이 코드
• B: 이진 정수 시퀀스
• C: 투에-모르스 수열 또는 정수 비트 패리티 합 (격자의 키랄성을 제공)

3. 3. 로렌츠 격자 II_25,1

3. 4. 다른 격자 기반 구성

3. 5. 복소 격자

3. 6. 기타 구성 방법

4. 대칭

리치 격자는 매우 높은 대칭성을 갖는다. 그 자기동형군은 콘웨이 군 Co₀이다.

4. 1. 자기동형군

5. 기하학

콘웨이, 파커, 슬론은 리치 격자의 커버링 반경이 $\backslash sqrt\; 2$임을 보였다. 즉, 각 격자점을 중심으로 반지름 $\backslash sqrt\; 2$인 닫힌 공들을 놓으면 24차원 유클리드 공간 전체를 덮는다. 모든 격자점에서 거리가 최소 $\backslash sqrt\; 2$인 점을 리치 격자의 '''''딥 홀'''''이라고 부른다. 딥 홀은 리치 격자를 제외한 23개의 니마이어 격자와 관련되어 있다. 딥 홀의 정점 집합은 해당 니마이어 격자의 아핀 딩킨 다이어그램과 등거리이다.

리치 격자의 밀도는 $\backslash tfrac\{\backslash pi^\{12\}\}\{12!\}\backslash approx\; 0.001930$이다. 콘, 쿠마르는 2009년에 리치 격자가 24차원 공간에서 가장 조밀한 격자 공 덮개를 제공한다는 것을 보였고, 2017년에는 비격자 덮개에서도 가장 조밀한 구 덮개임을 보였다.

5. 1. 최소 벡터

6. 세타 함수

리치 격자 Λ에는 다음의 세타 함수를 연관시킬 수 있다.

:$\backslash Theta\_\backslash Lambda(\backslash tau)\; =\; \backslash sum\_\{x\backslash in\backslash Lambda\}\; e^\{i\backslash pi\backslash tau\backslash |x\backslash |^2\}\; \backslash qquad\; \backslash operatorname\{Im\}\; \backslash tau\; >\; 0.$

격자의 세타 함수는 상반평면에서 정칙 함수이다. 랭크가 ''n''인 짝수 유니모듈러 격자의 세타 함수는 가중치 ''n''/2의 모듈러 형식이다. 정수 격자의 세타 함수는 종종 $q\; =\; e^\{2i\backslash pi\backslash tau\}$의 거듭제곱 급수로 작성되며, ''q''^''n''의 계수는 제곱 노름이 2''n''인 격자 벡터의 개수를 나타낸다. 리치 격자에는 제곱 노름이 4인 벡터가 196560개, 제곱 노름이 6인 벡터가 16773120개, 제곱 노름이 8인 벡터가 398034000개 등이 있다.

리치 격자의 세타 급수는 다음과 같다.

:$$

\begin{align}

\Theta_{\Lambda_{24}}(\tau) & = E_{12}(\tau)-\frac{65520}{691} \Delta(\tau) \\[5pt]

& = 1 + \sum_{m=1}^\infty \frac{65520}{691} \left(\sigma_{11} (m) - \tau (m) \right) q^m \\[5pt]

& = 1 + 196560q^2 + 16773120q^3 + 398034000q^4 + \cdots,

\end{align}



여기서 $E\_\{12\}(\backslash tau)$는 가중치 12의 정규화된 아이젠슈타인 급수이고, $\backslash Delta(\backslash tau)$는 모듈러 판별식이며, $\backslash sigma\_\{11\}(n)$는 지수 11에 대한 약수 함수이고, $\backslash tau(n)$는 라마누잔 타우 함수이다. 따라서 ''m''≥1에 대해 제곱 노름이 2''m''인 벡터의 개수는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{65520\}\{691\}\; \backslash left(\backslash sigma\_\{11\}\; (m)\; -\; \backslash tau\; (m)\; \backslash right)$

7. 응용

이진 골레이 부호는 1949년에 개발된 부호 이론의 응용 분야 중 하나로, 보이저 탐사선과의 통신에 사용되었다.

양자화기, 즉 아날로그-디지털 변환기는 격자를 사용하여 평균 제곱근 평균 제곱 오차를 최소화하는데, 리치 격자는 보로노이 셀의 2차 모멘트가 낮아 이 문제에 대한 좋은 해결책이 된다.

24차원 몫 토러스 '''R'''²⁴/Λ₂₄로 압축되고 2원소 반사 그룹으로 오비폴드된 보존적 끈 이론을 설명하는 2차원 컨포멀 장론의 정점 대수는 몬스터군을 자기 동형 그룹으로 갖는 그리스 대수의 명시적인 구성을 제공하며, 몬스트러스 문샤인 추측을 증명하는 데 사용되었다.

7. 1. 오류 정정 부호

7. 2. 신호 처리

7. 3. 끈 이론

8. 역사

콕세터-토드 격자와 12차원 및 16차원의 바네스-월 격자는 리치 격자보다 훨씬 이전에 발견되었다.^[1] 1944년에는 24차원에서 관련된 홀수 단일 모듈 격자인 "홀수 리치 격자"가 발견되었는데, 이 격자의 두 짝수 이웃 중 하나가 리치 격자이다.^[1] 리치 격자는 1965년 존 리치가 발견했으며, 그는 이전에 발견한 구체 포장 방식을 개선했다.^[1]

존 호턴 콘웨이는 리치 격자의 자기 동형 사상군의 차수를 계산했고, 존 G. 톰슨과 함께 작업하여 세 개의 새로운 산재군(콘웨이 군 Co₁, Co₂, Co₃)을 발견했다.^[2] 또한 하이그만-심스, 스즈키, 맥라플린, 얀코 군 J₂가 리치 격자의 기하학을 사용하여 콘웨이 군 내에서 발견될 수 있음을 보였다.^[2]

1941년에 24차원에서 10개 이상의 짝수 단일 모듈 격자를 발견했다는 언급이 있었지만, 더 자세한 내용은 밝혀지지 않았다. 1938년에 이 격자 중 9개를 먼저 발견했고, 1940년에 A₂₄¹ 근계가 있는 니에마이어 격자와 리치 격자(그리고 홀수 리치 격자)를 두 개 더 발견했다.

참조

_[1] 서적 Sphere packings, lattices and groups https://archive.org/[...] Springer-Verlag
_[2] 서적 Sphere packings, lattices and groups https://archive.org/[...] Springer-Verlag