스튜던트 t 분포

3. 정규분포에서의 추정

어떤 정규분포의 평균이 $\backslash mu$이고 분산이 $\backslash sigma^2$일 때, 그 분포에서 n개의 표본을 추출한 것을 $X\_1,\; \backslash cdots,\; X\_n$라고 표기한다. 여기서 다음을 정의한다.

:$V\; =\; (n-1)\backslash frac\{S^2\}\{\backslash sigma^2\}$

이는 자유도가 $n-1$인 카이제곱 분포를 따른다는 것이 Cochran 정리에 의해 알려져 있다. 또한,

:$Z\; =\; \backslash left(\backslash overline\{X\}-\backslash mu\backslash right)\backslash frac\{\backslash sqrt\{n\}\}\{\backslash sigma\}$

는 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포를 가지며, $V$와 $Z$는 서로 독립이다.

이때 $Z$에서 $\backslash sigma^2$ 대신 표본분산 $S^\{\backslash ;2\}$로 대체한 추축량(pivot quantity) $T$는 다음과 같다.

:$T\; \backslash equiv\; \backslash frac\{Z\}\{\backslash sqrt\{V/\backslash nu\}\}\; =\; \backslash left(\backslash overline\{X\}-\backslash mu\backslash right)\backslash frac\{\backslash sqrt\{n\}\}\{S\}$

$T$는 $\backslash sigma^2$를 포함하지 않으므로, 이 분포는 모집단의 분산을 모를 때 모평균 $\backslash mu$를 추정하는 데 사용될 수 있다. $T$는 자유도 n-1인 t-분포를 따른다.

3. 1. 구간 추정

4. 성질

스튜던트 t 분포는 자유도에 따라 다양한 성질을 가진다.

ν > 1인 경우, t 분포의 원점 모멘트는 다음과 같다.^[4]

:$\backslash operatorname\{\backslash mathbb\; E\}\backslash left\backslash \{\backslash \; T^k\backslash \; \backslash right\backslash \}\; =\; \backslash begin\{cases\}$

\quad 0 & k \text{ 홀수 }, \quad 0 < k < \nu\ , \\ {} \\

\frac{1}{\ \sqrt{\pi\ }\ \Gamma\left(\frac{\ \nu\ }{ 2 }\right)}\ \left[\ \Gamma\!\left(\frac{\ k + 1\ }{ 2 }\right)\ \Gamma\!\left(\frac{\ \nu - k\ }{ 2 }\right)\ \nu^{\frac{\ k\ }{ 2 }}\ \right] & k \text{ 짝수 }, \quad 0 < k < \nu ~.\\

\end{cases}

ν 차수 이상의 모멘트는 존재하지 않는다. 0 < k < ν 이고 k가 짝수인 경우 감마 함수의 성질을 이용하여 위 식을 단순화할 수 있다.

:

자유도 ν를 가진 t 분포의 기댓값은 ν > 1 이면 0이고, 분산은 ν > 2 이면 $\backslash \; \backslash frac\{\; \backslash nu\; \}\{\backslash \; \backslash nu-2\backslash \; \}\backslash$이다. 왜도는 ν > 3 이면 0이고, 초과 첨도는 ν > 4 이면 $\backslash \; \backslash frac\{\; 6\; \}\{\backslash \; \backslash nu\; -\; 4\backslash \; \}\backslash$이다.

스튜던트 t 분포는 자유도 $\backslash nu$인 카이제곱 분포($V$)와 표준정규분포($Z$)를 이용하여 다음과 같이 정의된다.^[33]

:$\backslash frac\{Z\}\{\backslash sqrt\{V/\backslash nu\}\}$

t 분포는 종 모양으로 t=0을 기준으로 좌우 대칭을 이룬다. 자유도가 커질수록 표준정규분포에 가까워진다.^[33]

스튜던트 t 분포는 특정 조건에서 최대 엔트로피 확률 분포가 된다.^[9]

위치 모수 $\backslash mu$와 척도 모수 $\backslash tau$를 도입하여 3개의 모수를 갖는 위치-척도 t 분포 $\backslash mathcal\{lst\}(\backslash mu,\; \backslash tau^2,\; \backslash nu)$로 일반화할 수 있다.^[12]

:$T\; \backslash sim\; t\_\backslash nu$

위치-척도족 변환을 사용하면,

:$X\; =\; \backslash mu\; +\; \backslash tau\; T$

:$X\; \backslash sim\; \backslash mathcal\{lst\}(\backslash mu,\; \backslash tau^2,\; \backslash nu)$

결과 분포는 비표준 스튜던트 t 분포라고도 한다. 위치-척도 t 분포는 다음과 같이 정의된 밀도를 갖는다.^[12]

:$p(x\backslash mid\; \backslash nu,\backslash mu,\backslash tau)\; =\; \backslash frac\{\backslash Gamma\backslash left(\backslash frac\{\backslash nu\; +\; 1\}\{2\}\backslash right)\}\{\backslash Gamma\backslash left(\; \backslash frac\{\backslash nu\}\{2\}\backslash right)\; \backslash sqrt\{\backslash pi\backslash nu\}\; \backslash tau\}\; \backslash left(\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash nu\}\; \backslash left(\backslash frac\{x-\backslash mu\}\{\backslash tau\}\backslash right)^2\; \backslash right)^\{-(\backslash nu+1)/2\}$

이 분포의 다른 성질들은 다음과 같다.^[12]

:$\backslash begin\{align\}$

\operatorname{\mathbb E}\{ X \} &= \mu & \text{ for } \nu > 1,\\

\operatorname{var}\{ X \} &= \tau^2\frac{\nu}{\nu-2} & \text{ for } \nu > 2,\\

\operatorname{mode}\{ X \} &= \mu.

\end{align}

자유도에 따라 스튜던트 t 분포는 다음과 같은 특수한 형태를 가진다.^[3]

• 자유도 $\backslash nu=1$일 때, 스튜던트 t 분포는 코시 분포와 같다.
• 자유도 $\backslash nu$가 무한대($\backslash infty$)에 가까워질수록, 스튜던트 t 분포는 정규 분포에 수렴한다.

4. 1. 모멘트

• k가 홀수인 경우

5. 응용

Student's t-distribution|스튜던트 t 분포^영어는 ''t'' 검정 등 다양한 통계적 상황에서 활용된다. 함수는 스튜던트 확률 밀도 함수를 특정 구간까지 적분한 값으로, 관찰된 데이터에서 계산된 값보다 작은 ''t'' 값이 우연히 발생할 확률을 나타낸다.

두 데이터 집합의 평균 간 차이가 통계적으로 유의미한지 검정할 때, 이 함수를 사용하여 해당 값을 계산하고 두 데이터 집합이 동일한 모집단에서 추출된 경우 발생할 확률을 계산할 수 있다.

통계적 가설 검정에서 이 함수는 ''p''-값을 구성하는 데 사용된다. 또한, 베이즈 통계학에서도 정규 분포와의 연관성 때문에 자주 등장한다. 예를 들어, 정규 분포를 따르는 확률 변수의 분산이 알려져 있지 않고, 역 감마 분포를 따르는 켤레 사전 분포가 분산에 적용되면, 변수의 결과적인 주변 분포는 스튜던트 t 분포를 따른다.

t 분포는 정규 분포보다 꼬리가 더 두꺼운 데이터를 모델링하기 위한 대안으로도 사용되며, 강건 통계에 대한 매개변수적 접근 방식을 제공한다. 또한, 회귀 분석 및 예측의 필요성을 위해 함수에 대한 스튜던트 t 분포의 일반화인 스튜던트 t 과정이 도입되어 활용된다.

5. 1. 통계적 추론

5. 1. 1. 가설 검정

5. 1. 2. 신뢰 구간

^[1]

t 분포를 사용한 모집단의 평균값 $\backslash mu$의 구간 추정에서는, t=0에 대해 대칭인 구간에서, 그 구간에 걸친 확률 밀도의 적분값이 95%가 되는 구간(95% 신뢰 구간)을 구하고, 이에 대응하는 $\backslash mu$의 구간을 신뢰 구간 (CI)이라고 한다. (99% 신뢰 구간을 사용하는 경우도 있다).^[1]

5. 1. 3. 예측 구간

6. 역사

6. 1. 헬메르트와 뤼로트의 초기 연구

6. 2. 윌리엄 고셋의 재발견

6. 3. 로널드 피셔의 기여

참조

_[1] 웹사이트 The characteristic function of the Student {{mvar|t}} distribution http://wwwmaths.anu.[...]
_[2] 논문 Calculating CVaR and bPOE for common probability distributions with application to portfolio optimization and density estimation http://uryasev.ams.s[...] Springer 2023-02-27
_[3] 서적 Doing Bayesian Data Analysis Academic Press
_[4] 서적 Statistical Inference Duxbury Resource Center
_[5] 서적 Continuous Univariate Distributions Wiley
_[6] 서적 Introduction to Mathematical Statistics Macmillan
_[7] 논문 The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance 1934
_[8] 서적 Bayesian Data Analysis Chapman & Hal l
_[9] 논문 Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model 2009
_[10] 서적 Families of Frequency Distributions Griffin
_[11] 서적 Families of frequency distributions Griffin
_[12] 서적 Bayesian Analysis for the Social Sciences https://archive.org/[...] Wiley
_[13] 논문 Robust Statistical Modeling Using the {{mvar|t}} Distribution https://cloudfront.e[...] 1989
_[14] 서적 Bayesian Data Analysis CRC Press
_[15] 논문 Student {{mvar|t}} processes as alternatives to Gaussian processes http://proceedings.m[...]
_[16] 논문 Multivariate Gaussian and Student {{mvar|t}} process regression for multi-output prediction
_[17] 논문 Polar generation of random variates with the {{mvar|t}} distribution 1994
_[18] 논문 Über die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler
_[19] 논문 Über die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und uber einige damit in Zusammenhang stehende Fragen
_[20] 논문 Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers directer Beobachtungen gleicher Genauigkeit https://zenodo.org/r[...]
_[21] 논문 Vergleichung von zwei Werten des wahrscheinlichen Fehlers https://zenodo.org/r[...] 1876
_[22] 논문 Studies in the history of probability and statistics. XLIV. A forerunner of the {{mvar|t}} distribution
_[23] 논문 Helmert's work in the theory of errors
_[24] 논문 Contributions to the Mathematical Theory of Evolution. II. Skew Variation in Homogeneous Material https://zenodo.org/r[...]
_[25] 논문 The probable error of a mean http://www.york.ac.u[...]
_[26] 논문 Pseudonymous fame 2016
_[27] 서적 Mathematics for Physical Chemistry https://archive.org/[...] Elsevier
_[28] 논문 Applications of 'Student's' distribution http://www.sothis.ro[...]
_[29] 서적 Probability & Statistics for Engineers & Scientists Pearson
_[30] 논문 The Modified-Half-Normal distribution: Properties and an efficient sampling scheme https://figshare.com[...] 2021-06-22
_[31] 문서 The Characteristic Function of the Student-t Distribution http://wwwmaths.anu.[...]
_[32] 문서 Probability and Statistics for Engineers and Scientists Pearson Education 2002
_[33] 서적
_[34] 논문
_[35] 논문
_[36] 저널 Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers directer Beobachtungen gleicher Genauigkeit 1876
_[37] 저널 Helmert’s work in the theory of errors 1995
_[38] 저널 Vergleichung von zwei Werthen des wahrscheinlichen Fehlers
_[39] 저널 A forerunner of the ''t''-distribution (Studies in the history of probability and statistics XLIV) 1996
_[40] 저널 The probable error of a mean http://www.york.ac.u[...] 1908-03
_[41] 서적 Mathematics for Physical Chemistry https://archive.org/[...] Academic Press 2005
_[42] 저널 Applications of "Student's" distribution https://web.archive.[...] 2015-10-18