슬루츠키 방정식

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1. 개요
2. 슬루츠키 방정식의 도출 및 표현
3. 슬루츠키 행렬
4. 슬루츠키 방정식을 이용한 재화 분류
- 4.1. 재화 분류 기준
- 4.2. 기펜재
5. 슬루츠키 방정식의 직관적 설명 및 응용
6. 한국 경제 및 정책에 대한 시사점
참조

1. 개요

슬루츠키 방정식은 재화 가격 변화에 따른 수요량 변화를 대체 효과와 소득 효과로 분해하여 분석하는 경제학의 중요한 도구이다. 이 방정식은 재화 j의 가격 변화에 따른 재화 i에 대한 마샬 수요의 변화를 나타내며, 상품 수요량 변화를 대체 효과와 소득 효과의 합으로 설명한다. 슬루츠키 방정식은 기본 형태, 대체 효과와 소득 효과, 탄력성을 이용한 표현 등 다양한 형태로 나타낼 수 있으며, 여러 재화를 고려할 때는 슬루츠키 행렬로 표현된다. 또한, 슬루츠키 방정식을 통해 재화를 일반재, 열등재, 기펜재 등으로 분류할 수 있으며, 한국 경제의 가계 소비 행태 분석, 조세 정책 효과 예측, 가격 규제 영향 평가, 소득 불평등 및 양극화 해소 등 다양한 분야에 적용할 수 있다.

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슬루츠키 방정식
개요
유형	경제학 방정식
분야	미시경제학
관련 항목	보상 변화
상세 내용
목적	상품 가격 변화가 수요에 미치는 영향을 분해
효과 분해	대체 효과 소득 효과
개발자	예브게니 슬루츠키
개발 시기	1915년
수식
기호	x: 상품에 대한 수요 p: 상품 가격 m: 소득
슬루츠키 방정식 (수요의 가격 효과)	$\frac{\partial x}{\partial p} = \frac{\partial x}{\partial p}\|_{U=constant} - x \frac{\partial x}{\partial m}$
설명	총 효과 = 대체 효과 - 소득 효과

2. 슬루츠키 방정식의 도출 및 표현

재화 ''j''의 가격이 미세하게 변할 때, 재화 ''i''에 대한 마샬 수요(보상받지 않은 수요)의 변화는 슬루츠키 방정식을 통해 설명할 수 있다.^[10] 상품 수요량의 증가는 대체 효과와 소득 효과 두 부분으로 분해할 수 있는데, 슬루츠키 방정식은 가격 효과가 이 두 효과의 합으로 표현될 수 있음을 보여준다.^[9]^[10]

수요량 $x$ 가 증가하면 대체 효과가 발생하며, 이는 증가한 수요량에서 기존 수요량을 뺀 값과 같다. 이 식은 변형을 통해 명목 소득 $M$ 이 일정할 때 상품 가격 변화에 따른 수요 변화를 나타낼 수 있다.^[9] 소비자가 상품 150단위를 소비하는 중 상품 가격이 1만큼 하락하면, 절약할 수 있는 지출은 150이 된다. 상품 가격 하락에 따른 실질 소득 증가는 ${\Delta R \over \Delta P_x} = -x$ 로 표현할 수 있다. 여기서 상품 수요량 $x$ 에 $-$ 가 붙는 이유는 상품 가격 변화와 실질 소득 변화의 반대 방향성 때문이다.^[10]

소득 효과는 상품 가격 변화로 인한 실질 소득 변화가 수요에 미치는 영향을 측정한다. 실질 소득과 명목 소득을 구분하지 않으면, 슬루츠키 방정식은 다음과 같이 정리된다.^[10]

: ${\Delta x_M \over \Delta P_x} = {\Delta x_U \over \Delta P_x} - x \times {\Delta x \over \Delta M}$

슬루츠키 방정식은 여러 방법으로 유도할 수 있다. 먼저, 항등식 $h_i(\mathbf{p},u) = x_i (\mathbf{p}, e(\mathbf{p},u))$ 를 ''p_j''에 대해 전미분한다. 여기서 $e(\mathbf{p},u)$ 는 지출 함수이며, ''u''는 '''p'''와 ''w''가 주어졌을 때 효용을 최대화하여 얻은 효용이다. 셰퍼드 보조정리와 간접 효용 함수의 개념을 이용하면 슬루츠키 방정식을 유도할 수 있다.

2. 1. 기본 형태

재화 ''j''의 가격이 미세하게 변할 때, 재화 ''i''에 대한 마샬 수요(보상받지 않은 수요)의 변화는 슬루츠키 방정식을 통해 설명할 수 있다.^[10] 상품 수요량의 증가는 대체 효과와 소득 효과 두 부분으로 분해할 수 있는데, 슬루츠키 방정식은 가격 효과가 이 두 효과의 합으로 표현될 수 있음을 보여준다.^[9]^[10]

수요량

x

가 증가하면 대체 효과가 발생하며, 이는 증가한 수요량에서 기존 수요량을 뺀 값과 같다. 이 식은 변형을 통해 명목 소득

M

이 일정할 때 상품 가격 변화에 따른 수요 변화를 나타낼 수 있다.^[9] 소비자가 상품 150단위를 소비하는 중 상품 가격이 1만큼 하락하면, 절약할 수 있는 지출은 150이 된다. 상품 가격 하락에 따른 실질 소득 증가는

{\Delta R \over \Delta P_x} = -x

로 표현할 수 있다. 여기서 상품 수요량

x

에

-

가 붙는 이유는 상품 가격 변화와 실질 소득 변화의 반대 방향성 때문이다.^[10]

소득 효과는 상품 가격 변화로 인한 실질 소득 변화가 수요에 미치는 영향을 측정한다. 실질 소득과 명목 소득을 구분하지 않으면, 슬루츠키 방정식은 다음과 같이 정리된다.^[10]

:

{\Delta x_M \over \Delta P_x} = {\Delta x_U \over \Delta P_x} - x \times {\Delta x \over \Delta M}

슬루츠키 방정식은 여러 방법으로 유도할 수 있다. 먼저, 항등식

h_i(\mathbf{p},u) = x_i (\mathbf{p}, e(\mathbf{p},u))

를 ''p_j''에 대해 전미분한다. 여기서

e(\mathbf{p},u)

는 지출 함수이며, ''u''는 '''p'''와 ''w''가 주어졌을 때 효용을 최대화하여 얻은 효용이다. 셰퍼드 보조정리와 간접 효용 함수의 개념을 이용하면 슬루츠키 방정식을 유도할 수 있다.

2. 2. 대체 효과와 소득 효과

상품 수요량의 증가는 대체 효과와 소득 효과 두 부분으로 분해할 수 있다.^[9] 상품 가격의 변화에 따른 수요량 변화를 대체 효과와 소득효과로 나누어 설명하는 슬루츠키 방정식은 다음과 같다.^[10]

:

{\Delta x_M \over \Delta P_x} = {\Delta x_U \over \Delta P_x} - x \times {\Delta x \over \Delta M}

우변의 첫 항은 대체효과를, 두 번째 항은 소득효과를 나타낸다.

{\Delta R \over \Delta P_x} = -x

에서 상품 수요량

x

에

-

가 붙는 이유는 상품 가격이 내려가 음의 값을 갖게 되면 실질 소득은 증가해 양의 값을 가지게 되고, 상품 가격이 올라 양의 값을 가지게 되면 수요는 감소해 음의 값을 가지기 때문이다.^[10]

슬루츠키 방정식은 다음과 같이 행렬 형태로도 표현할 수 있다.^[4]

:

\begin{bmatrix}\frac{ \partial x_1}{\partial p_1} & \frac{ \partial x_1}{\partial p_2} \\\frac{ \partial x_2}{\partial p_1} & \frac{ \partial x_2}{\partial p_2}\\\end{bmatrix}   =\begin{bmatrix}\frac{ \partial h_1}{\partial p_1} & \frac{ \partial h_1}{\partial p_2} \\\frac{ \partial h_2}{\partial p_1} & \frac{ \partial h_2}{\partial p_2}\\\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}\frac{ \partial x_1}{\partial w} x_1 & \frac{ \partial x_1}{\partial w} x_2 \\\frac{ \partial x_2}{\partial w} x_1 & \frac{ \partial x_2}{\partial w} x_2\\\end{bmatrix}

2. 3. 탄력성을 이용한 표현

슬루츠키 방정식은 탄력성을 사용하여 표현할 수 있다.^[4] 상품 수요의 소득 탄력성과 재화에 대한 지출액의 총 지출 비율을 이용하면 슬루츠키 방정식은 다음과 같이 표현된다.

:

\epsilon_{p, ij}=\epsilon_{p,ij}^h-\epsilon_{w,i}b_j

여기서 '''ε_p'''는 마셜의 비보상 수요의 가격 탄력성, '''ε_p^h'''는 힉스의 보상 수요의 가격 탄력성, '''ε_w,i'''는 재화 ''i''의 수요의 소득 탄력성, '''b_j'''는 재화 ''j''에 대한 지출액의 총 지출(예산)에서 차지하는 비율이다. 이 식은 수요의 총 변화가 소득 효과와 대체 효과로 구성되며, 두 효과를 합한 수요의 변화와 같다는 것을 의미한다. 식으로 표현하면 다음과 같다.

:

\Delta x_1 = \Delta x_1^{s} +\Delta x_1^{l}

3. 슬루츠키 행렬

슬루츠키 방정식은 여러 재화를 고려할 때 행렬 형태로 표현될 수 있으며, 이를 슬루츠키 행렬이라고 한다.^[10] 슬루츠키 행렬은 다음과 같이 정의된다.

```wikitable

S(\mathbf{p},w)=\left(\begin{array}{ccc}

```

u

가 가격

\mathbf{p}

와 소득

w

에서 소비자가 달성하는 최대 효용, 즉

u=v(\mathbf{p},w)

일 때, 슬루츠키 행렬

S(\mathbf{p},w)

의 각 요소는 힉스 대체 행렬

\sigma(\mathbf{p}, u)

의 해당 요소와 정확히 같다. 슬루츠키 행렬은 대칭 행렬이며, 지출 함수

e(\mathbf{p}, u)

가 오목하므로 슬루츠키 행렬은 또한 음의 준정부호이다.^[10]

4. 슬루츠키 방정식을 이용한 재화 분류

슬루츠키 방정식은 재화를 분류하는 데 유용하다. 다음 표는 슬루츠키 방정식을 이용하여 재화를 분류하는 기준을 나타낸다.^[10]

경우	${\partial h_i(\mathbf{p}, u) \over \partial p_j}$	${\partial x_i(\mathbf{p}, w) \over \partial w } x_j(\mathbf{p}, w)$	\left>{\partial h_i(\mathbf{p}, u) \over \partial p_j} \right\|<\left\|{\partial x_i(\mathbf{p}, w) \over \partial w } x_j(\mathbf{p}, w)\right\|	${\partial x_i(\mathbf{p}, w) \over \partial p_j}$
케이스 A	음	양(정상재)	-	음(일반재)
케이스 B	음	음(열등재)	No	음(일반재)
케이스 C	음	음(열등재)	Yes	양(기펜재)

케이스 ''A'': 소득 효과가 양수이고 재화 ''i''는 정상재이다. 이 때, 재화 ''i''는 반드시 일반재가 된다. 즉, 재화 ''i''의 「수요의 소득 탄력성」이 양수일 때, 재화 ''i''의 「수요의 가격 탄력성」은 반드시 음수가 된다.
케이스 ''B'': 소득 효과가 음수이고 재화 ''i''는 열등재이다. 그러나 대체 효과가 소득 효과를 상회하고, 재화 ''i''의 "수요의 가격 탄력성"은 음수가 되며, 즉 일반재가 된다.
케이스 ''C'': 음의 소득 효과가 대체 효과를 상회하고, 재화 ''i''의 "수요의 가격 탄력성"은 양수가 되며, 즉 기펜재가 된다. 이를 통해 기펜재는 반드시 열등재라는 것을 알 수 있다.

기펜재는 가격이 상승할 때 수요가 증가하는 상품으로, 열등재의 특별한 경우이다.^[5] 슬루츠키 방정식에서 소득 효과가 대체 효과를 압도하여 가격 상승에 대한 수요의 전반적인 변화가 양(+)으로 나타난다.

슬루츠키 방정식은 수요 변화를 순수한 대체 효과와 소득 효과로 분해하여 수요의 법칙이 기펜재에 적용되지 않는 이유를 설명한다.

과거 한국에서 쌀은 대표적인 필수재였으나, 경제 성장과 소득 증가로 인해 쌀 소비가 감소하고 육류, 과일 등 다른 식품 소비가 증가하는 현상이 나타났다. 이는 쌀이 소득 증가에 따라 수요가 감소하는 열등재적 성격을 가지고 있음을 보여준다. 하지만, 1997년 외환 위기나 2008년 글로벌 금융 위기와 같은 경제 위기 상황에서는 저소득층을 중심으로 쌀 소비가 일시적으로 증가하는 현상이 관찰되기도 했는데, 이는 쌀이 기펜재의 성격을 띨 수도 있음을 시사한다.

4. 1. 재화 분류 기준

슬루츠키 방정식은 재화를 분류하는 데 유용하다. 다음 표는 슬루츠키 방정식을 이용하여 재화를 분류하는 기준을 나타낸다.^[10]

경우	${\partial h_i(\mathbf{p}, u) \over \partial p_j}$	${\partial x_i(\mathbf{p}, w) \over \partial w } x_j(\mathbf{p}, w)$	\left>{\partial h_i(\mathbf{p}, u) \over \partial p_j} \right\|<\left\|{\partial x_i(\mathbf{p}, w) \over \partial w } x_j(\mathbf{p}, w)\right\|	${\partial x_i(\mathbf{p}, w) \over \partial p_j}$
케이스 A	음	양(정상재(상급재))	-	음(일반재)
케이스 B	음	음(열등재(하급재))	No	음(일반재)
케이스 C	음	음(열등재(하급재))	Yes	양(기펜재)

케이스 ''A'': 소득 효과가 양수이고 재화 ''i''는 정상재(상급재)이다. 이 때, 재화 ''i''는 반드시 일반재가 된다. 즉, 재화 ''i''의 「수요의 소득 탄력성」이 양수일 때, 재화 ''i''의 「수요의 가격 탄력성」은 반드시 음수가 된다.
케이스 ''B'': 소득 효과가 음수이고 재화 ''i''는 열등재(하급재)이다. 그러나 대체 효과가 소득 효과를 상회하고, 재화 ''i''의 "수요의 가격 탄력성"은 음수가 되며, 즉 일반재가 된다.
케이스 ''C'': 음의 소득 효과가 대체 효과를 상회하고, 재화 ''i''의 "수요의 가격 탄력성"은 양수가 되며, 즉 기펜재가 된다. 이를 통해 기펜재는 반드시 열등재라는 것을 알 수 있다.

4. 2. 기펜재

기펜재는 가격이 상승할 때 수요가 증가하는 상품으로, 열등재의 특별한 경우이다.^[5] 슬루츠키 방정식에서 소득 효과가 대체 효과를 압도하여 가격 상승에 대한 수요의 전반적인 변화가 양(+)으로 나타난다.

슬루츠키 방정식은 수요 변화를 순수한 대체 효과와 소득 효과로 분해하여 수요의 법칙이 기펜재에 적용되지 않는 이유를 설명한다.

:

{\partial h_i(\mathbf{p}, u) \over \partial p_i} - {\partial x_i(\mathbf{p}, w) \over \partial w } x_i(\mathbf{p}, w),\ = {\partial x_i(\mathbf{p}, w) \over \partial p_i}

위 식을 바탕으로 재화를 분류하면, 케이스 ''C''에서는 음의 소득 효과가 대체 효과를 상회하고, 재화 ''i''의 "수요의 가격 탄력성"은 양수가 되며, 즉 기펜재가 된다. 이를 통해 기펜재는 반드시 열등재라는 것을 알 수 있다.

과거 한국에서 쌀은 대표적인 필수재였으나, 경제 성장과 소득 증가로 인해 쌀 소비가 감소하고 육류, 과일 등 다른 식품 소비가 증가하는 현상이 나타났다. 이는 쌀이 소득 증가에 따라 수요가 감소하는 열등재적 성격을 가지고 있음을 보여준다. 하지만, 1997년 외환 위기나 2008년 글로벌 금융 위기와 같은 경제 위기 상황에서는 저소득층을 중심으로 쌀 소비가 일시적으로 증가하는 현상이 관찰되기도 했는데, 이는 쌀이 기펜재의 성격을 띨 수도 있음을 시사한다.

5. 슬루츠키 방정식의 직관적 설명 및 응용

상품 수요량의 증가는 대체 효과와 소득 효과 두 부분으로 분해할 수 있다.^[9] 그림이 다음과 같을 때 수요량 $x$ 가 증가하면 대체 효과가 일어났다고 하며 이는 증가한 수요량에 기존 수요량을 빼준 값과 같다. 이 식은 다음과 같이 변형할 수도 있다.^[9]

: $x'-x_0=(x''-x_0)+(x'-x'')$

이렇게 변형한 식의 양변을 가격 변화폭 $\Delta P_x$ 로 나눈다. 그러면 다음 식을 얻을 수 있다.^[9]

: ${x'-x_0 \over \Delta P_x} ={(x''-x_0) \over \Delta P_x} + {(x'-x'') \over \Delta P_x}$

이 식의 좌변인 ${x'-x_0 \over \Delta P_x}$ 은 명목 소득인 $M$ 이 일정할 때 어떤 상품의 가격에 변화가 있을 때 이 상품의 수요의 변화를 나타낸다고 할 수 있다. 따라서 각각 다음과 같은 표현으로 바꿀 수 있다. $R$ 은 실질 소득으로 ${\Delta R \over \Delta P_x}$ 는 쌀 가격 하락에 따른 실질 소득의 증가를 나타내며, ${\Delta x \over \Delta R}$ 는 실질 소득의 증가에 따른 그 상품 수요량의 증가를 나타낸다.^[9]

: ${\Delta x \over \Delta P_x} = {\Delta x \over \Delta R} \times {\Delta R \over \Delta P_x}$

만약 소비자가 상품 150단위를 소비하고 있는 중이라면 상품 가격이 1 내렸을 때 소비자가 절약할 수 있는 지출은 150이라고 할 수 있다. 그러므로 상품 가격 하락에 따른 실질 소득의 증가는 다음과 같이 표현할 수 있다. 여기에서 상품 수요량 $x$ 에 $-$ 가 붙는 이유는 상품 가격이 내려가 음의 값을 갖게 되면 실질 소득은 증가해 양의 값을 가지게 되고 상품 가격이 올라 양의 값을 가지게 되면 수요는 감소해 음의 값을 가지기 때문이다.^[10]

: ${\Delta R \over \Delta P_x} = -x$

소득 효과는 한 상품의 가격이 변하여 실질 소득의 변화가 생길 때 그 상품의 수요에 어떤 영향을 미치는 지를 측정하고자 한다. 이때 실질 소득과 명목 소득을 서로 구분하지 않는다고 하면 식을 다음과 같이 정리할 수 있게 된다. 이 식을 슬루츠키 방정식이라 부르며 가격 효과가 대체 효과와 소득 효과의 합으로 표현될 수 있음을 보여주는 식이 된다.^[10]

: ${\Delta x_M \over \Delta P_x} = {\Delta x_U \over \Delta P_x} - x \times {\Delta x \over \Delta M}$

슬루츠키 방정식은 대체 효과와 소득 효과의 두 가지 항으로 구성된다. 대체 효과는 재화의 상대 가격 변화의 효과에 의한 것이며, 소득 효과는 소득이 상승하는 것에 의한 효과이다.

가격 상승에 따른 대체 효과는 소비자의 선택 범위를 좁혀 효용 수준을 저하시킨다. 가격이 상승하면, 예산 제약식이 안쪽으로 이동하고 수요가 감소한다. 반대로, 가격이 하락하면 예산 제약식이 바깥쪽으로 이동하고 수요가 증가한다.

대체 효과: 재화의 상대 가격이 변화하는 것에 의한 효과. 일반적으로는, 상대적으로 저렴해진 재화에 대한 지출이 증가하고, 상대적으로 비싸진 재화에 대한 지출이 감소한다.

소득 효과: 재화가 정상재 (상급재)라면, 소득이 증가함으로써 그 재화에 대한 수요가 증가한다. 재화가 열등재 (하급재)라면, 소득이 증가함으로써 그 재화에 대한 수요가 감소한다.

효용 수준은 실증적으로 관측할 수 없기 때문에, 대체 효과는 직접 측정할 수 없다. 그러나, 다른 두 개의 항이 계측 가능하므로, 그것들을 이용하여 효용 수준을 간접적으로 계측할 수 있다. 이 과정은 수요 변화의 힉스 분해라고도 불린다^[8]。

슬루츠키 방정식은 대체 효과와 소득 효과의 두 가지 항으로 구성된다.^[10] 대체 효과는 재화의 상대 가격 변화에 의한 효과이다. 일반적으로는, 상대적으로 저렴해진 재화에 대한 수요가 증가하고, 상대적으로 비싸진 재화에 대한 수요가 감소한다.^[8] 예를 들어, 커피 가격이 상승하면, 소비자들은 커피 대신 차나 다른 음료를 더 많이 소비하게 된다.

가격 상승에 따른 대체 효과는 소비자의 선택 범위를 좁혀 효용 수준을 저하시킨다. 가격이 상승하면, 예산 제약식이 안쪽으로 이동하고 수요가 감소한다. 반대로, 가격이 하락하면 예산 제약식이 바깥쪽으로 이동하고 수요가 증가한다.^[8]

효용 수준은 실증적으로 관측할 수 없기 때문에, 대체 효과는 직접 측정할 수 없다. 그러나, 다른 두 개의 항이 계측 가능하므로, 그것들을 이용하여 효용 수준을 간접적으로 계측할 수 있다. 이 과정은 수요 변화의 힉스 분해라고도 불린다.^[8]

상품 수요량의 증가는 대체 효과와 소득 효과 두 부분으로 분해할 수 있다.^[9] 소득 효과는 한 상품의 가격이 변하여 실질 소득의 변화가 생길 때 그 상품의 수요에 어떤 영향을 미치는 지를 측정하고자 한다.^[10] 재화 가격 변화로 인한 실질 소득의 변화가 수요에 영향을 미치는 것이다.

예를 들어 소득이 증가하면 사람들은 고급 레스토랑에서의 외식(정상재)을 늘리고, 저렴한 식당에서의 식사(열등재)는 줄일 수 있다. 재화가 정상재 (상급재)라면, 소득이 증가함으로써 그 재화에 대한 수요가 증가한다. 재화가 열등재 (하급재)라면, 소득이 증가함으로써 그 재화에 대한 수요가 감소한다.

만약 소비자가 상품 150단위를 소비하고 있는 중이라면 상품 가격이 1 내렸을 때 소비자가 절약할 수 있는 지출은 150이라고 할 수 있다. 실질 소득과 명목 소득을 서로 구분하지 않는다고 하면, 슬루츠키 방정식은 다음과 같이 정리할 수 있다.^[10]

:

{\Delta x_M \over \Delta P_x} = {\Delta x_U \over \Delta P_x} - x \times {\Delta x \over \Delta M}

이 식을 통해 가격 효과가 대체 효과와 소득 효과의 합으로 표현될 수 있음을 알 수 있다.^[10]

콥-더글러스 효용 함수를 가정할 때, 슬루츠키 방정식을 통해 대체 효과와 소득 효과를 명시적으로 계산할 수 있다. 두 재화와 소득

w

를 가진 콥-더글러스 효용 함수는 재화 1과 2에 대한 마셜 수요를

x_1 = .7w/p_1

및

x_2 = .3w/p_2

로 생성한다.^[3]

슬루츠키 방정식을 통해 대체 효과를 계산하면 다음과 같다.^[3]

:

\frac{\partial h_1}{\partial p_1} = \frac{\partial x_1}{\partial p_1} + \frac{\partial x_1}{\partial w_1}x_1= -\frac{.7w}{p_1^2} + \frac{.7}{p_1}\frac{.7w}{p_1}= -\frac{.21w}{p_1^2}

가격 상승에 따른 수요량 변화를 대체 효과와 소득 효과로 분해하면 다음과 같다.^[3]

:

\frac{\partial x_1}{\partial p_1} = \frac{\partial h_1}{\partial p_1} - \frac{\partial x_1}{\partial w}x_1= -\frac{.21w}{p_1^2} - \frac{.49w}{p_1^2}

따라서

p_1

이 상승할 때 수요량의 총 감소

.7w/p_1^2

중에서 21/70는 대체 효과, 49/70는 소득 효과에서 발생한다. 재화 1은 소비자가 소득의 대부분을 소비하는 재화(

p_1q_1 = .7w

)이므로 소득 효과가 크다.^[3]

슬루츠키 방정식은 교차 가격 대체 효과를 계산하는 데에도 적용될 수 있다.

p_2

가 상승할 때 재화 1의 마셜 수요량

x_1(p_1, p_2, w)

은 영향을 받지 않지만(

\partial x_1/\partial p_2 = 0

), 슬루츠키 방정식을 통해 교차 가격 대체 효과를 계산하면 다음과 같다.^[3]

:

\frac{\partial h_1}{\partial p_2} = \frac{\partial x_1}{\partial p_2} + \frac{\partial x_1}{\partial w}x_2= 0 + \frac{.7}{p_1}\frac{.3w}{p_2}= -\frac{.21w}{p_1p_2}

즉,

p_2

가 상승할 때 재화 1로의 대체 효과는

-.21w/(p_1p_2)

이다. 이는 콥-더글러스 효용 함수의 특성으로, 재화 2의 가격 상승에 따른 재화 1의 수요에 대한 부정적인 소득 효과가 대체 효과와 정확히 동일한 크기로 상쇄되어 순 효과는 0이 된다.^[3]

5. 1. 대체 효과

슬루츠키 방정식은 대체 효과와 소득 효과의 두 가지 항으로 구성된다.^[10] 대체 효과는 재화의 상대 가격 변화에 의한 효과이다. 일반적으로는, 상대적으로 저렴해진 재화에 대한 수요가 증가하고, 상대적으로 비싸진 재화에 대한 수요가 감소한다.^[8] 예를 들어, 커피 가격이 상승하면, 소비자들은 커피 대신 차나 다른 음료를 더 많이 소비하게 된다.

가격 상승에 따른 대체 효과는 소비자의 선택 범위를 좁혀 효용 수준을 저하시킨다. 가격이 상승하면, 예산 제약식이 안쪽으로 이동하고 수요가 감소한다. 반대로, 가격이 하락하면 예산 제약식이 바깥쪽으로 이동하고 수요가 증가한다.^[8]

효용 수준은 실증적으로 관측할 수 없기 때문에, 대체 효과는 직접 측정할 수 없다. 그러나, 다른 두 개의 항이 계측 가능하므로, 그것들을 이용하여 효용 수준을 간접적으로 계측할 수 있다. 이 과정은 수요 변화의 힉스 분해라고도 불린다.^[8]

5. 2. 소득 효과

상품 수요량의 증가는 대체 효과와 소득 효과 두 부분으로 분해할 수 있다.^[9] 소득 효과는 한 상품의 가격이 변하여 실질 소득의 변화가 생길 때 그 상품의 수요에 어떤 영향을 미치는 지를 측정하고자 한다.^[10] 재화 가격 변화로 인한 실질 소득의 변화가 수요에 영향을 미치는 것이다.

예를 들어 소득이 증가하면 사람들은 고급 레스토랑에서의 외식(정상재)을 늘리고, 저렴한 식당에서의 식사(열등재)는 줄일 수 있다. 재화가 정상재 (상급재)라면, 소득이 증가함으로써 그 재화에 대한 수요가 증가한다. 재화가 열등재 (하급재)라면, 소득이 증가함으로써 그 재화에 대한 수요가 감소한다.

만약 소비자가 상품 150단위를 소비하고 있는 중이라면 상품 가격이 1 내렸을 때 소비자가 절약할 수 있는 지출은 150이라고 할 수 있다. 실질 소득과 명목 소득을 서로 구분하지 않는다고 하면, 슬루츠키 방정식은 다음과 같이 정리할 수 있다.^[10]

:

{\Delta x_M \over \Delta P_x} = {\Delta x_U \over \Delta P_x} - x \times {\Delta x \over \Delta M}

이 식을 통해 가격 효과가 대체 효과와 소득 효과의 합으로 표현될 수 있음을 알 수 있다.^[10]

5. 3. 응용 사례 (콥-더글러스 효용 함수)

콥-더글러스 효용 함수를 가정할 때, 슬루츠키 방정식을 통해 대체 효과와 소득 효과를 명시적으로 계산할 수 있다. 두 재화와 소득

w

를 가진 콥-더글러스 효용 함수는 재화 1과 2에 대한 마셜 수요를

x_1 = .7w/p_1

및

x_2 = .3w/p_2

로 생성한다.^[3]

슬루츠키 방정식을 통해 대체 효과를 계산하면 다음과 같다.^[3]

:

\frac{\partial h_1}{\partial p_1} = \frac{\partial x_1}{\partial p_1} + \frac{\partial x_1}{\partial w_1}x_1= -\frac{.7w}{p_1^2} + \frac{.7}{p_1}\frac{.7w}{p_1}= -\frac{.21w}{p_1^2}

가격 상승에 따른 수요량 변화를 대체 효과와 소득 효과로 분해하면 다음과 같다.^[3]

:

\frac{\partial x_1}{\partial p_1} = \frac{\partial h_1}{\partial p_1} - \frac{\partial x_1}{\partial w}x_1= -\frac{.21w}{p_1^2} - \frac{.49w}{p_1^2}

따라서

p_1

이 상승할 때 수요량의 총 감소

.7w/p_1^2

중에서 21/70는 대체 효과, 49/70는 소득 효과에서 발생한다. 재화 1은 소비자가 소득의 대부분을 소비하는 재화(

p_1q_1 = .7w

)이므로 소득 효과가 크다.^[3]

슬루츠키 방정식은 교차 가격 대체 효과를 계산하는 데에도 적용될 수 있다.

p_2

가 상승할 때 재화 1의 마셜 수요량

x_1(p_1, p_2, w)

은 영향을 받지 않지만(

\partial x_1/\partial p_2 = 0

), 슬루츠키 방정식을 통해 교차 가격 대체 효과를 계산하면 다음과 같다.^[3]

:

\frac{\partial h_1}{\partial p_2} = \frac{\partial x_1}{\partial p_2} + \frac{\partial x_1}{\partial w}x_2= 0 + \frac{.7}{p_1}\frac{.3w}{p_2}= -\frac{.21w}{p_1p_2}

즉,

p_2

가 상승할 때 재화 1로의 대체 효과는

-.21w/(p_1p_2)

이다. 이는 콥-더글러스 효용 함수의 특성으로, 재화 2의 가격 상승에 따른 재화 1의 수요에 대한 부정적인 소득 효과가 대체 효과와 정확히 동일한 크기로 상쇄되어 순 효과는 0이 된다.^[3]

6. 한국 경제 및 정책에 대한 시사점

슬루츠키 방정식은 한국 경제의 다양한 현상을 분석하고 정책적 시사점을 도출하는 데 유용하다.

;가계 소비 행태 분석

상품 수요량의 증가는 대체 효과와 소득 효과 두 부분으로 분해할 수 있다. 어떤 상품의 가격에 변화가 있을 때 이 상품의 수요 변화를 슬루츠키 방정식을 통해 분석할 수 있다.^[9] 슬루츠키 방정식은 가격 효과가 대체 효과와 소득 효과의 합으로 표현될 수 있음을 보여준다.^[10]

: ${\Delta x_M \over \Delta P_x} = {\Delta x_U \over \Delta P_x} - x \times {\Delta x \over \Delta M}$

슬루츠키 방정식을 활용하여 소득 계층별, 연령별, 지역별 소비 패턴 변화를 분석하고, 소비자 물가 지수 변화에 따른 영향을 예측할 수 있다. 특히, 저소득층의 경우 필수재 가격 변화에 더 민감하게 반응할 수 있으므로, 슬루츠키 방정식을 통해 이들의 소비 변화를 면밀히 분석해야 한다.

;조세 정책 효과 예측

특정 재화에 대한 세금 부과(예: 유류세, 담뱃세)는 소비자의 수요에 영향을 미치는데, 이는 대체 효과와 소득 효과로 나누어 분석할 수 있다.^[9]^[10] 상품 수요량의 변화는 대체 효과와 소득 효과의 합으로 나타낼 수 있으며, 이를 슬루츠키 방정식으로 표현한다.^[10] 슬루츠키 방정식은 다음과 같다.

: ${\Delta x_M \over \Delta P_x} = {\Delta x_U \over \Delta P_x} - x \times {\Delta x \over \Delta M}$

이 방정식을 통해 가격 효과가 대체 효과와 소득 효과의 합으로 구성됨을 알 수 있다.^[10] 예를 들어, 어떤 상품의 가격이 상승하면, 소비자들은 해당 상품 대신 다른 상품을 구매하려는 경향(대체 효과)을 보인다. 또한, 가격 상승은 실질 소득 감소로 이어져, 소비자는 모든 상품에 대한 소비를 줄이게 된다(소득 효과).

이러한 분석을 통해, 조세 정책이 소비자의 수요에 미치는 영향을 예측하고, 그에 따른 부작용을 최소화하는 방안을 모색할 수 있다.

;가격 규제 영향 평가

정부가 쌀 가격 안정을 위해 최고 가격제를 시행하면 슬루츠키 방정식을 통해 쌀 소비량 변화를 예측할 수 있다. 상품 수요량의 증가는 대체 효과와 소득 효과 두 부분으로 분해할 수 있는데, 슬루츠키 방정식은 가격 효과가 대체 효과와 소득 효과의 합으로 표현될 수 있음을 보여준다.^[10] 이를 통해 저소득층의 식량 안보에 미치는 영향 등을 분석할 수 있다.

;소득 불평등 및 양극화 해소

한국 사회의 주요 과제인 소득 불평등 및 양극화 해소를 위한 정책 수립에 슬루츠키 방정식을 활용할 수 있다.^[9]^[10] 소득 계층별 소비 패턴 변화를 분석하여, 저소득층 지원 정책의 효과를 높이고, 소득 재분배 정책의 방향성을 제시할 수 있다. 슬루츠키 방정식은 가격 효과가 대체 효과와 소득 효과의 합으로 표현될 수 있음을 보여준다.^[10]

6. 1. 가계 소비 행태 분석

상품 수요량의 증가는 대체 효과와 소득 효과 두 부분으로 분해할 수 있다. 어떤 상품의 가격에 변화가 있을 때 이 상품의 수요 변화를 슬루츠키 방정식을 통해 분석할 수 있다.^[9] 슬루츠키 방정식은 가격 효과가 대체 효과와 소득 효과의 합으로 표현될 수 있음을 보여준다.^[10]

:

{\Delta x_M \over \Delta P_x} = {\Delta x_U \over \Delta P_x} - x \times {\Delta x \over \Delta M}

슬루츠키 방정식을 활용하여 소득 계층별, 연령별, 지역별 소비 패턴 변화를 분석하고, 소비자 물가 지수 변화에 따른 영향을 예측할 수 있다. 특히, 저소득층의 경우 필수재 가격 변화에 더 민감하게 반응할 수 있으므로, 슬루츠키 방정식을 통해 이들의 소비 변화를 면밀히 분석해야 한다.

6. 2. 조세 정책 효과 예측

특정 재화에 대한 세금 부과(예: 유류세, 담뱃세)는 소비자의 수요에 영향을 미치는데, 이는 대체 효과와 소득 효과로 나누어 분석할 수 있다.^[9]^[10] 상품 수요량의 변화는 대체 효과와 소득 효과의 합으로 나타낼 수 있으며, 이를 슬루츠키 방정식으로 표현한다.^[10] 슬루츠키 방정식은 다음과 같다.

:

{\Delta x_M \over \Delta P_x} = {\Delta x_U \over \Delta P_x} - x \times {\Delta x \over \Delta M}

이 방정식을 통해 가격 효과가 대체 효과와 소득 효과의 합으로 구성됨을 알 수 있다.^[10] 예를 들어, 어떤 상품의 가격이 상승하면, 소비자들은 해당 상품 대신 다른 상품을 구매하려는 경향(대체 효과)을 보인다. 또한, 가격 상승은 실질 소득 감소로 이어져, 소비자는 모든 상품에 대한 소비를 줄이게 된다(소득 효과).

이러한 분석을 통해, 조세 정책이 소비자의 수요에 미치는 영향을 예측하고, 그에 따른 부작용을 최소화하는 방안을 모색할 수 있다.

6. 3. 가격 규제 영향 평가

정부가 쌀 가격 안정을 위해 최고 가격제를 시행하면 슬루츠키 방정식을 통해 쌀 소비량 변화를 예측할 수 있다. 상품 수요량의 증가는 대체 효과와 소득 효과 두 부분으로 분해할 수 있는데, 슬루츠키 방정식은 가격 효과가 대체 효과와 소득 효과의 합으로 표현될 수 있음을 보여준다.^[10] 이를 통해 저소득층의 식량 안보에 미치는 영향 등을 분석할 수 있다.

6. 4. 소득 불평등 및 양극화 해소

한국 사회의 주요 과제인 소득 불평등 및 양극화 해소를 위한 정책 수립에 슬루츠키 방정식을 활용할 수 있다.^[9]^[10] 소득 계층별 소비 패턴 변화를 분석하여, 저소득층 지원 정책의 효과를 높이고, 소득 재분배 정책의 방향성을 제시할 수 있다. 슬루츠키 방정식은 가격 효과가 대체 효과와 소득 효과의 합으로 표현될 수 있음을 보여준다.^[10]

참조

_[1] 서적 Microeconomic Theory Thomson Higher Education
_[2] 서적 Microeconomic Analysis https://archive.org/[...] W. W. Norton
_[3] 서적 Microeconomic Analysis https://archive.org/[...] W. W. Norton
_[4] 서적 Microeconomic Analysis https://archive.org/[...] W. W. Norton
_[5] Essay Chapter 8: Slutsky Equation W W Norton
_[6] 서적 経営の経済学有斐閣
_[7] 서적 Microeconomic Theory Thomson Higher Education
_[8] 서적 Microeconomic Analysis https://archive.org/[...] W. W. Norton
_[9] 서적
_[10] 서적

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