맨위로가기

실폐체

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

실폐체는 실수체와 기본 동치이거나, 특정 조건을 만족하는 체를 의미한다. 실폐체는 순서체로 만들 수 있으며, 아르틴-슈라이어 정리에 의해 순서체의 실폐포가 존재한다. 실폐체의 예시로는 실수 대수적 수의 체, 실수체 등이 있으며, 모델 이론에서 완전하고 결정 가능한 o-극소 이론으로 중요한 의미를 지닌다. 실폐체는 아르키메데스 체 또는 비아르키메데스 체일 수 있으며, 기수, 공종성, 가중치 등의 불변량을 갖는다. 일반화 연속체 가설을 가정하면, 연속체의 기수를 가지며 η₁ 성질을 갖는 모든 실폐체는 서로 순서 동형이다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 실폐체 - 비표준 해석학
    비표준 해석학은 아이작 뉴턴과 라이프니츠의 무한소 미적분학에서 시작되어 에이브러햄 로빈슨에 의해 정립된 분야로, 무한소를 이용하여 해석학적 개념을 정의하고 다양한 분야에 응용되며, 넬슨의 내부 집합론과 같은 접근 방식이 존재한다.
  • 실폐체 - 초현실수
    초현실수는 존 콘웨이가 발견한 `{L|R}` 형식의 수학적 개념으로, 실수, 무한소, 무한대 등 다양한 수를 포괄하며 산술 연산이 가능하고 게임 이론 등에 활용된다.
  • 모형 이론 - 괴델의 불완전성 정리
    괴델의 불완전성 정리는 산술을 표현할 수 있는 무모순적 공리계는 그 안에서 증명하거나 반증할 수 없는 명제가 존재하며, 특히 체계 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 수학적 논리 분야의 핵심 정리이다.
  • 모형 이론 - 괴델의 완전성 정리
    괴델의 완전성 정리는 1차 논리 이론에서 모형 이론적 진리와 증명 이론적 진리가 같음을 나타내며, 연역 체계가 완전함을 보장하고 일차 논리에서 통사론적 결과와 의미론적 결과가 동일하다는 것을 의미한다.
  • 체론 - 분해체
    분해체는 체 K 위의 다항식 p(X)가 일차 인자의 곱으로 완전 인수분해되고 그 근들에 의해 K 위에서 생성되는 체 확대 L을 의미하며, 동형을 제외하고 유일하고 갈루아 군과 관련이 있다.
  • 체론 - 체 (수학)
    체는 사칙연산이 자유롭고, 0이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 갖는 가환환으로, 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 기본적인 역할을 하는 대수 구조이다.
실폐체
개요
유형순서체
성질대수적으로 닫히지 않음
대수적 폐포는 대수적으로 닫혀 있음
예시
종류실수체
실수체의 부분체 가운데, 실폐체인 것
p-진수체p-진수체의 실폐 포장

2. 정의

체 K가 '''실폐체'''(實閉體, real closed field영어)라는 것은 다음 조건들이 서로 동치임을 의미한다. 즉, 아래 조건 중 하나라도 만족하면 실폐체이다.

# K의 1차 논리 언어 (K,+,-,0,\cdot,1)는 실수체 \mathbb R의 1차 논리 언어 (\mathbb R,+,-,0,\cdot,1)와 기본 동치이다. 이는 K가 실수체와 동일한 1차 논리적 성질을 가짐을 의미한다.

# K 위에 전순서 \le가 존재하여 다음 조건들을 모두 만족한다.

#* (K,\le)는 순서체를 이룬다.

#* 모든 양의 원소는 K 안에서 제곱근을 가진다. 즉, a>0인 모든 a \in K에 대해 a=b^2을 만족하는 b \in K가 존재한다.

#* 계수가 K에 속하는 모든 홀수 차수 다항식은 K 안에서 적어도 하나의 근을 가진다.

# K는 형식적 실체(formally real field)이며 (즉, -1이 제곱수들의 합으로 표현될 수 없다), 모든 홀수 차수 다항식은 K 안에서 근을 가지고, 모든 원소 a \in K에 대해 a=b^2 또는 a=-b^2인 b \in K가 존재한다.

# K는 대수적으로 닫힌 체가 아니지만, 그 대수적 폐포 \bar K는 K의 유한 확대이다. 즉, 확대 차수 [\bar K:K]가 유한하다.

# K는 대수적으로 닫힌 체가 아니지만, 확대체 K(\sqrt{-1})은 대수적으로 닫힌 체이다.

# K 위에 순서체를 이루는 전순서 \le가 존재하며, 이 순서는 K의 어떤 진정한(proper) 대수적 확대 L/K ([L:K]>1)로도 확장될 수 없다. 즉, L 위에 순서 \le_L를 부여하여 (L,\le_L)가 순서체가 되도록 할 때, \le_L를 K로 제한한 순서가 원래의 \le와 같아질 수 없다.

# K는 형식적 실체이며, K의 어떤 진정한 대수적 확대도 형식적 실체가 아니다. 이는 K가 스스로의 대수적 폐포 속에서 형식적 실체라는 성질에 대해 극대(maximal)임을 의미한다.

# K 위에 순서체를 이루는 전순서 \le가 존재하며, 이 순서에 대해 차수가 0 이상인 모든 다항식 p \in K[x]에 대해 중간값 정리가 성립한다. 즉, 임의의 a,b \in K와 \tilde c \in K에 대해, 만약 a \le b이고 p(a) \le \tilde c \le p(b)라면, p(c)=\tilde c이고 a \le c \le b를 만족하는 c \in K가 존재한다.

# K는 약 o-최소 구조(weakly o-minimal)인 순서체이다.[1]

실폐체 K 위에는 다음과 같이 표준적인 전순서를 부여하여 순서체로 만들 수 있다.

:a \le b \iff \exists c \in K \colon a+c^2=b

이 정의에 따르면, K의 양의 원소는 정확히 0이 아닌 제곱수들과 일치한다.

3. 성질

실폐체 ''F''는 다음의 서로 동치인 조건 중 하나를 만족시키는 체이다.

# ''F''는 실수와 초등 동치(elementarily equivalent)이다. 즉, 체의 1차 언어로 작성된 어떤 문장이 ''F''에서 참일 필요충분조건은 그 문장이 실수체에서 참인 것이다.

# ''F'' 위에 전순서를 부여하여 순서체로 만들 수 있다. 이 순서체에서 ''F''의 모든 양의 원소는 ''F'' 안에서 제곱근을 가지며, ''F''를 계수로 하는 홀수 차수의 모든 다항식은 ''F'' 안에서 적어도 하나의 근을 가진다.

# ''F''는 형식적으로 실수체이며, 모든 홀수 차수 ''F'' 계수 다항식은 ''F'' 안에서 적어도 하나의 근을 가진다. 또한, ''F''의 모든 원소 ''a''에 대해, ''a'' = ''b''2 또는 ''a'' = −''b''2를 만족하는 ''b''가 ''F'' 안에 존재한다.

# ''F''는 대수적으로 닫힌 체가 아니지만, 그 대수적 폐포는 ''F''의 유한 확대이다.

# ''F''는 대수적으로 닫힌 체가 아니지만, 체 확대 ''F''(√−1)는 대수적으로 닫힌 체이다.

# ''F''에는 그 순서를 ''F''의 어떠한 진정한(proper) 대수적 확대로도 확장할 수 없는 순서가 존재한다.

# ''F''는 형식적으로 실수체이며, ''F''의 어떠한 진정한 대수적 확대도 형식적으로 실수체가 아니다. 즉, ''F''는 형식적으로 실수라는 성질에 대해 대수적 폐포 안에서 극대(maximal)이다.

# ''F'' 위에 순서체의 구조를 부여하는 순서가 존재하며, 이 순서에 대해 차수가 0 이상인 ''F'' 위의 모든 다항식에 대해 중간값 정리가 성립한다.

# ''F''는 약 o-최소(weakly o-minimal) 순서체이다.[1]

# ''F''는 실수 닫힌 환이다.

'''아르틴-슈라이어 정리'''(Artin–Schreier theorem영어)는 순서체의 실폐포에 관한 중요한 정리로, 1926년 에밀 아르틴과 오토 슈라이어가 증명했다. 정리에 따르면, 임의의 순서체 (''F'', ≤) 및 그 대수적 폐포 ''F̄''에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 중간체 ''F''re (''F'' ⊆ ''F''re ⊆ ''F̄'')가 존재한다.


  • ''F''re는 실폐체이다.
  • ''F''re 위의 표준적 전순서 ≤''F''re를 ''F''에 제한하면, 이는 원래의 순서 ≤와 같다.


이러한 ''F''re는 ''F'' 위의 동형사상을 제외하고 유일하며, 이를 ''F''의 '''실폐포'''(實閉包, real closure영어)라고 한다.[2] 예를 들어, 유리수의 순서체 '''Q'''의 실폐포는 실수 대수적 수의 체 '''R'''alg이다.

실폐체 간의 모든 환 준동형사상은 자동적으로 순서 동형사상이 된다. 왜냐하면 ''x'' ≤ ''y'' 라는 조건이 ''y'' = ''x'' + ''z''2를 만족하는 ''z''가 존재한다는 것과 동치이기 때문이다.

순서체 (''F'', ''P'')와 ''F''의 갈루아 확장 ''E''가 주어졌을 때, 초른의 보조정리에 의해 ''F''를 포함하고 ''P''의 순서를 확장하는 ''E''의 부분체 중에서 극대인 순서체 확장 (''M'', ''Q'')가 존재한다. 이 ''M''을 (''F'', ''P'')의 ''E'' 안에서의 '''상대적 실폐체'''(relative real closure)라고 부른다. 만약 ''M'' = ''F''이면, (''F'', ''P'')를 ''E''에 대해 '''상대적으로 실폐'''(real closed relative to E)라고 한다. ''E''가 ''F''의 대수적 폐포일 경우, ''F''의 ''E'' 안에서의 상대적 실폐체는 위에서 정의한 ''F''의 실폐포와 같다.[3]

''F''가 (순서가 주어지지 않은) 일반적인 체일 경우에도 실폐포를 생각할 수 있지만, 이는 더 이상 체가 아닐 수 있고 실폐환(real closed ring)이 될 수 있다. 예를 들어, 체 '''Q'''(√2)는 두 가지 순서(√2 > 0 또는 √2 < 0)를 가질 수 있으며, 이에 대응하여 그 실폐포는 환 '''R'''alg × '''R'''alg이다. 하지만 '''Q'''(√2)를 '''R'''의 부분 순서체(√2 > 0인 순서)로 간주하면, 그 실폐포는 다시 체 '''R'''alg이다.

4. 예시

다음과 같은 체들은 실폐체를 이룬다.


  • 실수 대수적 수 체 \bar{\mathbb Q}\cap\mathbb R
  • 계산 가능한 수 체
  • 정의 가능한 실수 체
  • 실수 체 \mathbb R
  • 준초실수체
  • 초실수 체
  • 실수 계수 퓌죄 급수 체 \mathbb R((x,x^{1/2},x^{1/3},x^{1/4},\dots))
  • 레비-치비타 체
  • 초현실수 체 (이는 진정한 모임이며, 집합이 아니다)

5. 모델 이론

실폐체의 이론은 대수학에서 시작되었지만, 모델 이론에서 중요한 의미를 가진다. 순서체의 공리계에 다음 두 가지를 추가하면 일차 이론이 얻어진다.


  • 모든 양의 원소가 제곱근을 가진다는 공리
  • 모든 홀수 차수 다항식이 적어도 하나의 근을 가진다는 공리 도식 (모든 홀수 차수 d에 대해)


이러한 공리들은 모두 일차 논리로 표현될 수 있다. 실수 닫힌 체의 형식 언어 \mathcal{L}_\text{rcf}는 덧셈과 곱셈 연산 기호, 상수 0과 1, 순서 관계 \le (등호 포함)를 포함한다. 이 언어에서 실수 닫힌 체의 (일계) 이론 \mathcal{T}_\text{rcf}는 위의 공리들로부터 유도되는 모든 문장으로 구성되며, 이는 실수 체에 대해 참인 모든 일계 문장의 집합과 같다.

타르스키는 \mathcal{T}_\text{rcf}가 완전하다는 것, 즉 모든 \mathcal{L}_\text{rcf} 문장이 공리로부터 참 또는 거짓으로 증명될 수 있음을 보였다. 또한 \mathcal{T}_\text{rcf}가 결정 가능하다는 것, 즉 문장의 참/거짓을 결정하는 알고리즘이 존재함을 증명했다. 이는 양화사 제거를 통해 이루어졌는데, 자유 변수를 포함하는 \mathcal{L}_\text{rcf} 공식이 주어지면, 동일한 자유 변수를 가지며 동등한(같은 변수 값에 대해 참/거짓이 같은) 양화사가 없는 공식을 생성하는 알고리즘이 있다는 것이다. 타르스키의 증명은 슈투름 정리의 일반화를 사용하며, 자유 변수가 없는 양화사 없는 공식의 진실성은 쉽게 확인할 수 있으므로 결정 절차를 제공한다. 이 결과는 약 1930년에 얻어졌고 1948년에 발표되었다.[4]

타르스키-자이덴베르크 정리는 이 결과를 사영 정리로 확장한다. 실수 닫힌 체 \mathbf{R}에서, n개의 자유 변수를 가진 공식은 \mathbf{R}^n의 부분 집합, 즉 공식을 만족하는 점들의 집합을 정의하는데, 이를 준대수 집합이라고 한다. \mathbf{R}^n에서 \mathbf{R}^k로의 사영은 n-튜플을 특정 k개의 변수에 해당하는 k-튜플로 매핑하는 함수이다. 사영 정리는 준대수 집합의 사영 역시 준대수 집합이며, 원래 집합을 정의하는 양화사 없는 공식이 주어지면 그 사영에 대한 양화사 없는 공식을 생성하는 알고리즘이 존재한다고 말한다. 사실상 사영 정리는 양화사 제거와 동치인데, 공식 P(x,y)로 정의된 준대수 집합의 사영은 (\exists x) P(x,y)로 정의되기 때문이다 (여기서 x는 제거된 변수, y는 남은 변수).

실수의 일계 이론(덧셈과 곱셈 사용)의 결정 가능성은 사용되는 연산과 함수에 크게 의존한다. 예를 들어, 사인 함수나 지수 함수 같은 다른 함수 기호를 추가하면 결정 불가능한 이론이 될 수 있다 (리처드슨 정리, 실수의 일계 이론의 결정 가능성 참고). 이는 괴델과 튜링이 보인 자연수의 일계 이론(덧셈과 곱셈 사용)의 불완전성 및 결정 불가능성과 대조된다. "x는 정수이다"라는 명제는 언어 \mathcal{L}_\text{rcf}에서 일계 공식으로 표현할 수 없으므로 모순은 없다.

타르스키의 원래 양자 소거 알고리즘은 계산 복잡도가 비기본적(non-elementary)이다. 즉, 입력 공식 크기 n에 대해 실행 시간을 2^{2^{\dots^n}} (지수 탑) 형태로 제한할 수 없다. 조지 E. 콜린스가 도입한 원통 대수 분해(Cylindrical Algebraic Decomposition, CAD)는 복잡도가 d^{2^{O(n)}}인 훨씬 실용적인 알고리즘을 제공한다. 여기서 n은 총 변수(자유 및 결합)의 수, d는 공식 내 다항식 차수들의 곱, O(n)는 빅 오 표기법이다.

Davenport와 Heintz (1988)는 이 최악 경우 복잡도가 양자 소거에 거의 최적임을 보였다. 그들은 길이 O(n)이고 상수 차수 다항식을 포함하는 공식족 \Phi_n (n은 양화사 수)을 구성하여, \Phi_n과 동등한 어떤 양화사 없는 공식이라도 차수가 2^{2^{\Omega(n)}}이고 길이가 2^{2^{\Omega(n)}}인 다항식을 포함해야 함을 증명했다 (\Omega(n)는 빅 오메가 표기법). 이는 양자 소거의 시간 및 공간 복잡도가 본질적으로 이중 지수 시간임을 시사한다.

결정 문제에 대해 Ben-Or, 코젠, 라이프 (1986)는 실수 닫힌 체의 이론이 EXPSPACE에서, 따라서 이중 지수 시간 내에 결정 가능하다고 주장했으나, 그들의 논증(특히 변수가 둘 이상일 때)은 일반적으로 결함이 있는 것으로 간주된다 (Renegar (1992) 참조).

단순한 존재론적 공식, 즉 \exists x_1, \dots, \exists x_k P_1(x_1, \dots, x_k) \bowtie 0 \land \dots \land P_s(x_1, \dots, x_k) \bowtie 0 형태 (\bowtie는 <, >, = 중 하나)의 경우 복잡도는 더 낮다. Basu와 로이 (1996)는 이러한 공식의 진실성을 결정하는 알고리즘을 제시했는데, 이는 s^{k+1}d^{O(k)} 산술 연산을 사용하며 PSPACE에 속한다.

타르스키의 공리계는 유클리드 기하학의 일차 ("초등") 부분에 대한 공리계이기도 하다. 이 공리들을 사용하면 직선 위의 점들이 실수 닫힌 체 R을 형성함을 보일 수 있고, 좌표를 도입하여 유클리드 평면을 R^2와 동일시할 수 있다. 실수 닫힌 체 이론의 결정 가능성을 이용하여, 타르스키는 유클리드 기하학의 초등 이론 역시 완전하고 결정 가능함을 증명했다.[4][5]

실폐체의 이론은 o-극소 이론이며, 이는 모델 이론에서 중요한 성질이다. 반대로, 모든 약 o-최소 순서체는 실폐체여야 한다.

6. 순서론적 성질

실수체의 중요한 성질 중 하나는 아르키메데스 체라는 점이다. 이는 임의의 실수에 대해 그 절댓값보다 큰 정수가 존재한다는 아르키메데스 성질을 만족한다는 의미이다. 그러나 이 명제는 순서가 있는 체의 1차 언어로는 표현할 수 없는데, 왜냐하면 해당 언어에서는 정수를 양화할 수 없기 때문이다.

비아르키메데스 순서체인 실폐체도 있다. 예를 들어, 초실수 체는 실수 닫힌 체이면서 비아르키메데스이다. 이러한 체는 무한히 큰(어떤 정수보다 큰) 원소 및 무한소(양수이지만 임의의 양의 유리수보다 작은) 원소를 포함한다.

아르키메데스 성질은 공종성의 개념과 관련이 있다. 순서 집합 ''F''에 포함된 집합 ''X''는 ''F''의 모든 ''y''에 대해 ''y'' < ''x''인 ''X''의 ''x''가 존재하면 ''F''에서 공종이다. 즉, ''X''는 ''F''에서 무경계 수열이다. ''F''의 공종성은 가장 작은 공종 집합의 기수이다. 예를 들어, 자연수는 실수에서 공종이고, 따라서 실수의 공종성은 \aleph_0이다.

따라서 실폐체 ''F''의 특성을 정의하는 다음 불변량이 있다:


  • ''F''의 기수.
  • ''F''의 공종성.


여기에 다음을 추가할 수 있다:

이 세 개의 기수는 임의의 실폐체의 순서 속성에 대해 많은 것을 알려주지만, 특히 연속체 가설을 사용하지 않으려는 경우, 이들이 무엇인지 발견하기 어려울 수 있다. 또한 다음은 유지될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있는 특정 속성이다:

  • 체 ''F''는 ''F''가 ''K''에서 조밀하도록 ''F''를 적절하게 포함하는 순서 체 ''K''가 없는 경우 '''완비'''이다. ''F''의 공종성이 ''κ''인 경우, 이는 ''κ''로 인덱싱된 코시 수열이 ''F''에서 수렴한다는 것과 같다.
  • 순서 체 ''F''는 서수 ''α''에 대해 η''α'' 집합 속성을 갖는다. 이는 ''F''의 두 부분 집합 ''L''과 ''U''의 크기가 \aleph_\alpha 미만이고 ''L''의 모든 원소가 ''U''의 모든 원소보다 작을 때, 모든 ''L''의 원소보다 크고 모든 ''U''의 원소보다 작은 ''F''의 원소 ''x''가 존재한다는 의미이다. 이는 모델 이론적 속성인 포화 모델인 것과 밀접하게 관련이 있다. 두 개의 실폐체는 η''α''이다. 이는 그들이 \aleph_\alpha-포화인 경우와 동일하며, 또한 크기가 \aleph_\alpha인 두 개의 η''α'' 실폐체는 순서 동형이다.

7. 아르틴-슈라이어 정리

'''아르틴-슈라이어 정리'''(Artin–Schreier theorem영어)는 순서체의 실폐포의 존재성과 유일성을 다루는 중요한 정리이다. 이 정리는 1926년 에밀 아르틴과 오토 슈라이어가 증명하였다.[2]

정리의 내용은 다음과 같다: 임의의 순서체 (F, \le) 및 그 대수적 폐포 \bar F에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 중간체 F \le K^{\operatorname{re}} \le \bar F가 존재한다.


  • K^{\operatorname{re}}는 실폐체이다.
  • K^{\operatorname{re}} 위의 표준적인 전순서 \le_{K^{\operatorname{re}}}를 F에 제한하면, 이는 원래의 순서 \le와 같다.


이러한 체 K^{\operatorname{re}}를 F의 '''실폐포'''(實閉包, real closure영어)라고 부른다. 아르틴-슈라이어 정리는 이 실폐포 K^{\operatorname{re}}가 F 위에 자명한 동형사상을 제외하고 유일하게 존재함을 보장한다.[2] 실폐체 사이의 모든 환 준동형사상은 자동으로 순서를 보존하는 순서 동형사상이 되는데, 이는 x \le y라는 조건이 y = x + z^2를 만족하는 z가 존재하는 것과 동치이기 때문이다. 예를 들어, 유리수 \mathbb{Q}의 순서체에 대한 실폐포는 대수적 수 중 실수인 것들의 체, 즉 실대수적 수체 \mathbb{R}_\mathrm{alg}이다.

순서체 (F, P)와 F의 갈루아 확장 E가 주어졌을 때, 조른의 보조정리를 이용하면 F를 포함하고 P의 순서를 확장하는 E의 부분체 중 극대인 순서체 확장 (M, Q)가 존재함을 보일 수 있다. 이 M과 그 순서 Q를 (F, P)의 E에서의 '''상대적 실폐포'''라고 부른다. 만약 M이 F와 같다면, (F, P)를 E에 '''상대적으로 실폐'''라고 한다. 특히 E가 F의 대수적 폐포일 경우, F의 E에서의 상대적 실폐포는 위에서 정의한 F의 '''실폐포'''와 같다.[3]

F가 일반적인 체일 경우(순서가 주어지거나 순서화 가능할 필요는 없음), F는 실폐포를 가지지만 이는 더 이상 체가 아닐 수 있고 실폐환이 될 수 있다. 예를 들어, 체 \mathbb{Q}(\sqrt 2)의 실폐포는 환 \mathbb{R}_\mathrm{alg} \times \mathbb{R}_\mathrm{alg}이다. 여기서 두 개의 \mathbb{R}_\mathrm{alg}는 \mathbb{Q}(\sqrt 2)가 가질 수 있는 두 가지 다른 순서에 해당한다. 반면, \mathbb{Q}(\sqrt 2)를 \mathbb{R}의 순서화된 부분체로 간주하면, 그 실폐포는 다시 체 \mathbb{R}_\mathrm{alg}가 된다.

8. 일반화 연속체 가설

실수 닫힌 체의 특성은 일반화 연속체 가설(GCH)을 가정하면 훨씬 간단해진다. GCH가 성립한다면, 연속체의 기수를 가지며 ''η''1 성질을 갖는 모든 실수 닫힌 체는 서로 순서 동형이다.

이러한 유일한 실수 닫힌 체 ''F''는 \mathbb{R}^{\mathbb{N}}/M과 같은 초거듭제곱으로 정의될 수 있다. 여기서 ''M''은 \mathbb{R}과 순서 동형인 체를 유도하지 않는 극대 아이디얼이다. 이 체 ''F''는 비표준 해석학에서 가장 흔히 사용되는 초실수체이며, 그 유일성은 GCH와 동치이다. (GCH를 가정하지 않더라도 연속체의 기수가 \aleph_\beta라면, 크기가 \aleph_\beta인 ''η''''β'' 체는 유일하다.)

또한, ''F''를 구성하기 위해 반드시 초거듭제곱이 필요한 것은 아니다. 기수 \aleph_1을 가진 ''η''1 군인 전순서 아벨 가분군 ''G'' 위에서 정의된 형식적 멱급수체 \mathbb{R}((G))의 부분체로서, 가산 개의 항을 제외하고 모든 항이 0인 급수들의 집합으로 더 구성적으로 정의할 수도 있다.

그러나 이 체 ''F''는 완비체가 아니다. ''F''의 완비화를 통해 얻어지는 체 ''K''는 ''F''보다 더 큰 기수를 가진다. ''F''가 연속체의 기수(GCH 가정 하에 \aleph_1)를 가진다면, 그 완비화 ''K''는 기수 \aleph_2를 가지며 ''F''를 조밀한 부분체로 포함한다.

''K''는 초거듭제곱으로 만들어진 체는 아니지만, 역시 초실수체이므로 비표준 해석학에서 사용하기에 적합하다. ''K''는 실수체의 고차원 유사체로 볼 수 있다. 즉, 기수가 \aleph_1이 아닌 \aleph_2이고, 공종성이 \aleph_0이 아닌 \aleph_1이며, 무게가 \aleph_0이 아닌 \aleph_1이다. 또한, ''η''0 성질(임의의 두 실수 사이에 다른 실수가 존재한다는 성질) 대신 ''η''1 성질을 만족한다.

참조

[1] 간행물 1998
[2] 서적 1993
[3] 간행물 2006
[4] 논문 Review: A decision method for elementary algebra and geometry by A. Tarski https://www.ams.org/[...]
[5] 웹사이트 Euclidean geometry#TarskiAxioms https://ncatlab.org/[...]


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com