형식적 실체

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 순서체와의 관계
5. 예
6. 실폐체
참조

1. 개요

형식적 실체는 체 K에 대해 수준이 무한대인 체를 의미하며, 이는 -1을 제곱수의 합으로 나타낼 수 없음을 뜻한다. 형식적 실체는 순서체로 만들 수 있으며, 표수는 0이다. 모든 실폐체는 형식적 실체에 속하며, 대수적 수체의 수준은 1, 2, 4 또는 무한대이다. 형식적 실체이면서 진정한 대수적 확대를 가지지 않는 체는 실폐체라고 불린다.

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체론 - 분해체
분해체는 체 K 위의 다항식 p(X)가 일차 인자의 곱으로 완전 인수분해되고 그 근들에 의해 K 위에서 생성되는 체 확대 L을 의미하며, 동형을 제외하고 유일하고 갈루아 군과 관련이 있다.
체론 - 체 (수학)
체는 사칙연산이 자유롭고, 0이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 갖는 가환환으로, 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 기본적인 역할을 하는 대수 구조이다.

형식적 실체
정의
설명	형식적으로 실체는 순서 매김을 장착할 수 있는 체다. 이는 모든 제곱의 합이 0인 경우 각 항이 0이어야 함을 의미한다. 형식적으로 실체는 -1이 제곱의 합이 될 수 없는 체로도 정의할 수 있다.
예시
예시	실수의 체 (R) 유리수의 체 (Q) 대수적 수체 실수를 계수로 가지는 유리 함수체 (R(X)) 형식적으로 실체인 체의 형식적 제곱근을 첨가하여 얻어지는 체
특성
특성	형식적으로 실체인 체는 반드시 특성이 0이다. 특성이 0이 아닌 체는 유한한 체이며, 유한한 체에서 -1은 항상 제곱의 합으로 표현될 수 있다.
관련 개념
실체 폐체	형식적으로 실체인 체의 실체 폐체는 대수적으로 닫힌 체는 아니다.
양의 준순서	형식적으로 실체인 체의 제곱의 합은 그 체의 양의 준순서를 형성한다.
참고 문헌
참고 문헌	永田雅宜 (1985). 《可換体論》. 基礎数学選書 12. 森北出版. ISBN 4-627-02120-2.

2. 정의

체 $K$ 의 '''수준'''(水準, Stufe|슈투페^de) $\operatorname{Stufe}K$ 는 $-1$ 을 제곱수들의 합으로 나타낼 때 필요한 항의 최소 개수를 의미한다. 만약 $-1$ 을 제곱수들의 합으로 나타낼 수 없다면, 그 체의 수준은 무한대( $\infty$ )로 정의된다. 수학적으로 표현하면 다음과 같다.

: $\operatorname{Stufe}K=\min\left\$

3. 성질

모든 체

K

의 수준(Stufe)은 항상 무한대이거나 2의 거듭제곱이다.

:

\operatorname{Stufe}K\in\{\infty,1,2,4,8,\dots\}

만약

K

의 표수가 2라면, 그 수준은 항상 1이다.

:

\operatorname{char}K=2\implies\operatorname{Stufe}K=1

만약

K

의 표수가 0보다 크다면, 그 수준은 항상 1 또는 2이다.

:

\operatorname{char}K>0\implies\operatorname{Stufe}K\in\{1,2\}

만약

K

에서 모든 원소가 제곱근을 갖는다면,

K

의 수준은 항상 1이다.

:

\left(\forall a\in K\exists b\in K\colon b^2=a\right)\implies\operatorname{Stufe}K=1

'''지겔 정리'''(Siegel’s theorem^영어)에 따르면, 대수적 수체의 수준은 1, 2, 4, 또는 ∞이다.

체

K

의 수준은 피타고라스 수

\operatorname{Pyth}K

와 다음과 같은 부등식을 만족시킨다.

:

\operatorname{Pyth}K\le\operatorname{Stufe}K+1

형식적 실수가 아닌 체의 경우, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{Stufe}K<\infty\implies\operatorname{Stufe}K\le\operatorname{Pyth}K\le\operatorname{Stufe}K+1

체

F

가 '''형식적 실체'''라는 것은 다음 동등한 조건 중 하나를 만족하는 경우이다.^[1]^[2]^[4]

$-1$ 은 $F$ 에서 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다. 즉, $F$ 의 수준(Stufe)은 무한대이다. 이는 $F$ 의 표수가 0이어야 함을 의미한다. 왜냐하면 표수 $p$ 인 체에서는 $-1$ 이 1을 $p-1$ 번 더한 것과 같기 때문이다. 이 조건은 일계 논리에서 각 변수의 수에 대해 하나의 문장으로 표현될 수 있다: $\forall x_1 (-1 \ne x_1^2)$ , $\forall x_1 x_2 (-1 \ne x_1^2 + x_2^2)$ , ...
$F$ 의 표수는 2가 아니며, $F$ 에서 제곱수의 합으로 나타낼 수 없는 원소가 존재한다.
$F$ 의 원소들의 제곱의 합이 0과 같다면, 합에 포함된 각 원소는 반드시 0이어야 한다.

이 세 조건이 동등하다는 것은 쉽게 알 수 있다. 또한, 순서체는 이 세 조건을 만족해야 한다.

정의에 따라 형식적 실체에서

1^2 + 1^2 + \dots + 1^2

형태의 원소가 0이 될 수 없으므로(

1 = 1^2

은 제곱수), 형식적 실체의 표수는 반드시 0이다.

모든 순서체는 형식적 실체이다.^[6] 순서체에서는 모든 제곱수가 양수이고 그 합도 양수이지만,

-1

은 양수가 아니기 때문이다. 역으로, 아르틴과 슈라이어는 모든 형식적 실체

F

에 적절한 순서

\le

를 부여하여 순서체

(F, \le)

로 만들 수 있음을 증명했다.^[4]^[7] 이는

F

의 제곱원의 합 전체가 이루는 부분 집합

S

는 전양의 원뿔(prepositive cone)을 이루므로, 초른의 보조정리에 의해

S

를 포함하고

-1

을 포함하지 않는 극대 전양의 원뿔로서 양수뿔

P

를 얻을 수 있기 때문이다. 이때 순서

\le

를

:

a \le b \iff b - a \in P

로 정의하면

(F, \le)

는 순서체가 된다.

모든 실폐체는 형식적 실체이다. 형식적 실체이면서 더 이상 형식적 실체인 대수적 확대를 가지지 않는 체는 실폐체이다.^[3] 형식적 실체

K

와

K

를 포함하는 대수적으로 닫힌 체 Ω가 주어졌을 때,

K

를 포함하는 Ω 내의 실폐체가 존재한다. 이를

K

의 '''실폐포'''(real closure^영어)라고 하며, 유일하게 존재한다. 실폐체는 유일한 방식으로 순서를 정할 수 있으며,^[3] 음이 아닌 원소는 정확히 제곱수이다.

4. 순서체와의 관계

순서체는 반드시 형식적 실체이다.^[6] 순서체에서는 모든 제곱 원소가 양수이고, 제곱수들의 합 역시 양수이다. 반면, -1은 양수가 아니므로 제곱수의 합으로 표현될 수 없다. 따라서 순서체는 형식적 실체의 조건(-1이 제곱수의 합이 아님)을 만족한다.

역으로, 모든 형식적 실체는 적절한 전순서를 부여하여 순서체로 만들 수 있다. 이는 에밀 아르틴과 오토 슈라이어가 증명한 아르틴-슈라이어 정리이다.^[4] 증명의 핵심 아이디어는 다음과 같다. 형식적 실체 ''F''에서 제곱수들의 합으로 이루어진 집합 ''S''는 전 양수뿔(prepositive cone)을 이룬다. 초른의 보조정리를 이용하면, ''S''를 포함하면서 -1은 포함하지 않는 극대 전 양수뿔, 즉 양수뿔 ''P'' ⊂ ''F''를 찾을 수 있다. 이 양수뿔 ''P''를 사용하여 체 ''F''에 순서 $\le$ 를 다음과 같이 정의할 수 있다.^[7]

$a \le b \iff b - a \in P$

이렇게 정의된 순서 $\le$ 에 대해 $(F, \le)$ 는 순서체가 된다.^[7]

5. 예

대표적인 체의 수준은 다음과 같다. 체의 수준이 무한대(∞)인 경우, 그 체는 형식적 실체이다.

체	수준
대수적으로 닫힌 체	1
실폐체	∞
유리수체 $\mathbb Q$	∞
유한체 $\mathbb F_q$ , $q\equiv3\pmod4$	2
유한체 $\mathbb F_q$ , $q\not\equiv3\pmod4$	1
비아르키메데스 국소체 $K$ , 이산 값매김환 $\mathcal O_K$ 의 잉여류체 $\mathbb F_{p^n}$ 의 표수가 홀수인 경우	$p$
2진수체 $\mathbb Q_2$	4
가우스 유리수 $\mathbb Q(\sqrt{-1})$	1
이차 수체 $\mathbb Q(\sqrt{-2})$	2
이차 수체 $\mathbb Q(\sqrt{-7})$	4

실수체 '''R'''나 유리수체 '''Q'''는 수준이 ∞이므로 형식적 실체이다.
반면, 복소수체 '''C'''는 수준이 1이므로 형식적 실체가 아니다. 실제로, $-1 = i^2$ 와 같이 -1이 '''C'''의 원소인 ''i''의 제곱으로 표현될 수 있다.

6. 실폐체

자신 외에 다른 형식적 실 대수적 확대를 갖지 않는 형식적 실체를 '''실폐체'''(real closed field)라고 한다.^[8]^[3] 즉, 형식적 실체 ''R''가 실폐체라는 것은, ''R''를 포함하는 형식적 실 대수적 확대체 ''E''가 있다면 반드시 ''E'' = ''R''이라는 의미이다.^[9]

실폐체는 다음과 같은 중요한 성질을 가진다.

임의의 홀수 차수 다항식은 적어도 하나의 근을 가진다.
모든 양의 원소는 제곱근을 가지며, 이는 그 체의 유일한 순서에서 음이 아닌 원소가 정확히 제곱수라는 것과 같다.^[3]
유일한 방식으로 순서를 정하여 순서체로 만들 수 있다.^[8]^[3]

임의의 형식적 실체 ''K''에 대해, ''K''를 포함하는 대수적으로 닫힌 체 Ω 안에는 ''K''를 포함하는 실폐체인 부분체(또는 체 확대)가 존재한다.^[3] 이러한 실폐체를 ''K''의 '''실폐포'''(real closure)라고 부른다.^[8]

참조

_[1] 서적 Theorem 15.1
_[2] 서적 1973
_[3] 서적 1993
_[4] 서적 Real Algebraic Geometry https://books.google[...]
_[5] 서적 Real Analysis https://books.google[...]
_[6] 문서 この二つの代数的構造は（型の）異なる代数的構造である。実際、順序体は和と積のふたつの演算と全順序というひとつの関係を持つが、形式的実体は和と積の二つの演算を持つのみである。
_[7] 간행물 Lectures on Formally Real Fields https://books.google[...] Instituto de Matemática Pura e Aplicada
_[8] 서적 1993
_[9] 문서 Notes on real-closed fields http://euclid.colora[...]

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