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쌍순환군

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목차

1. 개요

쌍순환군은 아벨 군과 차수가 2인 원소를 사용하여 정의되는 군의 일종이다. 특히 짝수 크기의 순환군에 대한 쌍순환군은 Dic(n)으로 표기되며, 사원수 가역원군의 부분군으로 나타낼 수 있다. 쌍순환군은 이진 다면체군의 일종으로, 이진 이면체군으로도 알려져 있으며, 이면체군과 유사하지만 다른 구조를 가진다. 일반화된 이중 순환 군은 아벨 군과 추가 원소로 생성되며, 쌍순환군은 이진 삼각 군족의 경우로 정의된다. 사원수군은 쌍순환군의 한 예시이며, 브라우어-스즈키 정리는 쌍순환군과 관련된 유한군의 성질을 설명한다.

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쌍순환군
개요
이름쌍순환군
영어 이름Dicyclic group
독일어 이름Verallgemeinerte Quaternionengruppe (일반화 사원수군)
다른 이름일반화 사원수군
이중 순환군
표기
쇤플리스 표기법Q_{4m}
콕서터 표기법⟨n,2,2⟩
다른 표기법Dic(n) 또는 <2,2,n>
정의
생성원a, b
관계a^{2m} = 1, b^2 = a^m, bab^{-1} = a^{-1}
성질
위수4m
군 종류유한군

2. 정의

아벨 군 A와 차수가 2인 원소 y\in A가 주어졌을 때, '''쌍순환군''' \operatorname{Dic}(A,y)는 다음 조건들을 만족시키는 군 G\ge A이다.[7]


  • 부분군의 지표는 [G:A]=2이다.
  • G는 A와 어떤 x\in G\setminus A에 의하여 생성되며, x^2=y이며 x^{-1}ax=a^{-1}이다.


이러한 군은 항상 유일하다. 짝수 크기의 순환군 \operatorname{Cyc}(2n)=\langle a|a^{2n}=1\rangle의 경우, 차수가 2인 원소 a^n이 유일하게 존재한다. \operatorname{Cyc}(2n)에 대한 쌍순환군을 \operatorname{Dic}(n)이라고 하며, 이 군의 표시는 다음과 같다.[7]

:\operatorname{Dic}(n)=\langle a,x|a^{2n}=1,\;x^2=a^n,\;x^{-1}ax=a^{-1}\rangle

이는 사원수 가역원군의 부분군으로 나타낼 수 있다.

:\operatorname{Dic}(n)=\{\exp(i\pi m/n)j^k\colon m,k\in\mathbb Z\}

각 정수 ''n'' > 1에 대해, 쌍순환군 Dic''n''은 다음으로 생성되는 단위 사원수의 부분군으로 정의될 수도 있다.

:\begin{align}

a & = e^\frac{i\pi}{n} = \cos\frac{\pi}{n} + i\sin\frac{\pi}{n} \\

x & = j

\end{align}

Dic''n''의 모든 원소는 0 ≤ ''m'' < 2''n''이고 ''l'' = 0 또는 1일 때, ''a''''m''''x''''l''로 고유하게 표기될 수 있다. 곱셈 규칙은 다음과 같다.

  • a^k a^m = a^{k+m}
  • a^k a^m x = a^{k+m}x
  • a^k x a^m = a^{k-m}x
  • a^k x a^m x = a^{k-m+n}


이로부터 Dic''n''은 차수 4''n''을 갖는다.[3]

3. 성질

다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

:1\to A\hookrightarrow\operatorname{Dic}(A,y)\twoheadrightarrow\operatorname{Cyc}(2)\to 1

그러나 이는 분할 완전열이 아니다.

다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

:\begin{matrix}

\operatorname{Dic}(A,y)&\twoheadrightarrow&\operatorname{Dih}(A/\langle y\rangle)\\

\cup&&\cup\\

A&\twoheadrightarrow& A/\langle y\rangle

\end{matrix}

여기서 \operatorname{Dih}(A/\langle y\rangle)\cong(A/\langle y\rangle)\rtimes\operatorname{Cyc}(2)는 정이면체군이다.

각 ''n'' > 1에 대해 쌍순환군 Dic''n''는 4''n''차의 비가환군이다. (''n'' = 1인 경우는 순환군 ''C''4이다.)

''A'' = 를 Dic''n''의 ''a''에 의해 생성된 부분군이라고 하면, ''A''는 2''n''차의 순환군이므로, [Dic''n'':''A''] = 2이다. 지수 2의 부분군으로서, 자동적으로 정규 부분군이다. 몫군 Dic''n''/''A''는 2차의 순환군이다.

Dic''n''은 가해군이다. ''A''는 정규 부분군이며, 가환군이므로, 그 자체로 가해군이다.

4. 이진 다면체군

쌍순환군은 이진 다면체군의 일종으로, 핀 군 Pin−(2)의 부분군 중 하나이며, 이는 다시 스핀 군 Spin(3)의 부분군이다. 이 맥락에서 '''이진 이면체군'''으로 알려져 있다.

쌍순환군은 이면체군과 유사해 보이지만, ''x''2 = ''a''''n''이라는 점이 다르며, 이로 인해 다른 구조가 생성된다.

사원수와 공간 회전에서 설명된 단위 사원수군에서 3차원 회전군으로의 자연스러운 2대 1 준동형사상이 있다. 쌍순환군은 단위 사원수 내부에 포함될 수 있으므로, 이 준동형사상 하에서 쌍순환군의 이미지는 이면체 대칭군 Dih''n''이다. 이러한 이유로 쌍순환군은 '''이진 이면체군'''이라고도 한다.

5. 일반화

''A''를 위수 2의 특정 원소 ''y''를 갖는 아벨 군이라고 하자. 군 ''G''가 '''일반화된 이중 순환 군'''이라고 불리며, '''Dic(''A'', ''y'')'''로 표기하고, ''A''와 추가 원소 ''x''에 의해 생성되고, [''G'':''A''] = 2, ''x''2 = ''y''이며, ''A''의 모든 ''a''에 대해 ''x''−1''ax'' = ''a''−1을 만족하는 경우이다.

짝수 위수의 순환군에는 항상 위수 2의 고유한 원소가 있기 때문에, 이중 순환 군은 단지 일반화된 이중 순환 군의 특정 유형일 뿐이다.

이중 순환 군은 이진 삼각 군족 \Gamma(p,q,r)의 경우 (p,q,r)=(2,2,n) 이며, 표현식에 의해 정의된다:[https://groupprops.subwiki.org/wiki/Binary_von_Dyck_group]

\langle a,b,c \mid a^p = b^q = c^r = abc \rangle.
추가 관계 abc = e로 몫을 취하면 일반적인 삼각 군이 생성되며, 이 경우 이면체 몫 \mathrm{Dic}_n\rightarrow \mathrm{Dih}_n이 된다.

6. 예

낮은 차수의 쌍순환군은 다음과 같다.


  • \operatorname{Dic}(1)\cong\operatorname{Cyc}(4)
  • \operatorname{Dic}(2)\cong Q_8 (사원수군)
  • \operatorname{Dic}(3)\cong\operatorname{Cyc}(3)\rtimes\operatorname{Cyc}(4)
  • \operatorname{Dic}(6)\cong\operatorname{Cyc}(3)\rtimes Q_8
  • \operatorname{Dic}(7)\cong\operatorname{Cyc}(7)\rtimes\operatorname{Cyc}(4)


\operatorname{Dic}(3)의 반직접곱 표현에서, \operatorname{Cyc}(4)의 \operatorname{Cyc}(3) 위의 작용은 다음과 같다.

:\operatorname{Cyc}(3)=\langle a|a^3=1\rangle

:\operatorname{Cyc}(4)=\langle b|b^4=1\rangle

:b\colon\begin{cases}

1\mapsto 1\\a\mapsto a^2\\a^2\mapsto a\end{cases}

7. 사원수군

'''사원수군'''(quaternion group)은 Q_8 = \langle\, i, j, k \mid i^2 = j^2 = k^2 = ijk \,\rangle 라는 표현으로 정의된다.[6] 이는 위수 8의 비가환군으로, 모든 진부분군은 순환적이다. 원소 ''ijk'' \in ''Q''는 유일한 대합으로 중심적이며, -1로 쓰이는 경우가 많다. 이러한 기호는 해밀턴의 사원수환의 생성계에서 유래한다. 군의 생성원을

:

i \mapsto \begin{bmatrix} \sqrt{-1} & 0 \\ 0 & -\sqrt{-1} \end{bmatrix}, \quad

j \mapsto \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \quad

k \mapsto \begin{bmatrix} 0 & \sqrt{-1} \\ \sqrt{-1} & 0 \end{bmatrix}



처럼 대응시킴으로써, 충실한 행렬 표현을 얻을 수 있다. 사원수군은 해밀턴 군(Hamilton group), 즉, 모든 부분군이 정규 부분군인 비가환군의 최소 위수의 예이다. 자기 동형군은 4차 대칭군과 동형이다.

8. 브라우어-스즈키 정리

유한군 G가 갖는 실로우 부분군이 일반 사원수군과 동형이라면, 최대의 홀수 위수 정규 부분군 에 의한 몫 의 중심은 위수 이다. 특히, 이러한 유한군 G는 결코 단순군이 아니다.

참조

[1] 서적 Introduction to Abstract Algebra John Wiley & Sons, Inc. 1999
[2] 문서 Coxeter&Moser: Generators and Relations for discrete groups: : Rl = Sm = Tn = RST
[3] 서적 Fundamentals of Group Theory: An Advanced Approach Springer
[4] 문서 'は「4元数型の群」、{{harvtxt|鈴木|1977|p=255}}は「4元数形の2群」という言い方をしている。'
[5] 문서 '「2重巡回群」（{{lang-en-short|dicyclic group}}）と呼ばれることもある'
[6] 문서 一般四元数群の対応する表示は Q_{4m} = \langle\, i, j, k \mid i^m = j^2 = k^2 = ijk \,\rangle である
[7] 서적 Fundamentals of group theory. An advanced approach https://archive.org/[...] Birkhäuser 2012


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