아르키메데스의 다면체는 단일 꼭짓점 배치를 가지며 고도로 대칭적인 특징을 보이는 13종류의 다면체를 말한다. 이러한 다면체는 아르키메데스의 이름을 따서 명명되었으며, 각 꼭짓점에서 만나는 정다각형의 종류에 따라 특징지어진다. 아르키메데스는 이 다면체들을 연구했지만, 그의 저작은 유실되었다. 르네상스 시대에 예술가와 수학자들은 이 다면체들에 관심을 가졌고, 요하네스 케플러는 13개의 다면체를 재발견했다. 아르키메데스 다면체의 쌍대는 카탈란 다면체라고 불린다.
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아르키메데스의 다면체 - 다듬은 정육면체 깎은 정육면체는 정육면체의 꼭짓점을 잘라 만든 다면체로, 6개의 정팔각형과 8개의 정삼각형으로 구성되고, 마름모 입방팔면체 등과 연관되며, 데카르트 좌표계와 트리보나치 수열로 꼭짓점 위치를 나타낼 수 있고, 키랄성 및 팔면체 대칭성을 가지며 여러 분야에 활용됩니다.
아르키메데스의 다면체 - 깎은 정이십면체 깎은 정이십면체는 정이십면체의 꼭짓점을 잘라낸 아르키메데스의 다면체로, 32개의 면, 90개의 변, 60개의 꼭짓점을 가지며, 축구공, 풀러렌 분자 등 다양한 분야에서 활용된다.
아르키메데스의 다면체
개요
아르키메데스 다면체
종류
13가지 (거울상이 다른 2가지 포함 시 15가지)
면의 종류
2종류 이상의 정다각형
꼭짓점 모양
동일
변의 길이
모두 동일
쌍대
카탈란의 다면체
목록
종류
깎은 사면체 깎은 육면체 깎은 팔면체 깎은 십이면체 깎은 이십면체 깎은 정육면팔면체 깎은 정십이이십면체 마름모육면체 마름모십이십면체 부풀린 정육면체 또는 손돌림 정육면체 부풀린 십이면체 또는 손돌림 십이면체 깎은 정사면체 유사깎은 정육면체 또는 손돌림 깎은 정육면체 유사깎은 정십이면체 또는 손돌림 깎은 정십이면체
아르키메데스 다면체는 정다면체의 일부를 깎거나, 꼭짓점을 연결하거나, 면을 비트는 등의 방법으로 만들 수 있다. 이러한 생성 방식을 기준으로 아르키메데스 다면체를 분류할 수 있다.
아르키메데스 다면체는 깎은 정다면체와 깎은 정다각형 타일링 7개, 준정다면체와 준정다각형 타일링 3개, 깎은 준정다면체와 깎은 준정다각형 타일링 3개, 부풀리고 다듬은 정다면체 및 부풀려 다듬은 정다각형 타일링 3개와 4개로 구성되어 있다.
아르키메데스 다면체는 단일 꼭짓점 배치를 가지며 고도로 대칭적인 특징을 보인다. 꼭짓점 배치는 각 꼭짓점에서 만나는 정다각형을 나타낸다. 예를 들어, 3·5·3·5 구성은 각 꼭짓점에 두 개의 삼각형과 두 개의 오각형이 교대로 만나는 다면체를 나타낸다. 이 경우 고도로 대칭적인 특성은 각 입체의 대칭군이 플라톤의 입체에서 파생되었음을 의미하며, 이는 그들의 구성에서 비롯된다.[1]
일부 아르키메데스 입체는 플라톤의 입체에서 시작하여 구성할 수 있다. 절단은 모서리를 잘라내는 것을 포함한다. 대칭을 보존하기 위해 절단은 모서리를 다면체의 중심에 연결하는 선에 수직인 평면에서 이루어지며 모든 모서리에 대해 동일하게 진행된다. 절단이 인접한 꼭짓점의 각 면의 쌍이 정확히 한 점을 공유할 정도로 정확히 깊으면 교정으로 알려져 있다. 확장은 각 면을 중심에서 멀리 이동시키는 것(플라톤 입체의 대칭을 보존하기 위해 동일한 거리)과 볼록 껍질을 취하는 것을 포함한다. 스너브는 다면체의 면을 분리하고, 면을 특정 각도로 비틀고, 정삼각형으로 채우는 다면체의 구성 과정이다. 이러한 과정을 통해 구성된 입체는 손대칭성의 특징을 가지며, 이는 거울에 반사될 때 동일하지 않음을 의미한다.[2]
반정다면체는 정다면체의 일부를 깎아서 만든다고 생각하여, 다음 5가지 종류로 분류할 수 있다.[9]
깎은 ''n'' 면체
''n''・''m'' 면체(준정다면체)
깎은 엇각 ''n''・''m'' 면체
깎은 절두 ''n''・''m'' 면체
변형 ''n'' 면체
2. 1. 1. 깎은 정다면체
정다면체의 각 꼭짓점을 잘라내어 만든다. 깎은 정사면체, 깎은 정육면체, 깎은 정팔면체, 깎은 정십이면체, 깎은 정이십면체가 해당된다.[2]
아르키메데스 다면체는 플라톤 입체에서 시작하여 구성할 수 있다. 절단은 모서리를 잘라내는 것을 포함한다. 대칭을 보존하기 위해 절단은 모서리를 다면체의 중심에 연결하는 선에 수직인 평면에서 이루어지며 모든 모서리에 대해 동일하게 진행된다. 예를 들어 정이십면체의 모든 꼭짓점을 잘라내어 구성된 깎은 정이십면체는 정이십면체와 동일한 대칭을 갖는다.[2]
확장은 각 면을 중심에서 멀리 이동시키는 것(플라톤 입체의 대칭을 보존하기 위해 동일한 거리)과 볼록 껍질을 취하는 것을 포함한다. 예를 들어, 정육면체 또는 정팔면체의 면을 중심에서 분리하고 정사각형으로 채워 넣는 마름모육팔면체가 있다.
스너브는 다면체의 면을 분리하고, 면을 특정 각도로 비틀고, 정삼각형으로 채우는 다면체의 구성 과정이다. 깎은 정육면체와 깎은 정십이면체가 그 예시이다. 이러한 입체의 결과적인 구성은 손대칭성의 특징을 제공하며, 이는 거울에 반사될 때 동일하지 않음을 의미한다.
아르키메데스의 다면체는 고대 그리스 수학자 아르키메데스의 이름을 따서 지어졌지만, 그의 원본 저작은 현재 소실되었다. 알렉산드리아의 파푸스는 자신의 저서 '신집'에서 아르키메데스가 13개의 다면체를 열거하고 설명했다고 언급했다.[4]
르네상스 시대에 예술가와 수학자들은 높은 대칭성을 가진 형태를 중요하게 생각했다. 아르키메데스 다면체 중 일부는 피에로 델라 프란체스카의 ''De quinque corporibus regularibus''에 등장했으며, 아르키메데스의 작품을 연구하고 복사하려는 시도에서 그에 대한 인용도 포함되었다. 그러나 프란체스카는 이러한 모양을 아르키메데스에게 귀속시키지 않았고, 그의 작품을 알고는 있었지만, 오히려 독립적인 재발견으로 보았다. 벤젤 잠니처의 ''Perspectiva Corporum Regularium'', 루카 파치올리의 ''Summa de arithmetica''와 ''Divina proportione''에 다른 다면체의 모습이 나타났으며, 레오나르도 다 빈치가 그렸다.[5]알브레히트 뒤러의 ''Underweysung der Messung''에는 파치올리의 작품을 복사한 아르키메데스 다면체의 전개도가 나타났다. 1620년경, 요하네스 케플러는 ''Harmonices Mundi''에서 13개의 다면체 재발견을 완료했으며, 각기둥, 대각기둥, 케플러-푸앵소 다면체로 알려진 비볼록 다면체를 정의했다.
수학자들이 롬비큐보옥타헤드론을 잘못 구성한 elongated square gyrobicupola.
케플러는 elongated square gyrobicupola 또는 '가롬비큐보옥타헤드론'이라고 알려진 또 다른 다면체를 발견했을 수도 있다. 케플러는 한때 14개의 아르키메데스 다면체가 있다고 언급했지만, 출판된 목록에는 13개의 균일한 다면체만 포함되어 있다. 이 다면체의 존재에 대한 최초의 명확한 언급은 1905년 덩컨 서머빌에 의해 이루어졌다.[6]
4. 쌍대
카탈란 다면체는 아르키메데스 다면체의 쌍대 다면체이다.[3] 카탈란 다면체는 한 종류의 정다각형이 아닌 면으로 이루어져 있으며, 모든 이면각이 같다. 카탈랑 다면체의 면심(내접원의 중심)을 꼭짓점으로 하는 입체는 반정다면체이지만, 반정다면체의 면심을 꼭짓점으로 하는 입체가 카탈랑 다면체가 되는 것은 아니다.
5. 루퍼트 성질
아르키메데스 다면체 중 일부는 루퍼트 성질을 갖는다. 루퍼트 성질이란 자신과 동일하거나 유사한 크기의 복사본을 통과시킬 수 있는 구멍을 그 다면체에 만들 수 있다는 의미이다.[3] 루퍼트 성질을 갖는 것으로 알려진 아르키메데스 다면체는 깎은 정육면체팔면체, 깎은 정팔면체, 깎은 정육면체, 마름모육팔면체, 이십이십이면체, 깎은 정육면체팔면체, 깎은 정이십면체, 깎은 정십이면체, 깎은 정사면체로 총 10개이다.[3]
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