아핀 변환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 반아핀 변환
- 2.2. 아핀 변환
3. 성질
4. 예
5. 역사
6. 이미지 변환
- 6.1. Affine warping
7. 평면상의 아핀 변환
참조

1. 개요

아핀 변환은 아핀 공간에서 자기 자신으로의 전단사 함수로, 아핀 맵의 일종이다. 이는 선형 변환과 평행 이동의 조합으로, 공선성, 평행성, 볼록 집합, 바리센터 등을 보존한다. 기하학적으로는 직선을 직선으로 사상하며, 아핀 결합을 보존한다. 아핀 변환은 행렬로 표현할 수 있으며, 컴퓨터 그래픽스, 이미지 처리 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히 디지털 이미지 처리에서 이미지의 크기 조절, 회전, 이동, 반사, 전단 등의 변환에 사용되며, 이미지 등록에도 적용된다. 아핀 변환은 아핀 군을 형성하며, 유클리드 공간에서의 아핀 변환은 도형의 초부피를 일정한 비율로 변화시킨다.

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아핀 변환
개요
정의	선형성을 보존하는 기하학적 변환
특징	직선은 보존하지만 각도나 원점은 보존하지 않음
상세 내용
용어	아핀 변환 (Affine transformation)
어원	라틴어 "affinis" (관련된, 유사한)
설명	두 벡터 공간 사이의 함수 이고, 벡터 공간 사이의 함수 가 존재하여 모든 in 에 대해 를 만족하는 변환
구성 요소	선형 변환 평행 이동
표현 방법	행렬과 벡터의 곱으로 표현 가능
불변 속성	직선 평행 면적 비율 중심
예시
변환 종류	평행 이동 스케일링 회전 기울이기 (Shear)
활용	컴퓨터 그래픽스 이미지 처리 기하 모델링
관련 개념
선형 변환	벡터 공간에서 벡터 공간으로의 변환으로, 선형성을 만족하는 변환
사영 변환	직선을 직선으로 보내는 변환
합동 변환	거리를 보존하는 변환
참고 문헌
참고 문헌	Audin, Michèle (2003). Geometry. Berlin, Heidelberg: Springer. Berger, Marcel (1987). Geometry I. Berlin, Heidelberg: Springer. Gallier, Jean (2011). Geometric Methods and Applications. New York, NY: Springer. Samuel, Pierre (1988). Projective Geometry. New York: Springer-Verlag.

2. 정의

affine space^영어 $X$ 를 체 $k$ 위의 아핀 공간, $V$ 를 이와 관련된 벡터 공간이라 할 때, '''아핀 변환'''은 $X$ 에서 자신으로의 전단사 함수 $f$ 이며, 아핀 맵이다. 이는 다음 방정식을 통해 $V$ 에서 $V$ 로의 선형 맵 $g$ 가 잘 정의됨을 의미한다.^[1]

: $g(y-x) =f(y)-f(x);$

여기서 두 점의 빼기는 두 번째 점에서 첫 번째 점으로의 자유 벡터를 나타내며, "잘 정의됨"은 $y-x= y'-x'$ 이면 $f(y)-f(x)=f(y')-f(x').$ 임을 의미한다.

$X$ 의 차원이 2 이상인 경우, $X$ 의 ''세미아핀 변환'' $f$ 는 다음을 만족하는 $X$ 에서 자신으로의 전단사 함수이다.

# $X$ 의 모든 $d$ -차원 아핀 부분 공간 $S$ 에 대해, $f(S)$ 역시 $X$ 의 $d$ -차원 아핀 부분 공간이다.

# $S$ 와 $T$ 가 $X$ 의 평행 아핀 부분 공간인 경우, $f(S)$ 와 $f(T)$ 도 평행하다.

이 두 조건은 아핀 변환에 의해 충족되며, " $f$ 가 평행성을 보존한다"라는 표현이 정확히 의미하는 바를 나타낸다.

두 번째 조건은 첫 번째 조건에서 유도되므로 이러한 조건은 독립적이지 않다. 또한, 체 $k$ 가 세 개 이상의 원소를 갖는 경우, 첫 번째 조건은 $f$ 가 공선형이라는 것으로 단순화될 수 있다. 즉, 선을 선으로 매핑한다.

아핀 공간의 정의에 따라, $V$ 는 $X$ 에 작용하며, 모든 쌍 $(x, \mathbf{v})$ in $X \times V$ 에 대해 $X$ 에 있는 점 $y$ 가 연관된다. 이 작용은 $\vec{v}(x) = y$ 로 나타낼 수 있다. 여기서 $\vec{v} = \textbf{v}$ 는 $V$ 의 원소를 나타내는 두 개의 상호 교환 가능한 표기법이다. $X$ 에 있는 점 $c$ 를 고정하면 함수 $m_c : X \rightarrow V$ 를 $m_c(x) = \vec{cx}$ 로 정의할 수 있다. 모든 $c$ 에 대해 이 함수는 일대일 대응이므로, 역함수 $m_c^{-1} : V \rightarrow X$ 를 가지며, 이는 $m_c^{-1}(\textbf{v})=\vec{v}(c)$ 로 주어진다. 이 함수를 사용하여 $X$ 를 (점 $c$ 를 기준으로 하는) 벡터 공간으로 변환할 수 있다.

모든 $X$ 에 있는 $x,y$ 에 대해, $x + y = m_c^{-1}\left(m_c(x) + m_c(y)\right)$
모든 $k$ 에 있는 $r$ 과 $X$ 에 있는 $x$ 에 대해, $rx = m_c^{-1}\left(r m_c(x)\right)$

이 벡터 공간은 원점

c

를 가지며 형식적으로 아핀 공간

X

와 구별해야 하지만, 일반적인 관행은 동일한 기호로 나타내고 원점이 지정된 ''후'' 벡터 공간임을 언급한다. 이 식별은 점을 벡터로, 그 반대로 볼 수 있게 한다.

V

의 선형 변환

\lambda

에 대해 함수

L(c, \lambda) : X \rightarrow X

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

L(c, \lambda)(x) = m_c^{-1}\left(\lambda (m_c (x))\right) = c + \lambda (\vec{cx}).

그러면

L(c, \lambda)

는 점

c

를 고정하는

X

의 아핀 변환이다. 이는 원점

c

가 있는 벡터 공간으로 간주되는

X

의 선형 변환이다.

\sigma

를

X

의 임의의 아핀 변환이라고 가정하자.

X

에서 점

c

를 선택하고 벡터

\bold{w} = \overrightarrow{c \sigma (c)}

에 의한

X

의 평행 이동을

T_\bold{w}

로 표시한다. 평행 이동은 아핀 변환이며 아핀 변환의 합성은 아핀 변환이다.

c

의 이 선택에 대해, 다음을 만족하는

V

의 고유한 선형 변환

\lambda

가 존재한다.

:

\sigma (x) = T_{\bold{w}} \left( L(c, \lambda)(x) \right).

즉,

X

의 임의의 아핀 변환은 (벡터 공간으로 간주되는)

X

의 선형 변환과

X

의 평행 이동의 합성이다. 이 아핀 변환의 표현은 종종 아핀 변환의 정의로 사용된다.

2. 1. 반아핀 변환

체

K

위의 두 아핀 공간

(A,V(A))

,

(A',V(A'))

와 자기 동형 사상

\sigma\colon K\to K

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수

F\colon A\to A'

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를

\sigma

에 대한 '''반아핀 변환'''(semiaffine transformation^영어)이라고 한다.

어떤 점 $a\in A$ 에 대하여, $v\mapsto F(a+v)-F(a)$ 는 $\sigma$ 에 대한 반선형 변환 $V(A)\to V(A')$ 이다.
모든 점 $a\in A$ 에 대하여, $v\mapsto F(a+v)-F(a)$ 는 $\sigma$ 에 대한 반선형 변환 $V(A)\to V(A')$ 이다.

반아핀 변환

F

로 유도된 반선형 변환

:

T(F)\colon V(A)\to V(A')

:

T(F)\colon v\mapsto F(a+v)-F(a)

는 점

a\in A

의 선택과 무관하며, 임의의

a,b\in A

에 대하여, 다음 항등식이 성립한다.

:

F(b)=F(a)+T(F)(b-a)

벡터 표기법을 사용하면 이는 다음과 같다.

:

\overrightarrow F(\overrightarrow{ab})=\overrightarrow{F(a)F(b)}

여기서

:

T(F)=\overrightarrow F

:

b-a=\overrightarrow{ab}

이다.

2. 2. 아핀 변환

선형 변환은 항등 함수

\sigma=\operatorname{id}_K

에 대한 반선형 변환이다. '''아핀 변환'''은 항등 함수

\sigma=\operatorname{id}_K

에 대한 반아핀 변환이다. 즉,

T(F)

가 선형 변환인 반아핀 변환이다.

X

를 체

k

위의 아핀 공간,

V

를 이와 관련된 벡터 공간이라고 할 때, '''아핀 변환'''은

X

에서 자신으로의 전단사 함수

f

이며, 아핀 맵이다. 이는 다음 방정식을 통해

V

에서

V

로의 선형 맵

g

가 잘 정의됨을 의미한다.

:

g(y-x) =f(y)-f(x);

여기서 두 점의 빼기는 두 번째 점에서 첫 번째 점으로의 자유 벡터를 나타내며, "잘 정의됨"은

y-x= y'-x'

이면

f(y)-f(x)=f(y')-f(x').

임을 의미한다.

X

의 차원이 2 이상인 경우,

X

의 ''세미아핀 변환''

f

는 다음을 만족하는

X

에서 자신으로의 전단사 함수이다.^[1]

#

X

의 모든

d

-차원 아핀 부분 공간

S

에 대해,

f(S)

역시

X

의

d

-차원 아핀 부분 공간이다.

#

S

와

T

가

X

의 평행 아핀 부분 공간인 경우,

f(S)

와

f(T)

도 평행하다.

이 두 조건은 아핀 변환에 의해 충족되며, "

f

가 평행성을 보존한다"라는 표현이 정확히 의미하는 바를 나타낸다.

두 번째 조건은 첫 번째 조건에서 유도되므로 이러한 조건은 독립적이지 않다.^[1] 또한, 체

k

가 세 개 이상의 원소를 갖는 경우, 첫 번째 조건은

f

가 공선형이라는 것으로 단순화될 수 있다. 즉, 선을 선으로 매핑한다.^[2]

아핀 공간의 정의에 따라,

V

는

X

에 작용하며, 모든 쌍

(x, \mathbf{v})

in

X \times V

에 대해

X

에 있는 점

y

가 연관된다. 이 작용은

\vec{v}(x) = y

로 나타낼 수 있다. 여기서

\vec{v} = \textbf{v}

는

V

의 원소를 나타내는 두 개의 상호 교환 가능한 표기법이다.

X

에 있는 점

c

를 고정하면 함수

m_c : X \rightarrow V

를

m_c(x) = \vec{cx}

로 정의할 수 있다. 모든

c

에 대해 이 함수는 일대일 대응이므로, 역함수

m_c^{-1} : V \rightarrow X

를 가지며, 이는

m_c^{-1}(\textbf{v})=\vec{v}(c)

로 주어진다. 이 함수를 사용하여

X

를 (점

c

를 기준으로 하는) 벡터 공간으로 변환할 수 있다.^[1]

$x + y = m_c^{-1}\left(m_c(x) + m_c(y)\right), \text{ 모든 } X \text{에 있는 } x,y$ 에 대해
$rx = m_c^{-1}\left(r m_c(x)\right), \text{ 모든 } k \text{에 있는 } r \text{과 } X \text{에 있는 } x$ 에 대해

이 벡터 공간은 원점

c

를 가지며 형식적으로 아핀 공간

X

와 구별해야 하지만, 일반적인 관행은 동일한 기호로 나타내고 원점이 지정된 ''후'' 벡터 공간임을 언급한다. 이 식별은 점을 벡터로, 그 반대로 볼 수 있게 한다.

선형 변환

\lambda

of

V

에 대해 함수

L(c, \lambda) : X \rightarrow X

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

L(c, \lambda)(x) = m_c^{-1}\left(\lambda (m_c (x))\right) = c + \lambda (\vec{cx}).

그러면

L(c, \lambda)

는 점

c

를 고정하는

X

의 아핀 변환이다.^[1] 이는 원점

c

가 있는 벡터 공간으로 간주되는

X

의 선형 변환이다.

\sigma

를

X

의 임의의 아핀 변환이라고 가정하자.

X

에서 점

c

를 선택하고 벡터

\bold{w} = \overrightarrow{c \sigma (c)}

에 의한

X

의 평행 이동을

T_\bold{w}

로 표시한다. 평행 이동은 아핀 변환이며 아핀 변환의 합성은 아핀 변환이다.

c

의 이 선택에 대해, 다음을 만족하는

V

의 고유한 선형 변환

\lambda

가 존재한다.^[1]

:

\sigma (x) = T_{\bold{w}} \left( L(c, \lambda)(x) \right).

즉,

X

의 임의의 아핀 변환은 (벡터 공간으로 간주되는)

X

의 선형 변환과

X

의 평행 이동의 합성이다.

이 아핀 변환의 표현은 종종 아핀 변환의 정의로 사용된다.

위에서 보듯이, 아핀 맵은 평행이동과 선형 맵, 두 함수의 합성이다. 일반적인 벡터 대수학은 행렬 곱셈을 사용하여 선형 맵을 나타내고, 벡터 덧셈을 사용하여 평행이동을 나타낸다. 형식적으로, 유한 차원인 경우, 선형 맵이 가역 행렬

A

의 곱셈으로 표현되고 평행이동이 벡터

\mathbf{b}

의 덧셈으로 표현되면, 벡터

\mathbf{x}

에 작용하는 아핀 맵

f

는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\mathbf{y} = f(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}.

두 아핀 공간 사이의 아핀 맵

f\colon\mathcal{A} \to \mathcal{B}

은 공간의 점에 작용하여 벡터(즉, 공간의 점 사이의 벡터)에 대해 선형 변환처럼 작용하는 맵이다. 기호로 나타내면,

f

는 모든 점

P, Q \in \mathcal{A}

에 대해 다음과 같은 선형 변환

\varphi

를 결정한다.

:

\overrightarrow{f(P)~f(Q)} = \varphi(\overrightarrow{PQ})

또는

:

f(Q)-f(P) = \varphi(Q-P)

.

이 정의를 다른 몇 가지 방식으로 해석할 수 있다.

원점

O \in \mathcal{A}

를 선택하고,

B

를 그 이미지

f(O) \in \mathcal{B}

로 나타내면, 이것은 모든 벡터

\vec{x}

에 대해 다음을 의미한다.

:

f\colon (O+\vec{x}) \mapsto (B+\varphi(\vec{x}))

.

원점

O' \in \mathcal{B}

도 선택하면, 이것은

O \mapsto O'

로 보내는 아핀 변환

g\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}

로 분해될 수 있다. 즉,

:

g\colon (O+\vec{x}) \mapsto (O'+\varphi(\vec{x}))

,

그런 다음 벡터

\vec{b} = \overrightarrow{O'B}

에 의한 평행 이동이다.

결론적으로, 직관적으로

f

는 평행 이동과 선형 맵으로 구성된다.

두 아핀 공간

\mathcal{A}

와

\mathcal{B}

가 같은 체(field) 위에 주어졌을 때, 함수

f\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}

는 모든 가중점의 모임

\{(a_i, \lambda_i)\}_{i\in I}

에 대해 다음을 만족할 경우 아핀 맵이다.

:

\sum_{i\in I}\lambda_i = 1

,

다음이 성립한다.^[3]

:

f\left(\sum_{i\in I}\lambda_i a_i\right)=\sum_{i\in I}\lambda_i f(a_i)

.

다시 말해,

f

는 바리센터를 보존한다.

일반적으로, 아핀 변환은 선형 변환(회전, 확대/축소, 전단)과 평행 이동의 조합이다. 몇몇 선형 변환의 조합은 하나의 선형 변환으로 얻어지기 때문에, 아핀 변환은 일반적으로

:

x \mapsto A x+ b

의 형태로 쓸 수 있는 것으로 모두 표현된다. 유한 차원인 경우, 아핀 변환은 적절한 성질을 만족하는 행렬

A

와 벡터

b

를 사용하여 나타낼 수 있다.

기하학적으로, 유클리드 공간 내의 아핀 변환은 다음과 같은 구조를 유지한다.

# 공선성: (임의의) 동일 직선상에 있는 3점의 아핀 변환에 의한 상(像)은 역시 동일 직선상에 있는 3점이 된다.

# 선분비: 동일 직선상에 있는 3점

p_1

,

p_2

,

p_3

에 대하여, 비

|p_2-p_1| / |p_3-p_2|

는 변환 후에도 변하지 않는다.

아핀 공간 (

A

,

V(A)

), (

B

,

V(B)

)에 대해, 사상

f: A \rarr B

와

f

가 유발하는 선형 사상

V(f): V(A) \rarr V(B)

의 쌍

(f, V(f))

를 아핀 사상이라고 한다. 여기서

f

가

V(f)

를 유발한다는 것은

f

와

V(f)

사이에 다음 조건이 성립한다는 의미이다.

# 임의의

a \isin V(A)

에 대해,

a = \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \quad (\mathrm{P},\mathrm{Q}\in A) \Rightarrow V(f)(a) = \overrightarrow{f(\mathrm{P})f(\mathrm{Q})}

가 성립한다.

# 임의의 P

\isin A

,

a \isin V

에 대해,

f(\mathrm{P} + a) = f(\mathrm{P}) + V(f)(a)

가 성립한다. 단, "+

a

", "+

V(f)(a)

"는 각각

A

,

B

에서의 평행 이동을 나타낸다.

이 아핀 사상을

f \times V(f): (A, V(A)) \rarr (B, V(B))

또는 단순히

f: A \rarr B

로 나타낸다.

원점을 고정하여

A = \mathrm{O} + V(A)

,

B = \mathrm{O'} + V(B)

로 볼 때, 아핀 사상

f: A \rarr B

는 구체적으로

A

의 점 P에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

f(\mathrm{P}) = f(\mathrm{O} + \overrightarrow{\mathrm{OP}}) = f(\mathrm{O}) + V(f)(\overrightarrow{\mathrm{OP}}) = \mathrm{O}' + (V(f)(\overrightarrow{\mathrm{OP}}) + \overrightarrow{\mathrm{O}'f(\mathrm{O})})

특히 위치 벡터 사이의 관계

:

y = V(f)(x) + b \quad (x:=\overrightarrow{\mathrm{OP}},\, y:=\overrightarrow{\mathrm{O}'f(\mathrm{P})},\,b := \overrightarrow{\mathrm{O}'f(\mathrm{O})})

를 얻을 수 있다. 즉, 아핀 사상은 위치 벡터의 공간으로서의

V(A)

와

V(B)

사이에서 선형 사상

T = V(f)

와 상수 벡터

b

에 의한 평행 이동의 합성

y = Tx + b

로 작용한다는 것을 알 수 있다 (위치 벡터에 대해 보면

V(f)

와

b

만큼 이동된다).

기하학적인 설정에서 아핀 변환은 정확히 직선을 직선으로 사상한다.

선형 변환은 임의의 선형 결합을 보존하는 사상이며, 아핀 변환은 임의의 아핀 결합을 보존하는 사상이다. 여기서 '''아핀 결합'''이란, 계수의 총합이 1과 같은 선형 결합을 말한다.

벡터 공간의 '''부분 아핀 공간''' (또는 '''선형 다양체''')은 부분 선형 공간의 각 벡터에 어떤 고정된 벡터를 더함으로써 얻어지는, 부분 선형 공간으로 나눈 동치류이다. 벡터 공간의 부분 선형 공간은 선형 결합에 대해 닫혀있는 부분 집합이며, 부분 아핀 공간은 아핀 결합에 대해 닫혀있는 부분 집합이다.

예를 들어 '''R'''^''3''에서, 원점, 원점을 통과하는 직선, 원점을 통과하는 평면, 공간 전체는 부분 선형 공간이며, 일반적인 점, 직선, 평면, 공간 전체는 부분 아핀 공간이다.

벡터로 이루어진 계가, 계에 속하는 어떤 벡터도 다른 선형 결합으로 표현될 수 없을 때 선형 독립이라고 하는 것과 마찬가지로, 어떤 벡터도 다른 아핀 결합으로 표현될 수 없을 때 '''아핀 독립'''이라고 한다. 벡터로 이루어진 집합에 대해, 그 선형 결합 전체가 이루는 집합을 그 벡터들이 "선형으로) 생성한다"라고 말하며, 항상 부분 선형 공간을 이루는 것과 마찬가지로, 아핀 결합 전체가 이루는 집합은 그것들이 "(아핀적으로) 생성한다"라고 말하며, 항상 부분 아핀 공간을 이룬다. 예를 들어, 두 점으로 이루어진 집합이 아핀적으로 생성하는 부분 집합은 그 두 점을 포함하는 직선이며, 동일 직선상에 있지 않은 세 점이 아핀적으로 생성하는 부분 공간은 그 세 점을 포함하는 평면이다. 벡터의 집합

v_1, v_2, ..., v_n

이 선형 종속이라는 것은, 벡터

a = (a_1, a_2, … ,a_n)^T

로 조건

a \ne 0

이고,

a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_nv_n = 0

을 만족하는 것이 존재하는 경우를 말한다. 마찬가지로 이들 벡터가 '''아핀 종속'''이라는 것은, 동일한 조건에 더하여

:

\sum_{i=1}^n a_i = 0

도 만족하는 경우를 말한다. 벡터

a

는 벡터의 집합

v_1, v_2, ..., v_n

에 아핀 종속이다.

가역 아핀 변환 전체의 집합은 사상의 합성을 연산으로 하여 군을 이룬다. 아핀군이라고 불리는 이 군은

K^n

과

GL(n, k)

의 반직접곱이다.

3. 성질

아핀 변환은 공선점(동일한 선 위에 있는 점)과 평행한 부분 아핀 공간을 보존한다. 또한, 무게 중심을 보존하며, 특히 중점을 보존한다.

아핀 변환은 다음 성질들을 보존한다.^[1]

공선성: 동일한 선 위에 있는 점들은 변환 후에도 동일한 선 위에 있다.
평행성: 평행한 선들은 변환 후에도 평행하다.
볼록 집합: 볼록 집합은 변환 후에도 볼록하며, 원래 집합의 극점은 변환된 집합의 극점으로 대응된다.
평행선 분절의 길이 비율: 서로 다른 평행 세그먼트의 길이 비율은 변환 후에도 유지된다.
가중치가 적용된 점들의 바리센터: 점들의 가중 평균(무게 중심)은 변환 후에도 보존된다.

일반적으로 아핀 변환은 선형 변환(회전, 확대/축소, 전단)과 평행 이동의 조합으로 표현할 수 있다. 유한 차원에서는 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

:

x \mapsto A x+ b

여기서 ''A''는 행렬이고, ''b''는 벡터이다.

유클리드 공간에서 아핀 변환은 다음의 기하학적 구조를 유지한다.

공선성: 동일 직선 상의 세 점은 변환 후에도 동일 직선 상에 위치한다.
선분비: 동일 직선 상의 세 점 ''p''₁, ''p''₂, ''p''₃에 대해, 거리의 비 $|p_2-p_1| / |p_3-p_2|$ 는 변환 후에도 변하지 않는다.

3. 1. 대수적 성질

체 ''K'' 위의 아핀 공간 (''A'', ''V''(''A''))와 벡터 공간 ''V''′ 사이의 아핀 변환 집합은 Hom_''K''(''A'', ''V''′)로 표기하며, 이는 자연스럽게 벡터 공간을 이룬다. 체 ''K'' 위의 두 아핀 공간 (''A'', ''V''(''A'')), (''A''′, ''V''(''A''′)) 사이의 아핀 변환 집합은 Hom_''K''(''A'', ''A''′)로 표기하며, 이는 자연스러운 아핀 공간 구조를 가진다. 이 아핀 공간의 기본 벡터 공간과 차원은 다음과 같다.

V(Hom_''K''(''A'', ''A''′)) = Hom_''K''(''A'', ''V''(''A''′))
dim(Hom_''K''(''A'', ''A''′)) = dim ''A''′ (dim ''A'' + 1)

아핀 공간 (''A'', ''V''(''A'')), (''B'', ''V''(''B'')) 사이의 사상 ''f'': ''A'' → ''B''와, ''f''에 의해 유발되는 선형 사상 ''V''(''f''): ''V''(''A'') → ''V''(''B'')의 쌍 (''f'', ''V''(''f''))를 아핀 사상이라고 한다. 여기서 ''f''가 ''V''(''f'')를 유발한다는 것은 ''f''와 ''V''(''f'') 사이에 다음 두 조건이 성립함을 의미한다.

1. 임의의 ''a'' ∈ ''V''(''A'')에 대해,

a = \overrightarrow{\mathrm{PQ}}

(P, Q ∈ ''A'') 이면, ''V''(''f'')(''a'') =

\overrightarrow{f(\mathrm{P})f(\mathrm{Q})}

가 성립한다.

2. 임의의 P ∈ ''A'', ''a'' ∈ ''V''에 대해, ''f''(P + ''a'') = ''f''(P) + ''V''(''f'')(''a'')가 성립한다. 여기서 "+ ''a''"와 "+ ''V''(''f'')(''a'')"는 각각 ''A'', ''B''에서의 평행 이동을 나타낸다.

이러한 아핀 사상은 ''f'' × ''V''(''f''): (''A'', ''V''(''A'')) → (''B'', ''V''(''B'')) 또는 간단히 ''f'': ''A'' → ''B''로 나타낸다.

원점을 고정하여 ''A'' = O + ''V''(''A''), ''B'' = O′ + ''V''(''B'')로 나타낼 때, 아핀 사상 ''f'': ''A'' → ''B''는 ''A''의 점 P에 대해 다음과 같이 구체적으로 표현할 수 있다.

:

f(\mathrm{P}) = f(\mathrm{O} + \overrightarrow{\mathrm{OP}}) = f(\mathrm{O}) + V(f)(\overrightarrow{\mathrm{OP}}) = \mathrm{O}' + (V(f)(\overrightarrow{\mathrm{OP}}) + \overrightarrow{\mathrm{O}'f(\mathrm{O})})

특히 위치 벡터 사이의 관계는 다음과 같다.

:

y = V(f)(x) + b

(''x'' :=

\overrightarrow{\mathrm{OP}}

, ''y'' :=

\overrightarrow{\mathrm{O}'f(\mathrm{P})}

, ''b'' :=

\overrightarrow{\mathrm{O}'f(\mathrm{O})}

)

즉, 아핀 사상은 위치 벡터 공간 ''V''(''A'')와 ''V''(''B'') 사이에서 선형 사상 ''T'' = ''V''(''f'')와 상수 벡터 ''b''에 의한 평행 이동의 합성 ''y'' = ''Tx'' + ''b''로 작용한다. 다시 말해, 위치 벡터는 ''V''(''f'')와 ''b''만큼 이동된다.

3. 2. 아핀 군

아핀 변환의 합성과 역함수는 아핀 변환이다. 전단사 아핀 변환들의 집합은 군을 이루며, 이를 '''아핀 군'''이라고 한다. 아핀 군은 평행 이동들의 벡터 공간과 그 일반 선형군의 반직접곱과 동형이다.

:

\operatorname{Aff}(A)\cong V(A)\rtimes\operatorname{GL}(V(A))

만약

A

가 벡터 공간일 경우 위 동형은 자연스럽다.

확대 행렬과 확대 벡터를 사용하면 단일 행렬 곱셈을 사용하여 이동과 선형 맵을 모두 나타낼 수 있다. 이 표현은 모든 가역 아핀 변환의 집합을

K^n

과

\operatorname{GL}(n, K)

의 반직접곱으로 나타낸다. 이것은 함수 합성을 연산으로 하는 군이며, 아핀 군이라고 한다.

가역 아핀 변환(아핀 공간 자체에 대한)은 아핀 군을 형성하며, 이는

n

차 일반 선형군을 부분군으로 가지며, 그 자체로

n + 1

차 일반 선형군의 부분군이다.

닮음 변환은

A

가 스칼라 값에 직교 행렬을 곱한 형태인 부분군을 형성한다. 예를 들어, 아핀 변환이 평면에서 작용하고

A

의 행렬식이 1 또는 -1이면, 이 변환은 등면적 사상이다. 이러한 변환은 '등아핀 군'이라고 하는 부분군을 형성한다.^[2] 등아핀 변환이자 닮음 변환인 변환은 유클리드 거리를 갖는 평면의 등거리 변환이다.

이러한 각 군은 방향을 유지하는 또는 '양의' 아핀 변환의 부분군을 갖는다:

A

의 행렬식이 양수인 경우이다.

정칙 아핀 변환 전체는 아핀 변환군을 이룬다. ''n''-차원 공간상의 아핀 변환군 aff_''n''은, ''n''-차 일반 선형군 ''GL''_''n''을 부분군으로 포함하며, 그 자체는 (''n''+1)-차 일반 선형군 ''GL''_''n''+1의 부분군을 이룬다.

닮음 변환 전체는 직교 변환의 스칼라 배로 나타나는 변환 전체가 이루는 아핀 변환군의 부분군이다. 아핀 변환의 선형 변환 부분 ''A''의 행렬식의 값이 1 또는 -1인 것과, 그 변환으로 면적이 보존되는 (등적 변환이다) 것은 동치이며, 그러한 아핀 변환 전체 또한 부분군을 이룬다. 두 조건을 조합하면 등거리 변환을 얻지만, 그러한 변환은 선형 변환 부분 ''A''가 직교 변환이 되는 것이며, 그 전체는 닮음 변환군과 등적 변환군 쌍방의 부분군을 이룬다.

이러한 군들은 모두, (선형 변환 부분 ''A''의 행렬식이 양수이기 때문에) 방향을 보존하는 변환으로 이루어진 부분군을 갖는다.

3. 3. 유한 차원

체 위의 유한 차원 아핀 공간에서, 아핀 틀에 대한 아핀 변환은 행렬로 표현할 수 있다. 아핀 군은 일반선형군의 부분군으로 여길 수 있다.

아핀 변환은 평행이동과 선형 변환 두 가지로 동작한다. 벡터 대수학에서는 행렬 곱셈으로 선형 변환을, 벡터 덧셈으로 평행이동을 나타낸다.^[1] 벡터

\mathbf{x}

에 작용하는 아핀 변환

f

는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\mathbf{y} = f(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}.

여기서

A

는 가역 행렬,

\mathbf{b}

는 벡터이다.

확대 행렬과 확대 벡터를 사용하면, 행렬 곱셈 한 번으로 평행이동과 선형 변환을 모두 나타낼 수 있다. 이 때, 모든 벡터는 끝에 "1"을 추가하고, 모든 행렬은 하단에 0으로 이루어진 행, 오른쪽에 평행이동 벡터, 오른쪽 하단 모서리에 "1"을 추가하여 확대한다.

A

가 행렬일 때,^[1]

:

\begin{bmatrix} \mathbf{y} \\ 1 \end{bmatrix}= \left[ \begin{array}{ccc|c} & A & & \mathbf{b} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array} \right]\begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ 1 \end{bmatrix}

위 식은 아래 식과 같다.

:

\mathbf{y} = A \mathbf{x} + \mathbf{b}.

3. 3. 1. 아핀 기하학의 기본 정리

체

K

위의 유한 차원(

d\ne 1

) 아핀 공간

A

에서 전단사 함수

F\colon A\to A

에 대해, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[3]

공선점을 보존한다. 즉, $a,b,c\in A$ 가 공선점이면, $F(a),F(b),F(c)\in A$ 역시 공선점이다.
반아핀 변환이다.

특히, 실수체

\mathbb R

의 자기 동형 사상은 항등 함수밖에 없으므로, 유한 차원(

d\ne 1

) 실수 아핀 공간

A

에서 전단사 함수

F\colon A\to A

에 대해, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

공선점을 보존한다.
아핀 변환이다.

마찬가지로, 복소수체

\mathbb C

의 연속 자기 동형 사상은 항등 함수와 켤레 복소수

z\mapsto\bar z

뿐이므로 (비(非)연속 자기 동형 사상은 그 밖에도 존재한다), 유한 차원(

d\ne 1

) 복소수 아핀 공간

A

에서 연속 전단사 함수

F\colon A\to A

에 대해, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

공선점을 보존한다.
아핀 변환이거나, 켤레 복소수에 대한 반아핀 변환이다.

1차원에서는 모든 함수가 공선점을 보존하므로 일반적으로 아핀 기하학의 기본 정리가 성립하지 않는다.

3. 3. 2. 행렬 표현

체

K

위의 유한 차원 아핀 공간

(A,V(A))

에서, 아핀 틀

(o,B)

에 대한 아핀 변환

F\colon A\to A

는 다음과 같은 꼴의 행렬로 표현할 수 있다.

:

M_{(o,B)}(F)=\begin{pmatrix}1 & 0_{1\times n} \\a_{n\times 1} & {M_{B}(T(F))}_{n\times n}\end{pmatrix}

여기서

M_{B}(T(F))

는 기저

B

에 대한

T(F)

의 행렬이다.

특히, 유한 차원 아핀 군

\operatorname{Aff}(n;K)

는 일반선형군

\operatorname{GL}(n+1;K)

의 부분군으로 여길 수 있다.

아핀 맵은 평행이동과 선형 맵의 두 가지 함수로 동작한다. 일반적인 벡터 대수학은 행렬 곱셈을 사용하여 선형 맵을 나타내고, 벡터 덧셈을 사용하여 평행이동을 나타낸다.^[1] 형식적으로, 유한 차원인 경우, 선형 맵이 가역 행렬

A

의 곱셈으로 표현되고 평행이동이 벡터

\mathbf{b}

의 덧셈으로 표현되면, 벡터

\mathbf{x}

에 작용하는 아핀 맵

f

는 다음과 같이 표현할 수 있다.^[1]

:

\mathbf{y} = f(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}.

확대 행렬과 확대 벡터를 사용하면 단일 행렬 곱셈을 사용하여 이동과 선형 맵을 모두 나타낼 수 있다. 이 기술은 모든 벡터가 끝에 "1"로 확대되고, 모든 행렬이 하단에 0의 추가 행, 오른쪽에 추가 열(이동 벡터) 및 오른쪽 하단 모서리에 "1"로 확대되어야 한다. 만약

A

가 행렬이라면,^[1]

:

\begin{bmatrix} \mathbf{y} \\ 1 \end{bmatrix}= \left[ \begin{array}{ccc|c} & A & & \mathbf{b} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array} \right]\begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ 1 \end{bmatrix}

는 다음 식과 같다.^[1]

:

\mathbf{y} = A \mathbf{x} + \mathbf{b}.

3. 4. 유클리드 공간

유클리드 공간

\mathbb R^d

위의 아핀 변환은 모든 도형의 초부피를 일정한 비율로 변화시키며, 이 비율은 유도된 선형 변환의 행렬식의 절댓값과 같다. 다시 말해,

\mathbb R^d

위의 르베그 측도를

\mu

라고 할 때, 임의의 가측 집합

S\subseteq\mathbb R^d

및 아핀 변환

F\colon\mathbb R^d\to\mathbb R^d

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\mu(F(S))=|{\det T(F)}|\mu(S)

일반적으로, 아핀 변환은 선형 변환(회전, 확대/축소, 전단)과 평행 이동의 조합이다. 몇몇 선형 변환의 조합은 하나의 선형 변환으로 얻어지기 때문에, 아핀 변환은 일반적으로

:

x \mapsto A x+ b

의 형태로 쓸 수 있는 것으로 모두 표현된다. 유한 차원인 경우, 아핀 변환은 적절한 성질을 만족하는 행렬 ''A''와 벡터 ''b''를 사용하여 나타낼 수 있다.

기하학적으로, 유클리드 공간 내의 아핀 변환은 다음과 같은 구조를 유지한다.

공선성: (임의의) 동일 직선상에 있는 3점의 아핀 변환에 의한 상(像)은, 역시 동일 직선상에 있는 3점이 된다.
선분비: 동일 직선상에 있는 3점 ''p''₁, ''p''₂, ''p''₃에 대하여, 비
$|p_2-p_1| / |p_3-p_2|$
는 변환 후에도 변하지 않는다.

아핀 변환이 가역일 때, 정칙 아핀 변환이라고 한다. 아핀 변환이 정칙이 되는 것은 선형 변환 부분 ''A''가 정칙일 때이며, 그 때에 한한다. 유한 차원의 경우, 확대 계수 행렬에 의한 표현을 사용하면, 역변환은

:

\begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}b \\ 0,\ldots,0 & 1 \end{pmatrix}

로 주어진다. 정칙 아핀 변환 전체는 아핀 변환군을 이룬다. ''n''-차원 공간상의 아핀 변환군 aff_''n''은, ''n''-차 일반 선형군 ''GL''_''n''을 부분군으로 포함하며, 그 자체는 (''n''+1)-차 일반 선형군 ''GL''_''n''+1의 부분군을 이룬다.

닮음 변환 전체는 직교 변환의 스칼라 배로 나타나는 변환 전체가 이루는 아핀 변환군의 부분군이다. 아핀 변환의 선형 변환 부분 ''A''의 행렬식의 값이 1 또는 −1인 것과, 그 변환으로 면적이 보존되는 (등적 변환이다) 것은 동치이며, 그러한 아핀 변환 전체 또한 부분군을 이룬다. 두 조건을 조합하면 등거리 변환을 얻지만, 그러한 변환은 선형 변환 부분 ''A''가 직교 변환이 되는 것이며, 그 전체는 닮음 변환군과 등적 변환군 쌍방의 부분군을 이룬다.

이러한 군들은 모두, (선형 변환 부분 ''A''의 행렬식이 양수이기 때문에) 방향을 보존하는 변환으로 이루어진 부분군을 갖는다. 3차원에서의 등거리 변환군은 강체의 운동 (진정한 회전과 순수 평행 이동) 전체가 이루는 군이다.

임의의 행렬 ''A''에 대해 다음 조건은 서로 동치이다.

''A'' − ''I''가 가역 행렬 (''I''는 단위 행렬).
''A''는 1을 고유값으로 갖지 않는다.
임의의 벡터 ''b''에 대해, 아핀 변환 ''Ax'' + ''b''는 정확히 하나의 부동점을 갖는다.
적당한 ''b''를 선택하여, 아핀 변환 ''Ax'' + ''b''가 정확히 하나의 부동점을 갖도록 할 수 있다.
선형 변환 부분이 ''A''인 아핀 변환은, 적당한 점을 원점으로 보고 선형 변환으로 쓸 수 있다.

만약 아핀 변환이 부동점을 갖는다면, 그것을 원점으로 간주함으로써, 아핀 변환을 선형 변환으로 간략화할 수 있으며, 변환의 분류와 이해를 돕는 데 도움이 된다. 예를 들어, 변환을 어떤 축에 관한 어떤 각도의 회전으로 기술하는 것은, 변환을 회전과 평행 이동의 조합으로 기술하는 것보다 전체적인 행위를 파악하는 데 용이하다. 그러나 이것은 대상과 문맥에 의존한다. "물체"에 대한 변환을 기술하는 경우, 멀리 떨어진 점에 관한 단일 회전으로 기술하는 것보다, 적당한 평행 이동을 조합하여 물체의 중심을 지나는 축에 관한 회전으로 기술하는 것이 의미가 있는 경우도 많다. 예를 들어, "200m 북쪽으로 이동하고, 시계 반대 방향으로 90° 회전"이라는 표현이, 같은 의미의 "141m 북동쪽에 있는 점을 중심으로 시계 반대 방향으로 90° 회전"이라는 표현보다 이해하기 쉽다.

부동점을 갖지 않는 (따라서 ''A''가 1을 고유값으로 갖는) 평면상의 아핀 변환은 다음 중 하나이다.

순수 평행 이동.
어떤 방향으로의 직선에 관하여 (반드시 직교하지는 않는) 다른 주어진 방향으로의 확대 축소와, 확축 방향으로는 순수하지 않은 평행 이동의 조합. 스케일 인자는 다른 고유값이며, 일반화된 의미에서의 확대 축소는 스케일 인자가 0인 경우 (사영) 또는 음수인 경우 (거울 반사나 병진반사 등)를 포함한다.
전단 변환과 전단 방향으로는 순수하지 않은 평행 이동의 조합 (고유값은 1만 있고, 대수적 중복도는 2이지만 기하적 중복도는 1).

4. 예

상수 함수
평행 이동
중심 닮음 변환
주어진 부분 아핀 공간에 대한, 주어진 여공간을 따른 반사
주어진 부분 아핀 공간에 대한, 주어진 여공간을 따른 사영

모든 반선형 변환은 반아핀 변환이다. 모든 선형 변환은 아핀 변환이다.

유클리드 공간 위의 다음과 같은 함수들은 아핀 변환이다.

등거리 변환
닮음 변환

1차원 복소수 벡터 공간

\mathbb C

위의 켤레 복소수 함수

:

\mathbb C\to\mathbb C

:

z\mapsto\bar z

는 반선형 변환이며, 특히 반아핀 변환이다.

일반적으로, 아핀 변환은 선형 변환(회전, 확대/축소, 전단)과 평행 이동의 조합이다. 몇몇 선형 변환의 조합은 하나의 선형 변환으로 얻어지기 때문에, 아핀 변환은 일반적으로

:

x \mapsto A x+ b

의 형태로 쓸 수 있는 것으로 모두 표현된다. 유한 차원인 경우, 아핀 변환은 적절한 성질을 만족하는 행렬 ''A''와 벡터 ''b''를 사용하여 나타낼 수 있다.

유한체 '''F'''₂ 위에서의 아핀 변환(Affine transformation)은 "+"는 배타적 논리합을 나타낸다.

:

\{\,a'\,\} = [M]\{\,a\,\} + \{\,v\,\},

여기서 [''M'']은

:

\begin{pmatrix}1&0&0&0&1&1&1&1 \\1&1&0&0&0&1&1&1 \\1&1&1&0&0&0&1&1 \\1&1&1&1&0&0&0&1 \\1&1&1&1&1&0&0&0 \\0&1&1&1&1&1&0&0 \\0&0&1&1&1&1&1&0 \\0&0&0&1&1&1&1&1\end{pmatrix}

이며, 벡터 {''v''}는 (1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0)^T이다.

예를 들어, 원소 {a} = ''x''⁷ + ''x''⁶ + ''x''³ + ''x'' = {11001010} (빅 엔디안이진 표기법) = {CA} (빅 엔디안16진법)에 대한 아핀 변환의 결과 {''a''′}는 다음과 같이 계산된다.

:

a_0' = a_0 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 1 = 0 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 = 1

:

a_1' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 1 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 = 0

:

a_2' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 0 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1

:

a_3' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus a_7 \oplus 0 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1

:

a_4' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus a_4 \oplus 0 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 = 0

:

a_5' = a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus 1 = 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 = 1

:

a_6' = a_2 \oplus a_3 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus 1 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 = 1

:

a_7' = a_3 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 0 = 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1

따라서, {''a''′} = ''x''⁷ + ''x''⁶ + ''x''⁵ + ''x''³ + ''x''² + 1 = {11101101} = {ED}이다.

5. 역사

"아핀"이라는 용어는 레온하르트 오일러의 1748년 저서 《무한소 해석 입문》에서 곡선에 대한 접선과 관련하여 정의되었다.^[4] 펠릭스 클라인은 "아핀 변환"이라는 용어를 뫼비우스와 가우스의 업적으로 돌린다.^[4]

6. 이미지 변환

아핀 변환은 디지털 이미지 처리에서 이미지의 크기를 조절, 회전, 이동, 반사 및 전단하는 데 사용된다.^[5] 이는 마치 고무 시트에 이미지를 인쇄하고 시트의 가장자리를 평면에 평행하게 늘이는 것과 유사하다.

아핀 변환의 예시는 다음과 같다:

변환 이름	아핀 행렬	예시
항등 변환 (원래 이미지로 변환)		--\|]]\|]]
이동		--
반사		--\|]]
크기 조절		]]
회전		--\|]]
전단		--\|]]

아핀 변환은 여러 이미지를 정렬하는 이미지 등록 과정에도 적용될 수 있다. 예를 들어, 여러 이미지를 이어 붙여 파노라마 이미지를 생성하는 이미지 스티칭이 있다.

\mathbb{R}^2

에서, 왼쪽에 표시된 변환은 다음 맵을 사용하여 수행된다.

:

\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 0&1\\ 2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -100 \\ -100\end{bmatrix}

원래 삼각형(빨간색)의 세 꼭짓점을 변환하면 새 삼각형(파란색)의 세 점이 만들어진다. 이 변환은 원래 삼각형을 비틀고 이동시킨다. 모든 삼각형과 평행사변형은 아핀 변환을 통해 서로 연관될 수 있지만, 모든 사변형이 그런 것은 아니다.

6. 1. Affine warping

아핀 변환은 평행선을 보존한다. 하지만, 다음 예시에서 보듯이 늘이기 변환과 전단 변환은 모양을 변형시킨다.

이것은 이미지 워핑의 한 예시이다. 하지만, 아핀 변환은 곡면으로의 투영이나 방사형 왜곡을 용이하게 하지 않는다.

7. 평면상의 아핀 변환

2차원 실수 공간에서의 아핀 변환에는 다음이 포함된다.

순수한 평행 이동
주어진 방향으로의 스케일링(다른 방향, 반드시 수직일 필요는 없음)과 스케일링 방향으로만 존재하지 않는 평행 이동의 조합. "스케일링"을 일반화된 의미로 사용하면 스케일 팩터가 0인 경우 (사영) 또는 음수인 경우를 포함한다. 후자는 반사를 포함하며, 평행 이동과 결합하면 활주 반사를 포함한다.
회전과 닮음 변환 및 평행 이동의 조합
전단 변환과 닮음 변환 및 평행 이동의 조합
압착 매핑과 닮음 변환 및 평행 이동의 조합

유클리드 평면의 일반적인 아핀 변환을 시각화하려면, 레이블이 지정된 평행 사변형 ''ABCD''와 ''A′B′C′D′''를 사용한다. 점의 선택에 관계없이, ''A''를 ''A′''로, 각 정점을 유사하게 변환하는 평면의 아핀 변환 ''T''가 있다. ''ABCD''의 면적이 0인 퇴화된 경우를 제외한다고 가정하면, 그러한 아핀 변환 ''T''는 유일하게 존재한다. ''ABCD''를 기반으로 한 전체 평행 사변형 격자를 그리면, 임의의 점 ''P''의 이미지 ''T''(''P'')는 ''T''(''A'') = ''A′'', 선분 ''AB''에 적용된 ''T''는 ''A′B′'', 선분 ''AC''에 적용된 ''T''는 ''A′C′''이며, ''T''는 ''A''를 기준으로 하는 벡터의 스칼라 배수를 존중한다는 점에 유의하여 결정된다. 만약 ''A'', ''E'', ''F''가 공선점이면, length(''AF'')/length(''AE'')의 비율은 length(''A''′''F''′)/length(''A''′''E''′'')와 같다. 기하학적으로 ''T''는 ''ABCD''를 기반으로 한 격자를 ''A′B′C′D′''를 기반으로 한 격자로 변환한다.

아핀 변환은 길이 또는 각도를 존중하지 않으며, 면적을 상수 인수로 곱한다.

:''A′B′C′D′''의 면적 / ''ABCD''의 면적.

주어진 ''T''는 ''직접''(방향 보존) 또는 ''간접''(방향 반전)일 수 있으며, 이는 (예를 들어, 벡터의 외적)으로 정의된 ''부호 있는'' 면적에 대한 효과에 의해 결정될 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Affine transformations and convexity http://math.ucr.edu/[...] 2017-02-27
_[2] 서적 Projective Geometry
_[3] 서적 Geometric Tools for Computer Graphics https://books.google[...] Morgan Kaufmann
_[4] 서적 Introductio in analysin infinitorum https://gallica.bnf.[...]
_[5] 서적 'Digital Image Processing, 3rd' Pearson Hall 2008-01-01
_[6] 서적 Geometry
_[7] 서적 Geometry I
_[8] 서적 Geometric Methods and Applications

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