아핀 공간

3. 아핀 부분 공간과 평행성

'''아핀 부분 공간'''은 아핀 공간 $A$의 부분 집합 $B$로서, 점 $a\; \backslash in\; B$가 주어졌을 때 벡터 집합 $\backslash overrightarrow\{B\}\; =\; \backslash \{b\; -\; a\; \backslash mid\; b\; \backslash in\; B\backslash \}$가 $\backslash overrightarrow\{A\}$의 선형 부분 공간을 이루는 집합이다. 이 속성은 점 $a$의 선택에 의존하지 않으며, $B$ 자체가 $\backslash overrightarrow\{B\}$를 관련 벡터 공간으로 갖는 아핀 공간임을 의미한다. 아핀 부분 공간은 일부 문맥에서 ''선형 다양체'', 평면, 또는 실수 위에서는 ''선형 매니폴드''라고도 불린다.

$A$의 아핀 부분 공간은 $A$의 점 $a$와 $\backslash overrightarrow\{A\}$의 선형 부분 공간 $V$를 사용하여 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.

: $a\; +\; V\; =\; \backslash \{a\; +\; w\; \backslash mid\; w\; \backslash in\; V\backslash \}$

혹은 임의의 한 점 $p$를 고정하여, $p$의 부분 공간 $S$ 상의 벡터 $W$에 의한 평행 이동으로 얻어지는 점 전체로서 $S\; =\; p\; +\; W$ 와 같이 쓸 수도 있다.

이때 선형 부분 공간 $V$(또는 $W$)를 아핀 부분 공간의 '''방향'''이라고 부른다. 1차원 아핀 부분 공간은 직선, 2차원 아핀 부분 공간은 평면이라고 하며, 여차원이 1인 부분 공간은 초평면이라고 한다. 이들을 통칭하여 '''선형 다양체'''라고도 부른다.

두 개의 아핀 부분 공간 $S\_1$, $S\_2$가 주어졌을 때, 그들의 방향 벡터 공간 $V(S\_1)$과 $V(S\_2)$ 사이에 $V(S\_1)\; \backslash subseteq\; V(S\_2)$ 관계가 성립하면, $S\_1$은 $S\_2$에 평행하다고 하며, $S\_1\; \backslash parallel\; S\_2$와 같이 표기한다. 동일한 방향을 공유하는 두 부분 공간, 즉 $V(S\_1)\; =\; V(S\_2)$인 경우에도 평행하다고 한다. 평행 관계는 추이율($S\_1\; \backslash parallel\; S\_2$이고 $S\_2\; \backslash parallel\; S\_3$이면 $S\_1\; \backslash parallel\; S\_3$)을 만족한다. 그러나 대칭율($S\_1\; \backslash parallel\; S\_2$이면 $S\_2\; \backslash parallel\; S\_1$)은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 공간 내의 한 점에서 어떤 평면에 평행하도록 직선을 그을 수는 있지만, 어떤 직선에 평행하도록 평면을 그릴 수는 없다 (그려진 평면이 원래 직선과 평행하더라도, 그러한 평면은 무수히 많이 존재한다).

모든 평행 이동 $A\; \backslash to\; A:\; a\; \backslash mapsto\; a\; +\; v$는 모든 아핀 부분 공간을 자신과 평행한 부분 공간으로 변환시킨다.

이는 플레이페어의 공리를 다음과 같이 일반화하는 결과로 이어진다: 주어진 방향 $V$에 대해, 아핀 공간 $A$의 임의의 점 $a$를 지나면서 방향 $V$를 갖는 아핀 부분 공간은 $a\; +\; V$로서 유일하게 존재한다.

4. 아핀 사상

두 아핀 공간 $A$와 $B$가 주어지고, 그와 연관된 벡터 공간이 각각 $\backslash overrightarrow\{A\}$와 $\backslash overrightarrow\{B\}$일 때, $A$에서 $B$로 가는 아핀 사상(affine map^eng) 또는 아핀 준동형사상은 함수 $f:\; A\; \backslash to\; B$로, 이 함수에 대응하여 벡터들 사이에 정의되는 사상

$$

\begin{align}

\overrightarrow{f}: \overrightarrow{A} &\to \overrightarrow{B}\\

b - a &\mapsto f(b) - f(a)

\end{align}



가 잘 정의된 선형 사상이 되는 함수이다. 여기서 $f$가 잘 정의되었다는 것은 $b\; -\; a\; =\; d\; -\; c$ 이면 $f(b)\; -\; f(a)\; =\; f(d)\; -\; f(c)$ 가 성립한다는 의미이다.

이 정의로부터 점 $a\; \backslash in\; A$와 벡터 $v\; \backslash in\; \backslash overrightarrow\{A\}$에 대해 다음 식이 성립한다.

$f(a\; +\; v)\; =\; f(a)\; +\; \backslash overrightarrow\{f\}(v).$

따라서 $A$의 임의의 점 $b$는 기준점 $a\; \backslash in\; A$와 유일한 벡터 $v\; \backslash in\; \backslash overrightarrow\{A\}$를 통해 $b\; =\; a\; +\; v$로 표현 가능하므로, 아핀 사상 $f$는 한 점 $a$에서의 상 $f(a)$와 연관 선형 사상 $\backslash overrightarrow\{f\}$만으로 완전히 결정된다.

아핀 사상은 점들의 아핀 결합을 보존한다. 즉, 계수의 합이 1인 선형 결합 $\backslash sum\_\{i\}\; \backslash lambda\_i\; a\_i$ (단, $\backslash sum\_\{i\}\; \backslash lambda\_i\; =\; 1$)에 대해 다음이 성립한다.

$f\backslash left(\backslash sum\_\{i\}\; \backslash lambda\_i\; a\_i\backslash right)\; =\; \backslash sum\_\{i\}\; \backslash lambda\_i\; f(a\_i)$
아핀 변환(affine transformation^eng)은 아핀 공간 $A$에서 자기 자신으로 가는 아핀 사상, 즉 자기 사상(endomorphism^eng)이다. 아핀 변환의 대표적인 예는 다음과 같다.

• 평행 이동: 주어진 벡터 $\backslash overrightarrow\{v\}\; \backslash in\; \backslash overrightarrow\{A\}$에 대해, 모든 점 $a\; \backslash in\; A$를 $a\; +\; \backslash overrightarrow\{v\}$로 옮기는 사상 $T\_\{\backslash overrightarrow\{v\}\}:\; A\; \backslash to\; A$.
• 한 점을 중심으로 하는 선형 변환: 기준점 $b\; \backslash in\; A$와 선형 사상 $M:\; \backslash overrightarrow\{A\}\; \backslash to\; \backslash overrightarrow\{A\}$에 대해, 모든 점 $a\; \backslash in\; A$를 $b\; +\; M(a-b)$로 옮기는 사상 $L\_\{M,b\}:\; A\; \backslash to\; A$.

5. 아핀 기저와 좌표계

아핀 공간의 점들의 집합 $X$가 그 공간을 생성한다는 것은 $X$의 점들의 아핀 결합으로 공간의 모든 점을 나타낼 수 있다는 의미이다. 만약 $X$의 어떤 진부분집합도 $X$와 동일한 아핀 span을 가지지 않는다면, 즉 $X$의 어떤 점도 나머지 점들의 아핀 결합으로 표현될 수 없다면, $X$는 '''아핀 독립'''이라고 한다.^[2]

아핀 공간의 '''아핀 기저'''는 공간을 생성하면서 동시에 아핀 독립인 점들의 집합이다. 이는 최소 생성 집합과 같은 의미이다. 만약 아핀 공간의 차원이 $n$이라면, 아핀 기저는 정확히 $n+1$개의 점으로 이루어진다. 예를 들어, 3차원 공간의 아핀 기저는 4개의 점으로 구성된다.^[2]

점들의 집합 $\backslash \{x\_0,\; \backslash dots,\; x\_n\backslash \}$이 아핀 공간 $A$의 아핀 기저가 될 필요충분조건은, 벡터들의 집합 $\backslash \{x\_1\; -\; x\_0,\; \backslash dots,\; x\_n\; -\; x\_0\backslash \}$가 $A$와 연관된 벡터 공간 $\backslash overrightarrow\{A\}$의 선형 기저가 되는 것이다.^[2]

아핀 공간에는 서로 밀접하게 관련된 두 가지 종류의 좌표계가 정의될 수 있다.

=== 바리 중심 좌표계 ===

체 $k$ 위의 $n$차원 아핀 공간을 $A$라 하고, $\backslash \{x\_0,\; \backslash dots,\; x\_n\backslash \}$를 $A$의 아핀 기저라고 하자. 아핀 기저의 중요한 성질은 $A$ 안의 모든 점 $x$에 대해, 다음 두 조건을 만족하는 $(n+1)$-튜플 $(\backslash lambda\_0,\; \backslash dots,\; \backslash lambda\_n)$이 유일하게 존재한다는 것이다.^[2]

• $\backslash lambda\_0\; +\; \backslash dots\; +\; \backslash lambda\_n\; =\; 1$
• $x\; =\; \backslash lambda\_0\; x\_0\; +\; \backslash dots\; +\; \backslash lambda\_n\; x\_n.$

6. 예시

• 모든 벡터 공간 ''V''는 그 자체를 대상으로 하는 아핀 공간으로 간주될 수 있다. 이 경우, 벡터 공간의 원소는 점 또는 벡터로 해석될 수 있다. 이 아핀 공간은 때때로 (''V'', ''V'')로 표기된다. 점으로 간주될 때, 영 벡터는 보통 원점 ''o'' (또는 ''O'')라고 부른다.
• 유클리드 공간은 아핀 공간의 대표적인 예시이다. 1차원 직선, 2차원 평면, 3차원 공간 및 더 높은 차원의 유사 공간들이 모두 유클리드 공간에 해당하며, 이는 아핀 공간의 구조를 가진다. 현대적인 정의에 따르면, 유클리드 공간은 관련된 벡터 공간이 유한 차원의 실수 내적 공간인 아핀 공간이다.
• 수직선 위에서 수를 더하거나 뺄 때, 예를 들어 4 + 3이나 4 - 2를 계산하기 위해 오른쪽 또는 왼쪽으로 눈금을 세는 것은 수직선을 1차원 아핀 공간으로 다루는 것과 같다.
• 시간은 1차원 아핀 공간으로 모델링될 수 있다. 특정한 시점(예: 특정 날짜)은 아핀 공간의 점에 해당하고, 시간의 간격(예: '3일 동안')은 변위 벡터에 해당한다.
• 에너지 공간은 실수 '''R'''을 벡터 공간으로 하는 아핀 공간으로 볼 수 있다. 물리학에서는 절대적인 에너지 값보다는 에너지의 차이가 중요하게 다뤄지기 때문이다. 예를 들어, 진공 에너지를 정의하는 것은 특정한 기준점(원점)을 선택하는 것에 해당한다.
• 물리적 공간은 종종 아핀 공간으로 모델링된다. 비상대론적 환경에서는 3차원 유클리드 공간 '''R'''³에 대한 아핀 공간으로, 상대론적 환경에서는 민코프스키 공간 '''R'''^1,3에 대한 아핀 공간으로 다룬다. 이를 벡터 공간과 구별하기 위해 E(3) 또는 E(1,3)으로 표기하기도 한다.
• 어떤 벡터 공간의 부분 공간 ''V''가 주어졌을 때, ''V''의 잉여류들의 집합은 ''V''를 벡터 공간으로 하는 아핀 공간을 형성한다. 예를 들어, '''R'''²에서 원점을 지나지 않는 직선은 그 자체로는 벡터 공간이 아니지만, 직선 위의 한 점을 원점으로 간주하면 아핀 공간 구조를 가진다.
• 선형 방정식의 해 집합은 아핀 공간을 이룬다.

• * 비동차 선형 미분 방정식의 해 집합은, 대응하는 동차 선형 미분 방정식의 해 공간(이는 벡터 공간임)에 대한 아핀 공간을 형성한다.
• 더 일반적으로, 선형 사상 ''T'': ''V'' → ''W''와 ''T''의 상에 속하는 벡터 y에 대해, 방정식 ''T''x = y를 만족하는 해 x ∈ ''V''의 집합은 ''T''의 핵(Ker ''T'')의 잉여류이며, 따라서 Ker ''T''를 벡터 공간으로 하는 아핀 공간이다.
• 벡터 공간 ''W'' 안의 부분 공간 ''V''에 대한 보완 부분 공간들의 공간은 Hom(''W''/''V'', ''V'')에 대한 아핀 공간이다.
• 미분기하학에서 벡터 다발이나 주 다발 위의 접속들의 공간은 특정 벡터 공간에 대한 아핀 공간이다.

7. 대수기하학에서의 아핀 공간

대수기하학에서 아핀 대수다양체 (또는, 더 일반적으로 아핀 대수적 집합)는 아핀 공간의 부분집합으로, 소위 "아핀 공간 위의 다항식 함수"의 공통 영점 집합으로 정의된다. "아핀 공간 위의 다항식 함수"를 정의하기 위해서는 아핀 틀을 선택해야 한다. 그러면, 다항식 함수는 임의의 점의 상이 그 점의 좌표에 대한 일부 다변수 다항식 함수의 값인 함수이다. 아핀 좌표의 변환은 좌표의 선형 함수 (더 정확하게는 아핀 함수)로 표현될 수 있으므로, 이 정의는 특정 좌표 선택과 무관하다.

체 ''k'' 위의 차원 ''n''인 아핀 공간 $\backslash mathbb\{A\}\_k^n$에 대한 아핀 좌표계 선택은 $\backslash mathbb\{A\}\_k^n$과 아핀 좌표 공간 ''k''^''n'' 사이의 아핀 동형 사상을 유도한다. 이러한 이유로 많은 교과서에서 $\backslash mathbb\{A\}\_k^n\; =\; k^n$으로 쓰고, 아핀 대수다양체를 ''k''^''n'' 위의 다항식 함수의 공통 영점으로 소개한다.^[9]

전체 아핀 공간은 영 다항식의 공통 영점 집합이므로, 아핀 공간은 아핀 대수다양체이다.

위의 정의에 따르면, 아핀 공간 $\backslash mathbb\{A\}\_k^n$의 아핀 프레임을 선택하면 $\backslash mathbb\{A\}\_k^n$의 다항식 함수를 ''n''개의 변수에 대한 다항식과 동일시할 수 있으며, 이때 ''i''번째 변수는 점을 해당 점의 ''i''번째 좌표에 매핑하는 함수를 나타낸다. 따라서 $\backslash mathbb\{A\}\_k^n$에 대한 다항식 함수의 집합은 ''k''-대수이며, $k\backslash left[\backslash mathbb\{A\}\_k^n\backslash right]$으로 표시되고, 이는 다항식환 $k\backslash left[X\_1,\; \backslash dots,\; X\_n\backslash right]$과 동형이다.

좌표를 변경하면 $k\backslash left[\backslash mathbb\{A\}\_k^n\backslash right]$과 $k[X\_1,\; \backslash dots,\; X\_n]$ 사이의 동형사상도 그에 따라 변경되며, 이는 각 부정원소를 1차 다항식에 매핑하는 $k\backslash left[X\_1,\; \backslash dots,\; X\_n\backslash right]$의 자기 동형 사상을 유도한다. 따라서 전체 차수는 $k\backslash left[\backslash mathbb\; A\_k^n\backslash right]$의 여과를 정의하며, 이는 좌표 선택과 무관하다. 전체 차수는 또한 등급을 정의하지만, 아핀 좌표의 변경이 부정원소를 비-동차 다항식에 매핑할 수 있으므로 좌표 선택에 따라 달라진다.

실수나 복소수와 같은 위상체 위의 아핀 공간은 자연스러운 위상을 갖는다. 임의의 체 위의 아핀 공간에 대해 정의되는 자리스키 위상은 모든 경우에 위상적 방법을 사용할 수 있게 해준다. 자리스키 위상은 아핀 공간에서 닫힌 집합이 아핀 대수적 집합(즉, 아핀 집합에 대한 다항식 함수의 공통 영점 집합)인 유일한 위상이다. 위상체에서 다항식 함수는 연속이므로 모든 자리스키 닫힌 집합은 일반적인 위상에 대해 닫혀 있다(있는 경우). 즉, 위상체 위에서 자리스키 위상은 자연스러운 위상보다 느슨한 위상이다.

아핀 공간에서 다항식 함수의 환의 소 아이디얼 집합(즉, 환의 스펙트럼)으로의 자연스러운 단사 함수가 존재한다. 아핀 좌표가 선택되면 이 함수는 좌표 $\backslash left(a\_1,\; \backslash dots,\; a\_n\backslash right)$의 점을 극대 아이디얼 $\backslash left\backslash langle\; X\_1\; -\; a\_1,\; \backslash dots,\; X\_n\; -\; a\_n\backslash right\backslash rangle$로 매핑한다. 이 함수는 아핀 공간과 다항식 함수 환의 스펙트럼의 자리스키 위상에 대한 위상 동형 사상이며, 함수의 이미지 위로의 위상 동형 사상이다.

대수적으로 닫힌 체의 경우는 대수 기하학에서 특히 중요한데, 이 경우 위상 동형 사상은 아핀 공간과 함수의 환의 모든 극대 아이디얼 집합 간의 사상이기 때문이다(이것이 힐베르트 영점 정리이다).

이것이 그로텐디크의 스키마 이론의 시작 아이디어이며, 이는 대수적 다양체를 연구하기 위해 아핀 공간의 점뿐만 아니라 스펙트럼의 모든 소 아이디얼을 "점"으로 간주하는 것으로 구성된다. 이를 통해 다양체의 경우 차트가 다양체를 구성하기 위해 함께 붙이기가 가능한 것과 유사한 방식으로 대수적 다양체를 붙이기가 가능하다.

모든 아핀 대수다양체와 마찬가지로 아핀 공간에 대한 국소 데이터는 항상 전역적으로 접합될 수 있다. 즉, 아핀 공간의 코호몰로지는 자명하다. 더 정확히 말하면, 모든 연접층 '''F'''와 정수 $i\; >\; 0$에 대해 $H^i\backslash left(\backslash mathbb\{A\}\_k^n,\backslash mathbf\{F\}\backslash right)\; =\; 0$이다. 이러한 성질은 다른 모든 아핀 대수다양체도 갖는다. 또한 아핀 공간의 모든 에탈 코호몰로지 군도 자명하다. 특히 모든 선형 다발은 자명하다. 더 일반적으로, 퀼렌-서슬린 정리에 따르면 아핀 공간 위의 ''모든'' 대수적 벡터 다발은 자명하다.

8. 사영 공간과의 관계

참조

_[1] 문서 The word translation is generally preferred to displacement vector, which may be confusing, as displacements include also rotations.
_[2] 서적 1987
_[3] 서적 Problems in Geometry Springer 1984
_[4] 서적 1987
_[5] 서적 Metric Affine Geometry 1989
_[6] 서적 Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics https://books.google[...] Springer 2011
_[7] 서적 1994
_[8] 서적 Introduction to Linear Algebra Wellesley-Cambridge Press 2009
_[9] 서적 1977
_[10] 서적 1987