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안정점

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목차

1. 개요

안정점은 복소수 벡터 공간과 가약 대수군이 주어졌을 때, 군의 작용 궤도가 군의 차원과 같고 닫힌 집합인 점을 의미한다. 준안정점은 특정 불변 다항식에 대해 0이 아닌 값을 갖는 점을 말하며, 안정점과 준안정점은 사영 공간에서도 정의된다. 힐베르트-멈퍼드 수치 조건은 안정점과 준안정점을 판별하는 기준을 제공하며, 불안정, 반안정, 안정의 개념을 통해 점의 특성을 정의한다. 기하 불변 이론은 안정점과 준안정점을 활용하여 모듈라이 공간을 구성하며, 안정 곡선과 안정 벡터 번들을 정의하고 연구하는 데 사용된다.

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안정점

2. 정의

복소수 벡터 공간 V와 가약 대수군 G \le \operatorname{SL}(V)가 주어졌다고 하자.

점 x\in V가 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''안정점'''이라고 한다.

# 군의 작용의 궤도 G.x의 차원이 G의 차원과 같다. (즉, 안정자군이 유한하다.)

# G.x가 V의 닫힌집합이다.

안정점의 집합을 X^{\operatorname{s}}라고 표기한다.

점 x\in V가 다음 조건을 만족시킨다면, '''준안정점'''(불변]] 동차 다항식 p에 대하여 (k\ge1), p(x) \ne 0이다.

준안정점의 집합을 X^{\operatorname{ss/semistable point}})이라고 한다.


  • 어떤 k차 G-


V에 대한 복소수 사영 공간 \mathbb P(V)의 점 [x]\in \mathbb P(V)의 경우, 그 점의 대표원 x\in V이 (준)안정점일 경우 마찬가지로 (준)안정점이라고 한다. X가 \mathbb P(V) 속의, G의 작용에 대하여 불변인 사영 대수다양체일 경우에도 마찬가지로 정의한다.

환원군 가 벡터 공간 에 선형적으로 작용하는 경우, 의 0이 아닌 점은 다음과 같이 정의된다.

  • '''불안정''' : 0이 그 궤도의 폐포에 속하는 경우
  • '''반안정''' : 0이 그 궤도의 폐포에 속하지 않는 경우
  • '''안정''' : 그 궤도가 닫혀 있고, 그 안정자군이 유한한 경우


이러한 정의를 설명하는 동등한 방법이 있다. 이를 힐베르트-멈포드 판별법이라고 한다.

  • 0이 아닌 점 가 불안정하다는 것과, 의 1-모수 부분군이 존재하여 에 대한 모든 가중치가 양수인 것은 동치이다.
  • 0이 아닌 점 가 불안정하다는 것과, 모든 불변 다항식이 0과 에서 동일한 값을 가져야 합니다.
  • 0이 아닌 점 가 반안정하다는 것과, 의 1-모수 부분군이 존재하지 않아 에 대한 모든 가중치가 양수여야 합니다.
  • 0이 아닌 점 가 반안정하다는 것과, 일부 불변 다항식이 0과 에서 다른 값을 가져야 합니다.
  • 0이 아닌 점 가 안정하다는 것과, 의 모든 1-모수 부분군이 에 대해 양수(및 음수) 가중치를 가져야 합니다.
  • 0이 아닌 점 가 안정하다는 것과, 의 궤도에 없는 모든 에 대해 와 에서 다른 값을 갖는 일부 불변 다항식이 존재하고, 불변 다항식의 환이 초월 차수 를 가져야 합니다.

2. 1. 힐베르트-멈퍼드 수치 조건




n차원 복소수 벡터 공간 V의 복소수 사영 공간 \operatorname P(V) 위에 G \le \operatorname{SL}(V;\mathbb C)가 작용한다고 하자. 그렇다면, 임의의 대수적 군 준동형

:\lambda \colon \mathbb C^\times \to G

에 대하여, V를 다음과 같이 복소수 벡터 공간의 직합으로 분해할 수 있다.

:V_i = \{v\in V\colon \lambda(t)v = t^iv\}

:V = \bigoplus_{i \in\mathbb Z} V_i

(일부 i에 대하여 V_i = 0일 수 있다.) 이에 대한 사영 사상을

:\pi_i \colon V \twoheadrightarrow V_i

라고 하자.

그렇다면, 임의의 v\in V에 대하여

:\mu_\lambda(v) = \min \{i\in \mathbb Z \colon \pi_i(v) \ne 0\}

을 정의하자. '''힐베르트-멈퍼드 수치 조건'''(Hilbert–Mumford numerical condition for stability영어)에 따르면, 임의의 v \in V에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 임의의 \lambda \colon \mathbb C^\times \to G에 대하여 \mu_\lambda(v) < 0이다.
  • v는 안정점이다.

마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 임의의 \lambda \colon \mathbb C^\times \to G에 대하여 \mu_\lambda(v) \le 0이다.
  • v는 준안정점이다.


환원군 G가 벡터 공간 V에 선형적으로 작용하는 경우, V의 0이 아닌 점은 다음과 같이 정의된다.

  • '''불안정''' : 0이 그 궤도의 폐포에 속하는 경우
  • '''반안정''' : 0이 그 궤도의 폐포에 속하지 않는 경우
  • '''안정''' : 그 궤도가 닫혀 있고, 그 안정자군이 유한한 경우


이러한 정의를 설명하는 동등한 방법이 있으며, 이를 힐베르트-멈포드 판별법(Hilbert–Mumford criterion)이라고 한다.

  • 0이 아닌 점 x가 불안정하다는 것과, G의 1-모수 부분군이 존재하여 x에 대한 모든 가중치가 양수인 것은 동치이다.
  • 0이 아닌 점 x가 불안정하다는 것과, 모든 불변 다항식이 0과 x에서 같은 값을 갖는 것은 동치이다.
  • 0이 아닌 점 x가 반안정하다는 것과, G의 1-모수 부분군이 존재하지 않아 x에 대한 모든 가중치가 양수여야 합니다.
  • 0이 아닌 점 x가 반안정하다는 것과, 일부 불변 다항식이 0과 x에서 다른 값을 가져야 합니다.
  • 0이 아닌 점 x가 안정하다는 것과, G의 모든 1-모수 부분군이 x에 대해 양수(및 음수) 가중치를 가져야 합니다.
  • 0이 아닌 점 x가 안정하다는 것과, x의 궤도에 없는 모든 y에 대해 y와 x에서 다른 값을 갖는 일부 불변 다항식이 존재하고, 불변 다항식의 환이 초월 차수 dim(V) – dim(G)를 가져야 합니다.

3. 성질

사영 대수다양체 $X \subseteq \mathbb{CP}^n$를 정의하는 동차 아이디얼 $\mathfrak I \subseteq \mathbb C[x_0,x_1,\dotsc,x_n]$을 생각하자. $G$는 $\mathbb C[x_0,x_1,\dotsc,x_n] / \mathfrak I$ 위에 작용하며, 이에 대한 고정점 집합 $(\mathbb C[x_0,x_1,\dotsc,x_n] / \mathfrak I)^G$는 복소수체 위의 유한 생성 가환 결합 대수를 이루며, 어떤 사영 대수다양체를 정의한다. 이를 $X/\!/G$라고 한다.

이 경우, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

:\begin{matrix}

X^{\operatorname{s}} & \subseteq & X^{\operatorname{ss}} & \subseteq X \\

\downarrow && \downarrow \\

X^{\operatorname{s}}/G & \subseteq & X/\!/G

\end{matrix}

여기서, 안정점 집합 $X^s$와 준안정점 집합 $X^{ss}$는 $X$의 열린집합이며, $X^s/G$는 $X/\!/G$의 열린집합이다.

4. 역사

1893년 다비트 힐베르트가 (현대적 용어로는) 준안정점이 아닌 점을 ‘영형식’(눌포름/Nullformde)이라는 이름으로 연구하였다.[4] 이후 데이비드 멈퍼드가 1965년에 안정점과 준안정점의 개념을 도입하였다.[3]

불변 이론은 군 작용에 관한 것으로, 군 G가 대수다양체 (또는 scheme) X에 작용하는 경우를 다룬다. 고전 불변 이론은 X = V가 벡터 공간이고 G가 유한군이거나 V에 선형적으로 작용하는 고전 리 군 중 하나인 상황을 다룬다. 이 작용은 공식에 의해 G의 V상의 다항식 함수 R(V) 공간에 대한 선형 작용을 유도한다.

: g\cdot f(v)=f(g^{-1}v), \quad g\in G, v\in V.

V에 대한 G-작용의 다항식 불변량은 군의 작용으로 인한 '변수 변경'에 따라 고정된 V 상의 다항식 함수 f이다. 즉, 모든 G에 대해 g · f = f이다. 이러한 불변량들은 가환 체 위의 대수 A = R(V)G를 형성하며, 이 대수는 '불변 이론 몫' V // G에 대한 함수의 대수로 해석된다. 현대 대수기하학의 용어로는 다음과 같다.

: V/\!\!/G=\operatorname{Spec} A=\operatorname{Spec} R(V)^G.

이 설명에서 몇 가지 어려움이 발생한다. 첫 번째는, 일반 선형 군의 경우 힐베르트가 성공적으로 해결한 것으로, 대수 A가 유한하게 생성됨을 증명하는 것이다. 몫이 아핀 대수다양체가 되려면 이 증명이 필요하다. 유사한 사실이 임의의 군 G에 대해 성립하는지는 힐베르트의 14번째 문제의 주제였으며, 나가타는 일반적인 경우에 답이 부정적임을 증명했다. 한편, 20세기 전반에 걸친 표현론의 발전 과정에서 이 질문에 긍정적인 답을 주는 광범위한 군이 식별되었는데, 이들을 환원군이라고 하며, 모든 유한군과 모든 고전 군을 포함한다.

대수 A의 유한 생성성은 A의 완전한 설명을 향한 첫 번째 단계일 뿐이며, 이보다 더 미묘한 질문을 해결하는 데 있어서의 진전은 다소 미미했다. 불변량은 전통적으로 제한된 범위의 상황에서만 설명되었으며, 최초 몇몇 경우를 넘어선 이 설명의 복잡성은 일반적으로 불변량의 대수를 완전히 이해하는 데 대한 희망을 거의 주지 못했다. 또한, 임의의 다항식 불변량 f가 V의 주어진 점 u와 v에서 동일한 값을 가질 수 있지만, 이 점들이 G의 서로 다른 궤도에 속할 수도 있다. 간단한 예는 영이 아닌 복소수의 곱셈군 C*가 스칼라 곱셈을 통해 n차원 복소 벡터 공간 Cn에 작용하는 경우이다. 이 경우 모든 다항식 불변량은 상수이지만, 작용에는 많은 서로 다른 궤도가 있다. 영 벡터는 궤도를 형성하고, 영이 아닌 벡터의 영이 아닌 배수는 궤도를 형성하므로, 영이 아닌 궤도는 복소 사영 공간 CPn–1의 점으로 매개변수화된다. 이런 경우(다른 궤도가 동일한 함수 값을 갖는 경우), "불변량은 궤도를 분리하지 않는다"라고 말하며, 대수 A는 위상 몫 공간 X / G를 불완전하게 반영한다. 실제로 후자의 공간은 몫 위상을 갖는 경우 분리되지 않는 경우가 많다. 1893년 힐베르트는 불변 다항식에 의해 영 궤도에서 분리되지 않는 궤도를 결정하기 위한 기준을 공식화하고 증명했다.

기하학적 불변 이론은 1965년에 처음 출판된 논문에서 멈퍼드에 의해 창시되고 발전되었으며, 19세기 불변 이론의 아이디어, 특히 힐베르트의 일부 결과를 현대 대수 기하학 문제에 적용했다. 이 책은 스키마 이론과 예시에서 사용할 수 있는 계산 기술을 모두 사용한다. 사용된 추상적인 설정은 스키마 X에 대한 군 작용이다. 궤도 공간에 대한 단순한 아이디어는 다음과 같다.

:G \setminus X

멈퍼드는 조악한 모듈 문제에서 다음과 같은 장애물을 고려한다.


  • 모듈 공간의 비분리 위상 (즉, 적절한 매개변수가 충분하지 않음)
  • 무한히 많은 기약 성분
  • 위상적으로 표현 가능하지만 스키마로 표현할 수 없는 구성 요소의 실패.


이 세 번째 점이 전체 이론을 자극했다. 멈퍼드가 말했듯이, 처음 두 가지 어려움이 해결되면, 세 번째 질문은 힐베르트 스키마 또는 차우 스키마의 국소 닫힌 부분 집합의 사영 군에 의한 궤도 공간이 존재하는지 여부에 대한 질문과 동일하게 된다. 이를 처리하기 위해 그는 안정성이라는 개념을 도입했다.

5. 응용

기하 불변 이론은 다양한 모듈라이 공간의 구성에 활용된다. 안정 곡선, 안정 벡터 번들 등의 개념은 기하 불변 이론을 통해 정의되고 연구된다.

안정 곡선은 종수가 2 이상인 기약 연결 곡선으로, 특이점은 일반 이중점뿐이며 모든 비특이 유리 성분은 다른 성분과 최소 3개의 점에서 만난다. 안정 곡선의 모듈라이 공간은 힐베르트 다항식 (6''n'' – 1)(''g'' – 1)을 갖는 }}의 곡선의 힐베르트 스킴의 부분 집합을 이용하여 구성할 수 있다.

대수 곡선(또는 리만 곡면) 위의 벡터 번들 $W$가 안정 벡터 번들이라는 것은, $W$의 모든 고유한 0이 아닌 부분 번들 $V$에 대해 다음 조건을 만족하는 경우를 말한다.

:\displaystyle\frac{\deg(V)}{\hbox{rank}(V)} < \frac{\deg(W)}{\hbox{rank}(W)}

위 부등호에서 < 대신 ≤를 사용하면 준안정 벡터 번들이 된다.

5. 1. 안정 곡선

안정 곡선은 종수가 2 이상인 기약 연결 곡선으로, 특이점은 일반 이중점뿐이며 모든 비특이 유리 성분은 다른 성분과 최소 3개의 점에서 만난다. 안정 곡선의 모듈라이 공간은 힐베르트 다항식 을 갖는 }}의 곡선의 힐베르트 스킴의 부분 집합을 이용하여 구성할 수 있다.

5. 2. 안정 벡터 번들

대수 곡선(또는 리만 곡면) 위의 벡터 번들 $W$가 안정 벡터 번들이라는 것은, $W$의 모든 고유한 0이 아닌 부분 번들 $V$에 대해 다음 조건을 만족하는 경우를 말한다.

:\displaystyle\frac{\deg(V)}{\hbox{rank}(V)} < \frac{\deg(W)}{\hbox{rank}(W)}

위 부등호에서 < 대신 ≤를 사용하면 준안정 벡터 번들이 된다.

참조

[1] 문서 'ヒルベルトの第14問題： k を体を体、K を n 変数の k 上の有理函数体 k(x_1,\dots, x_n) の部分体とする。そこで交叉
[2] 논문 Invariant theory, old and new
[3] 서적 Geometric invariant theory Springer-Verlag
[4] 저널 Über die vollen Invariantensysteme 1893


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