가약군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 근과 관련된 성질
6. 분할 환원군의 분류
7. 실수 환원군
8. 비분할 환원군
9. 갈루아 작용과 딘킨 다이어그램
10. 리 군의 경우
11. 추가 정보
참조

1. 개요

가약군은 대수적으로 닫힌 체에 대한 선형 대수군으로, 근기 내에서 1이 아닌 모든 원소가 멱일원이 아닌 군을 의미한다. 가약군은 근기를 이용한 정의, 표현론을 이용한 정의, 그리고 단순 환원군, 분할 환원군 등의 개념으로 설명된다. 가약군은 일반적으로 곱셈군, 대수 원환면, 일반선형군, 특수선형군, 특수직교군 등 다양한 예시를 가지며, 아벨 다양체와 덧셈군은 가약군에 속하지 않는다.

가약군은 근, 바일 군, 보렐 부분군, 단순근과 같은 개념과 밀접하게 관련되어 있으며, 분할 환원군의 분류는 딘킨 다이어그램을 통해 이루어진다. 실수 환원군은 리 군의 맥락에서 정의되며, 유용한 표현론이 개발되었다. 또한, 비분할 환원군과 관련된 등방적, 비등방적, 준분할 등의 개념이 존재한다. 가약군은 갈루아 작용과 딘킨 다이어그램, 토서 및 하세 원리와도 연관되어 있으며, 리 군의 경우 리 대수의 환원성을 통해 정의된다.

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가약군
일반 정보
분야	수학
하위 분야	군론, 대수 기하학, 표현론
유형	대수적 군
정의	선형 대수 군 G가 주어졌을 때, G의 모든 유리적인 표현이 완전 환원 가능하다면, G는 약군이라고 한다.
참고	대수적 군, 군론
성질
유니포텐트 급진	약군의 유니포텐트 급진은 자명군이다.
리 대수	약군의 리 대수는 완전 환원 가능하다.
예시
예시	가환군 반단순군 대수적 토러스 일반 선형군

2. 정의

체 ''k''에 대한 선형 대수적 군은 어떤 양의 정수 ''n''에 대해, ''k'' 위의 GL(''n'')의 매끄러운 닫힌 부분군 스킴으로 정의된다. 동등하게, ''k'' 위의 매끄러운 아핀 군 스킴으로 정의할 수도 있다.

리 군의 경우, 환원 리 군 ''G''는 그 리 대수 ''g''가 환원 리 대수, 즉 가환 리 대수와 반단순 리 대수의 직합이 되는 군으로 정의된다.

하지만 리 군과 대수군에서의 환원성 개념이 반드시 일치하는 것은 아니다. 예를 들어, 1차원 가환 리 대수 '''R'''은 환원 리 대수이다. 이 리 대수에 대응하는 대수 군으로는 0이 아닌 실수의 곱셈군인 '''G'''_''m''과 실수의 덧셈군인 '''G'''_''a''가 있다. 이 중 '''G'''_''m''은 환원 대수 군이지만, '''G'''_''a''는 환원되지 않은 멱영 대수 군이다. 이들은 리 군으로서는 동형이지만, 대수 군으로서는 동형이 아니다.

2. 1. 근기를 이용한 정의

대수적으로 닫힌 체

K

에 대한 선형 대수군

G

가 주어졌다고 하자.

G

의 '''근기'''(radical|래디컬^eng)

\sqrt G

는 단위원을 포함하는 연결 성분

G_0

의 최대 연결 가해 부분군이다. 근기는 항상 존재하며, 항상 닫힌 부분군이다.

다음 두 조건은 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는

G

를 '''가약군'''이라고 한다.

$G$ 의 근기 $\sqrt G$ 속에서, 1이 아닌 모든 원소들이 멱일원이 아니다.
$G$ 의 단위원을 포함하는 연결 성분 $G_0$ 는 반단순 대수군과 대수 원환면(algebraic torus|앨지브레이익 토러스^eng)의 곱이며, 이 두 군은 $G_0$ 의 닫힌 부분군을 이룬다.

한편, 연결된 대수적 선형군

G

의 '''유니포턴트 근기'''(unipotent radical|유니포턴트 래디컬^eng)

R_u(G)

는

G

의 가장 큰 매끄러운 연결 유니포턴트 정규 부분군으로 정의된다.^[1] 유니포턴트 근기를 이용하여 가약군을 정의할 수도 있는데,

G

의 유니포턴트 근기

R_u(G)

가 자명군이면

G

는 가약군이다.

만약

G

의 근기

\sqrt G

가 자명군이라면,

G

를 '''반단순 대수군'''(semisimple algebraic group|세미심플 앨지브레이익 그룹^eng)이라고 한다.

임의의 체 ''k'' 위의 군

G

는 기저 변환

G_{\overline k}

가 환원적이면 환원적이라고 정의하며, 여기서

\overline k

는 ''k''의 대수적 폐포이다. (이 정의는 ''k''가 완전체일 때 유니포턴트 근기를 이용한 정의와 동일하다.^[2]) 예를 들어, 토러스는 환원적이다.

2. 2. 표현론을 이용한 정의

대수적으로 닫힌 체

K

위에서 정의된 대수군

G

의 모든

K

-벡터 공간 표현이 기약 표현들의 직합으로 유일하게 분해될 때,

G

를 가약군(reductive group|리덕티브 그룹^eng)이라고 한다. 이 정의의 역, 즉 가약군이면 모든 표현이 기약 표현으로 분해된다는 성질은 표수가 0인 체에서는 성립하지만, 양의 표수에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

만약

K

가 표수가 0인 대수적으로 닫힌 체라면, 다음 세 조건은 서로 동치이다.

$G$ 는 가약군이다.
$G$ 의 모든 $K$ -벡터 공간 표현은 기약 표현들로 유일하게 분해된다.
$G$ 의 리 대수 $\mathfrak g$ 가 가약 리 대수이다. 즉, 딸림표현 $\mathfrak g$ 는 기약 표현들로 유일하게 분해된다.

복소수체에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$G$ 는 복소 가약군이다.
$G$ 의 단위원의 연결 성분 $G_0$ 은 콤팩트 연결 실수 리 군의 복소화이다.

표수가 0인 체 위에서는 가약군을 다르게 정의할 수도 있다. 연결된 군

G

가 그 대수적 폐포

k^{al}

위에서 반단순으로 유지되는 충실한(faithful) 반단순 표현을 가지면 가약군이라고 정의한다.^[3] ^424페이지.

리 군의 경우, 환원 리 군

G

는 그 리 대수

\mathfrak g

가 환원 리 대수, 즉 가환 리 대수와 반단순 리 대수의 직합이 되는 군으로 정의된다. 리 대수의 환원성은 그 수반 표현의 완전 가약성(complete reducibility|컴플리트 리듀서빌리티^eng)과 동치이지만, 일반적인 유한 차원 표현이 반드시 완전 가약적인 것은 아니다. 또한, 리 군과 대수 군에서의 환원성 개념이 항상 일치하지는 않는다.

2. 3. 단순 환원군

연결된 대수적 선형군

G

가 대수적으로 닫힌 체 위에서 모든 매끄러운 연결 가해 정규 부분군이 자명군이면 '''반단순'''이라고 한다. 더 일반적으로, 대수적으로 닫힌 체 위의 연결된 대수적 선형군

G

는

G

의 가장 큰 매끄러운 연결된 유니포턴트 정규 부분군이 자명군이면 '''환원적'''이라고 한다.^[1] 이 정규 부분군은 '''유니포턴트 근기'''라고 불리며

R_u(G)

로 표시된다. 임의의 체 ''k'' 위의 군

G

가 기저 변환

G_{\overline k}

가 반단순 또는 환원적이면 반단순 또는 환원적이라고 하며, 여기서

\overline k

는 ''k''의 대수적 폐포이다. (이는 ''k''가 완전체일 때 서론에서 환원적 군의 정의와 동일하다.^[2]) 토러스는 곱셈군 ''G''_''m''과 같이 ''k'' 위에 있으며, 환원적이다.

체 ''k'' 위의 환원군 ''G''가 ''k''에 대해 분해된 극대 토러스 ''T''를 포함하고 있다면 '''분해'''되었다고 한다(즉,

\overline k

로의 기저 변화가

G_{\overline k}

의 극대 토러스인 ''G'' 내의 분해 토러스). 이는 ''T''가 ''G'' 내의 모든 ''k''-토러스 중에서 극대인 분해 토러스라고 말하는 것과 동등하다.^[5] 이러한 종류의 군은 루트 데이터라고 하는 조합적 데이터를 통해 분류를 설명할 수 있기 때문에 유용하다.

3. 성질

만약 대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대한 대수군 $G$ 의 모든 $K$ -벡터 공간 표현이 기약 표현들의 직합으로 유일하게 분해된다면, $G$ 를 가약군(reductive group)이라고 한다. 이 조건의 역, 즉 가약군이면 모든 표현이 기약 표현으로 분해된다는 것은 표수가 0인 경우에는 성립하지만, 양의 표수에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위에서 정의된 대수군 $G$ 에 대해, 다음 세 조건은 서로 동치이다.

$G$ 는 가약군이다.
$G$ 의 모든 $K$ -벡터 공간 표현은 완전 가약적이다. 즉, 기약 표현들의 직합으로 유일하게 분해된다.
$G$ 의 리 대수 $\mathfrak g$ 는 가약 리 대수이다. 즉, 딸림표현 $\operatorname{ad}: \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(\mathfrak g)$ 아래 $\mathfrak g$ 는 기약 표현들의 직합으로 유일하게 분해된다.

복소수체

\mathbb{C}

위에서 정의된 대수군

G

에 대해, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$G$ 는 복소 가약군이다.
$G$ 의 단위원의 연결 성분 $G_0$ 은 어떤 콤팩트 연결 실수 리 군의 복소화이다.

=== 표현의 완전 가약성 ===

표수가 0인 체 위의 가약군

G

의 중요한 성질 중 하나는 모든 유한 차원 표현(대수군으로서의 표현)이 완전 가약적이라는 것이다. 즉, 모든 표현은 기약 표현들의 직합으로 나타낼 수 있다.^[6] '가약적(reductive)'이라는 이름은 바로 이 성질에서 유래했다.

그러나 이 완전 가약성은 양의 표수에서는 일반적으로 성립하지 않는다. 토러스를 제외한 대부분의 가약군은 양의 표수에서 완전 가약적이지 않은 표현을 갖는다. 더 정확히 말하면, 체

K

위의 아핀 군 스킴

G

가 모든 유한 차원 표현이 완전 가약적일 때 선형 가약적(linearly reductive)이라고 한다.

표수가 0인 체 $K$ 위에서는, $G$ 가 선형 가약적인 것과 $G$ 의 단위원의 연결 성분 $G^0$ 가 가약군인 것이 동치이다.^[7]
표수가 $p>0$ 인 체 $K$ 위에서는, 나가타 마사요시에 의해 $G$ 가 선형 가약적인 것은 $G^0$ 가 곱셈형 군 스킴(즉, 대수적 토러스)이고, 몫 $G/G^0$ 의 위수가 $p$ 와 서로소인 것과 동치임이 증명되었다.^[8]

=== 리 군과의 관계 ===

리 군의 맥락에서도 '가약 리 군'이라는 개념이 사용된다. 리 군

G

가 가약 리 군이라는 것은 그 리 대수

\mathfrak g

가 가약 리 대수, 즉 가환 리 대수와 반단순 리 대수의 직합인 경우를 말한다. 때로는

G

의 연결 성분이 유한 개라는 조건이 추가되기도 한다. 리 대수의 가약성은 딸림표현의 완전 가약성과 동치이다. 하지만 일반적인 유한 차원 표현은 완전 가약적이지 않을 수 있다.

모든 콤팩트 연결 리 군은 복소화를 통해 복소 가약 대수군을 얻을 수 있다. 이 대응 관계는 동형 사상을 기준으로 콤팩트 연결 리 군과 복소 가약군 사이에 거의 일대일 대응을 제공한다. 복소화가

G

인 콤팩트 리 군

K

가 주어졌을 때, 포함 사상

K \hookrightarrow G(\mathbb{C})

는

G(\mathbb{C})

의 고전적 위상에 대해 호모토피 동치이다. 예를 들어, 유니타리 군

U(n)

의 복소화는 일반선형군

GL(n, \mathbb{C})

이며, 포함 사상

U(n) \hookrightarrow GL(n, \mathbb{C})

는 호모토피 동치이다.

주의할 점은 리 군으로서의 가약성과 대수군으로서의 가약성이 항상 일치하지는 않는다는 것이다. 예를 들어, 1차원 가환 리 대수

\mathbb{R}

은 그 자체로 가약 리 대수이다. 이 리 대수는 가약 대수군인 곱셈군

\mathbf{G}_m

(0이 아닌 실수의 곱셈군

\mathbb{R}^\times

)의 리 대수이기도 하고, 가약군이 아닌 멱일군인 덧셈군

\mathbf{G}_a

(실수의 덧셈군

\mathbb{R}

)의 리 대수이기도 하다. 리 군

(\mathbb{R}^\times, \times)

와

(\mathbb{R}, +)

는 리 군으로서는 동형이 아니지만, 그들의 리 대수는

\mathbb{R}

로 동형이다. 반면, 대수군

\mathbf{G}_m

과

\mathbf{G}_a

는 대수군으로서 동형이 아니다.

4. 예

대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대하여, 다음과 같은 군들이 기약군(환원군)이다.

곱셈군 $K^\times=K\setminus\{0\}$
대수 원환면 $(K^\times)^m$
일반선형군 $\operatorname{GL}(n;K)$ . 이는 반단순군이 아니다.
특수선형군 $\operatorname{SL}(n;K)$ . 이는 반단순군이다.
$K$ -이차 형식 $Q$ 에 대하여, 특수직교군 $\operatorname{SO}(Q)$ .

체

k

위의 중요한 단순군으로는 다음과 같은 예가 있다. 이들은 기약군(환원군)의 중요한 예시가 된다.

심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(2n)$ : 이는 $k^{2n}$ 벡터 공간 위에서 비퇴화적인 교대 쌍선형 형식을 보존하는 $\operatorname{GL}(2n)$ 의 부분군이다.
직교군 $\operatorname{O}(q)$ : 이는 체 $k$ 위의 벡터 공간에서 비퇴화 이차 형식 $q$ 를 보존하는 일반 선형군의 부분군이다. 대수적 군 $\operatorname{O}(q)$ 는 두 개의 연결 성분을 가지며, 그 항등원 연결 성분인 특수직교군 $\operatorname{SO}(q)$ 는 환원적이며, $q$ 의 차원이 3 이상인 경우 단순군이다. (만약 $k$ 의 표수가 2이고 $n$ 이 홀수이면, 군 스킴 $\operatorname{O}(q)$ 는 연결되어 있지만 $k$ 위에서 매끄럽지 않다. 단순군 $\operatorname{SO}(q)$ 는 항상 $k$ 위의 $\operatorname{O}(q)$ 의 최대 매끄러운 연결 부분군으로 정의될 수 있다.) $k$ 가 대수적으로 닫힌 체인 경우, 같은 차원의 모든 비퇴화 이차 형식은 동형이므로 이 군을 $\operatorname{SO}(n)$ 으로 표기하기도 한다. 일반적인 체 $k$ 에서는 차원 $n$ 의 서로 다른 이차 형식이 $k$ 위에서 서로 동형이 아닌 단순군 $\operatorname{SO}(q)$ 를 생성할 수 있지만, 이들은 모두 대수적 폐포 $\overline k$ 로의 기저 변환(base change)을 통해 같아진다.

반면, 다음과 같은 군들은 가약군(환원군)이 아니다.

아벨 다양체: 이는 선형 대수군이 아니므로 가약군(환원군)이 아니다. 특수한 예로 덧셈군 $K$ 나 타원 곡선이 있다.
모든 단일 멱등군: 이 군들은 스스로를 자명하지 않은 단일 멱등 근기(unipotent radical)로 가지므로 환원적이지 않다. 가법군 $\mathbb{G}_a$ 가 대표적인 예이다.
$\operatorname{GL}_n$ 의 보렐 군 $B_n$ : 이 군은 대각 성분이 $1$ 인 상삼각 행렬로 구성된 자명하지 않은 단일 멱등 근기 $\mathbb{U}_n$ 을 갖는다. 이는 단일 멱등군이 아니면서 환원적이지 않은 군의 예이다.

5. 근과 관련된 성질

가약군 ''G''의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 하는 것이 바로 근과 관련된 여러 성질들이다. 이는 주로 ''G''의 리 대수 $\mathfrak g$ 와 극대 토러스 ''T''를 통해 정의된다.

먼저, ''T''의 준동형 사상 ''T'' → ''G''_''m''을 '''가중치'''라고 부른다. ''G''의 리 대수 $\mathfrak g$ 에 대한 ''T''의 작용에서 나타나는 0이 아닌 가중치를 ''G''의 '''근'''이라고 한다.^[10] 이 근들의 집합 Φ를 이용하면 리 대수 $\mathfrak g$ 를 토러스의 리 대수 $\mathfrak t$ 와 각 근 α에 대응하는 1차원 부분 공간 ${\mathfrak g}_{\alpha}$ 들의 직합으로 분해할 수 있다.

: ${\mathfrak g} = {\mathfrak t}\oplus \bigoplus_{\alpha\in\Phi} {\mathfrak g}_{\alpha}.$

이러한 분해는 가약군의 구조를 분석하는 데 기본적인 도구가 된다.

반단순 군의 근들은 '''근계'''라는 조합적 구조를 형성하며, 이는 딘킨 도표를 통해 완전히 분류될 수 있다.^[11] 환원군의 경우 약간 더 일반화된 근 데이터라는 구조를 가진다. 근계의 대칭성은 '''바일 군''' ''W'' = ''N''_''G''(''T'')/''T''에 의해 설명되는데, 이는 유한 반사으로 생성된 군이다.

또한, 극대 토러스 ''T''를 포함하는 '''보렐 부분군''' ''B''를 선택하면, 전체 근의 집합 Φ를 '''양근''' Φ⁺과 음근 −Φ⁺으로 나눌 수 있다. 보렐 부분군의 리 대수 $\mathfrak b$ 는 토러스의 리 대수 $\mathfrak t$ 와 양근 공간들의 직합으로 표현된다.^[12]

: ${\mathfrak b}={\mathfrak t}\oplus \bigoplus_{\alpha\in\Phi^{+}} {\mathfrak g}_{\alpha}.$

양근 중에서 다른 두 양근의 합으로 표현되지 않는 근을 '''단순근'''이라고 하며, 이 단순근들의 집합 Δ는 전체 근계를 결정하는 중요한 역할을 한다. 단순근들은 딘킨 도표의 꼭짓점에 해당한다.

마지막으로, 각 근 α는 리 대수의 1차원 부분 공간 ${\mathfrak g}_{\alpha}$ 뿐만 아니라, 가산군 ''G''_a와 동형인 '''근 부분군''' ''U''_α를 정의한다.^[1] 이 근 부분군들은 토러스 ''T''와 함께 전체 군 ''G''를 생성하는 데 중요한 역할을 한다. 특히 분해 반단순 군은 근 부분군만으로 생성될 수 있다.

5. 1. 근

''G''를 체 ''k'' 위의 분해 환원 군이라고 하고, ''T''를 ''G''의 분해 극대 토러스라고 하자. 그러면 ''T''는 (''G''_''m'')^''n''과 동형이며, 이때 ''n''은 ''G''의 '''계수'''라고 불린다. ''T''의 모든 표현(대수적 군으로서)은 1차원 표현의 직합이다.^[9] ''G''에 대한 '''가중치'''는 ''T''의 1차원 표현의 동형류, 또는 동등하게 준동형 사상 ''T'' → ''G''_''m''을 의미한다. 가중치는 표현의 텐서 곱 아래에서 군 ''X''(''T'')을 형성하며, ''X''(''T'')는 정수의 ''n''개 곱의 복사본, '''Z'''^''n''과 동형이다.

수반 표현은 ''G''의 리 대수

\mathfrak g

에 대한 공액 작용이다. ''G''의 '''근'''은

\mathfrak g

에 대한 ''T'' ⊂ ''G''의 작용에서 발생하는 0이 아닌 가중치를 의미한다. 각 근에 해당하는

\mathfrak g

의 부분 공간은 1차원이며, ''T''에 의해 고정된

\mathfrak g

의 부분 공간은 정확히 ''T''의 리 대수

\mathfrak t

이다.^[10] 따라서 ''G''의 리 대수는

\mathfrak t

와 근의 집합 Φ에 의해 인덱스된 1차원 부분 공간의 합으로 분해된다.

:

{\mathfrak g} = {\mathfrak t}\oplus \bigoplus_{\alpha\in\Phi} {\mathfrak g}_{\alpha}.

예를 들어, ''G''가 군 GL(''n'')일 때, 그 리 대수

{\mathfrak gl}(n)

은 ''k'' 위의 모든 ''n'' × ''n'' 행렬의 벡터 공간이다. ''T''를 ''G''의 대각 행렬 부분군이라고 하자. 그러면 근-공간 분해는

{\mathfrak gl}(n)

을 대각 행렬과 비대각 위치 (''i'', ''j'')에 의해 인덱스된 1차원 부분 공간의 직합으로 표현한다. 가중치 격자 ''X''(''T'') ≅ '''Z'''^''n''에 대한 표준 기저 ''L''₁,...,''L''_''n''을 쓰면, 근은 1에서 ''n''까지의 모든 ''i'' ≠ ''j''에 대해 ''L''_''i'' − ''L''_''j''이다.

반단순 군의 근은 '''근계'''를 형성하며, 이는 완전히 분류될 수 있는 조합 구조이다. 더 일반적으로, 환원 군의 근은 약간의 변형인 근 데이터를 형성한다.^[11] 환원 군 ''G''의 '''바일 군'''은 극대 토러스의 정규화자를 토러스로 나눈 몫군, ''W'' = ''N''_''G''(''T'')/''T''를 의미한다. 바일 군은 실제로 반사로 생성된 유한 군이다. 예를 들어, 군 GL(''n'') (또는 SL(''n''))에 대해 바일 군은 대칭군 ''S''_''n''이다.

주어진 극대 토러스를 포함하는 유한 개의 보렐 부분군이 있으며, 이들은 바일 군에 의해 단순 추이적으로 순열된다(공액 작용).^[12] 보렐 부분군의 선택은 '''양근''' 집합 Φ⁺ ⊂ Φ를 결정하며, Φ는 Φ⁺와 −Φ⁺의 분리된 합집합이라는 속성을 갖는다. 구체적으로, ''B''의 리 대수는 ''T''의 리 대수와 양근 공간의 직합이다.

:

{\mathfrak b}={\mathfrak t}\oplus \bigoplus_{\alpha\in\Phi^{+}} {\mathfrak g}_{\alpha}.

예를 들어, ''B''가 GL(''n'')의 상삼각 행렬의 보렐 부분군이면, 이것은

{\mathfrak gl}(n)

의 상삼각 행렬의 부분 공간

\mathfrak b

의 명백한 분해이다. 양근은 1 ≤ ''i'' < ''j'' ≤ ''n''에 대해 ''L''_''i'' − ''L''_''j''이다.

'''단순근'''은 다른 두 양근의 합이 아닌 양근을 의미한다. 단순근의 집합을 Δ로 표기한다. 단순근의 수 ''r''은 ''G''의 교환자 부분군의 계수와 같으며, ''G''의 '''반단순 계수'''라고 한다(''G''가 반단순이면 단순히 ''G''의 계수이다). 예를 들어, GL(''n'') (또는 SL(''n''))의 단순근은 1 ≤ ''i'' ≤ ''n'' − 1에 대해 ''L''_''i'' − ''L''_''i''+1이다.

근계는 해당 드킨 다이어그램에 의해 분류되며, 이는 유한 그래프이다(일부 가장자리는 방향이 있거나 여러 개). 드킨 다이어그램의 꼭짓점 집합은 단순근의 집합이다. 간단히 말해서, 드킨 다이어그램은 가중치 격자에 대한 바일 군 불변 내적에 대해 단순근 사이의 각도와 상대적 길이를 설명한다.

체 ''k'' 위의 분해 환원 군 ''G''에 대해 중요한 점은 근 α가 ''G''의 리 대수의 1차원 부분 공간뿐만 아니라, 주어진 리 대수를 갖는 가산군 ''G''_a의 복사본인 '''근 부분군''' ''U''_α를 결정한다는 것이다. 근 부분군은 ''T''에 의해 정규화되고 주어진 리 대수를 갖는 ''G''의 가산군의 고유한 복사본이다.^[1] 전체 군 ''G''는 (대수적 군으로서) ''T''와 근 부분군에 의해 생성되는 반면, 보렐 부분군 ''B''는 ''T''와 양근 부분군에 의해 생성된다. 실제로 분해 반단순 군 ''G''는 근 부분군만으로 생성된다.

5. 2. 바일 군

가약군 ''G''의 멱일 부분군

R_u(G)

는 정규 부분군이며, 몫군

G/R_u(G)

는 가약군이다. 예를 들어,

B_n

의 경우 다음이 성립한다.

$B_n/(R_u(B_n)) \cong \prod^n_{i=1} \mathbb{G}_m.$

여기서

\mathbb{G}_m

은 곱셈 군 또는 대수적 토러스를 나타낸다.

5. 3. 단순근

'''단순근'''은 다른 두 양근의 합이 아닌 양근을 의미한다. 단순근의 집합은 Δ로 표기한다. 단순근의 수 ''r''은 ''G''의 교환자 부분군의 계수와 같으며, ''G''의 '''반단순 계수'''라고 한다. 만약 ''G''가 반단순 군이라면, ''r''은 단순히 ''G''의 계수가 된다.

예를 들어, ''GL''(''n'') (또는 ''SL''(''n''))의 단순근은 1 ≤ ''i'' ≤ ''n'' − 1에 대해 ''L''_''i'' − ''L''_''i''+1이다.

근계는 해당 드킨 다이어그램으로 분류할 수 있는데, 이 다이어그램은 유한 그래프이다(일부 가장자리는 방향이 있거나 여러 개일 수 있다). 드킨 다이어그램의 꼭짓점 집합은 단순근의 집합에 해당한다.

6. 분할 환원군의 분류

체 ''k'' 위에 정의된 분리 환원군 ''G''가 주어졌을 때, ''G''의 특정 보렐 부분군 ''B''를 포함하는 ''G''의 매끄러운 연결 부분군들은 단순 근의 집합 Δ(또는 이와 동등하게 딘킨 다이어그램의 꼭짓점 집합)의 부분 집합과 일대일로 대응된다. Δ의 원소 개수, 즉 차수를 ''r''이라고 하면, 이는 ''G''의 반단순 계수(semisimple rank)가 된다. ''G''의 모든 '''포물선 부분군'''(parabolic subgroup)은 ''G''(''k'')의 어떤 원소에 의해 ''B''를 포함하는 부분군과 공액 관계에 있다. 결과적으로, 체 ''k'' 위의 ''G''에는 정확히 2^''r''개의 포물선 부분군 공액류가 존재한다.^[13] 구체적으로 살펴보면, Δ의 특정 부분 집합 ''S''에 해당하는 포물선 부분군은 ''B''와 ''S''에 속하는 각 α에 대한 근 부분군 ''U''_−α들을 함께 생성하여 만들어지는 군이다. 예를 들어, 위에서 주어진 보렐 부분군 ''B''를 포함하는 ''GL''(''n'')의 포물선 부분군은 다음과 같이 대각선을 따라 특정 크기의 사각형 블록들을 배치하고, 이 블록들 아래쪽의 모든 원소가 0인 가역 행렬들로 구성된 군이다.

: $\left \{ \begin{bmatrix}$

& * & * & *\\
& * & * & *\\

0 & 0 & * & *\\0 & 0 & 0 & *\end{bmatrix} \right \}

정의에 따르면, 체 ''k'' 위의 환원군 ''G''의 '''포물선 부분군''' ''P''는 몫 다양체 ''G''/''P''가 ''k'' 위에서 고유(proper)하거나, 또는 이와 동등하게 ''k'' 위에서 사영적(projective)인 매끄러운 ''k''-부분군을 의미한다. 따라서 포물선 부분군의 분류는 ''G''에 대한 사영 균질 다양체(projective homogeneous variety)의 분류 문제로 귀결된다(매끄러운 안정자 부분군을 가짐; 즉, 표수가 0인 ''k''에 대한 제한이 없음). ''GL''(''n'')의 경우, 이러한 다양체들은 주어진 차원 ''n''의 벡터 공간 ''V'' 안에서 특정 차원 ''a''₁,...,''a''_''i''을 갖는 선형 부분 공간들의 포함 관계 사슬을 고정시키는 '''플래그 다양체'''(flag variety)이다.

:

0\subset S_{a_1}\subset \cdots \subset S_{a_i}\subset V.

직교군 또는 심플렉틱 군의 경우에는, 사영 균질 다양체가 주어진 이차 형식 또는 심플렉틱 형식에 대한 등방성(isotropic) 플래그의 다양체와 유사한 방식으로 설명될 수 있다. 보렐 부분군 ''B''를 갖는 모든 환원군 ''G''에 대해, 몫 다양체 ''G''/''B''는 ''G''의 '''플래그 다양체''' 또는 '''플래그 매니폴드'''(flag manifold)라고 불린다.

7. 실수 환원군

리 군이 아닌 대수적 군의 맥락에서 '''실수 환원군'''은 다음 조건을 만족하는 리 군 ''G''를 의미한다. 즉, '''R''' 상의 선형 대수적 군 ''L''이 존재하여, ''L''의 항등원 성분(자리스키 위상에서)은 환원적이어야 한다. 또한, 핵이 유한하고 이미지가 ''L''('''R''')에서 열린(고전 위상에서) 준동형 사상 ''G'' → ''L''('''R''')이 존재해야 한다. 추가적으로, 수반 표현 Ad(''G'')의 이미지가 Int(''g''_'''C''') = Ad(''L''⁰('''C'''))에 포함된다고 가정하는 것이 일반적이다(이 조건은 ''G''가 연결되어 있으면 자동으로 만족된다).^[18]

이 정의에 따르면, 모든 연결 반단순 리 군(리 대수가 반단순인 군)은 환원적이다. 또한, 리 군 '''R''' 역시 ''GL''(1,'''R''') ≅ '''R'''*의 항등원 성분으로 간주될 수 있으므로 실수 환원군에 해당한다. 실수 환원군을 분류하는 문제는 주로 단순 리 군을 분류하는 문제로 귀결되며, 이들은 사타케 다이어그램을 통해 분류된다. 또는 단순 리 군 목록에서 유한 덮개까지의 분류를 확인할 수 있다.

실수 환원군에 대해서는 허용 표현과 유니타리 표현에 대한 유용한 이론들이 개발되어 있다. 실수 환원군의 정의가 환원적 대수적 군의 정의와 다른 주된 이유는, '''R''' 위의 대수적 군 ''G''가 대수적 군으로서는 연결되어 있더라도, 리 군 ''G''('''R''')은 연결되어 있지 않을 수 있다는 점이다. 이는 단일 연결 군의 경우에도 마찬가지로 적용된다.

예를 들어, 사영 선형 군 ''PGL''(2)는 어떤 체 위에서든 대수적 군으로서 연결되어 있지만, 실수 점들의 군인 ''PGL''(2,'''R''')은 두 개의 연결 성분을 가진다. ''PGL''(2,'''R''')의 항등원 성분(때로는 ''PSL''(2,'''R''')로 표기됨)은 실수 환원군이지만, 대수적 군으로 간주될 수는 없다. 비슷하게, ''SL''(2)는 어떤 체 위에서든 대수적 군으로서 단일 연결되어 있지만, 리 군 ''SL''(2,'''R''')의 기본군은 정수 '''Z'''와 동형이므로 단일 연결이 아니다. 따라서 ''SL''(2,'''R''')은 자명하지 않은 피복 공간을 가진다. 정의에 따라, ''SL''(2,'''R''')의 모든 유한 피복(예: 메타플렉틱 군)은 실수 환원군이다. 반면, ''SL''(2,'''R''')의 보편 피복은 그 리 대수가 환원 리 대수(즉, 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 곱)임에도 불구하고 실수 환원군이 아니다.

연결된 실수 환원군 ''G''의 경우, ''G''를 극대 컴팩트 부분군 ''K''로 나눈 몫 다양체 ''G''/''K''는 비콤팩트형 대칭 공간이다. 실제로 모든 비콤팩트형 대칭 공간은 이러한 방식으로 생성된다. 이 공간들은 비음의 절단 곡률을 갖는 다양체로서 리만 기하학에서 중요한 예시가 된다. 예를 들어, ''SL''(2,'''R''')/''SO''(2)는 쌍곡 평면이고, ''SL''(2,'''C''')/''SU''(2)는 쌍곡 3차원 공간이다.

이산 값 매김에 대해 완비된 체 ''k''(예: p-진수 '''Q'''_''p'') 위의 환원군 ''G''에 대해서는, ''G''의 '''아핀 빌딩''' ''X''가 대칭 공간과 유사한 역할을 한다. 즉, ''X''는 ''G''(''k'')의 작용을 갖는 단순 복합체이며, 이 작용은 ''X''에 주어진 CAT(0) 메트릭을 보존한다. 이는 비음 곡률을 갖는 메트릭과 유사한 성질이다. 아핀 빌딩의 차원은 ''G''의 ''k''-랭크와 같다. 예를 들어, ''SL''(2,'''Q'''_''p'')의 빌딩은 트리이다.

8. 비분할 환원군

분할 환원군의 분류는 모든 체 위에서 동일하지만, 임의의 환원군의 분류는 기본 체 ''k''에 따라 어려울 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 고전군의 경우를 살펴보자.

체 ''k'' 위의 모든 비퇴화 이차 형식 ''q''는 환원군 G = ''SO''(''q'')를 결정한다. 대수적 폐포 $\overline k$ 위에서 $G_{\overline k}$ 는 ''SO''(''n'')과 동형이므로, ''q''의 차원이 3 이상이면 ''G''는 단순군이다. ''G''의 k-랭크는 ''q''의 비트 지수(Witt index)와 같다(''k'' 위의 등방성 부분 공간의 최대 차원).^[23] 따라서 단순군 ''G''는 ''q''가 가능한 최대 비트 지수, 즉 $\lfloor n/2\rfloor$ 를 가질 때만 ''k'' 위에서 분할된다.
''k'' 위의 모든 중심 단순 대수 ''A''는 환원군 ''G'' = ''SL''(1,''A'')를 결정한다. 이는 단위군 ''A''* (''k'' 위의 대수군으로 간주) 위의 축소 노름(reduced norm)의 커널이다. ''A''의 차수는 ''k''-벡터 공간으로서 ''A''의 차원의 제곱근을 의미한다. $\overline k$ 위에서 $G_{\overline k}$ 는 ''SL''(''n'')과 동형이므로, ''A''의 차수가 2 이상이면 ''G''는 단순하다. 만약 ''A''가 지수 ''r''을 가진다면(즉, ''A''가 ''k'' 위의 차수 ''r''의 나눗셈 대수 ''D''에 대해 행렬 대수 ''M''_''n''/''r''(''D'')와 동형이라면), ''G''의 ''k''-랭크는 (''n''/''r'') − 1이다.^[24] 따라서 단순군 ''G''는 ''A''가 ''k'' 위의 행렬 대수일 때만 ''k'' 위에서 분할된다.

결과적으로, ''k'' 위의 환원군을 분류하는 문제는 본질적으로 ''k'' 위의 모든 이차 형식 또는 모든 중심 단순 대수를 분류하는 문제를 포함한다. 이 문제들은 ''k''가 대수적 폐포일 때는 쉽다. 수체와 같은 다른 체에 대해서도 상당 부분 이해되고 있지만, 임의의 체에 대해서는 아직 해결되지 않은 문제가 많다.

체 ''k'' 위의 환원군은 ''k''-랭크가 0보다 큰 경우(즉, 비자명 분할 토러스를 포함하는 경우) 등방적(isotropic)이라고 부르며, 그렇지 않은 경우(즉, ''k''-랭크가 0인 경우) 비등방적(anisotropic)이라고 부른다. 체 ''k'' 위의 반단순군 ''G''에 대해, 다음 조건들은 서로 동등하다.

''G''는 등방적이다(즉, ''G''는 곱셈군 ''G''_''m''의 사본을 ''k'' 위에 포함한다).
''G''는 ''G''와 같지 않은 ''k'' 위의 포물선 부분군을 포함한다.
''G''는 덧셈군 ''G''_''a''의 사본을 ''k'' 위에 포함한다.

만약 ''k''가 완전체라면, 위 조건들은 ''G''(''k'')가 1이 아닌 멱영 원소를 포함한다는 것과도 같다.^[25]

표수 0인 국소체 ''k''(예: 실수 '''R''') 위의 연결 선형 대수군 ''G''에 대해, 군 ''G''(''k'')는 ''G''가 환원적이고 비등방적일 때만 고전적 위상(''k''의 위상에 기반)에서 콤팩트하다.^[26] 예를 들어, '''R''' 위의 직교군 ''SO''(''p'',''q'')는 실수 랭크 min(''p'',''q'')를 가지며, 따라서 ''p'' 또는 ''q''가 0일 때만 비등방적(즉, 콤팩트)이다.^[1]

체 ''k'' 위의 환원군 ''G''는 ''k'' 위에 보렐 부분군을 포함하는 경우 준분할(quasi-split)이라고 부른다. 분할 환원군은 정의상 준분할이다. 만약 ''G''가 ''k'' 위에서 준분할되면, ''G''의 임의의 두 보렐 부분군은 ''G''(''k'')의 어떤 원소에 의해 공액(conjugate)이다.^[27] 예를 들어, '''R''' 위의 직교군 ''SO''(''p'',''q'')는 |''p''−''q''| ≤ 1일 때만 분할되고, |''p''−''q''| ≤ 2일 때만 준분할된다.^[1]

9. 갈루아 작용과 딘킨 다이어그램

체 ''k'' 위의 환원군 ''G''에 대해, 절대 갈루아 군 Gal(''k''_''s''/''k'')은 ''G''의 "절대" 딘킨 다이어그램에 작용한다. 여기서 절대 딘킨 다이어그램이란 가분 폐포 ''k''_s 위에서의 ''G''의 딘킨 다이어그램을 의미하며, 이는 대수적 폐포 ${\overline k}$ 위에서의 ''G''의 딘킨 다이어그램과 동일하다. 이 작용은 연속적이다.

''G''의 티츠 지수는 다음 세 가지 요소로 구성된다.

''G''_{''k''_''s''}의 근 데이텀(root datum)
딘킨 다이어그램에 대한 갈루아 작용
딘킨 다이어그램의 꼭짓점 중 갈루아 군의 작용에 대해 불변인 부분 집합

전통적으로 티츠 지수를 그릴 때는, 갈루아 군의 작용에 대한 궤도(orbit) 중 주어진 부분 집합에 속하는 것을 원으로 표시한다.

이러한 개념을 통해 준분할 군(quasi-split group)을 완전히 분류할 수 있다. 즉, 체 ''k''의 절대 갈루아 군이 딘킨 다이어그램에 작용하는 각 방식에 대해, 해당 작용을 가지는 유일한(동형 제외) 단일 연결 반단순 준분할 군 ''H''가 체 ''k'' 위에 존재한다. 준분할 군의 경우, 딘킨 다이어그램의 모든 갈루아 궤도가 원으로 표시된다. 또한, 주어진 갈루아 작용을 가지는 체 ''k'' 위의 다른 모든 단일 연결 반단순 군 ''G''는 해당 준분할 군 ''H''의 내부 형식(inner form)이다. 이는 ''G''가 갈루아 코호몰로지 집합 ''H''¹(''k'',''H''/''Z'')의 원소와 관련된 군이라는 의미이며, 여기서 ''Z''는 ''H''의 중심(center)이다. 다시 말해, ''G''는 ''k'' 위의 어떤 ''H''/''Z''-토서(torsor)와 관련된 ''H''의 뒤틀림(twist)이다.

예를 들어, 표수가 2가 아닌 체 ''k'' 위에 2''n'' 차원의 비퇴화 이차 형식 ''q''가 주어졌다고 가정하자. (이 제약은 피할 수 있다.) ''G''를 ''k'' 위의 단순군 ''SO''(''q'')라고 하자. ''G''의 절대 딘킨 다이어그램은 D_''n''형이다. 이 다이어그램의 자기 동형 군은 위수가 2이며, D_''n'' 다이어그램의 두 "다리"를 서로 바꾼다. 딘킨 다이어그램에 대한 ''k''의 절대 갈루아 군의 작용이 자명할 필요충분조건은 ''q''의 부호화된 판별식 ''d''가 ''k''^*/(''k''^*)²에서 자명한 원소인 것이다. 만약 ''d''가 자명하지 않다면, 이 정보는 딘킨 다이어그램에 대한 갈루아 작용에 반영된다. 즉, 항등원으로 작용하는 갈루아 군의 부분군은 위수 2 부분군

\operatorname{Gal}(k_s/k(\sqrt{d}))\subset \operatorname{Gal}(k_s/k)

이다. 군 ''G''가 분할(split)될 필요충분조건은 ''q''의 비트 지수가 가능한 최댓값인 ''n''인 것이다. 또한, ''G''가 준분할(quasi-split)될 필요충분조건은 ''q''의 비트 지수가 최소 ''n'' − 1인 것이다.^[1]

10. 리 군의 경우

리 군의 경우, 환원 리 군 '''G'''는 리 대수의 용어를 사용하여 정의된다. 환원 리 군이란 그 리 대수 '''g'''가 환원 리 대수, 즉 가환 리 대수와 반단순 리 대수의 직합이 되는 것이다. '''G'''의 연결 성분이 유한 개라는 조건을 부여하는 경우도 있다.

리 대수의 환원성은 그 수반 표현의 완전 가약성과 동치이다. 그러나 그 일반적인 유한 차원 표현은 반드시 완전 가약적이지 않다. 또한 리 군과 대수 군에서는 환원성의 개념이 반드시 일치하지 않는다.

예를 들어, 일차원 가환 리 대수 '''R'''은 분명히 환원이며, 환원 대수 군 '''G'''_m (0이 아닌 실수의 곱셈군)과 환원되지 않은 멱영 대수 군 '''G'''_a (실수의 덧셈군)의 리 대수가 된다. 이들은 리 군으로는 동형이지만 대수 군으로는 동형이 아니다.

11. 추가 정보

단순 연결 분할 반단순군 G가 체 k 위에 정의되었을 때, 로버트 슈타인버그는 추상군 G(k)에 대한 명시적인 표현을 제시했다.^[28] 이 표현은 G의 근(root subgroups)에 의해 인덱싱된 k의 가법군 복사본에 의해 생성되며, 관계는 G의 딘킨 다이어그램에 의해 결정된다.

완전체 k 위에 정의된 단순 연결 분할 반단순군 G에 대해, 슈타인버그는 추상군 G(k)의 자기 동형군도 결정했다. 모든 자기 동형은 내부 자기 동형, 대각 자기 동형(적절한 $\overline k$ -최대 토러스의 점에 의한 켤레), 그래프 자기 동형(딘킨 다이어그램의 자기 동형에 해당), 그리고 체 자기 동형(체 k의 자기 동형에서 유래)의 곱으로 나타낼 수 있다.^[29]
k-단순 대수군 G에 대해, 티츠의 단순성 정리는 추상군 G(k)가 약간의 가정 하에서 단순군에 가깝다고 말한다. 즉, G가 k에 대해 등방적이고, 체 k가 최소 4개의 원소를 가진다고 가정하자. G(k)⁺를 G에 포함된 k 위의 가법군 G_a의 복사본의 k-점에 의해 생성된 추상군 G(k)의 부분군이라고 하자. (G가 k에 대해 등방적이라는 가정에 의해, 군 G(k)⁺는 자명하지 않으며, k가 무한대일 경우 G에서 자리스키 조밀하다.) 그러면 G(k)⁺를 그 중심으로 나눈 몫군은 (추상군으로서) 단순군이다.^[30] 이 증명은 자크 티츠의 BN-쌍 이론을 사용한다.

차수가 2 또는 3인 체에 대한 예외는 잘 알려져 있다. k = F₂인 경우, 티츠의 단순성 정리는 G가 A₁, B₂ 또는 G₂ 유형으로 분할되거나, A₂ 유형으로 비분할(즉, 유니터리 군)되는 경우를 제외하고 유효하다. k = F₃인 경우, 정리는 A₁ 유형의 G를 제외하고 성립한다.^[31]
k-단순군 G에 대해, 전체 군 G(k)를 이해하기 위해, 화이트헤드 군 W(k,G) = G(k)/G(k)⁺를 고려할 수 있다. G가 단순 연결이고 준분할인 경우, 화이트헤드 군은 자명하며, 따라서 전체 군 G(k)는 중심을 제외하고 단순군이다.^[32] 더 일반적으로, 크네제르-티츠 문제는 화이트헤드 군이 자명한 등방적 k-단순군이 무엇인지 묻는다. 알려진 모든 예에서, W(k,G)는 아벨 군이다.

비등방적 k-단순군 G의 경우, 추상군 G(k)는 단순군과 거리가 멀 수 있다. 예를 들어, D를 중심이 p-진 체 k인 나눗셈 대수라고 하자. D의 k 위의 차원이 유한하고 1보다 크다고 가정하자. 그러면 G = SL(1,D)는 비등방적 k-단순군이다. 위에서 언급했듯이, G(k)는 고전적 위상에서 콤팩트하다. 또한 완전 비연결 공간이므로, G(k)는 프로유한군이다(하지만 유한하지 않다). 결과적으로, G(k)는 유한 지수를 갖는 무한히 많은 정규 부분군을 포함한다.^[33]

참조

_[1] 간행물 SGA 3 (2011), v. 3, Définition XIX.1.6.1.
_[2] 간행물 Milne (2017), Proposition 21.60.
_[3] 서적 Linear Algebraic Groups https://www.jmilne.o[...]
_[4] 간행물 Conrad (2014), after Proposition 5.1.17.
_[5] 간행물 Borel (1991), 18.2(i).
_[6] 간행물 Milne (2017), Theorem 22.42.
_[7] 간행물 Milne (2017), Corollary 22.43.
_[8] 간행물 Demazure & Gabriel (1970), Théorème IV.3.3.6.
_[9] 간행물 Milne (2017), Theorem 12.12.
_[10] 간행물 Milne (2017), Theorem 21.11.
_[11] 간행물 Milne (2017), Corollary 21.12.
_[12] 간행물 Milne (2017), Proposition 17.53.
_[13] 간행물 Borel (1991), Proposition 21.12.
_[14] 간행물 Chevalley (2005); Springer (1998), 9.6.2 and 10.1.1.
_[15] 간행물 Milne (2017), Theorems 23.25 and 23.55.
_[16] 간행물 Milne (2017), Corollary 23.47.
_[17] 간행물 SGA 3 (2011), v. 3, Théorème XXV.1.1; Conrad (2014), Theorems 6.1.16 and 6.1.17.
_[18] 간행물 Springer (1979), section 5.1.
_[19] 간행물 Milne (2017), Theorem 22.2.
_[20] 간행물 Jantzen (2003), Proposition II.4.5 and Corollary II.5.11.
_[21] 간행물 Jantzen (2003), section II.8.22.
_[22] 간행물 Riche & Williamson (2018), section 1.8.
_[23] 간행물 Borel (1991), section 23.4.
_[24] 간행물 Borel (1991), section 23.2.
_[25] 간행물 Borel & Tits (1971), Corollaire 3.8.
_[26] 간행물 Platonov & Rapinchuk (1994), Theorem 3.1.
_[27] 간행물 Borel (1991), Theorem 20.9(i).
_[28] 간행물 Steinberg (2016), Theorem 8.
_[29] 간행물 Steinberg (2016), Theorem 30.
_[30] 간행물 Tits (1964), Main Theorem; Gille (2009), Introduction.
_[31] 간행물 Tits (1964), section 1.2.
_[32] 간행물 Gille (2009), Théorème 6.1.
_[33] 간행물 Platonov & Rapinchuk (1994), section 9.1.
_[34] 간행물 Steinberg (1965), Theorem 1.9.
_[35] 간행물 Platonov & Rapinchuk (1994), Theorem 6.6.
_[36] 서적 1994
_[37] 서적 Theorem 6.4 1994
_[38] 서적 exercise 2.4.15 1998

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