힐베르트 스킴

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 구성
5. 예시
6. 힐베르트 스킴과 초켈러 기하학
7. 함자적 관점
8. 추가 설명
참조

1. 개요

힐베르트 스킴은 주어진 스킴의 부분 스킴을 매개변수화하는 스킴으로, 수학, 특히 대수 기하학에서 중요한 개념이다. 힐베르트 스킴은 닫힌 부분 스킴의 족을 표현하는 함자가 표현 가능 함자일 때 이를 표현하는 스킴으로 정의되며, 상대 스킴의 부분 스킴을 매개변수화하는 상대적 힐베르트 스킴도 존재한다. 힐베르트 스킴은 힐베르트 다항식에 따라 분해되며, 사영 공간의 닫힌 스킴을 분류하는 데 사용된다. 힐베르트 스킴은 파노 스킴, 점의 힐베르트 스킴, 곡선의 힐베르트 스킴 등 다양한 예시를 가지며, 초켈러 기하학과도 관련이 있다. 힐베르트 스킴은 함자적 관점에서 정의되며, 힐베르트-초 사상, 보트 공식 등과 연관되어 열거 기하학 연구에 활용된다.

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힐베르트 스킴
힐베르트 스킴
유형	모듈라이 스킴
분야	대수기하학
정의	스킴의 부분 스킴의 모듈라이 스킴
관련 개념	힐베르트 다항식 힐베르트 함수 모듈라이 공간
역사
창시자	알렉산더 그로텐디크
발표	1961년

2. 정의

다음이 주어졌다고 하자.

스킴 $K$
스킴 $S$ , $X$ 및 스킴 사상 $T \to K \leftarrow X$ . 즉, $S/K$ 와 $X/K$ 는 $K$ 위의 스킴이며, 조각 범주 $\operatorname{Sch}/K$ 의 대상이다.

그렇다면, '''

K

위의, 매개 변수 공간

S

에 대한

X

의 부분 스킴의 족'''(family of subschemes of

X

parametrized by

S

^영어)은 닫힌 부분 스킴

:

Y \subseteq X \times_K S

가운데, 표준적

K

-스킴 사상

:

Y/K \to S/K

이 평탄 사상인 것이다.

S

에 대한

X

의 부분 스킴의 족의 집합을

\operatorname{Hilb}_{X/K}(S)

라고 하자.

K

-스킴 사상

f\colon S'/K \to S/K

및

S

위의 부분 스킴의 족

Y \subseteq X \times_K S

이 주어졌을 때, 사상

:

(X,f) \colon X \times_K S' \to X \times_K S

아래

X

의 원상

:

Y' \subseteq X \times_K S'

을 정의할 수 있다. 즉,

\operatorname{Hilb}_{X/K}

는

$K$ 위의 조각 범주의 반대 범주 $(\operatorname{Sch}/K)^{\operatorname{op}}$ 에서
집합과 함수의 범주 $\operatorname{Set}$ 로 가는

함자를 정의한다. 즉, 이는

\operatorname{Sch}/K

위의 준층이다.

만약 이 함자가 표현 가능 함자라면, 이를 표현하는 스킴을

\operatorname{Hilb}_{\mathbb P^n}

이라고 한다. 즉, 표준적으로

:

\hom_{\operatorname{Sch}/K}(S,\operatorname{Hilb}_{X/K}) = \operatorname{Hilb}_{X/K}(S)

이다.

물론,

K = \operatorname{Spec}\mathbb Z

로 놓아, 절대적 힐베르트 스킴을 정의할 수 있다. 이 경우

:

\hom_{\operatorname{Sch}}(S,\operatorname{Hilb}_X) = \operatorname{Hilb}_X(S)

이다.

힐베르트 스킴

\mathbf{Hilb}(n)

은 다음과 같은 의미에서 사영 공간의 닫힌 부분 스킴을 분류한다. 임의의 국소 뇌터 스킴에 대해, 힐베르트 스킴의 값을 갖는 점의 집합

:

\operatorname{Hom}(S, \mathbf{Hilb}(n))

은

\mathbb{P}^n \times S

의 닫힌 부분 스킴 중 위에서 평탄한 것들의 집합과 자연스럽게 동형이다.

\mathbb{P}^n \times S

의 닫힌 부분 스킴 중 위에서 평탄한 것은, 비공식적으로 에 의해 매개변수화된 사영 공간의 부분 스킴들의 족으로 생각할 수 있다. 힐베르트 스킴

\mathbf{Hilb}(n)

은 힐베르트 다항식 를 갖는 사영 공간의 부분 스킴의 힐베르트 스킴에 해당하는 조각

\mathbf{Hilb}(n, P)

들의 분리된 합으로 나뉜다. 이 조각들 각각은

\operatorname{Spec}(\Z)

위에서 사영적이다.

힐베르트 스킴에는 상대적 스킴의 부분 스킴을 매개변수화하는 상대적 힐베르트 스킴의 일반화로 이어지는 또 다른 해석이 있다. 고정된 기저 스킴

S

에 대해

X \in (Sch/S)

이고, 다음 함자를 정의하자.

:

\underline{\text{Hilb}}_{X/S}:(Sch/S)^{op} \to Sets

이 함자는 상대 스킴

T \to S

를 집합의 동형 사상 클래스로 보낸다.

:

\underline{\text{Hilb}}_{X/S}(T) = \left\{\begin{matrix}Z & \hookrightarrow & X \times_S T & \to & X \\\downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\T & = & T & \to & S\end{matrix}

: Z \to T \text{는 평탄하다}

\right\} / \sim

여기서 동치 관계는

Z

의 동형 사상 클래스에 의해 주어진다. 이 구성은 가족의 당김을 취함으로써 함자성을 가진다.

f: T' \to T

가 주어지면,

T'

위에 가족

f^*Z = Z\times_TT'

가 존재한다.

3. 성질

힐베르트 스킴은 주어진 힐베르트 다항식을 갖는 사영 공간의 부분 스킴에 해당하는 조각들로 분리되며, 이 조각들은 Spec(Z) 위에서 사영적이다.^[4] 힐베르트 다항식 $P$ 를 갖는 체 $k$ 위의 닫힌 부분 스킴 $Y \subset \mathbb{P}^n_k=X$ 에 대해, 힐베르트 스킴 $H$ 는 $H$ 위에 평탄한 보편적인 부분 스킴 $W \subset X \times H$ 을 갖는다.

닫힌 점 $x \in H$ 에 대한 섬유 $W_x$ 는 $X$ 의 닫힌 부분 스킴이다.
$H$ 는 힐베르트 다항식 $P$ 를 갖는 $X$ 의 모든 평탄한 부분 스킴족에 대해 보편적이다.

리만 곡면(Riemann surface)

X

의 경우,

X^{[n]}=S^nX=X^n/S_n

이다. 곡면 위의

n

개의 점의 힐베르트 스킴 또한 매끄럽다 (Grothendieck).

힐베르트 스킴은 일반적으로 가약적이며, 대칭곱의 차원보다 훨씬 큰 차원을 갖는 성분들을 갖는다. 예를 들어, 차원

n

의 스킴의

d

개의 점의 힐베르트 스킴은 차원

dn

을 가질 것으로 예상되지만,

n \ge 3

의 경우에는 기약 성분이 더 큰 차원을 가질 수 있다.

3. 1. 존재성

S^영어가 국소 뇌터 스킴이고, X/S^영어가 사영 스킴이라면, Hilb^영어가 존재한다.

특히, 정수 계수의 사영 공간

:

\mathbb P_{\mathbb Z}^n = \operatorname{Proj}[x_0,x_1,\dotsc,x_n]

은 힐베르트 스킴을 갖는다.

반면, 힐베르트 스킴을 갖지 않는 대수다양체가 존재한다. 구체적으로, 히로나카 헤이스케는 사영 대수다양체가 아닌 어떤 복소수 비특이 완비 대수다양체 X^영어에 대하여, 대수 공간 X²^영어/Sym(2)가 스킴으로서 존재하지 않음을 보였으며, 이에 따라 모듈러스 공간 HilbX^영어(2)는 스킴이 아니다.

3. 2. 힐베르트 다항식으로의 분해

평탄 스킴 족의 올들은 같은 힐베르트 다항식을 갖는다. 따라서, 힐베르트 스킴은 각 힐베르트 다항식에 대한 성분들의 분리합집합이다.

:

\operatorname{Hilb}_{\mathbb P_K^n/K} = \bigsqcup_{p\in \mathbb Q[x]}\operatorname{Hilb}_{\mathbb P_K^n/K}(p)

즉, 각 유리수 계수 다항식

p \in \mathbb Q[x]

에 대하여,

\operatorname{Hilb}_{\mathbb P_K^n/K}(p)

는 힐베르트 다항식이

p

인 닫힌 부분 스킴의 모듈라이 공간이다.

힐베르트 스킴

\mathbf{Hilb}(n)

은 힐베르트 다항식 P를 갖는 사영 공간의 부분 스킴의 힐베르트 스킴에 해당하는 조각

\mathbf{Hilb}(n, P)

들의 분리된 합으로 나뉜다.

3. 3. 사영 공간의 힐베르트 스킴의 구성

다항식

p \in \mathbb Q[t]

의 '''고츠만 수'''(Gotzmann數, Gotzmann number^영어)는 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수

D

이다.

$\mathbb Z[x_0,x_1,\dotsc,x_n]$ 의 임의의 포화 아이디얼 $\mathfrak I\subseteq \mathbb Z[x_0,x_1,\dotsc,x_n]$ , $\mathfrak I = \textstyle\bigcup_{i=1}^\infty(\mathfrak I:(x_0,x_1,\dotsc,x_n)^i)$ 에 대하여, 만약 $\mathfrak I$ 의 힐베르트 다항식이 $p$ 라면, $\mathfrak I$ 는 $D$ 차 이하의 생성원만으로부터 생성될 수 있다.

힐베르트 스킴

\operatorname{Hilb}_{\mathbb P^n}(p)

는 다음과 같이 구체적으로 표현될 수 있다.

:

\operatorname{Hilb}_{\mathbb P^n}(p) = \left\{(V,W) \in \operatorname{Grass}\left(\binom{n+D}n-p(D),\mathbb Z[x_0,x_1,\dotsc,x_n]_D\right) \times \operatorname{Grass}\left(\binom{n+D}n-p(D),\mathbb Z[x_0,x_1,\dotsc,x_n]_D\right) \colon\forall i\colon x_iV \subseteq W\right\}

여기서

$\operatorname{Grass}(a,V)$ 는 벡터 공간 $V$ 속의 $a$ 차원 부분 벡터 공간의 모듈라이 공간인 그라스만 다양체이다.
$D\in\mathbb N$ 는 $p$ 의 고츠만 수이다.
$\mathbb Z[x_0,x_1,\dotsc,x_n]_D$ 는 변수 $x_0,x_1,\dotsc,x_n$ 에 대한 $D$ 차 동차다항식들의 공간이다.
$\textstyle\binom ab$ 는 이항 계수이다.

4. 구성

알렉산더 그로텐디크는 힐베르트 스킴을 그라스만 다양체의 부분 스킴으로 구성했다. 사영 공간의 부분 스킴은 다항식 링의 아이디얼과 대응되는데, 이를 이용하여 힐베르트 스킴을 구성할 수 있다.

충분히 큰 $m$ 값을 선택하면, $(Q(m) - P_X(m))$ 차원 공간 $I_X^m$ 은 $Q(m)$ 차원 공간 $S^m$ 의 부분 공간이 되므로, 그라스만 다양체 $\textbf{Gr}(Q(m)-P_X(m), Q(m))$ 의 점을 나타낸다. 이는 힐베르트 다항식 $P_X$ 에 해당하는 힐베르트 스킴의 부분을 이 그라스만 다양체에 매장하는 것을 제공한다.

이 이미지에 대한 스킴 구조는 $I_X(m) \otimes S(k) \rightarrow S(k+m)$ 이 모든 양의 $k$ 에 대해 $\dim(I_X(k+m))$ 이하의 랭크를 갖는다는 조건으로 주어지며, 이는 다양한 행렬식의 소멸과 동일하다.

5. 예시

힐베르트 스킴의 예시로는 파노 스킴, 점들의 힐베르트 스킴, 차수 d 초곡면의 힐베르트 스킴, 곡선들의 힐베르트 스킴 등이 있다.

파노 스킴(Fano scheme): 주어진 초곡면(hypersurface)에 포함된 k-평면들을 매개변수화한다.^[3]
점들의 힐베르트 스킴: 스킴 위의 n개의 점들을 매개변수화하며, 리만 곡면의 경우 대칭곱(symmetric product)과 같다.^[4]
차수 d 초곡면의 힐베르트 스킴: 사영 공간 $\mathbb{P}^n$ 에서 차수 k 초곡면의 힐베르트 스킴은 사영화 $\mathbb{P}(\Gamma(\mathcal{O}(k)))$ 로 주어진다.
곡선들의 힐베르트 스킴: 주어진 종수(genus)를 갖는 대수 곡선들을 매개변수화하며, 대수 곡선의 모듈러스 스택(moduli stack) 구성의 첫 단계이다.

힐베르트 스킴은 스킴 위의 0차원 부분 스킴을 구멍 뚫린 힐베르트 스킴(punctual Hilbert scheme)이라고 부르기도 한다.

임의의 0차원 스킴을 관련 0-사이클로 취함으로써, 점의 축소된 힐베르트 스킴에서 사이클의 주 다양체로의 힐베르트-주의 사상(Hilbert-Chow morphism)이 존재한다.

곡선 (차원이 1인 복소 다양체) 위의 점의 힐베르트 스킴은 해당 곡선의 대칭 거듭제곱(symmetric power)과 동형이다.

5. 1. Fano schemes of hypersurfaces

일반적으로 힐베르트 스킴을 연구하게 된 계기가 된 동기 부여의 한 예는 파노 스킴이었다.

d

차의 부분 스킴

X \subset \mathbb{P}^n

이 주어지면,

H \subset X \subset \mathbb{P}^n

을 매개변수화하는 스킴

F_k(X)

가

\mathbb{G}(k, n)

에 존재하는데, 여기서

H

는

\mathbb{P}^n

내의

k

-평면이며, 이는

\mathbb{P}^k

의 1차 매립을 의미한다.^[3]

d \geq 3

차의

\mathbb{P}^3

내의 매끄러운 곡면에 대해, 비어 있지 않은 파노 스킴

F_k(X)

는 매끄럽고 0차원이다. 이는 매끄러운 곡면 위의 선들이 음의 자기 교차를 갖기 때문이다.^[3]

5. 2. Hilbert scheme of points

국소 뇌터 스킴

X

에 대하여, 힐베르트 다항식이 상수

n

인 힐베르트 스킴

\operatorname{Hilb}_X(n)

을 생각할 수 있다. 이는

X

위의

n

개의 점으로 구성된 아르틴 부분 스킴의 모듈라이 공간이며, 따라서 짜임새 공간

X^n / \operatorname{Sym}(n)

이다 (

\operatorname{Sym}(n)

은 대칭군). 특히,

\operatorname{Hilb}_X(1) = X

이다.

스킴

X

의

n

개의 점에 대한 힐베르트 스킴은

X^{[n]}

로 표기한다. 리만 곡면

X

의 경우,

X^{[n]}=S^nX=X^n/S_n

이다.

\mathbb{P}^2

의 경우, 경계 궤적

B \subset H

가 점들의 교차를 설명하며, 접선 벡터와 함께 점들을 매개변수화한다고 생각할 수 있다. 예를 들어,

(\mathbb{P}^2)^{[2]}

는 대각선의 대칭 작용에 따른 몫

Bl_{\Delta}(\mathbb{P}^2\times\mathbb{P}^2/S_2)

의 블로우업이다.^[4]

M

위의

n

개의 점의 힐베르트 스킴

M^{[n]}

은

M

의

n

차 대칭곱으로 가는 자연스러운 사상을 갖는다. 이 사상은

M

의 차원이 최대 2일 때 쌍유리적이다. 차원이 3 이상인

M

의 경우, 사상은 큰

n

에 대해 쌍유리적이지 않다.

곡면 위의

n

개의 점의 힐베르트 스킴은 매끄럽다(Grothendieck). 만약

n=2

라면,

M\times M

에서 대각선을 블로우업하고,

(x,y) \mapsto (y,x)

에 의해 유도된

\Z/2\Z

작용으로 나누어 얻을 수 있다. 이는 마크 하이먼이 일부 맥도날드 다항식 계수의 양수성을 증명하는 데 사용했다.

차원이 3 이상인 매끄러운 다양체의 힐베르트 스킴은 일반적으로 매끄럽지 않다.

5. 3. Degree d hypersurfaces

사영 공간

\mathbb{P}^n

에서 차수 k 초곡면의 힐베르트 스킴은 사영화

\mathbb{P}(\Gamma(\mathcal{O}(k)))

로 주어진다. 예를 들어,

\mathbb{P}^1

에서 차수 2 초곡면의 힐베르트 스킴은

\mathbb{P}^2

이며, 보편적 초곡면은 다음과 같다.

:

\text{Proj}(k[x_0,x_1][\alpha,\beta,\gamma]/(\alpha x_0^2 + \beta x_0x_1 + \gamma x_1^2)) \subseteq \mathbb{P}_{x_0,x_1}^1\times\mathbb{P}^2_{\alpha,\beta,\gamma}

여기서 기본 링은 이중 등급이다.

5. 4. Hilbert scheme of curves and moduli of curves

고정된 종수

g

의 대수 곡선

C

에 대해 삼중 텐서화된 이중화층

\omega_C^{\otimes 3}

의 차수는 전역적으로 생성되므로, 오일러 지표는 전역 단면의 차원에 의해 결정된다.

:

\chi(\omega_C^{\otimes 3}) = \dim H^0(C,\omega_X^{\otimes 3})

.

이 벡터 공간의 차원은

5g-5

이므로,

\omega_C^{\otimes 3}

의 전역 단면은 모든 종수

g

곡선에 대해

\mathbb{P}^{5g-6}

로의 임베딩을 결정한다. 리만-로흐 공식을 사용하면, 연관된 힐베르트 다항식은 다음과 같이 계산될 수 있다.

:

H_C(t) = 6(g-1)t + (1-g)

.

그러면 힐베르트 스킴

:

\text{Hilb}_{\mathbb{P}^{5g-6}}^{H_C(t)}

는 모든 종수 ''g'' 곡선을 매개변수화한다. 이 스킴을 구성하는 것은 대수 곡선의 모듈러스 스택을 구성하는 첫 번째 단계이다. 또 다른 주요 기술적 도구는 GIT 몫인데, 이 모듈러스 공간은 몫으로 구성되기 때문이다.

:

\mathcal{M}_g = [U_g/GL_{5g-6}]

,

여기서

U_g

는 힐베르트 스킴의 매끄러운 곡선의 부분 위치이다.

6. 힐베르트 스킴과 초켈러 기하학

K3 surface^영어 또는 복소 원환면(complex torus) 위의 점들의 힐베르트 스킴은 초켈러 다양체(hyperkähler manifold)의 한 예시이다.^[1]

아르노 보빌(Arnaud Beauville)은 K3 곡면이나 복소 원환체의 표준 번들이 고다이라 곡면 분류에 의해 자명하므로 정칙 심플렉틱 형식을 가지며, M의 n제곱 힐베르트 스킴 $M^{[n]}$ 또한 정칙 심플렉틱 형식을 가짐을 보였다.^[1] $n=2$ 인 경우, $M^{[2]}$ 는 M의 대칭 제곱의 블로우업이며, 이 공간의 심플렉틱 형식이 예외적 제수의 매끄러운 부분까지 자연스럽게 확장되고, 하토그의 원리에 의해 $M^{[n]}$ 의 나머지 부분으로 확장됨을 통해 확인할 수 있다.^[1]

정칙 심플렉틱 켈러 다양체는 칼라비-야우 정리에 의해 초켈러 다양체이다.^[1] K3 곡면과 4차원 원환면 위의 점들의 힐베르트 스킴은 각각 K3 곡면 위의 점들의 힐베르트 스킴과 일반화된 쿠머 다양체(generalized Kummer variety)라는 초켈러 다양체의 두 가지 예시를 제공한다.^[1]

7. 함자적 관점

상대적 힐베르트 스킴(relative Hilbert scheme)은 상대 스킴(relative scheme)의 부분 스킴을 매개변수화한다. 고정된 기저 스킴 $S$ 에 대해 $X \in (Sch/S)$ 일 때, 함자 $\underline{\text{Hilb}}_{X/S}:(Sch/S)^{op} \to Sets$ 는 상대 스킴 $T \to S$ 를 다음과 같은 집합의 동형 사상 클래스로 보낸다.^[1]

: $\underline{\text{Hilb}}_{X/S}(T) = \left\{\begin{matrix}Z & \hookrightarrow & X \times_S T & \to & X \\\downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\T & = & T & \to & S\end{matrix}: Z \to T \text{는 평탄하다}\right\} / \sim$

여기서 동치 관계는 $Z$ 의 동형 사상 클래스에 의해 주어진다. 이 구성은 가족의 당김을 취함으로써 함자성을 띈다. 즉, $f: T' \to T$ 가 주어지면, $T'$ 위에 가족 $f^*Z = Z\times_TT'$ 가 존재한다.

구조 사상 $X \to S$ 가 사영적이면, 이 함자는 힐베르트 스킴으로 표현된다. 유한 타입의 사상에 대한 일반화는 대수적 공간 기술을 통해 이루어진다.^[1]

가장 일반적인 경우, 힐베르트 함자는 스킴 $S$ 위에 정의된 대수적 공간의 유한 타입 사상 $f\colon X \to B$ 에 대해 정의된다. 힐베르트 함자 $\underline{\text{Hilb}}_{X/B}:(Sch/B)^{op} \to Sets$ 는 ''T''를 다음과 같은 집합으로 보낸다.^[2]

: $\underline{\text{Hilb}}_{X/B}(T) = \left\{ Z \subset X\times_BT :\begin{align}&Z \to T \text{는 평탄하고, 고유하며,} \\&\text{그리고 유한 표시이다.}\end{align}\right\}$

이 함자는 스킴으로 표현되지 않지만, 대수적 공간으로 표현된다. 또한, 만약 $S = \text{Spec}(\Z)$ 이고 $X\to B$ 가 스킴의 유한 타입 사상이라면, 이들의 힐베르트 함자는 대수적 공간으로 표현된다.

8. 추가 설명

힐베르트 스킴은 대수기하학에서 다양한 응용 분야를 가지고 있다. 몇 가지 추가적인 설명을 덧붙이면 다음과 같다.

보트의 공식과 열거 기하학: 보트 공식은 힐베르트 스킴을 사용하여 열거 기하학 문제를 해결하는 데 중요한 도구로 사용된다. 특히, 주어진 조건을 만족시키는 기하학적 대상의 개수를 세는 문제에 응용된다.
5차 3차원 다양체 위의 꼬인 3차 곡선의 수: 힐베르트 스킴은 5차 3차원 다양체 위에 존재하는 꼬인 3차 곡선의 수를 계산하는 데 사용될 수 있다. 이 문제는 대수기하학의 고전적인 문제 중 하나이다.^[1]
칼라비-야우 3차원 다양체 위의 유리 곡선과 거울 대칭: 힐베르트 스킴은 칼라비-야우 3차원 다양체 위에 존재하는 유리 곡선의 수를 세는 데 사용될 수 있으며, 이는 거울 대칭 가설을 검증하는 데 중요한 역할을 한다.^[2]

참조

_[1] 서적 Algebraization of formal moduli: I Princeton University Press 2015-12-31
_[2] 웹사이트 Section 97.9 (0CZX): The Hilbert functor—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-06-17
_[3] 웹사이트 3264 and all that https://scholar.harv[...]
_[4] 웹사이트 A general introduction to the Hilbert scheme of points on the plane https://web.northeas[...]

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