안정 벡터 다발

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 역사
5. 예
6. 일반화
참조

1. 개요

안정 벡터 다발은 대수 기하학에서 사용되는 개념으로, 비특이 대수 곡선 또는 리만 곡면 위의 정칙 벡터 다발의 일종이다. 안정 벡터 다발은 기울기, 힐베르트 다항식, 에르미트-아인슈타인 접속 등을 통해 정의되며, 안정, 반안정, μ-안정, μ-반안정 등의 세부적인 분류가 있다. 안정 벡터 다발은 주어진 계수와 차수를 갖는 비특이 곡선 위의 안정 다발의 모듈 공간이 준사영 대수다양체임을 증명하는 멈포드의 연구를 통해 그 중요성이 부각되었다. 또한 나라시만-세샤드리 정리, 하더-나라심한 여과, 고바야시-히친 대응과 같은 다양한 이론적 배경을 가지며, 리만 곡면 위의 안정 벡터 다발의 모듈러스 공간과 같은 연구 분야에서 활용된다.

더 읽어볼만한 페이지

대수기하학 - 타원곡선
타원곡선은 체 위에서 정의되고 특이점이 없으며 종수가 1인 사영 대수 곡선으로, 유리점을 가지며, 특정 형태의 방정식으로 표현되고, 실수체 위에서는 연결 성분 개수가 판별식에 따라 달라지며, 복소수체 위에서는 원환면과 위상적으로 동형이고, 점들 간에 군 연산이 정의되어 암호학 및 정수론에 활용된다.
대수기하학 - 매끄러운 함수
매끄러운 함수는 함수의 미분 가능성을 나타내는 척도로, k번 미분 가능하고 그 미분 함수가 연속일 경우 C^k로 표기하며, 무한히 미분 가능한 함수를 의미하고, 곡선의 부드러움을 측정하는 데 활용된다.
미분기하학 - 가우스 곡률
가우스 곡률은 3차원 유클리드 공간에 놓인 곡면의 두 주곡률의 곱으로, 곡면의 형태를 나타내는 지표이며 곡면 자체의 길이 측정만으로 결정되는 내재적인 값이다.
미분기하학 - 가우스의 빼어난 정리
가우스의 빼어난 정리는 곡면의 가우스 곡률이 외부 공간이 아닌 곡면 자체의 리만 계량만으로 결정된다는 정리로, 곡면의 변형 시 가우스 곡률이 보존됨을 의미하며, 지도 제작의 불가능성 증명과 고차원 리만 다양체 일반화에 응용되어 미분기하학과 일반 상대성 이론의 기초가 된다.

안정 벡터 다발
개요
분야	수학, 대수기하학
하위 분야	벡터 다발
성질
관련 개념	안정성, 세미안정성, 경계

2. 정의

콤팩트 복소다양체 $M$ 위에 정의된 정칙 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$ 의 안정성은 '기울기'라는 개념을 통해 정의된다. $M$ 이 고차원 복소수 사영 공간으로의 단사 정칙 함수 $M \hookrightarrow \operatorname{\mathbb CP}^N$ 를 통해 표현될 때, $M$ 위에는 표준적인 켈러 다양체 구조가 주어지며, 켈러 형식의 코호몰로지류 $[\omega]\in\operatorname H^2(M;\mathbb R)$ 는 정수 계수 코호몰로지로 주어진다. (고다이라 매장 정리에 의하여, 그 역 또한 성립한다.)

안정 벡터 다발은 좋은 성질을 가지기 때문에 분석 대상이 된다. 안정 벡터 다발의 모듈라이 공간은 많은 경우에 몫 스킴을 사용하여 구성될 수 있다.

비특이 대수 곡선 (또는 리만 곡면) 위의 정칙 벡터 다발 ''W''의 기울기는 ''μ(W)'' = deg(''W'')/rank(''W'')로 정의된다. 다발 ''W''는 ''W''의 모든 진 부분 다발 ''V''에 대해 μ(V) < μ(W)를 만족하면 '''안정'''이고, μ(V) ≤ μ(W)를 만족하면 '''반안정'''이다.

차원이 ''n''인 매끄러운 사영 대수다양체 ''X''에서 ''H''를 초평면 단면이라 할 때, 벡터 다발(또는 비꼬임 없는 연접층) ''E''의 기울기는 다음과 같이 정의된다.

: $\mu(E) := \frac{c_1(E) \cdot H^{n-1}}{\operatorname{rk}(E)}$

여기서 $c_1$ 은 첫 번째 천 특성류이다.

비꼬임 없는 연접층 ''E''는 임의의 영이 아닌 부분층 ''F'' ⊆ ''E''에 대해 μ(F) ≤ μ(E)를 만족하면 '''μ-반안정'''이고, 랭크가 작은 임의의 영이 아닌 부분층 ''F'' ⊆ ''E''에 대해 μ(F) < μ(E)가 성립하면 '''μ-안정'''이다.

벡터 번들 ''E''에 대해 다음의 함축 관계가 성립한다: ''E''가 μ-안정 ⇒ ''E''가 안정 ⇒ ''E''가 반안정 ⇒ ''E''가 μ-반안정.

2. 1. 다발의 기울기

E \ne 0

일 때,

E

의 기울기(slope|슬로프^영어)는 다음과 같은 유리수이다.

:

\mu(E) = \frac{\int_M [\omega]^{\dim_{\mathbb C} M -1 } \smile \operatorname c_1(E)}{\dim_M E}\in\mathbb Q

여기서 분자가 정수인 이유는

M

이 사영 대수다양체이기 때문이다.

비특이 대수 곡선(또는 리만 곡면) 위의 정칙 벡터 다발 ''W''의 기울기는 유리수 ''μ(W)'' = deg(''W'')/rank(''W'')이다.

차원이 ''n''인 매끄러운 사영 대수다양체 ''X''에서 ''H''를 초평면 단면이라 할 때, 벡터 다발(또는 비꼬임 없는 연접층) ''E''의 기울기는 다음과 같이 정의되는 유리수이다.

:

\mu(E) := \frac{c_1(E) \cdot H^{n-1}}{\operatorname{rk}(E)}

여기서

c_1

은 첫 번째 천 특성류이다. ''H''에 대한 의존성은 종종 표기에서 생략된다.

2. 2. 에르미트-아인슈타인 접속

E \twoheadrightarrow M

가

M

위의,

G

구조의 정칙 벡터 다발이고, 이에 대응되는

G

-주다발이

P\twoheadrightarrow M

라고 하자.

그렇다면,

E

위의 어떤 벡터 다발 접속

\nabla

의 곡률

:

F_{i\bar\jmath}^a \in \Omega^{1,1}(M;\mathfrak{ad}(P))

을 정의할 수 있다. 이는 (1,1)차 벡터 값 복소수 미분 형식이며, 이것이 값을 갖는 벡터 다발은 딸림표현 연관 벡터 다발

:

\mathfrak{ad}(P) = P \times_G \mathfrak{lie}(G)

이다. 표현에 따라서

:

\mathfrak{ad}(P) \subseteq \operatorname{End}E

이다.

\operatorname{End}E

에서, 스칼라에 대한 곱셈으로 구성된 부분 선다발

:

\mathbb C\operatorname{id}_E \subseteq \operatorname{End}E

을 생각하자. 이는 표준적 대역적 단면을 가지므로, 표준적으로 자명한 벡터 다발을 이룬다. 이 포함 사상을

:

m \colon M \times \mathbb C \hookrightarrow \operatorname{End}(E)

이라고 하자. 이제, 만약

:

F \in \mathrm i\mathbb Rm(\omega) \subseteq \Omega^{1,1}(M;\operatorname{End}E)

라면,

\nabla

를 '''에르미트-아인슈타인 접속'''이라고 한다.

\operatorname i\lambda

는 허수이므로, 이 경우

E

위에 임의의 에르미트 계량을 부여한다면,

\nabla

는 자명하게 유니터리 접속을 이룬다 (모든 모노드로미가 에르미트 계량에 대하여 유니터리 행렬이다).

2. 3. 안정 벡터 다발

E \ne 0

일 때, 다음 세 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정칙 벡터 다발을 '''안정 벡터 다발'''이라고 한다.^[6]

$E$ 의 임의의 부분 정칙 벡터 다발 $0\subsetneq F\subsetneq E$ 에 대하여, $\mu(F) < \mu(E)$ 이다.
$E$ 는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 ( $G = \operatorname{GL}(\mathbb C^{\operatorname{rk}E})$ 에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 (하나 이상) 존재한다.
$E$ 는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 ( $G = \operatorname{GL}(\mathbb C^{\operatorname{rk}E})$ 에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 유일하게 존재한다.

안정 벡터 다발의 첫 정의에서

\mu(F) < \mu(E)

를

\mu(F) \le \mu(E)

로 약화시키면, '''준안정 벡터 다발'''(semistable vector bundle^영어)의 개념을 얻는다.

안정 벡터 다발을 분석하는 이유는 그것들이 일련의 집합에서 나타내는 좋은 성질 때문이다. 안정 벡터 다발의 모듈라이 공간은 많은 경우에 몫 스킴을 사용하여 구성될 수 있지만, 벡터 다발의 스택

\mathbf{B}GL_n

은 기본 집합이 단일 점인 아르틴 스택이다.

비특이 대수 곡선 (또는 리만 곡면) 위의 정칙 벡터 다발 ''W''의 '''기울기'''는 유리수 ''μ(W)'' = deg(''W'')/rank(''W'')이다. 다발 ''W''는 ''W''의 모든 진 부분 다발 ''V''에 대해

\mu(V) < \mu(W)

인 경우 '''안정'''이다. 그리고 ''W''의 모든 진 비영 부분 다발 ''V''에 대해

\mu(V) \le \mu(W)

인 경우 '''반안정'''이다. 비공식적으로 이것은 다발이 임의의 진 부분 다발보다 "더 ample"하면 안정이고, "더 ample"한 부분 다발을 포함하면 불안정하다는 것을 의미한다.

''W''와 ''V''가 반안정 벡터 다발이고 ''μ(W)'' > ''μ(V)''이면, 비영 사상 ''W'' → ''V''는 없다.

멈포드는 주어진 계수와 차수를 갖는 비특이 곡선 위의 안정 다발의 모듈 공간이 준사영 대수다양체임을 증명했다. 곡선 위의 안정 벡터 다발의 모듈 공간의 코호몰로지는 유한체 위의 대수 기하학을 사용하여, 그리고 나라시만-세샤드리 접근법을 사용하여 기술되었다.

만약 ''X''가 차원 ''m''의 매끄러운 스킴 사영 대수다양체이고 ''H''가 초평면 단면이면, 벡터 다발 (또는 비틀림이 없는 층) ''W''는 다음 조건을 만족할 때 '''안정'''(또는 때로는 '''기제커 안정''')이라고 한다.

:

\frac{\chi(V(nH))}{\hbox{rank}(V)} < \frac{\chi(W(nH))}{\hbox{rank}(W)}\text{ for }n\text{ large}

여기서 χ는 대수적 벡터 다발의 오일러 지표를 나타내고, 벡터 다발 ''V(nH)''는 ''V''를 ''H''로 ''n''번 뒤틀린 것을 의미하며, ''W''의 모든 고유한 영이 아닌 부분 다발(또는 부분층) ''V''에 대해 성립한다. 위 부등식에서 <를 ≤로 바꾸면 ''W''는 '''반안정'''이라고 한다.

곡선 위의 번들에 대해 기울기에 의해 정의된 안정성과 힐베르트 다항식의 성장은 일치한다. 고차원에서는 이 두 가지 개념이 다르며 서로 다른 장점을 가진다. 기제커 안정성은 기하 불변 이론의 관점에서 해석될 수 있으며, μ-안정성은 텐서 곱, 당김 등에 대해 더 나은 속성을 가진다.

''X''를 차원이 ''n''인 매끄러운 사영 대수다양체, ''H''를 그 초평면 단면이라고 하자. 벡터 번들(또는 더 일반적으로 비꼬임 없는 연접층) ''E''의 '''기울기'''는 다음과 같이 정의되는 유리수이다.

:

\mu(E) := \frac{c_1(E) \cdot H^{n-1}}{\operatorname{rk}(E)}

여기서 ''c''₁은 첫 번째 Chern class이다. ''H''에 대한 의존성은 종종 표기에서 생략된다.

비꼬임 없는 연접층 ''E''는 임의의 영이 아닌 부분층 ''F'' ⊆ ''E''에 대해 기울기가 부등식 μ(F) ≤ μ(E)를 만족하면 '''μ-반안정'''이다. 또한, 랭크가 작은 임의의 영이 아닌 부분층 ''F'' ⊆ ''E''에 대해 엄격한 부등식 μ(F) < μ(E)가 성립하면 '''μ-안정'''이다. 이 안정성 개념은 기울기 안정성, μ-안정성, 때로는 멈퍼드 안정성 또는 타케모토 안정성이라고 불릴 수 있다.

벡터 번들 ''E''에 대해 다음의 함축 관계가 성립한다: ''E''가 μ-안정 ⇒ ''E''가 안정 ⇒ ''E''가 반안정 ⇒ ''E''가 μ-반안정.

안정성(μ-)은 비-매끄러운 사영 스킴과 더 일반적인 코히어런트 층에 힐베르트 다항식을 사용하여 일반화할 수 있다. ''X''를 사영 스킴, ''d''를 자연수, dim Supp(''E'') = ''d''인 ''X'' 상의 코히어런트 층 ''E''라고 하자. ''E''의 힐베르트 다항식을 ''P''_''E''(''m'') = α_''i''(''E'')/(''i''!) ''m''^''i''로 쓴다. '''축소된 힐베르트 다항식''' ''p''_''E'' := ''P''_''E''/α_''d''(''E'')를 정의한다.

코히어런트 층 ''E''는 다음과 같은 두 가지 조건을 만족하면 '''반안정'''이다:^[4]

''E''는 차원 ''d''를 가진다. 즉, ''E''의 모든 연관 소수는 차원 ''d''를 가진다.
임의의 고유한 비영 부분층 ''F'' ⊆ ''E''에 대해 축소된 힐베르트 다항식은 큰 ''m''에 대해 ''p''_''F''(''m'') ≤ ''p''_''E''(''m'')을 만족한다.

엄격한 부등식 ''p''_''F''(''m'') < ''p''_''E''(''m'')가 큰 ''m''에 대해 성립하면 층은 '''안정'''이라고 한다.

Coh_''d''(X)를 차원 ≤ ''d''인 지지체를 갖는 ''X'' 위의 코히어런트 층의 완전한 부분 범주라고 하자. Coh_''d''의 객체 ''F''의 '''기울기'''는 힐베르트 다항식의 계수를 사용하여 α_''d''(''F'') ≠ 0이고, 그렇지 않으면 0인

\hat{\mu}_d(F) = \alpha_{d-1}(F)/\alpha_d(F)

로 정의할 수 있다.

\hat{\mu}_d

의 ''d''에 대한 의존성은 일반적으로 표기법에서 생략된다.

\operatorname{dim}\,\operatorname{Supp}(E) = d

인 코히어런트 층 ''E''는 다음과 같은 두 가지 조건을 만족하면 '''μ-반안정'''이라고 한다:^[5]

''E''의 비틀림은 차원 ≤ ''d''-2에 있다.
몫 범주 Coh_''d''(X)/Coh_''d-1''(X)에서 임의의 비영 객체 ''F'' ⊆ ''E''에 대해 $\hat{\mu}(F) \leq \hat{\mu}(E)$ 를 가진다.

''E''는 ''E''의 모든 고유한 비영 부분 객체에 대해 엄격한 부등식이 성립하면 '''μ-안정'''이다.

Coh_''d''는 모든 ''d''에 대해 세르 부분 범주이므로 몫 범주가 존재한다. 일반적으로 몫 범주의 부분 객체는 부분층에서 나오지 않지만, 비틀림이 없는 층의 경우 ''d'' = ''n''에 대한 원래 정의와 일반 정의는 동일하다.

또한, 브리지랜드의 안정성 조건과 같이 일반화를 위한 다른 방향도 있다.

안정 벡터 다발과 유사하게 안정 주 다발을 정의할 수 있다.

2. 4. 준안정 벡터 다발

E

의 임의의 부분 정칙 벡터 다발

0\subsetneq F\subsetneq E

에 대하여,

\mu(F) \le \mu(E)

이면, '''준안정 벡터 다발'''(semistable vector bundle^영어)이라고 한다.^[6]

비특이 대수 곡선(또는 리만 곡면) 위의 정칙 벡터 다발 ''W''의 '''기울기'''는 유리수 ''μ(W)'' = deg(''W'')/rank(''W'')이다. 다발 ''W''는 ''W''의 모든 진 비영 부분 다발 ''V''에 대해

:

\mu(V) \le \mu(W)

이면 '''반안정'''이다.

2. 5. 리만 곡면의 경우

다음이 주어졌다고 하자.

콤팩트 리만 곡면 $\Sigma$
정칙 벡터 다발 $E \twoheadrightarrow \Sigma$

이 경우,

\operatorname H^2(\Sigma)

가 1차원이므로,

\Sigma

위에 임의의 켈러 다양체 구조를 부여하더라도, 그 스칼라배를 취하여 이것이 사영 다양체가 되게 만들 수 있다. 구체적으로, 이 경우 항상

\Sigma

의 넓이가 1이 되게 규격화할 수 있다.

이 경우,

E

의 기울기는 켈러 구조에 의존하지 않으며, 따라서 안정성 여부 역시 켈러 구조에 의존하지 않는다.

3. 성질

안정 벡터 다발은 복소수 1차원 콤팩트 켈러 다양체에서 정의되며, 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다.

복소수 1차원 콤팩트 켈러 다양체 $\Sigma$ 와 그 위의 정칙 벡터 다발 $E \twoheadrightarrow \Sigma$ , 그리고 $E$ 위의 에르미트 구조 $\eta \in \Gamma_\Sigma(E^*\otimes \bar E^*)$ 가 주어졌다고 하자. $E$ 위에 벡터 다발 접속 $\nabla$ 가 주어지면, 임의의 폐곡선 $\gamma\colon [0,1]\to\Sigma$ ( $\gamma(0) = \gamma(1) \in \Sigma$ )에 대하여 모노드로미 $T_\gamma \in \operatorname{GL}(E_{\gamma(0)};\mathbb C)$ 를 정의할 수 있다.

만약 이러한 모노드로미가 모두 유니터리 군 $\operatorname U(E_{\gamma(0)}) \le \operatorname{GL}(E_{\gamma(0)};\mathbb C)$ 에 속한다면, 이러한 접속을 '''유니터리 접속'''(unitary connection^영어)이라고 한다. 유니터리 접속 $\nabla$ 가 주어졌을 때, 그 곡률 $F_\nabla \in \Omega^2(\Sigma;\operatorname u(E))$ 를 생각할 수 있다. 여기서 $\operatorname u(E)$ 는 $E$ 위의 유니터리 리 대수들의 벡터 다발이다. 부피 형식을 통한 호지 쌍대 $*F_\nabla \in \Gamma(\operatorname u(E))$ 를 생각할 수 있다.

나라심한-세샤드리 정리는 안정 벡터 다발과 관련된 중요한 성질을 설명한다.^[10]

3. 1. 나라심한-세샤드리 정리

나라심한-세샤드리 정리(நரசிம்மன்-சேஷாத்ரி定理, Narasimhan–Seshadri theorem^영어)에 따르면,^[10] 어떤 정칙 벡터 다발

E

가 두 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없을 때,

(E,\eta)

가 안정 벡터 다발일 필요충분조건은

*F_\nabla = -2\pi \mathrm i \mu(E)

인 유니터리 접속을 갖는 것이다. 여기서

\eta

는

E

위의 에르미트 구조이고,

\nabla

는

E

위의 벡터 다발 접속이며,

F_\nabla

는

\nabla

의 곡률이다. 이 경우, 곡률이 상수이므로, 모노드로미를 통해 임의의 점

z\in\Sigma

에 대하여 군 준동형

:

\pi_1(\Sigma,z) \to \operatorname{PU}(E_z) = \frac{\operatorname U(E_z)}{\mathbb C^\times}

이 존재한다.

이 정리는 사영 비특이 곡선 위의 안정 다발은 사영적으로 평탄한 유니타리 기약 접속을 갖는 다발과 같다고 설명한다. 차수가 0인 벡터 다발의 경우, 사영적으로 평탄한 접속은 평탄하며, 따라서 차수가 0인 안정 벡터 다발은 기약 유니타리 표현과 기본군에 대응된다.

고바야시와 히친은 고차원에서 이와 유사한 정리가 성립할 것이라고 추측했다. 이는 사이먼 도널드슨이 사영 비특이 곡면에 대해 증명하였는데, 이 경우 벡터 다발이 안정적인 것은 기약 에르미트-아인슈타인 접속을 갖는 것과 필요충분조건임을 보였다.

3. 2. 리만 곡면 위의 안정 벡터 다발의 모듈러스 공간

종수

g

인 리만 곡면

\Sigma

위에, 차원이

r

이고 차수가

d

인 안정 정칙 벡터 다발들의 모듈라이 공간

\mathcal M(\Sigma,r,d)

는 연결 공간인 복소수 사영 대수다양체이다.^[7]

E\twoheadrightarrow \Sigma

에서 이 모듈라이 공간의 접공간은 층 코호몰로지를 통해 다음과 같이 표현된다.

:

\operatorname T_E\mathcal M = \operatorname H^1(\Sigma,\operatorname{End}(E))

여기서

\operatorname{End}E = E^* \otimes_{\mathbb C} E

이다.

이 모듈라이 공간의 복소수 차원은 리만-로흐 정리를 사용하여 계산할 수 있으며, 다음과 같다.

:

\mathcal M(\Sigma, r, d)  \ne \varnothing \implies \dim_{\mathbb C} \mathcal M(\Sigma, r, d) =r^2 (g-1) + 1

여기서

\mathcal M(\Sigma, r, d)  \ne \varnothing

일 필요 충분 조건은

g \ge 2

이거나,

g = 1

이며

\gcd\{r,d\} = 1

이거나,

g = 0

이며

r =1

인 것이다.

3. 3. 하더-나라심한 여과

리만 곡면

\Sigma

위의 임의의 정칙 벡터 다발

E

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 여과가 존재한다.

:

0 = E_0 \subseteq E_1 \subseteq \dotsb \subseteq E_k = E

임의의 $i \in \{0,1,\dotsc, k-1\}$ 에 대하여, $E_{i+1}/E_i$ 는 $\Sigma$ 위의 준안정 벡터 다발이다.

이를 '''하더-나라심한 여과'''(Harder–Narasimhan filtration^영어)라고 한다.^[8]

3. 4. 고바야시-히친 대응

나라시만-세샤드리 정리는 사영 비특이 곡선 위의 안정 다발은 사영적으로 평탄한 유니타리 기약 접속을 갖는 다발과 같다고 말한다. 차수 0의 다발의 경우 사영적으로 평탄한 접속은 평탄하며, 따라서 차수 0의 안정 다발은 기약 유니타리 표현과 기본군에 대응된다.

고바야시와 히친은 고차원에서의 이와 유사한 내용을 추측했다. 이는 에 의해 사영 비특이 곡면에 대해 증명되었는데, 이 경우 벡터 다발이 안정적인 것은 기약 에르미트-아인슈타인 접속을 갖는 것과 필요충분 조건임을 보였다.

4. 역사

데이비드 멈퍼드가 1963년에 안정 벡터 다발의 개념을 도입하였다.^[9] 안정 벡터 다발은 대수기하학, 미분기하학, 수리물리학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

무두바이 세샤차를루 나라심한(முடும்பை சேஷ சாரலு நரசிம்மன்^ta, Mudumbai Seshacharlu Narasimhan^영어)과 칸지바람 스리랑가차리 세샤드리(காஞ்சீவரம் ஶ்ரீ ரங்காசாரி சேஷாத்ரி^ta, Conjeevaram Srirangachari Seshadri^영어)는 1965년에 나라심한-세샤드리 정리를 대수기하학을 사용하여 처음 증명하였다.^[9] 이후 1983년에 사이먼 도널드슨이 미분기하학을 사용하여 다른 증명을 발표하였고,^[10] 1985년에는 이 정리를 임의의 차원의 사영 켈러 다양체로 일반화하였다.^[6]

나라심한-세샤드리 정리에 따르면, 사영 비특이 곡선 위의 안정 다발은 사영적으로 평탄한 유니타리 기약 접속을 갖는 다발과 같다. 차수가 0인 다발의 경우, 사영적으로 평탄한 접속은 평탄하며, 따라서 차수가 0인 안정 다발은 기약 유니타리 표현과 기본군에 대응된다.

고바야시와 히친은 고차원에서 이와 유사한 내용(고바야시-히친 대응)을 추측했다. 이는 도널드슨이 사영 비특이 곡면에 대해 증명하였는데, 이 경우 벡터 다발이 안정적인 것은 기약 에르미트-아인슈타인 접속을 갖는 것과 필요충분 조건임을 보였다.

5. 예

모든 정칙 선다발(1차원 정칙 벡터 다발)은 (자명하게) 안정 벡터 다발이다.

양의 차원을 가지는 두 정칙 선다발 ''E'', ''F''의 직합 $E\oplus F$ 은 안정 벡터 다발이 될 수 없다.^[10] 이 경우,

: $\operatorname{c}_1(E\oplus F) = \operatorname{c}_1(E) + \operatorname{c}_1(F)$

: $\dim (E\oplus F) = \dim E + \dim F$

이므로,

: $\min\{\mu(E),\mu(F)\} \le \mu(E\oplus F) \le \max\{\mu(E),\mu(F)\}$

이기 때문이다.

6. 일반화

안정성(μ-)은 비-매끄러운 사영 스킴과 더 일반적인 코히어런트 층에 힐베르트 다항식을 사용하여 일반화할 수 있다.^[4] ''X''를 사영 스킴, ''d''를 자연수, dim Supp(''E'') = ''d''인 ''X'' 상의 코히어런트 층 ''E''라고 할 때, ''E''의 힐베르트 다항식은 ''P''_''E''(''m'') = α_''i''(''E'')/(''i''!) ''m''^''i''로 쓸 수 있다. '''축소된 힐베르트 다항식'''은 ''p''_''E'' := ''P''_''E''/α_''d''(''E'')로 정의한다.

코히어런트 층 ''E''가 '''반안정'''이기 위한 조건은 다음과 같다.^[4]

''E''는 차원 ''d''를 가진다. 즉, ''E''의 모든 연관 소수는 차원 ''d''를 가진다.
임의의 고유한 비영 부분층 ''F'' ⊆ ''E''에 대해, 충분히 큰 ''m''에 대해 축소된 힐베르트 다항식이 ''p''_''F''(''m'') ≤ ''p''_''E''(''m'')을 만족한다.

만약 충분히 큰 ''m''에 대해 엄격한 부등식 ''p''_''F''(''m'') < ''p''_''E''(''m'')가 성립하면 해당 층은 '''안정'''이라고 한다.

Coh_''d''(X)를 차원 ≤ ''d''인 지지체를 갖는 ''X'' 위의 코히어런트 층의 완전한 부분 범주라고 하자. Coh_''d''의 객체 ''F''의 '''기울기'''는 힐베르트 다항식의 계수를 사용하여 α_''d''(''F'') ≠ 0일 때

\hat{\mu}_d(F) = \alpha_{d-1}(F)/\alpha_d(F)

로 정의할 수 있으며, 그렇지 않으면 0이다.

\hat{\mu}_d

의 ''d''에 대한 의존성은 일반적으로 표기에서 생략된다.

\operatorname{dim}\,\operatorname{Supp}(E) = d

인 코히어런트 층 ''E''가 '''μ-반안정'''이기 위한 조건은 다음과 같다:^[5]

''E''의 비틀림은 차원 ≤ ''d''-2에 있다.
몫 범주 Coh_''d''(X)/Coh_''d-1''(X)에서 임의의 비영 객체 ''F'' ⊆ ''E''에 대해 $\hat{\mu}(F) \leq \hat{\mu}(E)$ 가 성립한다.

''E''의 모든 고유한 비영 부분 객체에 대해 엄격한 부등식이 성립하면 ''E''는 '''μ-안정'''이다.

Coh_''d''는 모든 ''d''에 대해 세르 부분 범주이므로 몫 범주가 존재한다. 일반적으로 몫 범주의 부분 객체는 부분층에서 나오지 않지만, 비틀림이 없는 층의 경우 ''d'' = ''n''일 때 원래 정의와 일반 정의는 동일하다.

브리지랜드의 안정성 조건과 같이 일반화를 위한 다른 방향도 존재한다.

안정 벡터 다발과 유사하게 안정 주 다발을 정의할 수 있다.

참조

_[1] 문서 Note $\Omega^1_{\mathbb{P}^1} \cong \mathcal{O}(-2)$ from the [[Adjunction formula]] on the canonical sheaf.
_[2] 문서 Since there are isomorphisms $\begin{align}$
_[3] 웹사이트 Vector bundles on curves http://www.mathe2.un[...]
_[4] 서적 The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves https://ncatlab.org/[...]
_[5] 서적 The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves https://ncatlab.org/[...]
_[6] 저널 Anti self-dual Yang-Mills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bundles
_[7] 저널 Vector bundles over an elliptic curve 1957
_[8] 저널 On the cohomology groups of moduli spaces of vector bundles on curves
_[9] 저널 Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface
_[10] 저널 A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com