정칙 벡터 다발

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 정칙 단면
3. 연산
4. 성질
- 4.1. 정칙 접속
- 4.2. 에르미트 계량
5. 예
6. 돌보 연산자 (Dolbeault Operators)
7. 정칙 벡터 다발의 코호몰로지
8. 피카르 군 (The Picard group)
참조

1. 개요

정칙 벡터 다발은 복소다양체 E가 복소다양체를 이루고 사영 π가 정칙 함수일 때, 복소다양체 M 위의 복소수 벡터 다발 π: E → M을 의미한다. 정칙 단면, 정칙 접속, 에르미트 계량과 같은 개념을 가지며, 켤레 벡터 다발은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다. 정칙 벡터 다발의 코호몰로지는 그 해석적 단면들의 층 코호몰로지이며, 돌보 정리와 같은 정리를 통해 층 코호몰로지를 체인 복합체의 코호몰로지로 대체하여 설명할 수 있다. 정칙 벡터 다발은 복소수 벡터 공간, 접다발, 대수적 벡터 다발 등 다양한 예시를 가지며, 돌보 연산자를 통해 정의된다. 복소다양체의 피카르 군은 정칙 선다발들의 동형류 군으로 정의된다.

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정칙 벡터 다발
개요
정의	복소 다양체 위의 복소 벡터 다발 이며, 역시 복소 다양체이고, 가 정칙 함수인 경우
국소적 자명화 사상	정칙 사상이어야 함
전이 함수	정칙 함수여야 함
관련 개념
다른 이름	해석적 벡터 다발 복소 해석적 벡터 다발
관련 개념	대수적 벡터 다발(대수 기하학)
참고 문헌	벡터 속 이론 (양재현, 민음사, 1989)

2. 정의

$M$ 이 복소다양체이고, 그 위에 정의된 복소수 벡터 다발 $\pi\colon E\to M$ 에서 사영 $\pi$ 가 정칙 함수라면, $E$ 를 '''정칙 벡터 다발'''이라고 한다.

정칙 벡터 다발은 국소적으로 자명화 사상 $\phi_U : \pi^{-1}(U) \to U \times \mathbf{C}^k$ 을 가지며, 이 사상은 쌍정칙 사상이어야 한다. 이는 전이 함수 $t_{UV} : U\cap V \to \mathrm{GL}_k(\mathbf{C})$ 가 정칙 사상인 것과 동치이다. 복소다양체의 접다발에 대한 정칙 구조는 벡터 값을 갖는 정칙 함수의 미분(적절한 의미에서) 자체가 정칙이라는 점에 의해 보장된다.

2. 1. 정칙 단면

복소다양체 위에서 정의된 사영

\pi

의 단면

s \colon M \to E

가 정칙 함수라면, 이를

\pi

의 '''정칙 단면'''(holomorphic section^영어)이라고 한다. 정칙 벡터 다발

E

의 정칙 단면들의 모임은 국소 자유 가군층을 이루며,

\mathcal O(E)

로 표기한다. 만약

E

가 자명한 복소수 선다발

\underline{\mathbb C}

라면,

\mathcal O(\underline{\mathbb C})

는

M

의 구조층(structure sheaf^영어)

\mathcal O_M

과 같다.

3. 연산

정칙 벡터 다발 $\pi \colon E \twoheadrightarrow M$ 이 주어졌을 때, 정칙 벡터 다발 $\pi^* \colon E^* \twoheadrightarrow M$ 을 정의할 수 있다. 그 올 $E_x^* = \hom_{\mathbb C}(E_x, \mathbb C)$ 은 $E_x$ 의 복소수 쌍대 공간이다.

반면, 정칙 벡터 다발의 켤레 벡터 다발은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.

4. 성질

정칙 벡터 다발 $E\to M$ 의 코호몰로지 $H^\bullet(-,\mathcal O(E))$ 는 그 해석적 단면들의 층 $\mathcal O(E)$ 의 층 코호몰로지이다.

낮은 차수의 코호몰로지 군은 다음을 나타낸다.

$H^0(M,\mathcal O(E))$ 는 $E$ 의 해석적 단면들의 덧셈에 대한 아벨 군이다.
$H^1(M,\mathcal O(E))$ 는 자명 선다발의 $E$ 에 대한 확대들의 아벨 군이다. 즉, 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 이루는 해석적 벡터 다발 $F$ 들로 구성된다.
: $0\to E\to F\to M\times\mathbb C\to0$

Baer sum^영어이나 층의 확대도 참조할 수 있다.

4. 1. 정칙 접속

복소다양체

M

위의 복소수 매끄러운 벡터 다발

E\twoheadrightarrow M

위의 벡터 다발 접속

\nabla

가 주어졌을 때, 그 (0,1) 성분이

\bar\partial

와 같다면, 접속

\nabla

를 '''정칙 접속'''(holomorphic connection^영어)이라고 한다.

E

가 정칙 벡터 다발이라고 가정하면, 그 단면에는

:

\bar\partial \colon \Omega^0(M;E) \to \Omega^{0,1}(M;E)

가 잘 정의된다. 이는

E

의 국소 자명화에서 모든 전이 사상이 정칙 함수이기 때문이다.

4. 2. 에르미트 계량

에르미트 계량

\langle-,-\rangle

를 갖춘 복소수 벡터 다발

E\twoheadrightarrow M

에는 '''에르미트 접속''' 개념이 적용된다.

E

가 정칙 벡터 다발이면, 정칙 접속이자 에르미트 접속인 벡터 다발 접속을 생각할 수 있다. 이러한 접속은 항상 유일하게 존재하며, 이를 '''천 접속'''([陳]接續, Chern connection^영어)이라고 한다.^[3]^[4] 천 접속의 곡률은 (1,1)차 복소수 미분 형식이다.

E

가 켈러 다양체의 정칙 접다발인 경우, 천 접속은 리만 계량으로 유도되는 레비치비타 접속과 같다.

정칙 선다발

\pi\colon L \to M

의 국소 자명화

:

\phi_i \colon \pi^{-1}(U_i) \to U_i \times \mathbb C

가 주어졌을 때, 전이 함수는

:

g_{ij}\colon U_i \cap U_j \to \mathbb C^\times

이다. 이 경우, 에르미트 계량은

:

\langle s,t\rangle (z) = \exp(2a_i(z)) \bar st\qquad\forall s,t\in \Gamma(U_i,L)

:

a_i \colon U_i \to \mathbb R

로 나타낼 수 있으며, 에르미트 계량의 조건은

:

a_j(x) = a_i(x) + \ln |g_{ij}|\qquad\forall x\in U_i \cap U_j

이다. 이 때, 천 접속의 곡률은

:

F \restriction U_i = -\frac12\mathrm i\partial\bar\partial a_i

로 주어진다.

''E''가 복소다양체 ''M'' 위의 정칙 벡터 다발이고, 올 ''E''_x가 부드럽게 변하는 내적 <·,·> (에르미트 계량)을 갖는다면, 복소 구조와 계량 구조 모두와 호환되는 ''E'' 위의 유일한 접속 ∇ (천 접속)가 존재한다. ∇는 다음 조건을 만족한다.

:(1) ''E''의 모든 매끄러운 단면 ''s''에 대해,

\pi_{0,1} \nabla s = \bar \partial_E s

. 여기서 ''π_0,1''은 ''E'' 값 1-형식의 (0, 1)-성분을 취한다.

:(2) ''E''의 모든 매끄러운 단면 ''s'', ''t''와 ''M'' 위의 벡터장 ''X''에 대해,

:::

X \cdot \langle s, t \rangle = \langle \nabla_X s, t \rangle + \langle s, \nabla_X t \rangle

::여기서

\nabla_X s

는 ''X''에 의한

\nabla s

의 축약을 나타낸다. (이는 ∇에 의한 평행 이동이 계량 <·,·>를 보존하는 것과 같다.)

정칙 프레임 ''u'' = (''e''₁, …, ''e''_''n'')에서,

h_{ij} = \langle e_i, e_j \rangle

로 놓고 방정식

\sum h_{ik} \, {(\omega_u)}^k_{j} = \partial h_{ij}

에 의해 ω_''u''를 정의하면,

:

\omega_u = h^{-1} \partial h.

로 간단하게 쓸 수 있다. 정칙 기저 변환 ''g''를 갖는 다른 프레임 ''u' = ug''에서는,

:

\omega_{u'} = g^{-1} dg + g \omega_u g^{-1},

이므로 ω는 접속 형식이며, ∇''s'' = ''ds'' + ω · ''s''에 의해 ∇를 생성한다.

{\overline{\omega}}^T = \overline{\partial} h \cdot h^{-1}

이므로,

:

d \langle e_i, e_j \rangle = \partial h_{ij} + \overline{\partial} h_{ij} = \langle {\omega}^k_i e_k, e_j \rangle + \langle e_i, {\omega}^k_j e_k \rangle = \langle \nabla e_i, e_j \rangle + \langle e_i, \nabla e_j \rangle.

즉, ∇는 계량 구조와 호환된다. ω는 (1, 0)-형식이므로,

\nabla s

의 (0, 1)-성분은

\bar \partial_E s

이다.

∇의 곡률 형식을

\Omega = d \omega + \omega \wedge \omega

라고 하면, Dolbeault 연산자의 정의에 의해

\pi_{0,1} \nabla = \bar \partial_E

가 제곱하면 0이 되므로, Ω는 (0, 2)-성분을 갖지 않으며, Ω가 왜-에르미트이므로, (2, 0)-성분도 갖지 않는다. 따라서 Ω는 (1, 1)-형식이다.

:

\Omega = \bar \partial_E \omega.

곡률 Ω는 고다이라 소멸 정리 및 나카노 소멸 정리와 같은 정칙 벡터 다발의 고차 코호몰로지의 소멸 정리에 나타난다.

5. 예

사영 공간 $\mathbb{CP}^n$ 위의 선다발 $\mathcal{O}(k)$ 의 전역 단면은 $k$ 차 동차 다항식에 해당한다 ( $k$ 는 양의 정수). $k = 0$ 인 경우는 자명한 선다발이다. 덮개 $U_i = \{ [x_0:\cdots:x_n] : x_i \neq 0 \}$ 을 취하면, 차트 $\phi_i: U_i \to \mathbb{C}^n$ 를 구성할 수 있고, 전이 함수 $\phi_{ij}|_{U_i\cap U_j}:\mathbb{C}_i^n \cap \phi_i(U_i\cap U_j) \to \mathbb{C}_j^n \cap \phi_j(U_i\cap U_j)$ 를 정의할 수 있다.

자명한 다발 $L_i = \phi_i(U_i)\times \mathbb{C}$ 를 고려하여 유도된 전이 함수 $\psi_{i,j}$ 를 구성할 수 있다. 섬유 좌표 $z$ 를 사용하면, 임의의 정수 $k$ 에 대한 전이 함수를 구성할 수 있고, 이들은 각각 선다발 $\mathcal{O}(k)$ 와 연관된다. 벡터 다발은 당겨지므로, 모든 정칙 부분 다양체 $f:X \to \mathbb{CP}^n$ 에는 연관된 선다발 $f^*(\mathcal{O}(k))$ ( $\mathcal{O}(k)|_X$ 로 표시)가 존재한다.

복소다양체의 접다발, 대수적 벡터 다발, 복소수 벡터 공간 위의 자명한 다발 등은 정칙 벡터 다발의 예시이다.

5. 1. 정칙 접다발

복소다양체

M

의 접다발

\mathrm TM

을 생각하자. 그 위에 복소구조

J\colon \mathrm TM\to\mathrm TM

가 작용하며, 이는 정의에 따라

J^2=-1

을 만족시킨다. 즉,

:

J\colon\mathrm TM\otimes\mathbb C\to\mathrm TM\otimes\mathbb C

의 고윳값은

\pm\mathrm i

이며, 이에 의하여

:

\mathrm TM\otimes\mathbb C=\mathbb T^+M \oplus\mathrm T^-M

으로 분해된다. 이 경우,

\mathrm T^+M

은 '''정칙 접다발'''(holomorphic tangent bundle^영어)이라고 하며, 정칙 벡터 다발이다.

5. 2. 대수적 벡터 다발

비특이 복소수 대수다양체

X

위의 대수적 벡터 다발

E\twoheadrightarrow X

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응되는 복소다양체

X^{\operatorname{an}}

및 복소다양체 사이의 정칙 함수

E^{\operatorname{an}}\twoheadrightarrow X^{\operatorname{an}}

를 취할 수 있다. 이 경우, 이는 정칙 벡터 다발을 이룬다.

반대로, 만약

X

가 추가로 사영 대수다양체라면,

X^{\operatorname{an}}

위의 모든 정칙 벡터 다발은

X

위의 대수적 벡터 다발에서 유래한다. 이는 가가 정리의 한 경우이다.

5. 3. 자명한 다발

복소수 벡터 공간 Cⁿ 위의 자명한 복소수 벡터 다발 C^m×Cⁿ → Cⁿ은 정칙 벡터 다발이다.

5. 4. O(k) 다발

사영 공간

\mathbb{CP}^n

위의 선다발

\mathcal{O}(k)

의 전역 단면은

k

차 동차 다항식에 해당한다 (여기서

k

는 양의 정수). 특히,

k = 0

은 자명한 선다발이다. 덮개

U_i = \{ [x_0:\cdots:x_n] : x_i \neq 0 \}

을 취하면, 다음과 같이 정의된 차트

\phi_i: U_i \to \mathbb{C}^n

을 찾을 수 있다.

:

\phi_i([x_0:\cdots:x_i: \cdots : x_n]) = \left( \frac{x_0}{x_i},\ldots,\frac{x_{i-1}}{x_i}, \frac{x_{i+1}}{x_i}, \ldots, \frac{x_n}{x_i} \right) = \mathbb{C}^n_i

전이 함수

\phi_{ij}|_{U_i\cap U_j}:\mathbb{C}_i^n \cap \phi_i(U_i\cap U_j) \to \mathbb{C}_j^n \cap \phi_j(U_i\cap U_j)

는 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\phi_{ij} = \phi_i \circ \phi_j^{-1}(z_1, \ldots, z_n) = \left( \frac{z_1}{z_i},\ldots, \frac{z_{i-1}}{z_i}, \frac{z_{i+1}}{z_i}, \ldots, \frac{z_j}{z_i},\frac{1}{z_i},\frac{z_{j+1}}{z_i},\ldots, \frac{z_n}{z_i} \right)

이제 자명한 다발

L_i = \phi_i(U_i)\times \mathbb{C}

를 고려하면, 유도된 전이 함수

\psi_{i,j}

를 구성할 수 있다. 섬유에 대한 좌표

z

를 사용하면, 임의의 정수

k

에 대해 다음 전이 함수를 구성할 수 있다.

:

\psi_{i,j}((z_1,\ldots,z_n), z) = \left(\phi_{i,j}(z_1,\ldots,z_n), \frac{z_i^k}{z_j^k}\cdot z \right)

이들 각각은 선다발

\mathcal{O}(k)

와 연관된다. 벡터 다발은 필연적으로 당겨지므로, 모든 정칙 부분 다양체

f:X \to \mathbb{CP}^n

에는

f^*(\mathcal{O}(k))

로 표시되는 연관된 선다발

\mathcal{O}(k)|_X

가 있다.

6. 돌보 연산자 (Dolbeault Operators)

정칙 벡터 다발에는 다음과 같이 정의되는 특수한 연산자인 돌보 연산자(Dolbeault operator) $\bar{\partial}_E$ 가 존재한다.

: $\bar{\partial}_E : \Gamma(E) \to \Omega^{0,1}(M)\otimes \Gamma(E)$

이는 국소적으로 다음과 같이 정의된다. $E$ 의 국소 자명화 $U_{\alpha}$ 에서, 국소 프레임 $e_1,\dots,e_n$ 을 사용하여 모든 단면을 $s=\sum_i s^i e_i$ ( $s^i : U_{\alpha} \to \mathbb{C}$ 는 매끄러운 함수)로 쓸 수 있을 때,

: $\bar{\partial}_E (s) := \sum_i \bar{\partial}(s^i) \otimes e_i$

여기서 $\bar{\partial}$ 는 밑다양체의 일반적인 코시-리만 연산자이다. 이 연산자는 서로 다른 두 자명화의 겹침에서도 정칙 전이 함수를 가지므로, $E$ 전체에서 잘 정의된다.^[1]

Dolbeault 연산자는 다음 두 조건을 만족한다.

코시-리만 조건: $\bar{\partial}_E^2 = 0$
라이프니츠 규칙: 임의의 단면 $s\in \Gamma(E)$ 와 함수 $f$ 에 대해, $\bar{\partial}_E (fs) = \bar{\partial}(f) \otimes s + f \bar{\partial}_E (s)$ .

뉴랜더-니렌버그 정리에 따르면, 매끄러운 복소 벡터 다발

E

에 대한 Dolbeault 연산자

\bar{\partial}_E

가 주어지면, 이 연산자가 위에서 구성된 것과 관련된 Dolbeault 연산자가 되도록 하는

E

의 고유한 정칙 구조가 존재한다.^[1]

또한, Dolbeault 연산자에 의해 유도된 정칙 구조와 관련하여, 매끄러운 단면

s\in \Gamma(E)

는

\bar{\partial}_E(s) = 0

인 경우에만 정칙이다.

Dolbeault 연산자는 호모토피 연산자 측면에서 국소적 역을 갖는다.^[2]

7. 정칙 벡터 다발의 코호몰로지

정칙 벡터 다발 $E\to M$ 의 코호몰로지 $H^\bullet(-,\mathcal O(E))$ 는 그 해석적 단면들의 층 $\mathcal O(E)$ 의 층 코호몰로지이다. 낮은 차수의 코호몰로지 군은 다음을 나타낸다.

$H^0(M,\mathcal O(E))$ 는 $E$ 의 해석적 단면들의 덧셈에 대한 아벨 군이다.
$H^1(M,\mathcal O(E))$ 는 자명 선다발의 $E$ 에 대한 확대들의 아벨 군이다. 즉, 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 이루는 해석적 벡터 다발 $F$ 들로 구성된다.

::

0\to E\to F\to M\times\mathbb C\to0

E

를 정칙 벡터 다발이라고 할 때,

H^0(X, \mathcal O(E)) = \Gamma (X, \mathcal O(E))

는

E

의 전역 정칙 단면들의 공간이다. 또한

H^1(X, \mathcal O(E))

는

E

에 의한

X

의 자명한 선형 다발의 확장들의 군을 매개변수화하는데, 이는 정칙 벡터 다발들의 완전열

0 \to E \to F \to X \times \mathbb{C} \to 0

을 의미한다.

돌보 정리에 따르면, 이 층 코호몰로지는 정칙 다발

E

의 값을 갖는 형식들의 층에 의해 정의된 체인 복합체의 코호몰로지로 대체 설명될 수 있다. 즉, 다음이 성립한다.

:

H^i(X, \mathcal O(E)) = H^i((\mathcal{E}^{0,\bullet}(E), \bar{\partial}_E)).

8. 피카르 군 (The Picard group)

복소 미분 기하학에서 복소다양체 X의 피카르 군 Pic(X)는 텐서곱을 군 연산으로, 쌍대화를 역원으로 갖는 정칙 선다발의 동형류들의 군이다. 이는 소멸하지 않는 정칙 함수의 층의 1차 코호몰로지 군으로 정의할 수도 있다.

참조

_[1] 서적 Differential geometry of complex vector bundles Princeton University Press
_[2] 간행물 The Poincare Lemma, Antiexact Forms, and Fermionic Quantum Harmonic Oscillator
_[3] 문서
_[4] 문서
_[5] 서적 벡터 속 이론 http://minumsa.minum[...] 민음사 1989-01-01

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