유니터리 군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 유니터리 리 대수
3. 성질
4. 일반화
참조

1. 개요

유니터리 군은 복소수 힐베르트 공간 위의 유니터리 작용소들의 군으로, 유한 차원 힐베르트 공간에서는 유니터리 행렬로 구성된 리 군이다. 유니터리 군은 에르미트 형식을 보존하며, 일반적인 가환체 위에서도 정의될 수 있다. 유니터리 군 U(n)은 2n²차원 실수 리 군이며, 그 리 대수는 반에르미트 행렬로 이루어져 있다. 유니터리 행렬의 행렬식은 절댓값이 1인 복소수이며, U(n)은 특수 유니터리 군 SU(n)과 U(1)의 반직접곱으로 표현된다. 유니터리 군은 아벨 군이 아니며, 중심은 U(1)과 동형이다. 유니터리 군은 특수 유니터리 군, 사영 유니터리 군 등과 관련되어 있다. 또한, 유니터리 군은 다른 에르미트 형식, 체 확장, 다른 다이어그램 및 대수적 군으로 일반화될 수 있으며, 부정 유니터리 군, 유한체 위의 유니터리 군, 대수적 군으로서의 유니터리 군, 2차 형식 모듈의 유니터리 군 등으로 확장된다.

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유니터리 군
개요
유니타리 행렬
종류	행렬
성질	군
정의
원소	유니타리 행렬
연산	행렬 곱셈
군 종류	리 군
표기
기호	U(n)
다른 표기	U(n, C) {U ∈ GL(n, C) \| UU† = U†U = I}
관련 군
포함하는 군	GL(n, C)
부분군	SU(n)
예시
U(1)	원군
U(2)	2 × 2 유니타리 행렬의 군

2. 정의

복소수 힐베르트 공간 $\mathcal H$ 가 주어졌을 때, '''유니터리 군''' $\operatorname U(\mathcal H)$ 는 $\mathcal H$ 위의 유니터리 작용소들의 군이다.

만약 $\mathcal H$ 가 $n$ 차원 힐베르트 공간일 경우, 그 위의 유니터리 군은 $\operatorname U(n)$ 으로 쓴다. 이 경우, 유니터리 군은 $n\times n$ 유니터리 행렬로 구성되는 리 군이다. 즉,

: $\operatorname U(n)=\{M\in\operatorname{GL}(n,\mathbb C)|M^\dagger M=1\}$

이다.

유니터리 행렬의 행렬식은 노름이 1인 복소수이므로, 행렬식은 다음의 군 준동형 사상을 제공한다.

: $\det \colon \operatorname{U}(n) \to \operatorname{U}(1).$

이 준동형 사상의 커널은 행렬식이 1인 유니터리 행렬의 집합이다. 이 부분군은 '''특수 유니터리 군'''이라고 하며, SU(''n'')으로 표기한다. 그러면 다음과 같은 짧은 완전열의 리 군을 얻는다.

: $1 \to \operatorname{SU}(n) \to \operatorname{U}(n) \to \operatorname{U}(1) \to 1.$

U(''n'')은 $n>1$ 일 때 아벨 군이 아니다. U(''n'')의 중심은 $\lambda \in \operatorname{U}(1)$ 인 스칼라 행렬 ''λI''의 집합이며, 이는 슈어의 보조정리로부터 유도된다. 그러면 중심은 U(1)과 동형이다. U(''n'')의 중심은 U(''n'')의 1차원 아벨 정규 부분군이므로, 유니터리 군은 반단순군이 아니지만 환원군이다.

: $\begin{align}\operatorname{U}(n)&= \{\, U \in \operatorname{GL}(n,\mathbb{C}) \mid \forall x, y \in \mathbb{C}^n : \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle \,\} \\&= \{\, U \in \operatorname{GL}(n,\mathbb{C}) \mid U^\dagger U = I_n \,\}\end{align}$

여기서 GL(''n'', '''C''')는 일반선형군, 〈-, -〉는 에르미트 형식, †는 에르미트 수반이다.

즉, 유니타리 군의 원소는 유한 차원 복소 선형 공간의 에르미트 형식을, 따라서 노름을 보존한다. 이것은 "절댓값이 1인 복소수"의 선형 변환에서의 유사물이다.

일반적인 가환체 위에서도 유니터리 군을 정의할 수 있다. 기초체 ''K''의 2차 확대체 ''L''을 취하고, 선형 공간 ''V'' = ''Lⁿ'' 위의 에르미트 형식을 불변으로 유지하는 ''V'' 위의 선형 자기 동형 사상의 군을 U(''n'', ''K'', ''L'')로 표기하고, 이것을 유니터리 군이라고 한다.

: $\operatorname{U}(n, K, L) = \{\, U \in \operatorname{GL}(n, L) \mid \forall x, y \in V : \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle \,\}$

2. 1. 유니터리 리 대수

유니터리 군

U(n)

은

2n^2

차원 실수 리 군이다. 그 리 대수는 다음과 같다.

:

\mathfrak u(n)=\mathfrak{su}(n)\oplus\mathfrak u(1)

유니터리 행렬의 로그는 반에르미트 행렬(anti-Hermitian matrix^영어)이므로,

\mathfrak u(n)

는 반에르미트 행렬로 이루어져 있다. U(''n'')의 리 대수는 ''n''차 왜르미트 행렬로 구성되며, 그 괄호곱은 교환자로 주어진다.

3. 성질

유니터리 행렬의 행렬식은 절댓값이 1인 복소수이다. 즉, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

: $\det\colon U(n)\to U(1)$

이에 대한 몫군은 특수 유니터리 군 $SU(n)$ 이다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

: $1\to SU(n)\hookrightarrow U(n)\xrightarrow{\det}U(1)\to1$

U(n)^영어에서 U(1)^영어로의 사상은 단면을 가지므로, U(1)^영어을 U(n)^영어의 부분군으로 볼 수 있다. 이 부분군은 대각 성분 중 왼쪽 위 모서리에 e^iθ^영어가 있고 나머지는 1인 대각 행렬로 구성된다. 따라서 U(n)^영어은 SU(n)^영어과 U(1)^영어의 반직접곱이다.

복소수체 위의 유니터리 군은 다음 성질을 만족한다.

$n$ = 1인 경우의 U(1)^영어은 순환군에 대응하며, 절댓값이 1인 복소수로 이루어져 있다. 모든 유니터리 군은 U(1)^영어의 복사본을 포함한다.
유니터리 군 U(n)^영어은 차원 ''n''²의 실리 군이다.
U(n)^영어의 리 대수는 ''n''차 왜르미트 행렬로 구성되며, 그 괄호곱은 교환자로 주어진다.

3. 1. 군론적 성질

유니터리 군

\operatorname U(n)

의 중심은 다음과 같은 꼴의 대각 행렬이다.

:

\lambda 1_{n\times n}\qquad(\lambda\in\mathbb C,\;|\lambda|=1)

''n'' > 1일 때 유니터리 군 U(''n'')은 아벨 군이 아니다.^[1]

3. 2. 리 이론적 성질

유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.

:

\{\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\colon\lambda_i\in\operatorname U(1)\}\subset\operatorname U(n)

이에 대하여 유니터리 군의 바일 군은 대칭군

\operatorname{Sym}(n)

이며, 이는 원환면을 정의하는 기저 집합에 순열로 작용한다.

3. 3. 위상수학적 성질

모든 양의 정수

n\in\mathbb Z^+

에 대하여, 유니터리 군

\operatorname U(n)

은 연결 실수 콤팩트 리 군이며, 그 기본군은 무한 순환군이다.^[1]

:

\pi_0(\operatorname U(n))=1

:

\pi_1(\operatorname U(n))=\mathbb Z

유한 차원 유니터리 군은 같은 차원의 복소수 일반선형군과 호모토피 동치이다.^[8]

:

\operatorname U(n)\simeq\operatorname{GL}(n;\mathbb C)

호프 올뭉치

:

\operatorname U(n)\hookrightarrow\operatorname U(n+1)\twoheadrightarrow\mathbb S^{2n+1}

로 인하여, 만약

i<2n

이라면

:

\pi_i(\operatorname U(n))\cong\pi_i(\operatorname U(n+1))

이다.^[8] 즉, 유니터리 군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.^[8]

:

\pi_i(\operatorname U(n))=\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb Z&2\nmid i\end{cases}\qquad(i<2n)

이 주기성을 '''보트 주기성'''(Bott periodicity^영어)이라고 한다.

불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.)

군	π₁	π₃	π₄	π₅	π₆	π₇	π₈	π₉	π₁₀	π₁₁	π₁₂
U(1)	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
U(2)	ℤ	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₁₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	(ℤ₂)²
U(3)	ℤ	ℤ	0	ℤ	ℤ₆
U(4)	ℤ	ℤ	0	ℤ	0	ℤ
U(5)	ℤ	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ
U(6)	ℤ	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ

이에 따라, 다음과 같은 '''무한 유니터리 군''' $\operatorname U(\infty)$ 을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.

: $\operatorname U(\infty)=\varinjlim_n\operatorname U(n)$

무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.

: $\pi_i(\operatorname U(\infty))=\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb Z&2\nmid i\end{cases}$

이에 따라, 무한 유니터리 군은 스스로의 2차 고리 공간과 호모토피 동치이다.^[8]

무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간 $\mathcal H$ 의 유니터리 군 $\operatorname U(\mathcal H)$ 는 $\operatorname U(\infty)$ 와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때, $\operatorname U(\mathcal H)$ 는 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.^[9]

: $\pi_i(\operatorname U(\mathcal H))=0\quad\forall i$

3. 4. 다른 군과의 관계

유니터리 군 U(''n'')은 직교군, 선형 복소 구조, 심플렉틱 군의 3중 교차점이다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{U}(n) = \operatorname{O}(2n) \cap \operatorname{GL}(n, \mathbf{C}) \cap \operatorname{Sp}(2n, \mathbf{R}) .

따라서 유니터리 구조는 호환되어야 하는 직교 구조, 복소 구조, 심플렉틱 구조로 볼 수 있다.^[3]^[4]

이는 수식으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

종류	수식
심플렉틱	$A^\mathsf{T}JA = J$
복소	$A^{-1}JA = J$
직교	$A^\mathsf{T} = A^{-1}$

직교군 O(''n'')이 부분군으로서 특수 직교군 SO(''n'')을 가지고 몫으로서 사영 직교군 PO(''n'')을 가지며, 사영 특수 직교군 PSO(''n'')을 부분 몫으로 가지는 것과 마찬가지로, 유니터리 군 U(''n'')은 특수 유니터리 군 SU(''n''), 사영 유니타리 군 PU(''n''), 그리고 사영 특수 유니타리 군 PSU(''n'')과 연관되어 있다. 특히, 두 사영 군은 같다: PSU(''n'') = PU(''n'')|^영어.

이는 고전적인 유니터리 군에 대한 것이며, 유한체 위의 유니터리 군의 경우에도 유사하게 특수 유니터리 군과 사영 유니터리 군을 얻지만, 일반적으로 PSU(''n'', ''q''²) ≠ PU(''n'', ''q''²)|^영어이다.

4. 일반화

리 군론의 관점에서, 고전적인 유니터리 군은 슈테인베르크 군 ²A_n의 실수 형태이며, 이는 일반 선형군의 '다이어그램 자기 동형 사상'(드킨 다이어그램 A_''n''을 반전시켜 전치 역수를 구하는 것)과 '''C'''/'''R''' 확장의 '체 자기 동형 사상'(즉, 복소 켤레)의 조합에서 발생하는 대수적 군이다. 이 두 자기 동형 사상은 모두 대수적 군의 자기 동형 사상이며, 차수가 2이고 서로 교환 가능하며, 유니터리 군은 대수적 군으로서 곱 자기 동형 사상의 고정점이다. 고전적인 유니터리 군은 이 군의 실수 형태이며, 표준적인 에르미트 형식 Ψ에 해당하며, 이는 양의 정부호이다.

유니터리 군은 다음과 같이 여러 방법으로 일반화될 수 있다.

다른 에르미트 형식으로 일반화하면 부정 유니터리 군이 생성된다.
체 확장은 모든 차수 2의 분리 가능한 대수로 대체될 수 있으며, 특히 유한체의 차수 2 확장으로 대체될 수 있다.
다른 다이어그램으로 일반화하면 슈테인베르크 군 ²D_''n'', ²E₆, ³D₄ (²A_''n'' 외) 및 스즈키-리 군 등 다른 리 타입 군이 생성된다.
: ${}^2\!B_2\left(2^{2n+1}\right), {}^2\!F_4\left(2^{2n+1}\right), {}^2\!G_2\left(3^{2n+1}\right);$
일반화된 유니터리 군을 대수적 군으로 고려하면 다양한 대수 위에서 그 점을 취할 수 있다.

4. 1. 부정 유니터리 군

부정 직교군과 마찬가지로, (일반적으로 비퇴화로 간주되지만) 반드시 양의 정부호일 필요는 없는 주어진 에르미트 형식을 보존하는 변환을 고려하여 '''부정 유니터리 군'''을 정의할 수 있다. 여기서는 복소수 상의 벡터 공간을 다루고 있다.

복소 벡터 공간 ''V'' 상의 에르미트 형식 Ψ가 주어지면, 유니터리 군 U(Ψ)는 형식을 보존하는 변환의 군이다. 즉, 모든 v, w ∈ V^영어에 대해 Ψ(Mv, Mw) = Ψ(v, w)^영어인 변환 ''M''이다. 행렬로 표현하면, 형식은 Φ로 표시되는 행렬로 표현되며, 이는 M^∗ΦM = Φ^영어를 의미한다.

대칭 쌍선형 형식과 마찬가지로, 실수의 에르미트 형식은 부호수에 의해 결정되며, 대각선에 1이 ''p''개, −1이 ''q''개 있는 대각 형식에 모두 유니터리 합동이다. 비퇴화 가정은 p + q = n^영어과 같다. 표준 기저에서 이는 다음과 같은 이차 형식으로 표현된다.

:

\lVert z \rVert_\Psi^2 = \lVert z_1 \rVert^2 + \dots + \lVert z_p \rVert^2 - \lVert z_{p+1} \rVert^2 - \dots - \lVert z_n \rVert^2

그리고 다음과 같은 대칭 형식으로 표현된다.

:

\Psi(w, z) = \bar w_1 z_1 + \cdots + \bar w_p z_p - \bar w_{p+1}z_{p+1} - \cdots - \bar w_n z_n.

결과적인 그룹은 U(p,q)^영어로 표시된다.

4. 2. 유한체 위에서의 유니터리 군

원소의 수가 q인 유한체 '''F'''_''q''에 대해, 차수가 2인 자기 동형 사상

\alpha\colon x \mapsto x^q

(프로베니우스 자기 동형사상의 ''r''제곱)을 갖는 고유한 이차 확장체 '''F'''_''q''²가 존재한다. 이를 통해 '''F'''_''q''² 벡터 공간 ''V''에서 에르미트 형식을 정의할 수 있는데, 이는

\Psi(w, v) = \alpha \left(\Psi(v, w)\right)

이고, 에 대해

\Psi(w, cv) = c\Psi(w, v)

를 만족하는 '''F'''_''q''-쌍선형 사상

\Psi\colon V \times V \to K

이다. 또한 유한체 위의 벡터 공간에 대한 모든 비퇴화 에르미트 형식은 항등 행렬로 표현되는 표준 형식과 유니터리 합동이다. 즉, 모든 에르미트 형식은 다음 형식과 유니터리 동치이다.

:

\Psi(w, v) = w^\alpha \cdot v = \sum_{i=1}^n w_i^q v_i

여기서

w_i,v_i

는 ''n''차원 공간 ''V''의 특정 '''F'''_''q''²-기저에서 의 좌표를 나타낸다.^[5]

따라서 확장 '''F'''_''q''²/'''F'''_''q''에 대해 차원 ''n''의 (고유한) 유니터리 군을 정의할 수 있으며, 이는 저자에 따라 U(''n'', ''q'') 또는 U(''n'', ''q''²)로 표기된다. 행렬식 1로 구성된 유니터리 군의 부분군은 '''특수 유니터리 군'''이라고 하며 SU(''n'', ''q'') 또는 SU(''n'', ''q''²)로 표기된다. 편의상 이 문서에서는 U(''n'', ''q''²) 표기법을 사용한다. U(''n'', ''q''²)의 중심은 차수 을 가지며, 유니터리인 스칼라 행렬, 즉

c^{q+1} = 1

인 행렬 ''cI_V''로 구성된다. 특수 유니터리 군의 중심은 차수 을 가지며, 또한 차수가 ''n''을 나누는 유니터리 스칼라로 구성된다. 유니터리 군을 중심에 의해 나눈 몫은 '''사영 유니터리 군'''인 PU(''n'', ''q''²)이고, 특수 유니터리 군을 중심에 의해 나눈 몫은 '''사영 특수 유니터리 군'''인 PSU(''n'', ''q''²)이다. 대부분의 경우 ( and ), SU(''n'', ''q''²)는 완전군이고 PSU(''n'', ''q''²)는 유한 단순군이다.^[5]

4원체를 '''F'''₄ = {0, 1, ω, ω²}로 한다. 단, 연산은 관계식 ω² + ω + 1 = 0에서 정한다. 이 때 U(2, '''F'''₂, '''F'''₄)는 위수 18의 군으로 다음 2개의 원소로부터 생성된다.

:

\operatorname{U}(2, \mathbb{F}_2, \mathbb{F}_4) = \Big\langle\begin{bmatrix} \omega & \omega \\ 0 & \omega \end{bmatrix},\\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \Big\rangle

4. 3. 대수적 군으로서의 유니터리 군

리 군론의 관점에서, 고전적인 유니터리 군은 슈테인베르크 군 ²A_n의 실수 형태이며, 이는 일반 선형군의 '다이어그램 자기 동형 사상'(드킨 다이어그램 A_''n''을 반전시켜 전치 역수를 구하는 것)과 '''C'''/'''R''' 확장의 '체 자기 동형 사상'(즉, 복소 켤레)의 조합에서 발생하는 대수적 군이다. 이 두 자기 동형 사상은 모두 대수적 군의 자기 동형 사상이며, 차수가 2이고 서로 교환 가능하며, 유니터리 군은 대수적 군으로서 곱 자기 동형 사상의 고정점이다. 고전적인 유니터리 군은 이 군의 실수 형태이며, 표준적인 에르미트 형식 Ψ에 해당하며, 이는 양의 정부호이다.

유니터리 군을 정의하는 방정식은 ''k''에 대한 다항식 방정식이다(그러나 ''K''에 대한 것은 아님). 표준 형식의 경우, 방정식은 행렬로

A^* = \bar{A}^\mathsf{T}

로 주어지며, 여기서 켤레 전치 행렬이다. 다른 형식이 주어지면, 이는

A^*\Phi A = \Phi

이다. 따라서 유니터리 군은 대수군이며, ''k''-대수 ''R'' 위의 점은 다음과 같이 주어진다.

:

\operatorname{U}(n, K/k, \Phi)(R) := \left\{ A \in \operatorname{GL}(n, K \otimes_k R) : A^*\Phi A = \Phi\right\}.

체 확대 '''C'''/'''R'''과 표준 (양의 정부호) 에르미트 형식의 경우, 이는 다음과 같이 실수 및 복소수 점을 갖는 대수군을 생성한다.

:

\begin{align}\operatorname{U}(n, \mathbf{C}/\mathbf{R})(\mathbf{R}) &= \operatorname{U}(n) \\\operatorname{U}(n, \mathbf{C}/\mathbf{R})(\mathbf{C}) &= \operatorname{GL}(n, \mathbf{C}).\end{align}

유니터리 군은 선형 대수군이다.

4. 4. 2차 형식 모듈의 유니터리 군

2차 형식 모듈의 유니터리 군은 선형 대수적 군 U의 일반화이며, 여러 가지 다양한 고전 대수적 군을 특수한 경우로 포함한다.^[6] 이 정의는 앤서니 박의 논문에서 제시되었다.^[6]

이 개념을 정의하기 위해 먼저 2차 형식 모듈을 정의해야 한다.

''R''을 반자기 동형사상 ''J''를 가진 환이라고 하고,

\varepsilon \in R^\times

를 모든 ''R''의 ''r''에 대해

r^{J^2} = \varepsilon r \varepsilon^{-1}

이고

\varepsilon^J = \varepsilon^{-1}

인 것으로 정의한다. 그리고 다음을 정의한다.

:

\begin{align}\Lambda_\text{min} &:= \left\{r \in R \ : \ r - r^J\varepsilon\right\}, \\\Lambda_\text{max} &:= \left\{r \in R \ : \ r^J\varepsilon = -r\right\}.\end{align}

Λ(''R''의 가산 부분군)가

\Lambda_\text{min} \subseteq \Lambda \subseteq \Lambda_\text{max}

이고

r^J \Lambda r \subseteq \Lambda

를 만족하면 ''형식 매개변수''라고 한다. ''R''이 환이고 Λ가 형식 매개변수인 쌍 (''R'', Λ)를 ''형식 환''이라고 한다.

''M''을 ''R''-모듈, ''f''를 ''M''상의 ''J''-세스키선형 형식(즉, 모든

x, y \in M

및

r, s \in R

에 대해

f(xr, ys) = r^J f(x, y)s

인 경우)이라고 하자.

h(x, y) := f(x, y) + f(y, x)^J \varepsilon \in R

및

q(x) := f(x, x) \in R/\Lambda

를 정의하면, ''f''는 ''M''에 대한 ''Λ-2차 형식'' (''h'', ''q'')를 ''정의한다''고 한다. (''R'', Λ) 위의 ''2차 형식 모듈''은 ''M''이 ''R''-모듈이고 (''h'', ''q'')가 Λ-2차 형식인 삼중항 (''M'', ''h'', ''q'')이다.

형식 환 (''R'', Λ) 위의 ''M''에 대한 ''J''-세스키선형 형식 ''f''에 의해 정의된 임의의 2차 형식 모듈 (''M'', ''h'', ''q'')에 대해 ''유니터리 군''을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

U(M) := \{\sigma \in GL(M) \ : \ \forall x, y \in M, h(\sigma x, \sigma y) = h(x, y) \text{ and } q(\sigma x) = q(x) \}.

1=Λ = Λ_max이고, ''J''가 임의의 비자명한 대합(즉,

J \neq id_R, J^2 = id_R

이고 1=''ε'' = −1)인 특수한 경우는 "고전적인" 유니터리 군(대수적 군으로서)을 얻을 수 있다.

참조

_[1] 논문 Proposition 13.11
_[2] 논문 Proposition 13.11
_[3] 서적 Mathematical Methods of Classical Mechanics https://archive.org/[...] Springer
_[4] 웹사이트 Symplectic, Quaternionic, Fermionic http://math.ucr.edu/[...] 2012-02-01
_[5] 간행물 Algebraic Groups and Arithmetic Groups http://www.jmilne.or[...]
_[6] 논문 "On modules with quadratic forms" Springer
_[7] 서적 Finite-Dimensional Vector Spaces
_[8] 서적 Handbook of K-theory. Volume 1 http://k-theory.org/[...]
_[9] 저널 The homotopy type of the unitary group of Hilbert space 1965

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