엇각
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1. 개요
엇각은 횡단선이 두 직선과 만날 때 횡단선의 반대쪽에 위치하며 서로 다른 꼭짓점을 갖는 두 쌍의 각을 의미한다. 엇각은 동위각, 동측내각과 함께 평행선과 횡단선 사이의 관계를 설명하는 데 사용된다. 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하며, 이는 유클리드의 '원론'에 의해 증명되었다. 유클리드의 평행선 공준은 엇각, 동위각, 동측내각의 관계를 통해 설명될 수 있으며, 비유클리드 기하학에서도 엇각의 개념이 확장되어 사용된다.
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| 엇각 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 정의 | 평면 위의 두 직선을 다른 직선이 가로지를 때 생기는 각 |
| 관련 용어 | 동위각 맞꼭지각 엇각 |
| 엇각 (Alternate Angles) | |
| 정의 | 교차하는 선의 반대쪽에 위치한 각 |
| 종류 | 내각 외각 |
| 성질 | 두 직선이 평행할 때 엇각의 크기는 서로 같다. |
2. 횡단선과 각
횡단선이 두 직선과 만나면 8개의 각이 생성된다. 이 각들은 위치에 따라 내각, 외각, 동위각, 엇각, 동측내각 등으로 분류된다. 두 평행선을 직각으로 자르는 전달선을 '''수직 전달선'''이라고 하며, 이 경우 8개의 각 모두 직각이다.[1]
2. 1. 내각과 외각
전달선은 왼쪽 그래프와 같이 8개의 각을 생성한다.- 두 선 각각에 4개씩, 즉 α, β, γ, δ와 α1, β1, γ1, δ1이 있다.
- 이 중 4개는 두 선 사이에 있는 '''내각'''(α, β, γ1, δ1)이고, 나머지 4개는 '''외각'''(α1, β1, γ, δ)이다.
2. 2. 동위각
동위각은 다음과 같은 네 쌍의 각이다.- 서로 다른 꼭짓점을 가지고,
- 횡단선의 같은 쪽에 위치하며,
- 하나의 각은 내각이고 다른 각은 외각이다.
두 직선은 임의의 횡단선에서 동위각 쌍의 두 각이 합동(측정값이 같음)일 경우에만 평행하다.
유클리드의 ''원론''의 명제 1.28은 절대 기하학의 정리(따라서 쌍곡 기하학 및 유클리드 기하학 모두에서 유효함)로, 횡단선의 동위각 쌍의 각이 합동이면 두 직선이 평행(교차하지 않음)함을 증명한다.[3]
유클리드의 평행선 공준으로부터 두 직선이 평행하면 횡단선의 동위각 쌍의 각이 합동하다는 것이 따릅니다(유클리드의 ''원론''의 명제 1.29).[3]
동위각 한 쌍의 각이 합동이면 다른 각 쌍의 각도 각각 합동이다. 평행선이 있는 경우에서 동위각 쌍은 α=α1, β=β1, γ=γ1 및 δ=δ1이다.
2. 3. 엇각
엇각은 다음 조건을 만족하는 네 쌍의 각을 말한다.[3]- 서로 다른 꼭짓점을 가지고,
- 횡단선의 반대쪽에 있으며,
- 두 각 모두 내각이거나 두 각 모두 외각이다.
한 쌍의 두 각이 합동(크기가 같음)이면, 다른 각 쌍의 각들도 합동이다.
유클리드의 ''원론''의 명제 1.27은 절대 기하학의 정리(따라서 쌍곡 기하학과 유클리드 기하학 모두에서 유효)로, 횡단선의 엇각 한 쌍의 각이 합동이면 두 선은 평행(교차하지 않음)임을 증명한다.
유클리드의 평행선 공준에 따르면, 두 선이 평행하면 횡단선의 엇각 한 쌍의 각은 합동이다(유클리드의 ''원론'' 명제 1.29).
2. 4. 동측내각
횡단선을 기준으로 같은 쪽에 있고, 두 직선 사이에 있는 두 각을 동측내각이라고 한다. 동측내각은 다음과 같은 조건을 만족하는 두 쌍의 각을 의미한다.[2][3]- 서로 다른 꼭짓점을 가진다.
- 횡단선의 같은 쪽에 위치한다.
- 모두 내각이다.
두 직선은 임의의 횡단선에서 동측내각 쌍의 두 각이 보각(합이 180°)일 때만 평행선이 된다.
유클리드의 ''원론'' 명제 1.28은 절대 기하학의 정리로서, 쌍곡 기하학과 유클리드 기하학 모두에서 유효하다. 이 정리는 동측내각 쌍의 각이 보충 관계에 있으면 두 직선은 평행(교차하지 않음)함을 증명한다.
유클리드의 평행선 공준에 따르면, 두 직선이 평행하면 횡단선의 동측내각 쌍의 각은 보충 관계에 있다(유클리드의 ''원론'' 명제 1.29).
한 쌍의 동측내각이 보충 관계에 있으면, 다른 쌍도 보충 관계에 있다.
3. 평행선과 횡단선
유클리드의 《원론》에서는 횡단선과 평행선의 관계를 다루는 명제들이 제시된다. 특히, 엇각, 동위각, 동측내각의 성질은 평행선 공준과 동치이다.
- 엇각: 서로 다른 꼭짓점을 가지고, 횡단선의 반대쪽에 있으며, 두 각 모두 내각이거나 외각인 네 쌍의 각을 말한다. 한 쌍의 두 각이 합동(크기가 같음)이면, 다른 각 쌍의 각들도 합동이다.
- 동위각: 서로 다른 꼭짓점을 가지고, 횡단선의 같은 쪽에 위치하며, 하나의 각은 내각이고 다른 각은 외각인 네 쌍의 각을 말한다. 두 직선은 임의의 횡단선에서 동위각 쌍의 두 각이 합동일 경우에만 평행하다.
- 동측 내각: 서로 다른 꼭짓점을 가지고, 횡단선의 같은 쪽에 위치하며, 모두 내각인 두 쌍의 각을 의미한다.[2][3] 두 직선은 임의의 횡단선에서 동측 내각 쌍의 두 각이 보충 관계(합이 180°)에 있을 때, 그 때에만 평행하다.
3. 1. 유클리드 기하학에서의 평행선 공준
유클리드의 평행선 공준에 따르면, 횡단선이 두 직선과 만날 때 엇각이 같거나, 동위각이 같거나, 동측내각의 합이 180°이면 두 직선은 평행하다.[2][3] 두 직선이 평행하면 횡단선과 만날 때 엇각, 동위각이 각각 같고 동측내각의 합은 180°이다.유클리드의 《원론》 명제 1.27은 횡단선의 엇각 한 쌍의 각이 합동이면 두 선이 평행함을 증명한다. 명제 1.28은 횡단선의 동위각 쌍의 각이 합동이거나, 동측 내각 쌍의 각이 보충 관계(합이 180°)에 있으면 두 직선이 평행함을 증명한다. 이들은 모두 절대 기하학의 정리이므로 쌍곡 기하학과 유클리드 기하학 모두에서 유효하다.
유클리드의 평행선 공준에 따르면, 두 선이 평행하면 횡단선의 엇각 한 쌍의 각은 합동이고(유클리드의 ''원론'' 명제 1.29), 동위각 쌍의 각도 합동이며, 동측 내각 쌍의 각은 보충 관계에 있다(유클리드의 ''원론'' 명제 1.29).
유클리드의 증명은 다섯 번째 공준을 필수적으로 사용하지만, 현대 기하학에서는 대신 플레이페어 공리를 사용한다.
3. 2. 비유클리드 기하학
유클리드의 ''원론'' 명제 1.27은 절대 기하학의 정리이다. 따라서 쌍곡 기하학과 유클리드 기하학 모두에서 유효하며, 횡단선의 엇각 한 쌍의 각이 합동이면 두 선은 평행(교차하지 않음)임을 증명한다.[4]유클리드의 평행선 공준에 따르면, 두 선이 평행하면 횡단선의 엇각 한 쌍의 각은 합동이다(유클리드의 ''원론'' 명제 1.29).[4]
4. 메넬라오스 정리
일반적인 위치에 있는 세 개의 선이 삼각형을 형성하고, 이 삼각형이 횡단선에 의해 잘리면, 결과로 생기는 여섯 개의 선분 길이는 메넬라오스 정리를 만족한다.
5. 고차원 공간에서의 횡단선
유클리드 3차원 공간에서, 레귤러스는 꼬인 위치에 있는 선의 집합이다. 레귤러스의 각 선 위의 각 점을 통과하는 횡단선이 존재하고, 횡단선의 각 점을 통과하는 레귤러스의 선이 존재한다. 레귤러스의 횡단선 집합은 ''반대 레귤러스''라고 불리는 또 다른 레귤러스이다. 이 공간에서, 서로 꼬인 세 개의 선은 항상 레귤러스로 확장될 수 있다.
참조
[1]
웹사이트
Transversal
http://www.mathopenr[...]
Math Open Reference
2009
[2]
웹사이트
Oxford Concise Dictionary of Mathematics
http://web.cortland.[...]
Addison-Wesley
2009
[3]
웹사이트
Parallel Lines
http://www.mathsisfu[...]
MathisFun
2011
[4]
서적
Holgate 1901
[5]
웹인용
Definition of ALTERNATE ANGLE
https://www.merriam-[...]
2023-05-08
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