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에딩턴 한계

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목차

1. 개요

에딩턴 한계는 항성의 복사압과 중력이 평형을 이루는 지점에서 유도되며, 항성이 정역학적 평형을 유지하며 낼 수 있는 최대 광도를 의미한다. 이 한계는 항성의 질량, 불투명도, 그리고 구성 물질에 따라 결정되며, 이를 넘어서면 복사압이 중력을 이겨 물질이 외부로 방출될 수 있다. 에딩턴 한계는 수소 플라스마를 기반으로 유도되지만, 헬륨 대기나 고온 환경에서는 다른 한계가 적용될 수 있다. 또한, 에딩턴 한계는 절대적인 한계는 아니며, 초에딩턴 광도를 가진 천체들도 관측된다. 험프리스-데이비슨 한계는 거대한 별의 광도에 대한 관측적 상한선으로, 이론적 에딩턴 한계와 일치하지 않으며, 다공성, 난류, 광자 거품 등 다양한 요인이 에딩턴 한계에 영향을 미칠 수 있다.

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에딩턴 한계
에딩턴 광도
정의천체가 복사압과 중력이 평형을 이루는 최대 광도
기호LEd 또는 LE
단위와트 (W) 또는 태양 광도 (L☉)
관련 개념에딩턴 한계
계산
공식LEd = (4πGMmₚc) / σT
G중력 상수
M천체의 질량
mₚ양성자의 질량
c광속
σT톰슨 산란 단면적
단순화된 공식 (태양 질량 기준)LEd ≈ 1.3 × 10³¹ (M/M☉) W = 3.3 × 10⁴ L☉ (M/M☉)
M☉태양 질량
특징
발생 조건항성풍
초신성 폭발
활동 은하핵
역할천체의 질량과 광도 사이의 관계를 제한
중요성블랙홀의 성장률 제한
초신성의 진화 과정 이해
우주 초기 별의 형성 과정 연구
참고 사항
기타실제 천체는 에딩턴 한계를 초과하는 광도를 가질 수 있음 (예: 초에딩턴 광원)

2. 유도

에딩턴 한계는 항성의 바깥쪽으로 작용하는 복사압과 안쪽으로 작용하는 중력이 평형을 이루는 지점에서 결정된다. 이 두 힘은 모두 역제곱 법칙에 따라 감소한다. 표면 S로 둘러싸인 광원의 광도는 다음과 같이 표현된다.

:

L = \int_S F_{\rm rad} \cdot dS = \int_S \frac{c}{\kappa} \nabla \Phi \cdot dS\,.



여기서 불투명도(\kappa)를 상수라고 가정하고, 가우스 정리와 푸아송 방정식을 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:

L = \frac{c}{\kappa} \int_S \nabla \Phi \cdot dS = \frac{c}{\kappa} \int_V \nabla^2 \Phi \, dV = \frac{4 \pi G c}{\kappa} \int_V \rho \, dV = \frac{4 \pi G M c}{\kappa}



이때 M은 중심 물체의 질량이다. 이 식에서 유도된 광도를 에딩턴 광도라고 한다.[36]

순수하게 전리된 수소로 이루어진 항성의 경우, 에딩턴 광도는 다음과 같이 주어진다.[36]

:\begin{align}L_{\rm Edd}&=\frac{4\pi G M m_{\rm p} c} {\sigma_{\rm T}}\\

&\cong 1.26\times10^{31}\left(\frac{M}{M_\bigodot}\right){\rm W}

= 3.2\times10^4\left(\frac{M}{M_\bigodot}\right) L_\odot

\end{align}



여기서 M_\odot은 태양질량, L_\odot은 태양광도이다.

에딩턴 광도는 어떤 광원이 정역학적 평형을 유지하면서 낼 수 있는 최대 광도이다. 광도가 에딩턴 광도를 넘어서면 복사압이 중력보다 강해져 물질이 바깥으로 방출된다.

일반적으로 항성 바깥층에서는 복사압이 전자에 작용하여 중심에서 멀어지게 한다. 양성자는 톰슨 산란의 영향을 거의 받지 않아 전하 분리가 발생하고, 방사 방향으로 전기장이 형성된다. 이 전기장이 중력에 대항하여 양성자를 띄울 만큼 충분하면 전자와 양성자는 모두 함께 방출된다.

2. 1. 정역학적 평형

정역학적 평형 상태에서의 오일러 방정식은 다음과 같다.[36]

:

\frac{d u}{d t} = - \frac{\nabla p}{\rho} - \nabla \Phi = 0



여기서 u는 속도, p는 압력, \rho는 밀도, \Phi는 중력퍼텐셜이다. 압력이 복사 선속 F_{\rm rad}의 복사압에 의해 좌우된다면

:

  • \frac{\nabla p}{\rho} = \frac{\kappa}{c} F_{\rm rad}\,.



이때 \kappa는 항성을 구성하는 물질의 불투명도로, 단위 밀도 및 단위 길이당 매질에 의해 흡수되는 복사 에너지 플럭스의 비율로 정의된다. 전리수소의 불투명도 값은 \kappa=\sigma_{\rm T}/m_{\rm p} 이며, 이때 \sigma_{\rm T}는 톰슨 산란의 전자 단면적이며 m_{\rm p}은 양성자의 질량이다.[36]

2. 2. 복사압

정역학적 평형 상태에서 오일러 방정식에 따르면 평균 가속도는 0이며, 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.[33]

:

\frac{d u}{d t} = - \frac{\nabla p}{\rho} - \nabla \Phi = 0



여기서 u는 속도, p는 압력, \rho는 밀도, \Phi는 중력 퍼텐셜이다. 압력이 복사 선속 F_{\rm rad}와 관련된 복사압에 의해 좌우될 때,[2]

:

  • \frac{\nabla p}{\rho} = \frac{\kappa}{c} F_{\rm rad}\,.



여기서 \kappa는 항성을 구성하는 물질의 불투명도이다. 전리된 수소의 경우, \kappa=\sigma_{\rm T}/m_{\rm p} 이며, \sigma_{\rm T}는 전자에 대한 톰슨 산란 단면적이고 m_{\rm p}는 양성자의 질량이다.[33]

2. 3. 에딩턴 광도 유도

정역학적 평형 상태에서 오일러 방정식에 따르면 평균 가속도는 0이며, 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

:

\frac{d u}{d t} = - \frac{\nabla p}{\rho} - \nabla \Phi = 0



여기서 u는 속도, p는 압력, \rho는 밀도, \Phi는 중력 포텐셜이다. 압력이 복사 선속 F_{\rm rad}의 복사압에 의해 좌우된다면 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

  • \frac{\nabla p}{\rho} = \frac{\kappa}{c} F_{\rm rad}\,.



이때 \kappa는 항성을 구성하는 물질의 불투명도로, 단위 밀도 및 단위 길이당 매질에 의해 흡수되는 복사 에너지 플럭스의 비율로 정의된다. 전리수소의 불투명도 값은 \kappa=\sigma_{\rm T}/m_{\rm p} 이며, \sigma_{\rm T}는 톰슨 산란의 전자 단면적, m_{\rm p}은 양성자의 질량이다.[36][2][33]

표면적 S 안에 갇혀 있는 광원의 광도는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

L = \int_S F_{\rm rad} \cdot dS = \int_S \frac{c}{\kappa} \nabla \Phi \cdot dS\,.



이제 불투명도를 상수라고 가정하고 가우스 정리와 푸아송 방정식을 이용하면 다음과 같이 정리된다.

:

L = \frac{c}{\kappa} \int_S \nabla \Phi \cdot dS = \frac{c}{\kappa} \int_V \nabla^2 \Phi \, dV = \frac{4 \pi G c}{\kappa} \int_V \rho \, dV = \frac{4 \pi G M c}{\kappa}



이때 M은 중심 물체의 질량이다. 이렇게 해서 구해진 광도를 에딩턴 광도라고 한다.[36][2][33]

전리수소로만 이루어진 항성일 경우 에딩턴 광도는 다음과 같다.

:\begin{align}L_{\rm Edd}&=\frac{4\pi G M m_{\rm p} c} {\sigma_{\rm T}}\\

&\cong 1.26\times10^{31}\left(\frac{M}{M_\bigodot}\right){\rm W}

= 3.2\times10^4\left(\frac{M}{M_\bigodot}\right) L_\bigodot

\end{align}



이때 M_\odot은 태양질량, L_\odot은 태양광도이다.[36][2]

3. 물질마다 다른 한계

위에서 유도된 에딩턴 광도는 수소 플라스마를 가정했지만, 별의 구성 물질에 따라 압력 균형이 달라질 수 있다. 예를 들어 헬륨 대기를 가진 별이나, 블랙홀 또는 중성자별과 같이 매우 온도가 높은 환경에서는 에딩턴 한계가 다르게 나타난다.

에딩턴 광도의 정확한 값은 기체층의 화학적 조성과 방출의 스펙트럼 에너지 분포에 따라 달라진다. 우주론적으로 수소와 헬륨이 풍부한 가스는 태양의 존재비를 지닌 가스보다 훨씬 더 투명하다. 원자선 전이는 복사압의 영향을 크게 증가시킬 수 있으며, 일부 밝은 별(예: 울프-레이에 및 O형 별)에는 선 유발 항성풍이 존재한다.[36]

3. 1. 순수 헬륨 대기

순수한 헬륨 대기를 가진 진화된 별에서는 전기장이 양성자 질량의 거의 4배에 달하는 헬륨 핵(알파 입자)을 들어 올려야 하는 반면, 복사압은 2개의 자유 전자에 작용한다. 따라서 순수한 헬륨 대기를 밀어내기 위해서는 일반적인 에딩턴 광도의 두 배가 필요하다.

3. 2. 고온 환경

블랙홀이나 중성자별과 같은 매우 높은 온도 환경에서는 고에너지 광자가 핵 또는 다른 광자와 상호 작용하여 전자-양전자 플라스마를 생성할 수 있다. 이러한 상황에서 양-음 전하 운반자 쌍의 결합된 질량은 양성자 대 전자 질량 비율의 약 1/918배로 작다. 반면 양전자에 대한 복사 압력은 단위 질량당 유효 힘을 두 배로 증가시키므로, 필요한 제한 광도는 약 918×2배 감소한다.[3]

4. 초에딩턴 광도

에딩턴 한계는 별의 광도에 대한 엄격한 한계는 아니다. 용골자리 에타의 폭발, 감마선 폭발, 신성, 초신성 등은 에딩턴 광도를 훨씬 초과하는 현상들이다.[3] 일반적인 항성풍으로는 연간 ~ 태양 질량 정도의 질량 손실만 설명할 수 있지만, 용골자리 에타 폭발과 같이 연간 최대 태양 질량의 손실을 설명하기 위해서는 광범위 스펙트럼 복사에 의해 구동되는 초에딩턴 풍의 도움이 필요하다.

감마선 폭발, 신성, 초신성은 매우 짧은 시간 동안 에딩턴 광도를 훨씬 초과하여 짧고 매우 강렬한 질량 손실을 일으킨다. 일부 X선 쌍성과 활동은하핵은 매우 오랜 시간 동안 에딩턴 한계에 가까운 광도를 유지한다. 강착 중성자별이나 격변변광성(강착 백색왜성)의 경우, 에딩턴 한계는 강착 흐름을 감소시키거나 차단하여 광도에 상응하는 강착에 대한 에딩턴 한계를 부과한다. 항성 질량 블랙홀로의 초에딩턴 강착은 초고광도 X선 천체의 한 가지 가능한 모델이다.[4][5]

강착 블랙홀의 경우, 강착에 의해 방출되는 모든 에너지가 외향 광도로 나타나는 것은 아니며, 일부는 사건 지평선을 통해 블랙홀 안으로 손실될 수 있다. 따라서 강착 효율, 즉 강착 물질의 중력 에너지 방출에서 이론적으로 이용 가능한 에너지 중 실제로 방출되는 에너지의 비율이 중요한 요소로 작용한다.

5. 험프리스-데이비슨 한계

험프리스-데이비슨 한계(녹색 선)가 표시된 상단 HR도. 별들은 짧은 폭발 동안에만 한계 이상에서 관측된다.


거대한 별에 대한 관측에서는 그 광도에 명확한 상한선이 나타난다. 이는 처음으로 이에 대해 논문을 발표한 연구원들의 이름을 따서 험프리스-데이비슨 한계라고 한다.[37] 더 높은 광도에서는 일시적인 매우 불안정한 천체만 발견된다. 이를 이론적인 에딩턴 한계와 조화시키려는 노력은 대체로 성공하지 못했다.[38] 차가운 초거성의 경우, 험프리스-데이비슨 한계는 약 316000 근처에서 형성된다.[39]

가장 밝고 차가운 (K-M) 초거성들
이름광도분광형주석참고문헌
LGGS J013312.26+310053.3575000[42]
LGGS J004520.67+414717.3562000M1I안드로메다 은하의 구성원이 아닐 가능성이 높으므로 험프리스-데이비슨 한계와 관련하여 주의해서 다루어야 한다.[43][43]
LGGS J013339.28+303118.8479000M1Ia[42]
스티븐슨 2 DFK 49390000K4[40]
HD 269551 A389000K/M[41]
WOH S170380000M대마젤란 은하 구성원 여부가 불확실하다.[41]
RSGC1-F04380000M0-M1[40]
LGGS J013418.56+303808.6363000[42]
LGGS J004428.12+415502.9339000K2I[43]
RSGC1-F01335000M3-M5[40]
전갈자리 AH331000M5Ia[44]
SMC 18592309000 - 355000K5-M0Ia[45][41]
LGGS J004539.99+415404.1309000M3I[43]
LGGS J013350.62+303230.3309000[41]
LGGS J013358.54+303419.9295000[41]
돛자리 CM308000M5[46]
HV 888302000M4Ia[45]
W60 B90302000M2[47]
세페우스자리 RW300000K2Ia-0[48]
GCIRS 7295000M1I[49]
SP77 21-12295000K5-M3[41]
RSGC1-F13290000K2-M3[40]
용골자리 EV288000M4.5Ia[39]
HV 12463288000M소마젤란은하의 구성원이 아닌 듯 하다.[41]
LGGS J003951.33+405303.7288000[43]
WOH G64282000M5I아마도 알려진 가장 큰 별일 것이다.[50]
LGGS J013352.96+303816.0282000[41]
CD-26 5055280000M2Iab[46]
웨스터룬드 1 W26275000M0.5-M6Ia[51]
LGGS J004731.12+422749.1275000[43]
큰개자리 VY270000M3-M4.5[52]
LGGS J004428.48+415130.9269000M1I[43]
LGGS J013241.94+302047.5257000[41]
LMC 145013251000 - 339000M2.5Ia-Ib[45][41]
LMC 25320251000M[41]


6. 에딩턴 한계에 근접하거나 넘는 항성들

몇몇 극대거성과 울프-레이에별들은 에딩턴 한계에 근접하거나 넘는 질량과 광도를 가진다. 그 예시는 다음과 같다:


  • R136a1: 밝기가 태양의 8백만 배가 넘는 이 별은 질량을 갑자기 끌어모아 한때는 질량이 태양의 320배에 달했으나 외포층이 항성에서 탈출해 태양 질량의 50배 정도를 잃은 것으로 보인다. 이 별은 울프-레이에별이다.
  • 피스톨 별: 크기가 태양의 200배에 달하며 질량은 100배, 밝기는 100만 배가 넘는 것으로 밝혀져 극대거성으로 분류되었다.
  • 용골자리 에타: 크기, 질량, 밝기는 피스톨 별과 비슷해 역시 극대거성으로 분류되었다. 160년 전부터 이어진 초신성 위장 현상으로 밝기가 밤하늘에서 2번째로 밝아진 적도 있다. 최근 이 별이 쌍성이라는 연구 결과로 인해 논란이 되고 있다.
  • WR 102ka: R136a1과 광도와 질량이 비슷하며 역시 울프-레이에별이다. 수백만 년 이내로 초신성 폭발로 일생을 마칠 것으로 보인다.


거대한 별에 대한 관측은 그 광도에 명확한 상한선이 있음을 보여주는데, 이는 처음으로 이에 대해 논문을 발표한 연구원들의 이름을 따서 험프리스-데이비슨 한계라고 한다.[8]

매우 불안정한 천체만이 일시적으로 더 높은 광도에서 발견된다. 이를 이론적인 에딩턴 한계와 조정하려는 노력은 대체로 성공적이지 못했다.[9]

시원한 초거성의 H-D 한계는 약 320,000 태양광도로 설정된다.[10]

7. 기타 요인

항성의 최대 광도에 영향을 미칠 수 있는 다른 요소들은 다음과 같다.


  • '''다공성'''


광범위한 스펙트럼 복사에 의해 구동되는 안정된 항성풍의 문제점은 복사 플럭스와 중력 가속도가 모두 ''r''−2에 비례한다는 것이다. 이러한 요소들의 비율은 일정하며, 초에딩턴 항성에서는 전체 외피가 동시에 중력적으로 결합이 해제될 것이다. 하지만 이는 관측되지 않는다. 가능한 해결책은 대기의 다공성을 도입하는 것인데, 여기서 항성 대기를 밀도가 낮은 기체 영역으로 둘러싸인 고밀도 영역으로 구성된다고 상상할 수 있다. 이것은 복사와 물질 사이의 결합을 감소시키고, 복사장의 전체 힘은 대기의 더 균질한 외층, 저밀도 층에서만 관측될 것이다.

  • '''난류'''


불안정화 요인이 될 수 있는 또 다른 요소는 대류층에서 에너지가 초음속 난류장을 형성할 때 발생하는 난류 압력일 수 있다. 그러나 난류의 중요성은 논란의 여지가 있다.[6]

  • '''광자 거품'''


일부 안정적인 초에딩턴 천체를 설명할 수 있는 또 다른 요소는 광자 거품 효과이다. 복사압이 기체압을 초과할 때 복사 지배 대기에서 광자 거품이 자발적으로 생성될 것이다. 주변보다 밀도는 낮지만 복사압은 더 높은 항성 대기의 영역을 상상할 수 있다. 이러한 영역은 대기를 통해 상승하고, 측면에서 복사가 확산되어 더 높은 복사압을 초래한다. 이 효과는 균질한 대기보다 더 효율적으로 복사를 수송하여 허용되는 총 복사율을 증가시킬 수 있다. 강착 원반은 불안정성을 경험하지 않고 에딩턴 한계의 10~100배에 달하는 광도를 나타낼 수 있다.[7]

참조

[1] 논문 Continuum driven winds from super-Eddington stars. A tale of two limits 2008
[2] 서적 Radiative Processes in Astrophysics J. Wiley & Sons 1979
[3] 논문 On the role of continuum driven eruptions in the evolution of very massive stars and population III stars
[4] 논문 Orbital decay in M82 X-2 2022-10-01
[5] 보도자료 NASA study helps explain limit-breaking ultra-luminous X-ray sources https://www.jpl.nasa[...] NASA / Jet Propulsion Laboratory (JPL) 2023-04-18
[6] 논문 Turbulent pressure in the envelopes of yellow hypergiants and luminous blue variables 2003
[7] 논문 Photon bubbles: Overstability in a magnetized atmosphere 1992
[8] 논문 Studies of luminous stars in nearby galaxies. III - Comments on the evolution of the most massive stars in the Milky Way and the Large Magellanic Cloud
[9] 논문 Stability of massive stars and the Humphreys–Davidson limit https://academic.oup[...] 1993-07-15
[10] 논문 The 'red supergiant problem': The upper luminosity boundary of type II supernova progenitors https://academic.oup[...] 2020-03-21
[11] 논문 Investigating episodic mass loss in evolved massive stars - II. Physical properties of red supergiants at subsolar metallicity https://www.aanda.or[...] 2024-09-01
[12] 논문 A Massive Cluster of Red Supergiants at the Base of the Scutum-Crux Arm https://ui.adsabs.ha[...] 2007-12-01
[13] 논문 Exploring the mass-loss histories of the red supergiants 2020-09-02
[14] 논문 The time-averaged mass-loss rates of red supergiants as revealed by their luminosity functions in M31 and M33 2023-01-01
[15] 논문 The yellow and red supergiants of M33 2012-04-18
[16] 논문 Red supergiants in M31: the Humphreys–Davidson limit at high metallicity https://academic.oup[...] 2022-01-08
[17] 논문 The atmospheric structure and fundamental parameters of the red supergiants AH Scorpii, UY Scuti, and KW Sagittarii 2013-06
[18] 논문 The temperatures of red supergiants in low-metallicity environments https://academic.oup[...] 2021
[19] 논문 The luminosities of cool supergiants in the Magellanic Clouds, and the Humphreys-Davidson limit revisited 2018-08-01
[20] 논문 On the Granulation and Irregular Variation of Red Supergiants 2020-07-01
[21] 논문 Luminosities and mass-loss rates of Local Group AGB stars and red supergiants https://ui.adsabs.ha[...] 2018-01-01
[22] 논문 Optically visible post-AGB stars, post-RGB stars and young stellar objects in the Large Magellanic Cloud 2015-12-01
[23] 논문 The recent mass-loss history of the hypergiant RW Cep 2023-05-11
[24] 논문 GCIRS 7, a pulsating M1 supergiant at the Galactic centre . Physical properties and age https://ui.adsabs.ha[...] 2014-08-01
[25] 논문 Evidence of deep mixing in IRS 7, a cool massive supergiant member of the Galactic nuclear star cluster https://academic.oup[...] 2022-09-13
[26] 논문 An empirical formula for the mass-loss rates of dust-enshrouded red supergiants and oxygen-rich Asymptotic Giant Branch stars https://ui.adsabs.ha[...] 2005-07-01
[27] 논문 ALMA detection of CO rotational line emission in red supergiant stars of the massive young star cluster RSGC1 -- Determination of a new mass-loss rate prescription for red supergiants 2024-01
[28] 논문 Spatially resolved dusty torus toward the red supergiant WOH G64 in the Large Magellanic Cloud https://www.aanda.or[...] 2008-06-01
[29] 논문 Fundamental properties and atmospheric structure of the red supergiant VY Canis Majoris based on VLTI/AMBER spectro-interferometry 2012-04
[30] 논문 The 'red supergiant problem': the upper luminosity boundary of Type II supernova progenitors 2020-03
[31] 논문 The red supergiants in the supermassive stellar cluster Westerlund 1 http://www.teses.usp[...] Universidade de São Paulo 2019-01-22
[32] 논문 Red supergiant candidates for multimessenger monitoring of the next Galactic supernova 2024-04-01
[33] 서적 Radiative Processes in Astrophysics J. Wiley & Sons 1979
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[46] 저널 Gaia Data Release 3 - Summary of the content and survey properties https://www.aanda.or[...] 2023-06-01
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