푸아송 방정식

3. 물리 및 공학에서의 응용

푸아송 방정식은 전자기학, 이동현상론, 유체역학 등 물리학의 여러 분야에서 계를 기술하는 기본 방정식으로 나타난다. 예를 들어, 주어진 전하 분포에 따른 정전기 퍼텐셜이나 질량 분포에 따른 중력 퍼텐셜을 기술하는 방정식, 열 발생원이 존재하는 경우의 온도 분포, 물질의 발생·소멸원이 존재하는 경우의 물질 농도 분포에서 시간에 의존하지 않는 정상 상태를 기술하는 방정식 등이 푸아송 방정식에 해당한다.^[9]

3. 1. 전자기학

3. 1. 1. 가우스 전하 밀도의 퍼텐셜

3. 2. 중력

3. 3. 열전도

3. 4. 유체역학

3. 5. 표면 재구성

4. 해의 구성

푸아송 방정식은 그린 함수를 사용하여 풀 수 있다. n차원 유클리드 공간에서 푸아송 방정식의 그린 함수는 다음과 같다.

:$G\_1(r)=-\backslash frac$

그린 함수 $G\_n$은 다음을 만족시킨다.

:$\backslash Delta\; G\_n(\backslash mathbf\; r)=-\backslash delta^\{(n)\}(\backslash mathbf\; r)$

여기서 $\backslash delta^\{(n)\}$는 $n$차원 디랙 델타 함수다.

2차원 및 3차원의 경우, 로그 포텐셜과 뉴턴 포텐셜을 이용하여 유계 영역 내부에서 해를 구성할 수 있다.

; 2차원의 경우

2차원 공간 $\backslash mathbb\{R\}^2$의 유계 영역 $\backslash Omega$에서 $f(\backslash xi,\; \backslash eta)$가 1계 연속 미분 가능하다면,

:$$

u_0(x,y) = -\frac{1}{2\pi}\iint_{\Omega}f(\xi, \eta)

\log{\frac{1}{r}}

\, d \xi d \eta \quad(r=\sqrt{(\xi-x)^2+(\eta-y)^2})



으로 주어진 $u\_0(x,\; y)$는 $\backslash Omega$의 내부에서 2계 연속 미분 가능하며

:$\backslash Delta\; u\_0(x,y)=f(x,y)\; \backslash ,$

를 만족한다. 여기서 적분 내의 항 $\backslash log(1/r)$를 '''로그 포텐셜'''이라고 한다.

; 3차원의 경우

3차원 공간 $\backslash mathbb\{R\}^3$의 유계 영역 $\backslash Omega$에서 $f(\backslash xi,\; \backslash eta,\; \backslash zeta)$가 1계 연속 미분 가능하다면,

:$$

u_0(x,y,z) = -\frac{1}{4\pi}\iiint_{\Omega}

f(\xi, \eta, \zeta) \frac{1}{r} \, d \xi d \eta d \zeta

\quad (r=\sqrt{(\xi-x)^2+(\eta-y)^2+(\zeta-z)^2})



으로 주어진 $u\_0(x,\; y,\; z)$는 $\backslash Omega$의 내부에서 2계 연속 미분 가능하며

:$\backslash Delta\; u\_0(x,y,z)=f(x,y,z)\; \backslash ,$

를 만족한다. 여기서 적분 안에 나타나는 항 $1/r$을 '''뉴턴 포텐셜'''이라고 한다.

; ''n''차원의 경우

보다 일반적으로, ''n''차원 공간 $\backslash mathbb\{R\}^n$ (''n'' ≧ 3)의 유계 영역 $\backslash Omega$에서 $f(\backslash xi\_1,\; \backslash cdots,\; \backslash xi\_n)$가 1계 연속 미분 가능하다면,

:$$

u_0(x_1,\cdots,x_n)

= -\frac{\Gamma \bigl (\frac{n}{2}\bigr)}{ 2(n-2)\pi^{\frac{n}{2}} }

\int \cdots \int_{\Omega} f(\xi_1, \cdots, \xi_n) r^{2-n} \, d \xi_1 \cdots d \xi_n

\quad (r=\sqrt{(\xi_1-x_1)^2+ \cdots +(\xi_n-x_n)^2})



으로 주어진 $u\_0(\backslash xi\_1,\; \backslash cdots,\; \backslash xi\_n)$는 $\backslash Omega$의 내부에서 2계 연속 미분 가능하고

:$\backslash Delta\; u\_0(x\_1,\; \backslash cdots\; ,x\_n)\; =\; f(x\_1,\; \backslash cdots\; ,x\_n\; )\; \backslash ,$

을 만족한다.

5. 수치 해법

푸아송 방정식을 표면 재구성 문제에 효과적으로 적용하려면 벡터장 '''V'''의 좋은 이산화를 찾는 것이 필요하다. 기본적인 접근 방식은 유한 차분 격자로 데이터를 경계 짓는 것이다. 이러한 격자의 노드에서 값을 갖는 함수의 경우, 그 기울기는 엇갈린 격자, 즉 노드가 원래 격자의 노드 사이에 있는 격자에서 값을 갖는 것으로 나타낼 수 있다. 법선 데이터의 성분에 해당하는 하나의 방향으로만 이동된 세 개의 엇갈린 격자를 정의하는 것이 편리하다. 각 엇갈린 격자에서 점 집합에 대해 삼선형 보간을 수행한다. 그런 다음 보간 가중치를 사용하여 ''n_i''의 관련 성분의 크기를 ''p_i''를 포함하는 특정 엇갈린 격자 셀의 노드로 분배한다.

Kazhdan과 공동 저자들은 적응형 유한 차분 격자를 사용하여 더 정확한 이산화 방법을 제시한다. 즉, 더 많은 데이터 포인트가 있는 곳에서는 격자의 셀이 더 작다(격자가 더 세분화된다).^[8] 그들은 적응형 옥트리를 사용하여 이 기법을 구현할 것을 제안한다.

참조

_[1] 서적 Glossary of Geology https://books.google[...] Springer
_[2] 논문 Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement https://www.biodiver[...] 1823
_[3] 서적 Introduction to Electrodynamics Cambridge University Press
_[4] 서적 Introduction to Electrodynamics Cambridge University Press
_[5] 논문 Numerical Solution to Poisson's Equation for Estimating Electrostatic Properties Resulting from an Axially Symmetric Gaussian Charge Density Distribution
_[6] 서적 An Atlas of Functions Springer
_[7] 논문 Smooth Signed Distance Surface Reconstruction http://mesh.brown.ed[...]
_[8] 간행물 Proceedings of the fourth Eurographics symposium on Geometry processing (SGP '06) Eurographics Association, Aire-la-Ville, Switzerland
_[9] 서적 chapter.12