연산 (수학)

3. 표기

연산 표기법에는 여러 가지가 있다. 자주 사용되는 표기법으로는 연산자를 피연산자 앞에 배치하는 전위 표기법(폴란드 표기법), 연산자를 피연산자 뒤에 배치하는 후위 표기법(역폴란드 표기법), 연산자를 두 피연산자 사이에 표기하는 중위 표기법 등이 있다.

일항 연산은 전위 표기법 $-a$(반수), $\backslash lnot\; p$(부정) 또는 후위 표기법 $n!$(계승)이나 함수 표기법 $\backslash sin(x)$(사인) 등을 사용하여 표기할 수 있다. 연산자를 위 첨자 표기하는 방법 $A^\backslash operatorname\; T$(전치 행렬)도 있다. 제곱근 $\backslash sqrt\; a$의 경우, 연산자가 피연산자의 왼쪽과 위쪽에 걸쳐 위치한다.

이항 연산은 보통 함수 표기법 $F(a,b)$ 대신 중위 표기법 $a+b$, $a\backslash cdot\; b$를 사용하거나 연산자를 생략하는 방식 $ab$를 사용한다. 거듭제곱 $a^b$의 경우, 연산자를 생략하되 두 번째 변수인 지수를 위 첨자 표기한다. 전위 표기법 $+\backslash \; a\backslash \; b$, $\backslash cdot\backslash \; a\backslash \; b$이나 후위 표기법 $a\backslash \; b\backslash \; +$, $a\backslash \; b\backslash \; \backslash cdot$을 사용하기도 한다.

4. 연산의 종류

단항 연산은 제곱근, 부정 연산처럼 하나의 피연산자를 갖는 연산이다. 이항 연산은 덧셈, 곱셈 등과 같이 두 개의 피연산자를 갖는 연산이다.^[3][4] 세 개의 피연산자를 갖는 삼항 연산도 있으며, 여러 개의 피연산자를 갖는 연산을 다항 연산이라고 한다.

연산은 숫자뿐만 아니라 다양한 수학적 객체를 포함할 수 있다. 예를 들어, 진리값은 논리 연산을 통해 결합될 수 있고, 벡터는 더하거나 뺄 수 있다.^[5] 회전은 함수 합성 연산을 사용하여 결합할 수 있으며, 집합에 대한 연산에는 합집합, 교집합, 여집합 등이 있다.^[6][7][8] 함수에 대한 연산에는 합성 및 컨볼루션이 포함된다.^[9][10]

연산은 함수의 정의역의 모든 값에 대해 정의되지 않을 수 있다. 예를 들어, 실수에서는 0으로 나눌 수 없거나^[11] 음수의 제곱근을 구할 수 없다.

4. 1. 연산자의 형식적 분류

• 제곱근을 나타내는 근호 "√"^[2]
• 음수를 나타내는 음수 부호 (예: -3)
• 절댓값을 나타내는 두 개의 세로선 (예: |''x''|)
• 계승을 나타내는 느낌표 (예: ''n''!)(후위 표기법)

4. 2. 연산자의 의미적 분류

5. 유도되는 연산

주어진 연산으로부터 새로운 연산을 유도할 수 있다.

• '''제한''': $S$ 위의 $n$항 연산 $F\backslash colon\; S^\{\backslash times\; n\}\backslash to\; S$은 그에 대하여 닫혀있는 부분 집합 $T\backslash subset\; S$ 위에 새로운 $n$항 연산 $F|\_T\backslash colon\; T^\{\backslash times\; n\}\backslash to\; T$ , $F|\_T\backslash colon\backslash vec\; t\backslash mapsto\; F(\backslash vec\; t)$을 유도한다. 이를 $F$의 $T$에서의 제한(restriction^영어)이라고 한다.

• '''멱집합 위에 유도되는 연산''': $n$항 연산 $F\backslash colon\; S^\{\backslash times\; n\}\backslash to\; S$는 멱집합 $\backslash mathcal\; P(S)$ 위에 연산 $\backslash tilde\; F\backslash colon\backslash mathcal\; P(S)^\{\backslash times\; n\}\backslash to\backslash mathcal\; P(S)$ , $\backslash tilde\; F\backslash colon\backslash vec\; T\backslash mapsto\backslash \{F(\backslash vec\; t)|t\_i\backslash in\; T\_i\backslash \}$를 유도한다. 이는 상을 취하는 연산이다.

• '''점별 연산''': $n$항 연산 $F\backslash colon\; Y^\{\backslash times\; n\}\backslash to\; Y$은 함수 집합 $Y^X$ 위에 $n$항 연산 $\backslash tilde\; F\backslash colon(Y^X)^\{\backslash times\; n\}\backslash to\; Y^X$, $\backslash tilde\; F\backslash colon\backslash vec\; f\backslash mapsto(x\backslash mapsto\; F(\backslash vec\; f(x)))$를 유도한다. 이를 $F$에 대한 점별 연산(pointwise operation^영어)이라고 한다.

6. 예

연산에는 단항 연산과 이항 연산 두 가지 흔한 유형이 있다. 단항 연산은 부정 연산과 삼각 함수와 같이 하나의 값만 포함한다.^[3] 반면에, 이항 연산은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 지수 연산 등과 같이 두 개의 값을 사용한다.^[4]

연산은 숫자 외에도 진리값, 벡터, 회전, 집합, 함수 등 다양한 수학적 객체를 포함할 수 있다. 예를 들어, 진리값 ''참''과 ''거짓''은 논리 연산을 통해 결합될 수 있고, 벡터는 더하거나 뺄 수 있으며, 회전은 함수 합성을 통해 결합될 수 있다. 집합에 대한 연산에는 합집합, 교집합, 여집합이 있고, 함수에 대한 연산에는 합성 및 컨볼루션이 있다.^{[6][7][8][9][10]}

연산은 ''정의역''의 모든 가능한 값에 대해 정의되지 않을 수 있다. 예를 들어, 실수에서는 0으로 나눌 수 없거나^[11] 음수의 제곱근을 구할 수 없다. 연산이 정의된 값은 ''정의역'' 또는 ''유효역''이라고 하며, 연산에 의해 생성된 값의 집합은 ''상'' 또는 ''치역''이다.^[12]

연산은 서로 다른 객체를 포함할 수 있다. 벡터는 스칼라를 곱하여 다른 벡터를 형성할 수 있으며(스칼라 곱)^[13], 두 벡터에 대한 내적 연산은 스칼라인 양을 생성한다.^[14][15] 연산은 결합 법칙, 교환 법칙, 반교환 법칙, 멱등성 등의 속성을 가질 수 있다.

결합된 값을 ''피연산자'', ''인자'' 또는 ''입력''이라고 하며, 생성된 값을 ''값'', ''결과'' 또는 ''출력''이라고 한다. 연산은 두 개 미만의 입력을 가질 수 있다.

'''연산자'''는 연산을 나타내는 기호 또는 프로세스를 의미한다.

6. 1. 사칙 연산

• 덧셈: $+\backslash colon\backslash mathbb\; R\backslash times\backslash mathbb\; R\backslash to\backslash mathbb\; R$, $(r,s)\backslash mapsto\; r+s$
• 뺄셈: $-\backslash colon\backslash mathbb\; R\backslash times\backslash mathbb\; R\backslash to\backslash mathbb\; R$, $(r,s)\backslash mapsto\; r-s$
• 곱셈: $\backslash cdot\backslash colon\backslash mathbb\; R\backslash times\backslash mathbb\; R\backslash to\backslash mathbb\; R$, $(r,s)\backslash mapsto\; rs$
• 나눗셈: $/\backslash colon\backslash mathbb\; R\backslash times(\backslash mathbb\; R\backslash setminus\backslash \{0\backslash \})\backslash to\backslash mathbb\; R$, $(r,s)\backslash mapsto\; r/s$

6. 2. 논리 연산

6. 3. 군 위의 연산

• 항등원 $1\_G\backslash in\; G$는 $G$ 위의 영항 연산이다.
• 곱셈 $\backslash cdot\backslash colon\; G\backslash times\; G\backslash to\; G$, $(g,h)\backslash mapsto\; gh$는 $G$ 위의 이항 연산이다.

• 자명군 $\backslash \{1\_G\backslash \}\backslash subset\; G$
• 임의의 $H,K\backslash subset\; G$에 대하여, $HK=\backslash \{hk|h\backslash in\; H,\backslash ;k\backslash in\; K\backslash \}\backslash subset\; G$
• * 특히, 임의의 $g\backslash in\; G\backslash supset\; H$에 대하여, $gH=\backslash \{gh|h\backslash in\; H\backslash \}\backslash subset\; G$

6. 4. 벡터 공간 위의 연산

6. 5. 관계

참조

_[1] 웹사이트 Algebraic operation - Encyclopedia of Mathematics https://www.encyclop[...] 2019-12-10
_[2] 웹사이트 Universal Algebra Notes 2010-08-26
_[3] Mathworld Unary Operation
_[4] Mathworld Binary Operation
_[5] Mathworld Vector
_[6] 웹사이트 Union https://mathworld.wo[...] 2020-07-27
_[7] 웹사이트 Intersection https://mathworld.wo[...] 2020-07-27
_[8] 웹사이트 Complementation https://mathworld.wo[...] 2020-07-27
_[9] 웹사이트 Composition https://mathworld.wo[...] 2020-07-27
_[10] 웹사이트 Convolution https://mathworld.wo[...] 2020-07-27
_[11] 웹사이트 Division by Zero https://mathworld.wo[...] 2020-07-27
_[12] Mathworld Coomain
_[13] 웹사이트 Scalar Multiplication https://mathworld.wo[...] 2020-07-27
_[14] 서적 Functional Analysis https://books.google[...] New Age International 1995
_[15] 웹사이트 Inner Product https://mathworld.wo[...] 2020-07-27
_[16] 서적 A Course in Universal Algebra http://www.math.uwat[...] Springer 1981
_[17] 간행물 Power algebras: clones and relations https://wwwpub.zih.t[...] 1993-01