거듭제곱

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1. 개요

거듭제곱은 실수 a를 n번 반복하여 곱한 결과이며, aⁿ으로 표현된다. 지수가 정수, 유리수, 실수, 복소수인 경우에 따라 다르게 정의되며, 0이 아닌 실수의 0제곱은 1로 정의된다. 거듭제곱은 교환 법칙과 결합 법칙이 성립하지 않으며, 연산 순서는 오른쪽 결합 법칙을 따른다.

역사적으로 거듭제곱은 기원전 16세기 점토판에서부터 사용되었으며, 아르키메데스는 지수 법칙을 증명하고 우주에 포함될 수 있는 모래알의 수를 추정하는 데 사용했다. 9세기 알콰리즈미는 제곱을 'māl', 세제곱을 'kaʿbah'로 표기했으며, 15세기 니콜라 추케는 지수 표기법을 사용했다. 17세기 데카르트는 현대적인 지수 표기법을 도입했다.

거듭제곱은 기수법, 컴퓨터 과학, 멱함수 등 다양한 분야에 응용된다. 컴퓨터 과학에서는 2의 정수 거듭제곱이 중요하며, 공개 키 암호에 활용된다. 멱함수는 f(x) = cxⁿ 형태의 함수로, 지수 n의 값에 따라 다른 특징을 보인다. 프로그래밍 언어에서는 연산자나 함수를 통해 구현되며, 이진법을 사용하여 효율적으로 계산한다.

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거듭제곱
연산 정보
종류	산술 연산
정의	밑 b와 지수 n에 대한 연산 bⁿ
공식	y = b^x
관련 개념	로그, 제곱근, 지수 함수
변수
밑	b
지수	n 또는 x
결과	y
특성
밑이 0인 경우	0ⁿ = 0 (단, n > 0)
밑이 1인 경우	1ⁿ = 1
지수가 0인 경우	b⁰ = 1 (단, b ≠ 0)
지수가 1인 경우	b¹ = b
예시
2의 거듭제곱	2³ = 8
10의 거듭제곱	10² = 100
e의 거듭제곱 (지수 함수)	e^x (지수 함수)
1/2의 거듭제곱	(1/2)² = 1/4

2. 정의

거듭제곱은 기본적인 산술 연산으로부터 정의될 수 있다. 밑 $b$ 및 지수 $n$ 을 갖는 거듭제곱은 밑의 오른쪽 어깨에 지수를 올려 $b^n$ 와 같이 표기한다.

: $b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_{n\text{ 개}}$

: $b^n$ 는 $b$ 의 $n$ 제곱 또는 $n$ 차 $b$ 거듭제곱 등으로 불린다.

지수가 양의 정수일 때, 해당 지수는 밑이 몇 번 곱해지는지를 나타낸다. 예를 들어, $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$ 이다. 밑 3은 곱셈에 5번 나타나는데, 지수가 5이기 때문이다. 여기서 243은 '3의 5제곱' 또는 '3의 5승'이다.^[1] "승"이라는 단어는 보통 생략되며, 때로는 "제곱"도 생략되어 $3^5$ 는 단순히 "3의 5제곱" 또는 "3의 5승"으로 읽을 수 있다.

특정 지수에 대해 고유한 이름이 붙어 있다. 예를 들어, 지수가 2인 거듭제곱(제곱) $b^2$ 는 " $b$ 의 제곱" 또는 " $b$ -자승"이라고 불리며, 지수가 3인 거듭제곱(세제곱) $b^3$ 는 " $b$ 의 세제곱"이라고 불린다. 그 이후는 4제곱, 5제곱, … 과 같이 「 $n$ 제곱」이라는 표현이 일반적이다.

지수가 -1인 거듭제곱 $b^{-1}$ 는 $1/b$ 이며, " $b$ 의 역수"라고 불린다. 일반적으로 지수가 음의 정수 $n$ 인 거듭제곱 $b^n$ 는 $1/b^{-n}$ 으로 정의된다.

거듭제곱은 임의의 실수 또는 복소수를 지수로 정의를 확장할 수 있다.

2. 1. 정수 제곱

실수

a

및 자연수

n

에 대하여,

a

의

n

제곱은 다음과 같이 정의된다.

:

a^n=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots a}_n

이는

a

를

n

번 반복하여 곱한 결과이며, 다음과 같은 재귀적 정의와 같다.

:

a^1=a

:

a^{k+1}=a^k\times a\qquad(k\in\mathbb N)

0이 아닌 실수

a

에 대하여,

a

의 0제곱은 다음과 같이 정의된다.

:

a^0=1

즉, 0이 아닌 실수의 0제곱은 항상 1이다. 0의 0제곱

0^0

은 정의하지 않거나, 부정형으로 정의한다.

0이 아닌 실수

a

및 음의 정수

-n

(

n

은 양의 정수)에 대하여,

a

의

-n

제곱은 다음과 같이 정의된다.

:

a^{-n}=\frac1{a^n}

이는

a

의

-n

제곱은, 우선 그 음의 정수의 절댓값인 양의 정수를 지수로 하여 거듭제곱을 구한 뒤, 다시 역수를 취한 결과이다. 0의 음의 정수 제곱은 정의되지 않지만, 어떤 경우에는 무한대(

\infty

)로 해석될 수 있다.

지수 법칙에 따르면, 밑이 0이 아닌 모든 정수 지수에 대해 다음 항등식들이 성립한다.^[1]

:

\begin{align}b^m \cdot b^n &= b^{m + n} \\\left(b^m\right)^n &= b^{m \cdot n} \\b^n \cdot c^n &= (b \cdot c)^n\end{align}

이항 정리를 통해 합의 거듭제곱을 일반적으로 피가수(summands)의 거듭제곱으로부터 계산할 수 있다.

:

(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.

하지만 이 공식은 피가수가 교환 가능할 때(즉,

ab=ba

)만 유효하며, 예를 들어

a

와

b

가 같은 크기의 정사각 행렬일 경우에는 이 공식을 사용할 수 없다.

음이 아닌 정수

m

과

n

에 대해,

n^m

의 값은

m

개의 원소를 가진 집합에서

n

개의 원소를 가진 집합으로의 함수의 수와 같다.

$n^m$	집합 $\{1, ..., n\}$ 의 원소로 구성된 가능한 $m$ -튜플
$0^5 = 0$	없음
$1^4 = 1$	(1, 1, 1, 1)
$2^3 = 8$	(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
$3^2 = 9$	(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
$4^1 = 4$	(1), (2), (3), (4)
$5^0 = 1$	()

2. 2. 유리수 제곱

지수가 유리수인 거듭제곱은 거듭제곱근을 사용하여 정의할 수 있다. 우선, 실수 a 및 양의 정수 n에 대하여

\sqrt[n]a

를 정의하기 위해 방정식

x^n=a

의 근을 생각한다. a가 0이 아닌 실수일 경우 서로 다른 복소근이 n개 존재한다. n이 홀수일 경우나, n이 짝수이며 a가 음이 아닌 실수일 경우, 서로 반수인 실근이 한 쌍 존재하며, 여기서 양의 실수인 근을

\sqrt[n]a

라 정의한다. n이 짝수이며 a가 음의 실수일 경우, 실근이 존재하지 않으므로,

\sqrt[n]a

를 정의하지 않는다.

유리수는 분모가 양의 정수인 기약 분수의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있으므로, 유리수 지수를

:

\frac mn\qquad(m,n\in\mathbb Z;\;n>0;\;\gcd\{m,n\}=1)

라 할 때, 이 거듭제곱은 다음과 같이 정의된다.

:

a^\frac mn=\sqrt[n]{a^m}

즉, 양의 유리수 제곱은 기약 분수 꼴의 분자를 지수로 하여 거듭제곱을 취한 뒤, 분모만큼 거듭제곱근을 취한 결과이다. 분모 n이 홀수일 경우 이 거듭제곱은 임의의 실수 밑 a에 대하여 정의된다. 짝수일 경우, 이 거듭제곱은 임의의 음이 아닌 실수 밑 a에 대하여 정의되며, 음의 실수 밑의 경우 정의되지 않는다.

다만, 이는 실숫값 이항 연산으로서의 정의이다. 즉,

a^\frac mn

은 단지 방정식

x^n=a^m

의 여러 개의 복소근 가운데 양의 실수인 하나이다. 만약 방정식

x^n=a^m

의 모든 복소근을 찾는 다가 함수로서 정의한다면, 이 거듭제곱은 모든 실수를 비롯한 모든 복소수 밑 a에 대하여 정의되며, 중근을 포함하여 n개의 (실수 또는 복소수 값의) '함숫값'을 갖는다.

위에서 아래로: $x^{1/8}$ , $x^{1/4}$ , $x^{1/2}$ , $x^1$ , $x^2$ , $x^4$ , $x^8$

만약 x가 음이 아닌 실수이고, n이 양의 정수라면,

x^{1/n}

또는

\sqrt[n]x

는 x의 유일한 음이 아닌 실수 n제곱근을 나타낸다.

만약 x가 양의 실수이고,

\frac pq

가 유리수이며, p와 q > 0가 정수라면,

x^{p/q}

는 다음과 같이 정의된다.

:

x^\frac pq= \left(x^p\right)^\frac 1q=(x^\frac 1q)^p.

만약 r이 양의 유리수라면,

0^r = 0

이다.

이러한 정의를 양의 실수가 아닌 밑으로 확장하는 데에는 문제가 있다. 예를 들어, 음의 실수는 실수 n제곱근을 가지는데, n이 홀수이면 음수이고, n이 짝수이면 실수 근이 없다.

2. 3. 실수 제곱

거듭제곱의 지수를 무리수 범위까지 확장하는 방법에는 두 가지가 있다. 어느 정의를 사용하든 지수가 유리수일 때, 유리수 제곱으로서의 정의와 실수 제곱으로서의 정의가 일치하는지 확인해야 하며, 이는 쉽게 증명할 수 있다.

양의 실수

a

와

x

에 대하여,

a

의

x

제곱은 다음과 같이 유리수 제곱의 근사를 통해 정의할 수 있다.

:

a^x=\lim_{\mathbb Q\ni q\to x}a^q

즉, 양의 실수의 실수 제곱은 유리수 지수가 실수 지수에 다다를 때 거듭제곱이 갖는 극한이다. 이는 다음 정의와 동치이다.

:

a^x=\sup_{q\in\mathbb Q\colon q

즉, 이는 실수 지수보다 작은 유리수를 지수로 하여 만든 거듭제곱들의 집합의 상한이다.

양의 실수의 실수 제곱을 지수 함수와 로그 함수를 사용하여 정의할 수도 있다. 먼저 실수 지수 함수

:

\mathbb R\to(0,+\infty)

:

x\mapsto e^x

는 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있으며, 이는 서로 동치이다.

:(수열의 극한)

e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n

:(거듭제곱 급수)

e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

또한 실수 로그 함수는 지수 함수의 역함수이다.

:

\ln=\exp^{-1}

이제 양의 실수의 실수 제곱을 정의할 수 있다. 양의 실수

a

와 실수

x

에 대하여,

a

의

x

제곱은 다음과 같다.

:

a^x=e^{x\ln a}

2. 4. 복소수 제곱

복소수 지수 함수와 복소수 로그 함수를 사용하여 복소수 제곱을 정의할 수 있다. 복소수 제곱 연산은 실수의 경우와 달리 연산 결과가 여러 값(여러 값)을 가지며, 밑이 음의 실수인 경우에도 정의할 수 있다.

0이 아닌 복소수

z

와 복소수

w

에 대하여,

z

의

w

제곱은 다음과 같이 정의된다.

:

z^w=e^{w\operatorname{Ln}z}

여기서,

복소수 지수 함수 $e^z$ 는 다음과 같이 정의된다.

::(수열의 극한)

e^z=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac zn\right)^n

::(거듭제곱 급수)

e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}

오일러 공식에 따라 복소수 지수 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

e^z=e^{\operatorname{Re}z}(\cos\operatorname{Im}z+i\sin\operatorname{Im}z)\qquad(z\in\mathbb C)

복소수 로그 함수 $\operatorname{Ln}z$ 는 복소수 지수 함수의 역함수이며, 다가 함수이다.

:

\operatorname{Ln}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z\qquad(z\in\mathbb C\setminus\{0\})

복소수 로그 함수가 다가 함수이므로, 복소수 거듭제곱 역시 다가 함수이다.

3. 성질

거듭제곱은 지수가 양의 정수일 때 밑이 몇 번 곱해지는지를 나타낸다. 예를 들어, $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$ 이다. 밑 3은 곱셈에 5번 나타나는데, 지수가 5이기 때문이다. 여기서 243은 '3의 5제곱' 또는 '3의 5승'이라고 읽는다.^[20]

정수 지수를 사용한 거듭제곱 연산은 기본적인 산술 연산으로부터 직접 정의될 수 있다. 곱셈의 결합 법칙에 의해 모든 양의 정수 m과 n에 대해 다음이 성립한다.

: $b^{m+n} = b^m \cdot b^n$

: $(b^m)^n=b^{mn}$

0이 아닌 수를 0 거듭제곱하면 1이 된다.^[21]^[1]

: $b^0=1$

$0^0$ 의 경우는 일반적으로 1 값을 할당하지만, 맥락에 따라 값이 달라질 수 있다. 자세한 내용은 0의 0제곱을 참조

음의 지수를 사용한 거듭제곱은 모든 정수 n과 0이 아닌 b에 대해 다음 항등식으로 정의된다.^[1]

: $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$

0을 음의 지수로 거듭제곱하는 것은 정의되지 않지만, 어떤 경우에는 무한대( $\infty$ )로 해석될 수 있다.^[22]

지수 법칙에 따르면, 밑이 0이 아닌 모든 정수 지수에 대해 다음 항등식이 성립한다.^[1]

: $\begin{align}b^m \cdot b^n &= b^{m + n} \\\left(b^m\right)^n &= b^{m \cdot n} \\b^n \cdot c^n &= (b \cdot c)^n\end{align}$

이항 정리를 통해 합의 거듭제곱을 계산할 수 있다.

: $(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}$

하지만 이 공식은 피가수가 교환 가능할 때(즉, $ab = ba$ )만 유효하다.

음이 아닌 정수 m과 n에 대해, $n^m$ 의 값은 m개의 원소를 가진 집합에서 n개의 원소를 가진 집합으로의 함수의 수와 같다. 이는 다음과 같이 표로 나타낼 수 있다.

$n^m$	집합 {1, ..., n}의 원소로 구성된 가능한 m-튜플
$0^5 = 0$	없음
$1^4 = 1$	(1, 1, 1, 1)
$2^3 = 8$	(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
$3^2 = 9$	(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
$4^1 = 4$	(1), (2), (3), (4)
$5^0 = 1$	()

곱셈군에서, G가 군이면, $x^n$ 은 모든 $x\in G$ 와 모든 정수 n에 대해 정의된다. 특정 원소 x의 모든 거듭제곱으로 구성된 군은 x에 의해 생성된 순환군이다.

환에서, 몇몇 영이 아닌 원소는 어떤 정수 n에 대해 $x^n=0$ 을 만족하는 경우가 있으며, 이러한 원소를 멱영원이라고 한다.

유한체는 곱셈, 덧셈, 뺄셈, 나눗셈이 정의되고 곱셈이 결합 법칙을 만족하며, 모든 0이 아닌 원소가 곱셈 역원을 갖는 대수적 구조이다. 디피-헬만 키 교환은 유한체에서 거듭제곱을 적용한 것으로 안전한 통신에 널리 사용된다.

3. 1. 연산 법칙

자연수

n

에 대해, 거듭제곱

a^n

(a는 실수)은 다음과 같이 정의된다.

:

a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n}

이는 곱셈 연산이 덧셈을 반복하는 것과 유사하다. 또한 정의에 따라, 다음 식이 성립한다.

$a^1 = a$
$a^b a^c = a^{b+c}$
$(a^n)^m = a^{nm}$
$(a^b)^c = (a^c)^b$
$a^c b^c = (ab)^c$
$a^m \div a^n = a^{m-n}$

:

a^5 = a \times a\times a\times a\times a = (a \times a\times a )\times(a \times a) = a^3 \times a^2 = a^{3+2} = a^5 = (a \times a) \times (a \times a\times a ) = a^{2+3} = a^5

:

\frac{a^5}{a^5} = \frac{a \times a\times a\times a\times a}{a \times a\times a\times a\times a} = \frac{\cancel{a} \times \cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a}}{\cancel{a} \times \cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a}} = \frac{1}{1}=1

:

\frac{a^5}{a^5} = a^{5-5}=a^0 =1

$(-a)^1 = -a$
$(-a)^2 = -a \cdot -a = +a^2$
$(-a)^3 = -a \cdot -a \cdot -a= -a^3$
$(-a)^0 = \frac{-a}{-a} = +1$

다음과 같은 귀납적 정의도 가능하다.

$a^1 = a$
$a^{n+1} = a \times a^n,\ n=1, 2, 3, \cdots$

거듭제곱의 정의를 반복적인 곱셈으로 나타내는 것은 귀납법을 사용하여 형식화할 수 있으며,^[20] 이 정의는 결합 법칙이 있는 경우 바로 사용할 수 있다.

기본 사례는 다음과 같다.

:

b^1 = b

그리고 재귀 관계는 다음과 같다.

:

b^{n+1} = b^n \cdot b.

곱셈의 결합 법칙은 모든 양의 정수 과 에 대해 다음을 의미한다.

:

b^{m+n} = b^m \cdot b^n

:

(b^m)^n=b^{mn}

앞서 언급했듯이, (0이 아닌) 수를 0 거듭제곱하면 1이 된다:^[21]^[1]

:

b^0=1.

이 값은 또한 공허한 곱 규칙에 의해 얻어지며, 이는 곱셈 연산을 가지는 모든 대수 구조에서 사용할 수 있으며, 이 곱셈 연산은 항등원을 갖는다. 이런 방식으로 다음 공식이 성립한다.

:

b^{m+n}=b^m\cdot b^n

이는

n=0

인 경우에도 성립한다.

의 경우는 논란의 여지가 있다. 정수 거듭제곱만 고려하는 맥락에서는 일반적으로 에 1 값을 할당하지만, 그렇지 않은 경우에는 값을 할당할지 여부와 할당할 값은 맥락에 따라 달라질 수 있다. 자세한 내용은 0의 0제곱을 참조

음의 지수를 사용한 거듭제곱은 모든 정수 과 0이 아닌 에 대해 다음 항등식으로 정의된다.

:

b^{-n} = \frac{1}{b^n}

.^[1]

0을 음의 지수로 거듭제곱하는 것은 정의되지 않지만, 어떤 경우에는 무한대(

\infty

)로 해석될 수 있다.^[22]

음의 지수를 사용한 거듭제곱에 대한 이러한 정의는 항등식

b^{m+n}=b^m\cdot b^n

을 음의 지수로 확장할 수 있게 해주는 유일한 정의이다(경우

m=-n

을 고려).

동일한 정의는 곱셈적 모노이드에서 가역 원소에 적용되며, 이는 연관 곱셈과 곱셈 항등원 1로 표시되는 대수 구조이다 (예: 주어진 차원의 정사각 행렬). 특히, 그러한 구조에서 가역 원소 의 역수는 표준적으로

x^{-1}

로 표시된다.

지수 법칙

다음 항등식들은 종종 '''지수 규칙'''이라고 불리며, 밑이 0이 아닌 모든 정수 지수에 대해 성립한다:^[1]

:

\begin{align}b^m \cdot b^n &= b^{m + n} \\\left(b^m\right)^n &= b^{m \cdot n} \\b^n \cdot c^n &= (b \cdot c)^n\end{align}

덧셈과 곱셈과 달리, 거듭제곱은 교환 법칙이 성립하지 않는다. 예를 들어,

2^3 = 8

이지만, 피연산자의 순서를 바꾸면 다른 값

3^2=9

가 나온다. 또한 덧셈과 곱셈과 달리, 거듭제곱은 결합 법칙이 성립하지 않는다. 예를 들어,

(2^3)^2 = 8^2 = 64

이지만,

2^{(3^2)} = 2^9 = 512

이다. 괄호가 없는 경우, 위첨자 표기법의 연산 순서에 대한 일반적인 규칙은 위에서 아래로(또는 '오른쪽' 결합)이고, 아래에서 위로^[46]^[47]^[48](또는 '왼쪽' 결합)이 아니다. 즉,

:

b^{p^q} = b^{\left(p^q\right)}

이는 일반적으로

:

\left(b^p\right)^q = b^{p q}

와 다르다.

이항 정리를 통해 합의 거듭제곱을 일반적으로 피가수(summands)의 거듭제곱으로부터 계산할 수 있다.

:

(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}

하지만 이 공식은 피가수가 교환 가능할 때(즉,

ab = ba

)만 유효하며, 이는 피가수가 대수 구조의 원소이고 해당 구조가 교환 법칙을 만족하는 경우에 성립한다. 그렇지 않은 경우, 예를 들어 와 가 같은 크기의 정사각 행렬일 경우, 이 공식을 사용할 수 없다. 따라서 컴퓨터 대수학에서 정수 지수를 포함하는 많은 알고리즘은 지수의 밑이 교환 가능하지 않은 경우 변경되어야 한다. 일부 범용 컴퓨터 대수 시스템은 교환 불가능한 밑을 갖는 거듭제곱에 대해 다른 표기법(때로는 대신 )을 사용하며, 이를 '''비가환적 거듭제곱'''이라고 한다.

3. 2. 다가성

복소수 제곱 연산은 여러 개의 값을 가질 수 있는 다가 함수(multivalued function)이다.^[1] 이는 복소수 지수 함수가 가역 함수가 아니기 때문이다. 0이 아닌 복소수

z

의

w

제곱은 다음과 같이 정의된다.

:

z^w=e^{w\operatorname{Ln}z}

여기서

\operatorname{Ln}z

는 복소수 로그 함수로, 다가 함수이므로

z^w

역시 여러 값을 가질 수 있다.

이러한 다가성 문제를 해결하기 위해 주치(principal value)를 선택한다. 복소수

z

를 극형식

z = \rho e^{i\theta}

(여기서

\rho

는

z

의 절댓값,

\theta

는 편각)으로 표현했을 때,

-\pi < \theta \le \pi

를 만족하는

\theta

값을 갖는

z

의 제곱근을 주요 근으로 선택한다.

주요 근은 실수부가 가장 큰 제곱근을 선택하며, 만약 두 개가 존재할 경우 허수부가 양수인 근을 선택한다. 이 함수는 음의 실수를 제외한 복소 평면에서 연속이며, 양의 실수에 대해서는 일반적인 제곱근과 같다.

복소수

w

가 유리수인 경우,

z^w

는 유한 개의 값을 갖지만,

w

가 유리수가 아닐 경우에는 무한히 많은 값을 가질 수 있다.

4. 역사

거듭제곱은 역사적으로 매우 오래전부터 나타났다. 기원전 16세기경에 제작된 점토판에는 제곱수, 제곱근, 세제곱근 표와 피타고라스 정리에 대한 기록이 남아있다.^[61] 이집트, 인도, 그리스 등에서도 거듭제곱 개념이 나타난다. 지수 법칙에 대한 직접적인 언급은 없지만, 거듭제곱을 뜻하는 영어 단어 power^영어는 유클리드가 직선의 제곱을 나타낼 때 사용한 단어에서 유래했다.^[61]

원론에는 지수 법칙과 관련된 내용이 나오지만, 당시에는 수식이 발달하지 않아 모두 말로 표현되었다.

4. 1. 어원

"지수"(영어: exponent)라는 용어는 "내놓다"를 의미하는 ''exponere''의 라틴어 현재 분사 ''exponentem''에서 유래되었다.^[4] "거듭제곱"(영어: power)이라는 용어는 고대 그리스어 δύναμις (''dúnamis'', 여기서 "확대"^[5])를 오역한 것으로^[5]^[6], 그리스 수학자 유클리드가 히포크라테스 오브 키오스를 따라 선의 제곱을 지칭하는 데 사용했다.^[17]^[7]

거듭제곱의 어깨에 쓰여지는 숫자를 멱지수(冪指數)라고 부르는데^[59], 멱지수를 의미하는 용어로 영어에서는 종종 exponent(지수)와 index(지표)가 동의어로 사용된다. 원래는 1544년에 미하엘 슈티펠이 exponens^la를 조어했고^[60], 이에 대해 1586년에 라자루스 쇼너가 수학자 페트루스 라무스의 서적에 대한 보충 설명으로 index^la를 (슈티펠이 exponens라고 부른 것과 같은 것을 지칭하는 의미로) 사용한^[61] 것이 각 용어의 어원이라고 여겨진다.

4. 2. 고대

아르키메데스는 그의 저서 ''모래 계산자''에서 지수 법칙 10^''a'' · 10^''b'' = 10^''a''+''b''를 증명했는데, 이는 10의 거듭제곱을 다루는 데 필수적인 것이었다.^[8] 그는 이어서 10의 거듭제곱을 사용하여 우주에 포함될 수 있는 모래알의 수를 추정했다.

4. 3. 이슬람 황금 시대

9세기 페르시아 수학자 알콰리즈미는 제곱에 대해 مَال (''māl'', "소유", "재산")이라는 용어를 사용했는데, 이는 "당시와 그 이전 시대의 대부분의 수학자들처럼, 제곱수를 특히 토지의 면적, 즉 재산의 묘사로 생각했기 때문"이다.^[14] 그리고 كَعْبَة (''Kaʿbah'', "정육면체")는 세제곱을 나타내는 데 사용되었으며, 이후 이슬람 수학자들은 15세기까지 이를 수학적 표기법에서 각각 문자 ''밈'' (m)과 ''카프'' (k)로 표기했는데, 이는 아불 하산 이븐 알리 알 칼라사디의 저서에서 볼 수 있다.^[9]

4. 4. 15-18세기

니콜라 추케는 15세기에 지수 표기법의 한 형태를 사용했다.^[10] 16세기에는 헨리쿠스 그라메테우스와 미하엘 슈티펠이 이를 사용했다. 1544년 미하엘 슈티펠은 '지수'라는 단어를 만들었다.^[12]^[13] 16세기에는 로버트 레코드가 제곱, 세제곱, 젠지젠지크(네제곱), 설리드(다섯제곱), 젠지큐브(여섯제곱), 세컨드 설리드(일곱제곱), 젠지젠지젠지크(여덟제곱)라는 용어를 사용했다. '바이드레이트'라는 용어도 네제곱을 지칭하는 데 사용되었다.^[14]

1636년, 제임스 흄은 저서 《L'algèbre de Viète》에서 현대적 표기법과 유사한 형태를 사용했다.^[15] 17세기 초, 르네 데카르트는 저서 《라 지오메트리》에서 현대적 지수 표기법의 첫 번째 형태를 소개했는데, 이 표기법은 책 I에서 처음 등장했다.^[16]

일부 수학자들(데카르트 등)은 거듭제곱을 2보다 큰 지수에만 사용하고 제곱은 반복된 곱셈으로 표현하는 것을 선호했다.

4. 5. 20세기

1938년 콘라트 추제는 자신의 컴퓨터 Z1에 부동 소수점 산술을 도입했다.^[19] 하나의 레지스터는 선두 숫자의 표현을 포함했고, 다른 하나는 10의 지수를 나타냈다.^[19] 1914년 레오나르도 토레스 케베도는 숫자의 부동 소수점 표현을 제안하는 '자동화에 관한 에세이'를 기고했다.^[19] 1946년 벨 연구소 컴퓨터와 함께 더 유연한 십진 부동 소수점 표기법이 도입되었다.^[19] 결국 교육자와 엔지니어들은 과학적 표기법을 채택했고, 이는 비율 척도에서 크기 순서에 대한 일반적인 언급과 일치한다.^[19]

5. 응용

거듭제곱은 기수법과 진수 체계의 기반이 된다. 멱 연산은 항등원을 갖는 이항 연산이 정의되는 대수 구조인 모노이드에서 정의할 수 있다.^[64] 모노이드에서 자연수 멱은 귀납적으로 정의되며, 특히 0제곱은 "항등원을 갖는다"는 조건으로 의미를 갖는다.

2의 정수 거듭제곱은 컴퓨터 과학에서 중요하다. 양의 정수 거듭제곱 $2^n$ 은 ''n''-비트 이진수의 가능한 값의 개수를 나타낸다. 예를 들어 바이트는 $2^8 = 256$ 개의 값을 가질 수 있다.^[65] 이진법은 모든 수를 2의 거듭제곱의 합으로 표현한다.

$f(x) = cx^n$ ( $c \ne 0$ ) 형태의 실수 함수는 멱함수라고 부른다.^[23] $n$ 이 정수일 때 짝수와 홀수 두 가지로 나뉜다. 짝수 멱함수는 우함수, 홀수 멱함수는 기함수이다.

5. 1. 기수법

거듭제곱의 성질은 기수법과 진수 체계의 기반이 된다.

:

\;\;a^n = x

일 때,

:

a^n

의 밑은

a

이고, 지수는

n

, 진수는

x

이다.

멱 연산은 임의의 모노이드에서 정의할 수 있다.^[64] 모노이드는 항등원을 갖는 반군, 즉 적당한 집합 기반으로 합성 또는 곱셈이라고 하는 이항 연산이 정의되는 대수 구조로서, 그 곱셈이 결합 법칙을 만족하고, 또한 곱셈 항등원 갖는 것을 말한다. 모노이드에서의 자연수 멱은

$x^0:=1_X\quad (\forall x\in X),$
$x^{n+1}:=x^n \times x\quad (x\in X,\,n\in \mathbb{Z}_{\ge 0})$

으로 귀납적으로 정의할 수 있다(앞의 식의 오른쪽 변(의 1)은 의 항등원, 뒤의 식의 왼쪽 변의 1은 자연수 1이며, 당연하지만 이들은 서로 다른 것이다). 특히 앞의 식(영승)은 "항등원을 갖는다"에 의해 비로소 의미를 갖는 약속임을 주의해야 한다(공허곱도 참조).

모노이드의 예에는 군이나 환(의 곱셈 모노이드)과 같은 수학적으로 중요한 많은 구조가 포함되며, 더 구체적인 예로 행렬환이나 체의 경우에 후술한다.

5. 2. 컴퓨터 과학

2의 정수 거듭제곱은 컴퓨터 과학에서 중요하다. 양의 정수 거듭제곱

2^n

은 ''n''-비트 정수 이진수에 대한 가능한 값의 개수를 제공한다. 예를 들어, 바이트는

2^8 = 256

개의 서로 다른 값을 가질 수 있다.^[65] 이진법은 모든 수를 2의 거듭제곱의 합으로 표현하며, 이를 이진 소수점으로 구분된 0과 1의 시퀀스로 나타낸다. 여기서 1은 합에 나타나는 2의 거듭제곱을 나타낸다. 지수는 이 1의 위치에 의해 결정된다. 음이 아닌 지수는 소수점 왼쪽에서 1의 순위(0부터 시작)이고, 음의 지수는 소수점 오른쪽에서 순위에 의해 결정된다.

5. 3. 멱함수

f(x) = cx^n

형태의 실수 함수 (여기서

c \ne 0

)는 멱함수라고 불린다.^[23]

n

이 정수이고

n \ge 1

일 때,

n

이 짝수인 경우와 홀수인 경우 두 가지로 나뉜다.

일반적으로

c > 0

일 때,

n

이 짝수이면

f(x) = cx^n

은

x

가 증가함에 따라 양의 무한대로,

x

가 감소함에 따라 양의 무한대로 향한다. 짝수 멱함수 그래프는

y=cx^2

의 모양과 비슷하며,

n

이 증가하면 중앙에서 더 평평해진다.^[24] 이러한 대칭(

f(-x)= f(x)

)을 갖는 함수는 우함수라고 한다.

n

이 홀수일 때,

f(x)

의 점근선적 거동은 양의

x

에서 음의

x

로 반전된다.

c > 0

일 때,

f(x) = cx^n

은

x

가 증가함에 따라 양의 무한대로 향하지만,

x

가 감소함에 따라 음의 무한대로 향한다. 홀수 멱함수 그래프는

y=cx^3

의 모양과 비슷하며,

n

이 증가하면 중앙에서 더 평평해지고

n=1

인 직선에서는 평평함이 사라진다. 이러한 대칭(

f(-x)= -f(x)

)을 갖는 함수는 기함수라고 한다.

c < 0

일 때는 각 경우에서 반대 점근선적 거동이 적용된다.^[24]

6. 프로그래밍 언어에서의 구현

프로그래밍 언어는 일반적으로 지수를 위첨자로 표현하는 기능을 지원하지 않기 때문에, 거듭제곱 연산을 위해 연산자를 중위 연산자로 사용하거나 함수 호출 형태로 표현한다. 지수를 나타내는 가장 일반적인 연산자 기호는 캐럿(^)이다. ASCII의 초기 버전에는 지수 표현을 위해 위쪽 화살표 기호(↑)가 있었으나, 1967년에 캐럿으로 대체되면서 프로그래밍 언어에서 널리 사용되게 되었다.^[39]

다양한 프로그래밍 언어에서 사용되는 거듭제곱 표현 방식은 다음과 같다.

표현 방식	사용 언어
`x ^ y`	AWK, BASIC, J, MATLAB, 울프럼 언어(Mathematica), R, 마이크로소프트 엑셀, Analytica, TeX (및 파생), TI-BASIC, bc (정수 지수), Haskell (음이 아닌 정수 지수), Lua, 및 대부분의 컴퓨터 대수 시스템.
`x y`	포트란 문자 집합은 소문자나 `+-*/()&=.,'` 이외의 구두점을 포함하지 않았으므로 지수를 위해 ``를 사용했다.^[45]^[40] (초기 버전에서는 `a xx b`를 사용했다.^[44]) Ada, Z 셸, Korn 셸, Bash, COBOL, CoffeeScript, 포트란, FoxPro, Gnuplot, Groovy, 자바스크립트, OCaml, ooRexx, F#, Perl, PHP, PL/I, 파이썬, Rexx, 루비, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Mercury, Haskell (부동 소수점 지수), 튜링, VHDL.
`x ↑ y`	Algol 참조 언어, 코모도어 BASIC, TRS-80 레벨 II/III BASIC.^[41]^[42]
`x ^^ y`	Haskell (분수 밑, 정수 지수), D.
`x⋆y`	APL.

대부분의 중위 지수 연산자가 있는 프로그래밍 언어에서, 이것은 오른쪽 결합이다. 즉, `a^b^c`는 `a^(b^c)`로 해석된다.^[43] 이는 `(a^b)^c`가 `a^(b*c)`와 같아서 덜 유용하기 때문이다. 일부 언어에서는 왼쪽 결합성을 가지며, 특히 Algol, MATLAB, 마이크로소프트 엑셀 수식 언어에서 그렇다.

함수 표기법을 사용하는 경우도 있다.

표현 방식	사용 언어
`(expt x y)`	Common Lisp.
`pown x y`	F# (정수 밑, 정수 지수).

일부 언어에서는 표준 라이브러리의 일부로 거듭제곱 기능을 제공한다.

표현 방식	사용 언어
`pow(x, y)`	C, C++ ( `math` 라이브러리).
`Math.Pow(x, y)`	C#.
`math:pow(X, Y)`	Erlang.
`Math.pow(x, y)`	자바.
`[Math]::Pow(x, y)`	PowerShell.

정적으로 타입 지정되고 타입 안전성을 우선시하는 러스트와 같은 일부 언어에서 지수는 다양한 방법을 통해 수행된다.

표현 방식	조건
`x.pow(y)`	`x`와 `y`가 정수인 경우
`x.powf(y)`	`x`와 `y`가 부동 소수점 숫자인 경우
`x.powi(y)`	`x`가 float이고 `y`가 정수인 경우

컴퓨터에서 지수를 자연수로 하는 거듭제곱을 효율적으로 수행하는 연산 방법으로 '''이진법''' (이진수법)이라고 불리는 연산 방법이 있다.

RSA 암호나 확률적 소수 판별법인 페르마 검사 등에서는 거대한 자연수를 지수로 하는 거듭제곱을 수행한다. 이 방법을 사용하면 지수가 아무리 거대하더라도 기껏해야 그 비트 수의 2배 횟수의 곱셈으로 산출하는 것이 가능하며, 반복해서 곱하는 것보다 훨씬 효율이 좋아진다. 특히 RSA 암호나 페르마 검사 등에서 각 연산 후에 필요하게 되는 나머지 연산 (일반적으로 가장 계산 시간이 많이 소요됨) 횟수를 줄이는 효과가 있다.

일반적으로 컴퓨터에게 표준적인 (32비트 컴퓨터라면 약 4억까지) 자연수나 부동 소수점을 밑으로 하는 경우에는 하위 자릿수부터 계산하는 방식을, 앞서 언급한 바와 같이 거대한 자연수를 밑으로 하는 경우에는 상위 자릿수부터 계산하는 방식을 사용하면 효율이 좋다.

이진법은 다음 성질을 이용한다.

: $(a^x)^2 = a^{2x}$

예를 들어 $(a^8)^2 = a^{16}$ 이다. 따라서 `a` (즉, $a^1$ )부터 시작하여 제곱을 반복하면 다음과 같다.

: $a^1 \to a^2 \to a^4 \to a^8 \to a^{16} \to a^{32} \to \cdots$

이러한 수들 중에서 적절한 것을 선택하여 곱하면 임의의 거듭제곱을 빠르게(즉, 적은 곱셈 횟수로) 계산할 수 있다^[69]. 예를 들어 $a^{43}$ 은 지수 법칙에 의해,

: $a^{43} = a^{32+8+2+1} = a^{32} \times a^8 \times a^2 \times a^1$

으로 계산할 수 있다.

컴퓨터의 알고리즘으로 쓰면 다음과 같다.

# 지수를 `n`으로 하고, 제곱해 가는 값 `p := a`, 결과값 `v := 1`로 한다.

# `n`이 0이면, `v`를 출력하고 종료한다.

# `n`의 최하위 자릿수가 1이면 `v := v * p`로 한다.

# `n := [n/2]`로 하고(소수점 버림), `p := p * p`로 하여 2로 돌아간다.

정수의 내부 표현이 이진법인 컴퓨터라면, 4에서 나눗셈 대신에 시프트 연산을 사용할 수 있다.

이 방식은 `a`가 부동 소수점 수이거나 최종 결과가 레지스터에 들어가는 것을 알 때 효율적이다. 또한 곱셈에 몽고메리 곱셈 등을 사용하여 멱승 나머지를 계산하는 경우에도 이 방식으로 충분한 효율을 얻을 수 있다.

다음과 같은 성질을 사용한다.

: $a^{2x} = (a^x)^2$

여기에 성질 $a^{x+1} = a^x \cdot a$ 를 결합하면, 다음 관계가 성립한다.

: $a^{2x+1} = ( a^x )^2 \cdot a$

지수가 짝수인지 홀수인지에 따라 이 두 식을 적절히 사용하며, 지수를 순차적으로 약 1/2로 줄여나갈 수 있다.

컴퓨터 알고리즘으로 나타내면 다음과 같다.

: 지수 `n` 의 이진 표기를 `n`으로 하고, `n`의 최하위 자릿수를 `n[0]`, 최상위 자릿수를 `n[m]`, 최하위에서부터 `k`번째 자릿수를 `n[k]`로 표기한다.

# 결과값 `v := 1`로 하고,

# `k := m`으로 한다(최상위).

# `v := v * v`

# `n[k]`가 1이면 `v := v * a`로 한다.

# `k := k - 1`

# `k ≧ 0` 이면 3.으로 돌아간다.

이 방식에서는, 4. 에서의 곱수가 항상 `a` 이므로, 하위 자릿수부터 계산하는 방식에 비해 곱수의 자릿수가 작아져, 계산 시간이 단축된다. 이는 특히, 레지스터에 담을 수 없는 거대한 자연수를 다룰 경우에 현저하게 나타난다. 단, (RSA 암호처럼) 거듭제곱의 나머지를 계산하는 경우로서 법의 크기가 `a` 와 동일한 정도라면, 이 효과는 없다.

또한 4. 에서의 곱수가 항상 `a` 이므로, 미리 `a`가 상수(2나 10 등, 또는 디피-헬만 키 공유의 생성원 `g` 등)라는 것을 알고 있는 경우에는, 4. 의 곱셈을 최적화할 수 있다.

거대한 자연수의 범용적인 멱승 루틴(`a`가 작을 가능성이 높다)이나, `a`가 작거나 상수임을 알고 있는 경우, 멱승의 나머지를 계산하는 경우로서 몽고메리 연산을 사용하지 않고 별도로 나머지를 계산하는 경우, 수를 유지하는 비용이 높은 경우 등, 지수를 이진 표기하는 비용 이상의 효율을 얻을 수 있는 경우에 선택된다.

참조

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