열대 기하학

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

열대 기하학은 다양한 수학 분야의 아이디어를 결합한 것으로, 열대 반환을 기반으로 하는 기하학적 연구 분야이다. 헝가리 출신 브라질 컴퓨터 과학자 임레 시몬을 기리기 위해 명명되었으며, 대수 기하학, 열거 기하학, 그래프 이론 등과 관련되어 있다. 열대 다항식, 열대 다양체, 열대 곡선 등의 개념을 다루며, 카프라노프 정리와 열대 리만-로흐 정리 등과 같은 중요한 정리가 존재한다. 금융, 경제, 신경망, 최적화 문제 등 다양한 분야에 응용되며, 끈 이론 연구에도 활용된다.

2. 역사

열대 해석학의 기본 아이디어는 여러 분야의 수학자들이 동일한 표기법을 사용하여 독자적으로 개발했다.^[29] 열대 기하학의 중심 아이디어는 여러 초기 작업에서 다양한 형태로 나타났다. 예를 들어 빅토르 파블로비치 마슬로프는 적분 과정의 열대 버전을 도입했고, 해밀턴-야코비 방정식의 르장드르 변환 해가 열대적인 선형 연산이라는 사실을 알아냈다.^[30] 그러나 이론의 기본 정의를 통합하려는 노력은 1990년대 후반에 이르러서야 이루어졌다. 이는 막심 콘체비치의 아이디어와 Grigory Mikhalkin^[31]의 작업을 사용한 열거 대수기하학에의 응용을 통해 동기가 부여되었다.

열대라는 형용사는 이 분야에서 연구한 헝가리 태생의 브라질 컴퓨터 과학자 Imre Simon을 기리기 위해 프랑스 수학자들이 만들었다. 장에릭 팽은 이 단어가 Dominique Perrin에 의해 만들어졌다고 하며,^[32] 시몬 자신은 이 단어가 Christian Coffrut에 의해 만들어졌다고 한다.^[33]

3. 대수학 배경

열대 기하학은 열대 반환을 기반으로 한다. 열대 반환은 관례에 따라 최소 또는 최댓값을 사용하여 두 가지 방식으로 정의된다.^[29]^[30]^[31]^[32]^[33]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7] 열대 반환의 연산은 값매김 체에서 덧셈과 곱셈에 따라 값매김이 어떻게 작용하는지 보여준다.

3. 1. 최소 열대 반환

'''최소 열대 반환'''(min tropical semiring^영어)은 연산

x \oplus y = \min\{x, y \}

,

x \otimes y = x + y

를 갖는 반환

(\R \cup \{+\infty\}, \oplus, \otimes)

이다.

\oplus

와

\otimes

은 각각 '''열대 덧셈'''과 '''열대 곱셈'''이라고 한다.

\oplus

에 대한 항등원은

+\infty

이고,

\otimes

에 대한 항등원은 0이다.^[29]^[30]^[31]^[32]^[33]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]

3. 2. 최대 열대 반환

최대 열대 반환(max tropical semiring^영어)은 연산

x \oplus y = \max\{x, y \}

,

x \otimes y = x + y

을 갖는 반환

(\R \cup \{-\infty\}, \oplus, \otimes)

이다.

\oplus

에 대한 항등원은

-\infty

이고,

\otimes

에 대한 항등원은 0이다.

최소 열대 반환과 최대 열대 반환은 동형 사상

x \mapsto -x

에 의해 동형이다. 일반적으로 둘 중 하나를 선택하고 열대 반환으로 부른다. 관례는 저자와 분야에 따라 다르다. 일부는 '최소' 규칙을 사용하고 일부는 '최대' 규칙을 사용한다.^[29]

3. 3. 최소 열대 반환과 최대 열대 반환의 관계

'''최소 열대 반환'''(min tropical semiring^영어)은 연산

x \oplus y = \min\{x, y \}

,

x \otimes y = x + y

을 갖는 반환

(\mathbb{R} \cup \{+\infty\}, \oplus, \otimes)

이다.

:

연산

\oplus

,

\otimes

은 각각 '''열대 덧셈'''과 '''열대 곱셈'''이라고 한다.

\oplus

에 대한 항등원은

+\infty

이고,

\otimes

에 대한 항등원은 0이다.

'''최대 열대 반환'''(max tropical semiring^영어)은 연산

x \oplus y = \max\{x, y \}

,

x \otimes y = x + y

을 갖는 반환

(\mathbb{R} \cup \{-\infty\}, \oplus, \otimes)

이다.

:

\oplus

에 대한 항등원은

-\infty

이고,

\otimes

에 대한 항등원은 0이다.

최소 열대 반환과 최대 열대 반환은 동형 사상

x \mapsto -x

에 의해 동형이다. 일반적으로 둘 중 하나를 선택하고 열대 반환으로 부른다. 관례는 저자와 분야에 따라 다르다. 일부는 '최소' 규칙을 사용하고 일부는 '최대' 규칙을 사용한다.^[29]

3. 4. 값매김 체

열대 반환의 연산은 값매김 체에서 덧셈과 곱셈에 따라 값매김이 어떻게 작용하는지 모사한다. 열대 기하학에서 발생하는 몇 가지 일반적인 값매김 체(최소 규칙 포함)는 다음과 같다.

$\Q$ 또는 $\Complex$ 와 자명한 값매김: 모든 $a \ne 0$ 에 대해 $v(a) = 0$ .
$\Q$ 또는 p진 값매김을 통한 확장: $p$ 와 서로소인 정수 $b$ 에 대해 $v_p(p^n a/b) = n$ .
로랑 급수의 체 $\Complex(\!(t)\!)$ (정수 거듭제곱) 또는 (복소 계수) 퓌죄 급수의 체 $\Complex\{\!\{t\}\!\}$ 와 급수에 나타나는 $t$ 의 가장 작은 지수 값매김.

4. 열대 다항식

'''열대 다항식'''(tropical polynomial^영어)은 유한한 수의 단항식의 열대 합으로 표현될 수 있는 함수 $F\colon \R^n\to \R$ 이다. 단항식은 상수와 변수 $X_1,\ldots, X_n$ 의 열대 곱 또는 몫이다. 열대 다항식 ''F''는 변수가 정수 계수를 갖는 아핀 선형 함수의 유한 집합의 최솟값이므로 오목, 연속 및 조각별 선형이다.^[34]

: $\begin{align} F(X_1,\ldots,X_n) &= \left(C_1 \otimes X_1^{\otimes a_{11}} \otimes \cdots \otimes X_n^{\otimes a_{n1}}\right) \oplus \cdots \oplus \left(C_s \otimes X_1^{\otimes a_{1s}} \otimes \cdots \otimes X_n^{\otimes a_{ns}}\right)\\&= \min \{C_1+a_{11}X_1+\cdots+a_{n1}X_n,\; \ldots,\; C_s+a_{1s}X_1+\cdots+a_{ns}X_n\}. \end{align}$

값매김 체 ''K''의 로랑 다항식 환 $K[x_1^{\pm 1},\ldots ,x_n^{\pm 1}]$ 에서 다항식 ''f'' 가 주어졌을 때, ''f'' 의 '''열대화'''(tropicalization^영어)는 덧셈과 곱셈을 열대 덧셈과 열대 곱셈으로 바꾸고 상수를 그 값매김으로 바꾸어 얻은 열대 다항식이다. ''f''의 열대화는 $\operatorname{Trop}(f)$ 으로 표기한다. 즉, $A_1,\cdots,A_s \in \Z^n$ 에 대해 $f = \sum_{i=1}^s c_i x^{A_i}$ 의 열대화는 $\operatorname{Trop}(f) = \bigoplus_{i=1}^s v(c_i) \otimes X^{\otimes A_i}$ 이다.

열대 다항식 ''F'' 가 미분 불가능한 점의 집합을 '''열대 초표면'''(tropical hypersurface^영어)이라고 한다. ''F''의 열대 초표면은 다항식의 영집합과 비슷하게 $\mathrm{V}(F)$ 으로 표기한다. $\mathrm{V}(F)$ 는 ''F'' 의 항 중 최소값이 두 번 이상 달성되는 점의 집합이다.^[35]

$\mathbb{R} \cup \{\infty\}$ 에 다음 연산을 정의한다.

: $x \oplus y = \min\{\, x, y \,\},$

: $x \otimes y = x + y$

위 연산은 ∞를 영원으로, 0을 단위원으로 하는 가환 멱등반환 $(\mathbb{R} \cup \{\infty\}, \oplus, \otimes)$ 를 정의하며, 이를 '''트로피컬 반환'''(또는 min-plus 대수)이라고 한다. 트로피컬 반환 상의 다항식을 '''트로피컬 다항식'''이라고 하며, 그 함수의 미분 불가능한 점을 트로피컬 다항식의 영점이라고 한다.

열대 다항식은 신입생의 꿈(freshman's dream) 정리가 항상 성립하는 등 일반적인 다항식과는 다른 특징을 가진다.

4. 1. 열대 대수학의 기본정리

f(x)

를 1변수

x

에 대한 열대 다항식이라고 할 때,

f(x)

는 동등한 열대 다항식으로 치환 가능하고, 이 동등한 열대 다항식들 중 열대 일차 다항식들만으로 인수분해가 가능한 것이 존재한다. 즉, 모든 열대 다항식은 동등한 열대 다항식으로 치환되고, 이 중 적어도 하나는 열대 일차식들의 열대 곱셈으로 표현된다. 이를 fundamental theorem of tropical algebra|열대 대수학의 기본정리^영어라고 한다.^[8]

$f(x) = x^{\otimes 2}\oplus 7 \otimes x\oplus 21$ 로 두면, $f(x) = x^{\otimes 2}\oplus 7 \otimes x\oplus 21 = (x\oplus 7)\otimes(x\oplus 14)$ 로 인수분해된다. 즉, 2차식이 1차식 두 개로 인수분해가 가능하다.
$f(x) = x^{\otimes 2}\oplus 21 \otimes x\oplus 7$ 로 두자. 이 경우에는 바로 인수분해를 할 수 없고, 동등한 열대 다항식으로 바꿔주는 작업이 필요하다. 동등한 열대 다항식으로 $f(x)$ 를 치환하면, $\hat{f}(x) = x^{\otimes 2}\oplus 21 \otimes x\oplus 7 = x^{\otimes 2} \oplus 7$ 이 된다. 그런데 신입생의 꿈(freshman's dream)은 열대 다항식에서 항상 성립하므로, $\hat{f}(x) = x^{\otimes 2}\oplus 21 \otimes x\oplus 7 = x^{\otimes 2} \oplus 7 = (x\oplus \frac{7}{2})^{\otimes 2}$ 가 성립한다. 이 경우는 위의 경우와 다르게 주어진 열대 다항식을 동등한 열대 다항식으로 치환하는 과정이 고려되었다.

5. 열대 다양체

열대 분석의 기본 아이디어는 여러 분야에서 연구하는 수학자들에 의해 독립적으로 개발되었다.^[2] 열대 기하학의 핵심 아이디어는 여러 초기 연구에서 다양한 형태로 나타났다. 예를 들어, 빅토르 파블로비치 마슬로프는 적분 과정의 열대 버전을 도입했으며, 르장드르 변환과 해밀턴-야코비 방정식의 해가 열대적인 의미에서 선형 연산임을 알아냈다.^[3] 1990년대 후반에 이르러서야 세는 대수 기하학에의 적용에 동기 부여를 받은 막심 콘체비치^[4]와 그리고리 미할킨^[5] 등의 연구를 통해 이론의 기본적인 정의를 통합하려는 노력이 이루어졌다.

"열대"라는 형용사는 이 분야에 대해 글을 쓴 헝가리 출신의 브라질 컴퓨터 과학자 임레 시몬을 기리기 위해 프랑스 수학자들이 만들었다. 장에릭 팽은 이 단어가 도미니크 페랭에 의해 만들어졌다고 하며,^[6] 시몬은 이 단어가 크리스티앙 쇼프루에 의해 만들어졌다고 한다.^[7]

대수다양체 ''X''가 대수적 토러스 $(K^{\times})^n$ 에 속할 때, ''X''의 ''열대적 다양체''(tropical variety) 또는 ''열대화''(tropicalization)는 $\operatorname{Trop}(X)$ 로 표기하며, $\R^n$ 의 부분 집합이다.

5. 1. 정의

대수다양체 ''X''의 열대 다양체 또는 ''X''의 열대화는

\operatorname{Trop}(X)

로 표기하는

\R^n

의 부분집합이고, 여러 가지 방법으로 정의될 수 있다. 이러한 정의의 동등성을 '''열대 기하학의 기본 정리'''(fundamental theorem of tropical geometry^영어)라고 한다.^[35]

\R^n

의 벡터

\mathbf{w}

를 선택하면,

K[x_1^{\pm 1},\ldots,x_n^{\pm1}]

의 단항식 항에서

\R

으로의 사상이 정의된다. 로랑 다항식

f=m_1+\cdots+m_s

에 대해, ''f''의 ''초형식(initial form)''은

\operatorname{Trop}(m_i)(\mathbf{w})

가 최소인 ''f''의 항

m_i

의 합으로 정의된다. 아이디얼

\mathrm{I}(X)

에 대한,

\mathbf{w}

에 대한 ''초 아이디얼(initial ideal)''은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{in}_{\mathbf{w}}\mathrm{I}(X)=(\operatorname{in}_{\mathbf{w}}(f):f\in\mathrm{I}(X))

.

그러면

\operatorname{Trop}(X) =\{\mathbf{w}\in\R^n:\operatorname{in}_{\mathbf{w}}\mathrm{I}(X)\neq(1)\}

로 정의한다. 이는

\operatorname{in}_{\mathbf{w}}\mathrm{I}(X)

가 단항식을 포함하지 않는 가중치 벡터의 집합과 같다.

''K''가 자명한 값을 가질 때,

\operatorname{in}_{\mathbf{w}}\mathrm{I}(X)

는 가중치 벡터

\mathbf{w}

에 의해 주어진 단항식 순서에 대한

\mathrm{I}(X)

의 초 아이디얼이다. 따라서

\operatorname{Trop}(X)

는

\mathrm{I}(X)

의 그뢰브너 팬의 부분 팬이다.

\R^n

의 집합 ''V''가 순수 차원 ''d''의 가중 다면체 복합체의 지지이며, "영-장력 조건"을 만족하고 코차원 1에서 연결되어 있으면 기약 열대 다양체이다. ''d''가 1일 때, 영-장력 조건은 각 정점 주위에서 나가는 변의 가중 합이 0과 같다는 것을 의미한다. 더 높은 차원의 경우, 차원이

d-1

인 각 셀 주위에서 셀의 아핀 덮개를 나눈 후에 합이 계산된다.^[8] ''V''가 코차원 1에서 연결되어 있다는 것은 차원 ''d'' 셀에 있는 두 점에 대해

d-1

보다 작은 차원의 셀을 통과하지 않는 경로가 있다는 것을 의미한다.^[12]

5. 1. 1. 열대 초면의 교차점

K[x_1^{\pm 1},\ldots ,x_n^{\pm 1}]

에서

\mathrm{I}(X)

를 ''X''에서 영이 되는 로랑 다항식의 아이디얼이라고 할 때, X의 열대화는 다음과 같이 정의한다.

:

\operatorname{Trop}(X) = \bigcap_{f \in \mathrm{I}(X)} \mathrm{V}(\operatorname{Trop}(f)) \subseteq \R^n

^[35]

''X'' 가 초표면일 때, 아이디얼

\mathrm{I}(X)

는 로랑 다항식 ''f'' 에 의해 생성된 주 아이디얼이며, 열대 다양체

\operatorname{Trop}(X)

는 정확히 열대 초표면

\mathrm{V}(\operatorname{Trop}(f))

이다.^[35]

모든 열대 다양체는 유한한 수의 열대 초표면의 교집합이다. 유한한 수의 열대 초표면의 교차점을 열대 전다양체라고 하며 일반적으로 열대 다양체가 아니다.^[35]

5. 1. 2. 값매김 사상의 상

''X''가

\R

에서 상이 조밀한 값매김 ''v''를 갖는 체 ''K''에 대한 다양체일 때(예: Puiseux series|퓌죄 급수|퓌죄 급수^영어 체), ''v''는 좌표에 따라 대수 원환면

(K^{\times})^n

에서

\R^n

으로의 사상을 정의한다. 이때 열대화는 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{Trop}(X) = \overline{\{(v(x_1),\ldots,v(x_n)) : (x_1,\ldots,x_n) \in X \}},

여기서 위 직선은 유클리드 위상에서의 폐포를 나타낸다. 만약 ''K''의 값매김이

\R

에서 조밀하지 않다면, 위의 정의는 조밀한 값매김을 갖는 더 큰 체로 스칼라를 확장하여 적용할 수 있다.

이 정의에 따르면

\operatorname{Trop}(X)

는 대수적으로 닫힌 비아르키메데스 체 ''K''에 대한 비아르키메데스 amoeba (mathematics)|아메바|아메바^영어가 된다.^[36]

''X''가

\Complex

위의 다양체인 경우,

\operatorname{Trop}(X)

는 로그의 밑 ''t''가 무한대로 갈 때 아메바

\operatorname{Log}_t(X)

의 극한 대상으로 간주될 수 있다.^[37]

5. 2. 열대 곡선

1차원 열대 다양체인 열대 곡선(tropical curve^영어)에 대한 연구는 특히 잘 발달되어 있으며 그래프 이론과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 열대 곡선의 제수 이론은 열대 곡선과 관련된 그래프의 칩-발사 게임과 관련이 있다.^[38]

대수 기하학의 많은 고전적 정리에는 열대 기하학에 대응하는 항목이 있으며, 다음을 포함한다.

파푸스의 육각형 정리^[39]
베주 정리
종수-차수 공식
리만-로흐 정리^[40]
타원곡선의 군^[41]

6. 최초형식

다항식 polynomial^영어 $f=\bigoplus_{u\in\mathbb{N}^{n+1}}c_ux^u$ 가 주어졌을 때, $f$ 의 열대화는 $\operatorname{Trop}(f)=\min\{=\text{val}(c_u)+w\cdot u:u\in\mathbb{N}^{n+1}\text{ and }c_u\neq0\}$ 로 정의한다. 무게 벡터(weight vector) $w\in\mathbb{R}^{n+1}$ 를 고정하고 상수 $W=\operatorname{Trop}(f)(w)$ 를 정의하면, $w$ 에 대한 $f$ 의 최초 형식(initial form)은 다음과 같다.

: $\operatorname{in}_w(f) = \sum_{u\in\mathbb{N}^{n+1},\text{val}(c_u)+w\cdot u=W}\overline{c_ut^{-\text{val}(c_u)}x^u}\in\mathbb{k}[x_0,\cdots,x_n]$

6. 1. 값매김 사상과 국소환

체

K

에 값매김 사상

\text{val}

이 주어져 있다고 할 때, 다음 집합을 생각할 수 있다.

:

R = \{a\in K: \text{val}(a)\geq 0\}

이 집합

R

는 환의 구조를 가지며, 국소환이다. 즉, 극대 아이디얼을 단 하나만 가진다. 이 유일한 극대 아이디얼은 다음과 같다.

:

\mathfrak{m} =\{a\in K: \text{val}(a)> 0\}

이제 잉여류체

\mathbb{k}:=R/\mathfrak{m}

을 생각할 수 있다. 그러면 체

K

에서

\mathbb{k}

로 가는 자연스러운 사상을 생각할 수 있고, 이 사상에 의한 원소

a

의 이미지를

\overline{a}

로 표기한다.

6. 2. 값매김 사상의 분리

K

가 대수적으로 닫힌 체이고, 값매김 사상

\text{val}:K^{\ast}\to\Gamma_{\text{val}}

이 전사라고 하자. 그러면 값매김 사상

\text{val}:K^{\ast}

는 쪼개진다(split^영어). 즉, 준동형사상

\psi:(\Gamma_{\text{val}},+)\to(K^{\ast},\cdot)

가 존재하여 모든

w\in\Gamma_{\text{val}}

에 대해

\text{val}(\psi(w))=w

가 성립한다. 이러한 사상

\psi

에 의한 원소

w

의 이미지를

t^w

로 쓴다.

6. 3. 최초형식

다항식

f=\bigoplus_{u\in\mathbb{N}^{n+1}}c_ux^u

가 주어졌다고 하자. 그리고

f

의 열대화를

\operatorname{Trop}(f)=\min\{=\text{val}(c_u)+w\cdot u:u\in\mathbb{N}^{n+1}\text{ and }c_u\neq0\}

로 정의한다. 또한 무게 벡터(weight vector^영어)

w\in\mathbb{R}^{n+1}

를 고정하고 상수

W=\operatorname{Trop}(f)(w)

를 정의한다. 그러면

w

에 대한

f

의 최초 형식(initial form^영어)은

:

\operatorname{in}_w(f) = \sum_{u\in\mathbb{N}^{n+1},\text{val}(c_u)+w\cdot u=W}\overline{c_ut^{-\text{val}(c_u)}x^u}\in\mathbb{k}[x_0,\cdots,x_n]

으로 정의된다.

7. 열대 기하학의 기본정리

(현재 섹션에는 요약 및 원본 소스가 제공되지 않아, 내용을 수정하거나 추가할 수 없습니다. 원본 소스가 제공되면 지침에 따라 내용을 수정하고 보완할 수 있습니다.)

7. 1. 카프라노브 정리

카프라노프 정리는 다음과 같이 주어진다.

대수적으로 닫힌 체

K

와 비자명한 값매김 사상이 주어져 있다고 하자. 로랑 다항식

f=\bigoplus_{u\in\mathbb{Z}^{n+1}}c_ux^u

를 고정하자. 그러면 다음 세 대상들은 동일하다.

$\mathbb{R}^n$ 에서의 열대 초곡면 $\operatorname{Trop}(V(f))$
$\{w\in\mathbb{R}^n:\text{in}_w(f)\text{ is not a monomial}\}$
$\mathbb{R}^n$ 에서 $\{(\text{val}(y_1), \cdots, \text{val}(y_n)):(y_1, \cdots, y_n)\in V(f)\}$ 의 폐포

8. 열대 기하학에서의 리만-로흐 정리

리만-로흐 정리는 열대 기하학에서도 성립한다. 열대 기하학에서 인자는 대수기하학에서와 같은 방법으로 정의된다.

8. 1. 열대 기하학에서의 인자

리만-로흐 정리(Riemann-Roch Theorem^영어)가 열대 기하학에서도 성립한다. 열대 기하학에서 인자(Divisor^영어)는 대수기하학에서와 같은 방법으로 정의된다. 열대 곡선

\Gamma

위의 인자는

\Gamma

의 점들이 이루는 자유 아벨 군이다.

\Gamma

위의 모든 인자들의 모임은

\text{Div}(\Gamma)

로 쓴다. 인자

D

의 차수(degree^영어)는

D=\sum_ia_iP_i

인 경우에

\text{deg}(D)=\sum_ia_i

로 정의된다. 따라서 차수 함수

\text{deg}

는 군 준동형사상이다.

9. 응용

열대 기하학은 다양한 분야에서 응용되고 있다. 2007년 금융위기 당시 잉글랜드 은행이 사용한 폴 클렘퍼러의 경매 디자인에 열대 직선이 사용되었다.^[42] 시오자와 요시노리는 최소-곱셈 또는 최대-곱셈을 사용한 아열대 대수(subtropical algebra^영어)를 정의하였다. 그는 리카디안 무역 이론(투입 무역이 없는 국제 무역)이 아열대 볼록 대수로 해석될 수 있음을 발견했다.^[43] 열대 기하학은 ReLU 활성화를 사용한 피드포워드 신경망의 복잡성을 분석하는 데에도 사용되었다.^[44]

또한 작업 일정, 위치 분석, 운송 네트워크, 의사 결정 및 이산 사건 역학계에서 발생하는 여러 최적화 문제를 열대 기하학의 체계에서 공식화하고 해결할 수 있다.^[45] 아벨-야코비 사상의 열대 대응물은 수정 디자인에 적용될 수 있다.^[46] 가중 유한 상태 변환기의 가중치는 열대 반환이 되어야 하는 경우가 많다. 열대 기하학은 자체 조직화된 임계 값을 나타낼 수 있다.^[47]

참조

_[1] 웹사이트 Tinkertoy Models Produce New Geometric Insights https://www.quantama[...] 2018-09-05
_[2] 서적 Minimax algebra Springer
_[3] 간행물 On a new superposition principle for optimization problems
_[4] arXiv Homological mirror symmetry and torus fibrations 2000-11-07
_[5] 간행물 Enumerative tropical algebraic geometry in R² http://www.ams.org/j[...] 2005
_[6] 서적 Idempotency Cambridge University Press
_[7] 서적 Mathematical Foundations of Computer Science 1988 Springer
_[8] 간행물 Tropical mathematics https://math.berkele[...]
_[9] 서적 Introduction to Tropical Geometry American Mathematical Society
_[10] 서적 Different faces of geometry Kluwer Academic/Plenum Publishers
_[11] 간행물 What is Tropical Geometry? https://www.ams.org/[...]
_[12] 간행물 Connectivity of tropicalizations
_[13] 간행물 Rank of divisors on tropical curves 2013-09-01
_[14] 간행물 Tropical constructive Pappus' theorem 2005-01-01
_[15] 간행물 A Riemann–Roch theorem in tropical geometry 2008-05-01
_[16] 서적 Algebraic and combinatorial aspects of tropical geometry. Proceedings based on the CIEM workshop on tropical geometry, International Centre for Mathematical Meetings (CIEM), Castro Urdiales, Spain, December 12–16, 2011 American Mathematical Society
_[17] 웹사이트 How geometry came to the rescue during the banking crisis https://www.economic[...] 2014-03-24
_[18] 간행물 International trade theory and exotic algebras https://www.research[...]
_[19] conference Tropical Geometry of Deep Neural Networks http://proceedings.m[...] 2018
_[20] 서적 Advances in Economics and Optimization: Collected Scientific Studies Dedicated to the Memory of L. V. Kantorovich Nova Science Publishers
_[21] 서적 Topological Crystallography: With a View Towards Discrete Geometric Analysis Springer Japan
_[22] 간행물 Self-organized criticality and pattern emergence through the lens of tropical geometry 2018-08-15
_[23] 간행물 Tropical Amplitudes 2017
_[24] 간행물 The Amplituhedron 2014
_[25] 간행물 Tropological sigma models 2024
_[26] 웹사이트 トロピカル幾何学入門 http://www.math.sci.[...] 石川剛郎（北海道大学大学院理学研究院数学部門） 2007-03
_[27] 웹사이트 トロピカル幾何入門 http://www.math.nago[...] 梶原健（東北大学大学院理学研究科）/記木村杏子（名古屋大学大学院多元数理科学研究科） 2006-02-16
_[28] 웹인용 Tinkertoy Models Produce New Geometric Insights https://www.quantama[...] 2018-12-12
_[29] 서적 Minimax algebra
_[30] 저널 인용 On a new superposition principle for optimization problems
_[31] 저널 인용 Enumerative tropical algebraic geometry in R² http://www.ams.org/j[...] 2005
_[32] 서적 인용 Idempotency
_[33] 서적 인용 Mathematical Foundations of Computer Science 1988
_[34] 인용 https://math.berkele[...]
_[35] 서적 인용 Introduction to Tropical Geometry
_[36] 서적 Different faces of geometry Kluwer Academic/Plenum Publishers
_[37] 인용 https://www.ams.org/[...]
_[38] 저널 Rank of divisors on tropical curves 2013-09-01
_[39] 저널 Tropical constructive Pappus' theorem 2005-01-01
_[40] 저널 A Riemann–Roch theorem in tropical geometry 2008-05-01
_[41] 서적 Algebraic and combinatorial aspects of tropical geometry. Proceedings based on the CIEM workshop on tropical geometry, International Centre for Mathematical Meetings (CIEM), Castro Urdiales, Spain, December 12–16, 2011 American Mathematical Society
_[42] 웹인용 How geometry came to the rescue during the banking crisis https://www.economic[...] 2014-03-24
_[43] 저널 International trade theory and exotic algebras https://www.research[...]
_[44] 저널 Tropical Geometry of Deep Neural Networks https://arxiv.org/ab[...]
_[45] 서적 Advances in Economics and Optimization: Collected Scientific Studies Dedicated to the Memory of L. V. Kantorovich Nova Science Publishers
_[46] 서적 Topological Crystallography: With a View Towards Discrete Geometric Analysis Springer Japan
_[47] 저널 Self-organized criticality and pattern emergence through the lens of tropical geometry 2018-08-15

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com