P진수

3. p진 전개

p^영어-진수 급수는 다음과 같은 형태의 형식적 멱급수이다.

:$\backslash sum\_\{i=v\}^\backslash infty\; r\_i\; p^\{i\},$

여기서 $v$는 정수이고 $r\_i$는 0이거나 음이 아닌 값을 갖는 유리수이며, $r\_i$의 분모는 $p$로 나누어지지 않는다.

모든 유리수는 $p$와 서로 소인 $n$과 $d$를 사용하여 $p^k\backslash tfrac\; nd$ 형태로 인수분해하여 단일 비영(nonzero) 항을 갖는 p^영어-진수 급수로 볼 수 있다.

두 개의 p^영어-진수 급수 $\backslash sum\_\{i=v\}^\backslash infty\; r\_i\; p^\{i\}$ 및 $\backslash sum\_\{i=w\}^\backslash infty\; s\_i\; p^\{i\}$는 정수 $N$이 존재하여 모든 정수 $n>N,$에 대해 유리수

:$\backslash sum\_\{i=v\}^n\; r\_i\; p^\{i\}\; -\; \backslash sum\_\{i=w\}^n\; s\_i\; p^\{i\}$

가 0이거나 p^영어-진수 값이 $n$보다 큰 경우, ''동치''이다.

p^영어-진수 급수 $\backslash sum\_\{i=v\}^\backslash infty\; a\_i\; p^\{i\}$는 모든 $a\_i$가

모든 p^영어-진수 급수는 정확히 하나의 정규화된 급수와 동치이다.

p^영어-진수는 코시 수열의 동치류로 실수를 정의하는 것과 유사한 방식으로, p^영어-진수 급수의 동치류로 정의된다. 정규화의 고유성으로 인해 모든 p^영어-진수를 해당 정규화된 p^영어-진수 급수로 고유하게 나타낼 수 있다.

$\backslash sum\_\{i=v\}^\backslash infty\; r\_i\; p^\{i\}$로 시작하는 수열에서, $r\_v$의 p^영어-진법 값을 0으로 하는 동등한 수열을 얻을 수 있다. 처음으로 0이 아닌 $r\_i$를 고려하여, p^영어-진법 값이 0이면, $v$를 $i$로 변경한다. 그렇지 않으면, $r\_i$의 p^영어-진법 값은 $j>0$이고, $r\_i=\; p^js\_i$이며, $s\_i$의 값은 0이다. 따라서, $r\_i$를 0으로 변경하고 $r\_\{i+j\}$를 $r\_\{i+j\}\; +\; s\_i$로 변경하여 동등한 수열을 얻는다. 이 과정을 반복하면, 무한히 많은 단계를 거친 후, 0 수열이거나 $r\_v$의 값이 0인 수열인 동등한 수열을 결국 얻게 된다.

수열이 정규화되지 않은 경우, 구간 $[0,p-1]$에서 정수가 아닌 처음으로 0이 아닌 $r\_i$를 고려한다. $r\_i=a\_i+ps\_i$로 쓰고, $r\_i$를 $a\_i$로 대체하고 $s\_i$를 $r\_\{i+1\}$에 더함으로써 n개의 동등한 수열을 얻는다. 이 과정을 반복하면, 무한히 많은 횟수를 거쳐 결국 원하는 정규화된 p^영어-진법 수열을 얻게 된다.

양의 유리수 $r$의 십진법 전개는 다음과 같은 수열로 나타낼 수 있다.

:$r\; =\; \backslash sum\_\{i=k\}^\backslash infty\; a\_i\; 10^\{-i\},$

여기서 $k$는 정수이고 각 $a\_i$는 을 만족하는 정수이다.

유리수의 "p^영어-진법 전개"는 고정된 소수 $p$가 주어지면, 모든 0이 아닌 유리수 $r$은 $r=p^k\backslash tfrac\; n\; d$로 고유하게 쓸 수 있다. 여기서 $k$는 (음수일 수도 있는) 정수이고, $n$과 $d$는 $p$와 서로소인 서로소인 정수이며, $d$는 양수이다. 정수 $k$는 $r$의 '''p^영어-진법 값'''이며 $v\_p(r)$로 표시된다. 그리고 $p^\{-k\}$는 '''p^영어-진법 절댓값'''이며 $|r|\_p$로 표시된다 (절댓값은 값이 클 때 작습니다). 나눗셈 단계는 다음과 같이 작성하는 것으로 구성된다.

: $r\; =\; a\backslash ,p^k\; +\; r\text{'}$

여기서 $a$는

$r$의 $p$"-진법 전개"는 형식적 거듭제곱 급수이다.

: $r\; =\; \backslash sum\_\{i=k\}^\backslash infty\; a\_i\; p^i$

연속적인 나머지에 대해 위의 나눗셈 단계를 무한히 반복하여 얻는다. p^영어-진법 전개에서 모든 $a\_i$는

유리수의 p^영어-진법 전개의 존재와 계산은 베주 항등식에서 비롯된다. $r=p^k\; \backslash tfrac\; n\; d$이고 $d$와 $p$가 서로소라면, $t\; d+u\; p=1$을 만족하는 정수 $t$와 $u$가 존재한다. 따라서

: $r=p^k\; \backslash tfrac\; n\; d(t\; d+u\; p)=p^k\; n\; t\; +\; p^\{k+1\}\backslash frac\{u\; n\}d.$

$n\; t$를 $p$로 유클리드 나눗셈하면

: $n\; t=q\; p+a,$

이 되고,

: $\backslash begin\{array\}\{lcl\}$

r & = & p^k(q p+a) + p^{k+1}\frac {u n}d \\

& = & a p^k +p^{k+1}\,\frac{q d+u n} d, \\

\end{array}

반복 과정에서

: $r\text{'}\; =\; p^\{k+1\}\backslash ,\backslash frac\{q\; d+u\; n\}\; d$

가 새로운 유리수가 된다.

표준 p^영어-진법 표기법에서, 숫자는 표준 p진법 시스템과 동일한 순서로 작성된다. 즉, 밑수의 거듭제곱이 왼쪽으로 증가한다.

유리수의 p^영어-진법 전개는 결국 주기 함수이다. 역으로, $\backslash sum\_\{i=k\}^\backslash infty\; a\_i\; p^i,$ 여기서

$A\_p\; =\; \backslash \{0,\; 1,\; 2,\; \backslash dots,\; p-1\backslash \}$라고 한다. $\backslash mathbb\{Q\}\_p$의 임의의 원소 $x$에 대해, 정수 $N$과 $A\_p$에서의 수열 $\backslash \{a\_n\backslash \}\_\{n\; \backslash ge\; N\}$가 존재하여,

:$x\; =\; \backslash sum\_\{n=N\}^\{\backslash infty\}\; a\_n\; p^n$

와 같이 유일하게 전개된다($N$은 $x$의 p^영어진 부치 $v\_p(x)$와 일치한다). 이것을 $x$의 '''p^영어진 전개'''라고 한다. 반대로, $A\_p$에서의 수열 $\backslash \{a\_n\backslash \}\_\{n\; \backslash ge\; N\}$이 주어지면, 합 $\backslash sum\_\{n=N\}^\{\backslash infty\}\; a\_n\; p^n$은 p^영어진 거리에 대해 수렴하며, p^영어진수를 유일하게 결정한다.

4. 성질

유리수체 $\backslash mathbb\; Q$는 표준 노름에 대해 완비 거리 공간을 이루지 않는다. 따라서 코시 수열의 동치류를 이용하여 완비화할 수 있는데, 이렇게 하여 실수체 $\backslash mathbb\; R$을 얻는다. ''p''진수는 유리수체에 다른 노름을 주어 완비화하여 얻는 체이다.

소수 ''p''에 대해, 0이 아닌 유리수는 $p^n(a/b)$ ($a$와 $b$는 $p$로 나누어떨어지지 않음) 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다. 이때, $p$를 무한소처럼 생각하여, $p$의 인수를 더 많이 포함할수록 더 "작고", $p^\{-1\}$의 인수를 더 많이 포함할수록 더 "크다"고 생각할 수 있다.

이처럼 유리수체 $\backslash mathbb\; Q$ 위에 $p$의 인수를 더 많이 포함할수록 노름이 작아지는 노름을 정의할 수 있다. ''p''진체는 유리수체를 이 노름에 대해 완비화한 체이다.

''p''진 복소수체 $\backslash mathbb\; C\_p$는 다음과 같이 정의한다.

# p진체 $\backslash mathbb\; Q\_p$는 완비 거리 공간이지만 대수적으로 닫힌 체가 아니다. 대수적 폐포를 취하여 대수적으로 닫힌 체 $\backslash bar\{\backslash mathbb\; Q\}\_p$를 얻는다.

# 대수적 폐포 $\backslash bar\{\backslash mathbb\; Q\}\_p$는 대수적으로 닫힌 체이지만 완비 거리 공간이 아니다. 완비화를 취하여 $\backslash mathbb\; C\_p$라는 체를 얻는다. 이는 대수적으로 닫힌 체이자 완비 거리 공간이다.

''p''진 노름은 다음 성질을 만족한다. ($r,s\backslash in\backslash mathbb\; Q$는 임의의 유리수)

• $|r+s|\_p\backslash le\backslash max\backslash$

4. 1. p진 노름

:$|p^na/b|\_p=p^\{-n\}$

:$|0|\_p=0$

p진 노름은 다음과 같은 성질을 만족한다.

• $|r+s|\_p\backslash le\backslash max\backslash$

4. 2. p진 정수환

p^한국어진 정수환 $\backslash mathbb\; Z\_p$는 이산 값매김환이며, 크룰 차원이 1인 국소환이다.^[16]

p^한국어진 정수환은 정역이며, p^한국어진수체 $\backslash mathbb\; Q\_p$는 p^한국어진 정수환의 분수체이다.

:$\backslash mathbb\; Q\_p=\backslash operatorname\{Frac\}(\backslash mathbb\; Z\_p)$

p^한국어진 정수환의 크기는 $2^\{\backslash aleph\_0\}$으로, 실수체의 크기와 같다.

p^한국어진 정수환의 가역원군 $\backslash mathbb\; Z^\backslash times\_p$은 다음과 같다.

:$\backslash mathbb\; Z\_p^\backslash times=\backslash mathbb\; Z\_p\backslash setminus(p)=\backslash \{a\backslash in\backslash mathbb\; Z\_p\backslash colon|a|\_p=0\backslash \}$

p^한국어진 정수환의 모든 0이 아닌 원소는 다음과 같이 유일하게 나타낼 수 있다.

:$a=p^nu\backslash qquad(n\backslash in\backslash mathbb\; N,u\backslash in\backslash mathbb\; Z^\backslash times\_p)$

따라서, p^한국어진 정수환의 모든 아이디얼은 다음과 같은 두 꼴 가운데 하나이다.

• $(p^n),\backslash ;n\backslash in\backslash mathbb\; N$
• $(0)$

p^한국어진 정수환의 유일한 극대 아이디얼은 $(p)$이다. p^한국어진 정수환의 소 아이디얼은 영 아이디얼과 $(p)$이다.

p^한국어진 정수환의 몫환은 다음과 같다.

:$\backslash mathbb\; Z\_p/(p^n)\backslash cong\backslash mathbb\; Z/(p^n)$

:$\backslash mathbb\; Z\_p/(0)\backslash cong\backslash mathbb\; Z\_p$

p^한국어진 정수환은 국소환이므로, 자연스러운 $(p)$진 위상을 갖추어 위상환을 이룬다. p진 정수의 덧셈 위상군의 폰트랴긴 쌍대군은 (이산 위상을 갖춘) 프뤼퍼 군 $\backslash mathbb\; Z(p^\backslash infty)$이다.

p^한국어진 정수환을 잉여류로 분할하면, 잉여류환

:$\backslash mathbb\{Z\}\_p\; /\; p\backslash mathbb\{Z\}\_p$

은 유한체이며, 각 잉여류의 대표원으로는

:$n\; =\; 0,\; 1,\; \backslash dots,\; p-1$

을 취할 수 있다. 따라서 p^한국어진 정수환 $\backslash mathbb\{Z\}\_p$는 다음과 같이 비교합으로 나타낼 수 있다.

:$\backslash mathbb\{Z\}\_p\; =\; \backslash bigsqcup\_\{n=0\}^\{p-1\}\; \backslash left(\; n\; +\; p\backslash mathbb\{Z\}\_p\; \backslash right)$

여기서 $n\; +\; p\backslash mathbb\{Z\}\_p$는 $+n$ 사상에 의한 $p\backslash mathbb\{Z\}\_p$의 상이다. 따라서, 덧셈에 대한 하르 측도의 정의에 의해, 이들의 측도는 모두 같다. $\backslash mathbb\{Z\}\_p$상의 하르 측도 $\backslash mu$로 $\backslash mu(\backslash mathbb\{Z\}\_p)\; =\; 1$이 되는 것을 취한다. (이하 하르 측도는 이것을 의미한다.) $\backslash mu(n\; +\; p\backslash mathbb\{Z\}\_p)$는 모두 같으므로, 이 비교합의 양변의 하르 측도를 취함으로써 $\backslash mu(n\; +\; p\backslash mathbb\{Z\}\_p)\; =\; 1/p$임을 알 수 있다.^[16]

4. 3. p진수체

''p''진수체 $\backslash mathbb\; Q\_p$는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이지만, 콤팩트 공간은 아니다.^[5] 이는 $\backslash mathbb\{Q\}\_p$가 열린 공이자 닫힌 공인 열린 공들로 구성되어 있기 때문이다. 더 정확하게는, 열린 공

''p''진수체는 거리 공간으로서, ''p''진 절대값을 갖춘 유리수의 완비화를 형성한다.

4. 4. p진 복소수체

p^영어-진 복소수체 $\backslash mathbb\; C\_p$는 p진체 $\backslash mathbb\; Q\_p$의 대수적 폐포의 완비화로 얻어지는 체이다.^[9][10][11] $\backslash mathbb\; C\_p$는 표준 복소수체 $\backslash mathbb\; C$와 대수적으로 동형이지만, 위상적으로는 하우스도르프 공간이지만 국소 콤팩트하지 않다.^[10]

• $\backslash mathbb\; C\_p$는 $\backslash mathbb\; C$에 비표준 노름을 준 것으로 생각할 수 있다.
• $|\backslash mathbb\; C\_p|=|\backslash mathbb\; C|=\backslash mathfrak\; c$이며, 대수적으로 닫힌 체이다.
• $\backslash mathbb\; C\_p$와 $\backslash mathbb\; C$는 환으로서 동형이다.^[12]
• 체 동형의 존재 증명은 선택 공리에 의존하며, 이러한 동형의 명시적인 예는 구성적이지 않다.

$\backslash mathbb\; Q\_p$는 $\backslash mathbb\; Q$를 포함하며 표수가 0인 체이다. 0은 제곱의 합으로 표현될 수 있기 때문에,^[6] $\backslash mathbb\; Q\_p$는 순서체가 될 수 없다.

$\backslash mathbb\; C\_p$는 대수적으로 닫혀 있지만 $\backslash mathbb\; C$와 달리 국소 콤팩트가 아니다.^[10]

5. 응용

p진 해석학은 미적분학의 ''p''진법 버전이라 할 수 있으며, 이론물리학에서도 ''p''진수가 종종 사용된다.^{[23][24][25][26]}

컴퓨터 과학에서는 유리수를 나타내는 한 방법으로 사용된다.^[27]

p진 정수는 연이은 근사를 통해 구성할 수 있으므로 실제 계산에 특히 유용하다. 예를 들어, 정수의 p진 곱셈 역수를 계산하기 위해 뉴턴 방법을 사용할 수 있다. 뉴턴 방법을 사용하면 각 단계에서 $p^n$ 모듈로의 역수에서 $p^\{n^2\}$ 모듈로의 역수를 계산한다.

같은 방법을 사용하여 p 모듈로의 이차 잉여인 정수의 p진 제곱근을 계산할 수 있다. 이것은 큰 정수가 제곱인지 테스트하는 데 알려진 가장 빠른 방법으로 보인다. 주어진 정수가 $\backslash mathbb\{Z\}\_p/p^n\backslash mathbb\{Z\}\_p$에서 발견된 값의 제곱인지 테스트하는 것으로 충분하다. 제곱근을 찾기 위해 뉴턴 방법을 적용하려면 $p^n$이 주어진 정수의 두 배보다 커야 하며, 이는 빠르게 만족된다.

헨젤 리프팅은 정수 계수를 가진 다항식의 p 모듈로의 인수분해를 큰 값의 n에 대해 $p^n$ 모듈로의 인수분해로 "올릴" 수 있게 해주는 유사한 방법이다. 이것은 일반적으로 다항식 인수분해 알고리즘에서 사용된다.

6. 역사

쿠르트 헨젤이 1897년에 대수적 수론에서 사용하기 위하여 p진수를 도입하였다.^[22] p진수의 역사는 다음과 같이 요약될 수 있다.

7. 국소-대역 원리

헬무트 하세의 국소-전역 원리는 방정식이 유리수 상에서 풀릴 수 있는 필요충분조건으로 모든 소수 p에 대해 실수와 p-진수 상에서 풀릴 수 있을 때 성립한다고 정의한다. 이 원리는 이차 형식으로 주어진 방정식에 대해서는 성립하지만, 여러 변수에 대한 고차 다항식에서는 성립하지 않는 경우가 있다. p진법은 수론에서 중요한 역할을 하며, 특히 하세의 국소-대역 원리에서 핵심적인 개념으로 다루어진다.^[2]

참조

_[1] Harv Hensel 1897
_[2] Harv Dedekind 2012
_[3] Harv Hazewinkel 2009
_[4] Harv Hehner 1979
_[5] Harv Robert 2000
_[6] 문서 According to [[Hensel's lemma#Examples|Hensel's lemma]] $\backslash Q\_2$ contains a square root of {{math|−7}}, so that $2^2\; +1^2+1^2+1^2+\backslash left(\backslash sqrt\{-7\}\backslash right)^2\; =\; 0\; ,$ and if {{math|''p'' > 2}} then also by Hensel's lemma $\backslash Q\_p$ contains a square root of {{math|1 − ''p''}}, thus
_[7] Harv Gouvêa 1997
_[8] Harv Gouvêa 1997
_[9] Harv Cassels 1986
_[10] Harv Koblitz 1980
_[11] Harv Gouvêa 1997
_[12] 문서 Two algebraically closed fields are isomorphic if and only if they have the same characteristic and transcendence degree (see, for example Lang’s ''Algebra'' X §1), and both $\backslash C\_p$ and $\backslash C$ have characteristic zero and the cardinality of the continuum.
_[13] Harv Gouvêa 1997
_[14] Harv Robert 2000
_[15] 서적 可換代数 4 東京図書
_[16] 서적 積分4 東京図書
_[17] 웹사이트 p進数 https://www.s.u-toky[...]
_[18] Harvnb Narkiewicz 2018
_[19] 서적 代数学の歴史 −アル・クワリズミからエミー・ネーターへ− 現代数学社
_[20] MacTutor Biography Leopold Kronecker
_[21] MathGenealogy Kurt Hensel
_[22] 저널 Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen http://www.digizeits[...]
_[23] 저널 "''p''-adic mathematical physics" 2009-03
_[24] 저널 "Non-Archimedean Geometry and Physics on Adelic Spaces" https://archive.org/[...] 2003-06-09
_[25] 저널 "''p''-adic and adelic quantum mechanics"
_[26] 저널 Nonlocal dynamics of ''p''-adic strings
_[27] 저널 A new representation of the rational numbers for fast easy arithmetic 1979-05