열핵

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

열핵은 리만 다양체 위의 라플라스형 연산자와 관련된 개념으로, 열방정식의 해를 나타내는 함수이다. 열핵은 콤팩트 리만 다양체에서 유일하게 존재하며, 반군 성질과 점근적 전개 등의 성질을 갖는다. 열핵은 유클리드 공간, 대칭 공간, 조화 진동자 등 다양한 예시에서 명시적으로 표현되며, 구스타프 페르디난트 멜러에 의해 처음 도입되었다.

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열핵
일반 정보
유형	핵무기
다른 이름	수소 폭탄, 열핵 폭탄
첫 번째 테스트	1951년 (아이비 작전)
개발 국가	미국 소련 영국 프랑스 중국
최대 폭탄	차르 봄바 (50~58 Mt)
디자인
단계	2단계 열핵무기
연료	중수소, 삼중수소, 리튬
폭발 메커니즘	텔러-울람 디자인
효과
주요 효과	극심한 열, 폭풍, 방사능 낙진
사용 결과	광범위한 파괴와 장기간의 방사능 오염
역사적 맥락
개발 이유	핵무기 경쟁 심화, 파괴력 증대 필요
주요 사건	아이비 작전 캐슬 브라보 차르 봄바 실험
윤리적 고려 사항
논쟁점	대량 살상 무기로서의 윤리적 문제, 환경 파괴 가능성
국제 조약	핵무기 확산 금지 조약 (NPT)

2. 정의

n^영어차원 리만 다양체 $(M,g)$ 와 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$ 가 주어졌을 때, $E$ 위의 '''라플라스형 연산자'''는 특정한 형태의 2차 미분 연산자이다.^[3]

$M$ 이 콤팩트 공간일 경우, 라플라스형 연산자 $H$ 의 '''열핵'''^[1]은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.

$t$ 에 대하여 미분 가능해야 한다.
$x$ 에 대하여 두 번 미분 가능해야 한다.
열 방정식을 만족시켜야 한다.
(초기 조건) 특정한 경계 조건을 만족해야 한다.

M

이 콤팩트 공간이 아니거나 경계를 가진 다양체인 경우에는, 열핵을 정의하기 위해 추가적인 경계 조건(디리클레 경계 조건, 일반화 노이만 경계 조건 등)이 필요하며, 이를 통해 열핵을 유일하게 정의할 수 있다.

2. 1. 일반화 라플라스 연산자

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

n^영어차원 리만 다양체 $(M,g)$
매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$

E

위의 '''라플라스형 연산자'''는 (임의의 국소 좌표계에서) 다음과 같은 꼴의,

E

위의 2차 미분 연산자이다.^[3]

:

H\colon \Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)

:

H=g^{ij}(x)\partial_i\partial_j+A^i(x)\partial_i+B(x)\qquad(A^i\in\Gamma^\infty(E\otimes\ TM),\;B\in\Gamma^\infty(E))

여기서

\Gamma^\infty

는 매끄러운 단면의 공간을 뜻한다. 마찬가지로, 연속 단면을

\Gamma^0

로 표기한다.

다시 말해, 라플라스형 연산자는 어떤 임의의 리만 계량

g

와 코쥘 접속

\nabla

및 매끄러운 단면

T\in\Gamma^\infty(E\otimes E^*)

에 대하여

:

Hs=g^{ij}\nabla_i\nabla_js+Ts

의 꼴로 나타내어지는 미분 연산자이다.

2. 2. 열핵

M

이 콤팩트 공간일 경우,

H

의 '''열핵'''^[1]은 다음 조건들을 만족시키는,

F

의 (연속) 단면이다.

$t$ 에 대하여 $\mathcal C^1$ 함수이다. 즉, $\partial K(t,x,y)/\partial t$ 가 존재하며, 연속 함수 $\mathbb R^+\times M\times M\to F$ 를 이룬다.
$x$ 에 대하여 $\mathcal C^2$ 함수이다. 즉, $\partial^2K(t,x,y)/\partial x^i\partial x^j$ 가 연속적으로 존재한다.
열 방정식이 성립한다. 즉, 다음이 성립한다.
$\left(\frac\partial{\partial t}-H\right)K(t,x,y)=0$
(초기 조건) 다음과 같은 경계 조건이 성립한다. 임의의 $s\in\Gamma^\infty(\mathcal E\otimes_{\mathbb R}|\Lambda(M)|^{1/2})$ 에 대하여,
$\lim_{t\to0}\int K(t,x,y)s(y)\,\mathrm dy=s(x)$

여기서 극한은

M

위의 균등 노름에 대한 것이다.

만약

M

이 콤팩트 공간이 아니라면, 적절한 경계 조건을 주어야 한다.

2. 3. 경계다양체 위의 열핵

M

이 리만 계량이 주어진 콤팩트 매끄러운 경계다양체이고,

E

가 그 위의 매끄러운 벡터 다발이며,

E

위에 라플라스형 연산자가 주어졌다고 하자.

이 경우, 열핵을 정의하기 위해서는 경계 조건이 주어져야 한다. 경계에서의 수직 단위 벡터를

n

이라고 하면, 단면

s\in\Gamma^\infty(E)

위에 다음과 같은 꼴의 디리클레 경계 조건을 생각할 수 있다.

:

s\restriction\partial M=s_0

또는 다음과 같은 일반화 노이만 경계 조건을 생각할 수 있다.

:

(\nabla_Xs)\restriction\partial M+A(s\restriction\partial M)=s_0

여기서

:

A\in\Gamma^\infty(\partial M,\operatorname{End}E)

이다.

이와 같은 경계 조건을 부여하면, 마찬가지로 열핵을 유일하게 정의할 수 있다.

3. 성질

콤팩트 리만 다양체 위의 라플라스형 연산자는 여러 중요한 성질들을 가진다.

우선, 콤팩트 리만 다양체 위에서 라플라스형 연산자는 항상 유일한 열핵을 갖는다.^[3]

열핵의 적분은 부분 적분을 통해 다음과 같은 성질을 만족시킨다. 콤팩트 리만 다양체 $M$ 위의 실수 값 매끄러운 함수에 대한 라플라스형 연산자

: $Hf=\Delta f+\nabla_Xf+C$

를 생각하자. 여기서 $X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)$ 는 $M$ 위의 임의의 벡터장이며, $C\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ 는 임의의 스칼라장이다. 이 경우,

: $\frac{\partial}{\partial t}\int_MK(t,x,y)\,\mathrm dx=\int_MHK(t,x,y)\,\mathrm dx=\int_M(\Delta+\nabla_X+C)K(t,x,y)\,\mathrm dx=C(y)\int_MK(t,x,y)\,\mathrm dx$

이다. 즉,

: $F(t,y)=\int_MK(t,x,y)\,\mathrm dx$

로 놓으면 다음이 성립한다.

: $F(t_0+s,y)=\exp(C(y)s)F(t_0,y)$

특히, 만약 $C=0$ 이라고 하면, $F(t,y)$ 는 $t$ 에 의존하지 않으며, 이 경우 $t\to0$ 에서의 경계 조건에 의하여 상수 함수

: $F(t,y)=1$

가 된다.

열핵은 반군 성질을 갖는다. 콤팩트 리만 다양체 $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$ 위의 라플라스형 연산자 $H$ 의 열핵 $K(t,x,y)$ 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

: $K(t+t',x,y)=\int_MK(t,x,z)K(t',z,y)\,\mathrm dz$

즉, 이는 양의 실수들의 덧셈 반군 $(\mathbb R^+,+)$ 에 대한 반군 준동형 $K\colon t\mapsto K(t,-,-)$ 을 정의한다. 이는 항등원 0을 갖지 않으므로 모노이드가 아니다.

열핵은 다음과 같은 점근적 전개를 갖는다.^[3]^[4] 콤팩트 $n$ 차원 리만 다양체 $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $E$ 위의 라플라스형 연산자 $H$ 의 열핵 $K_H$ 는

: $K_H(t,x,y)=\frac1{(4\pi t)^{n/2}}\exp(-d(x,y)/4t)\sum_{i=0}^\infty t^if_i(x,y)$

와 같이 전개된다. 여기서

: $f_i\in \Gamma^\infty\left((E\otimes\sqrt$

)\boxtimes (E^*\otimes\sqrt

)\right)

이다.

임의의

f\in\Gamma^\infty(\operatorname{End}(E))

에 대하여,

:

\operatorname{tr}(f\exp(-tH))=\sum_{i\in2\mathbb N}t^{(i-n)/2}a_i(f,H)

와 같은 전개를 사용할 수도 있다.^[4] 위 합에서는 오직 짝수

i

만이 등장하며,

M

이 콤팩트 경계다양체인 경우 (적절한 경계 조건 아래) 홀수

i

역시 등장할 수 있다.

M

위의 라플라스형 연산자

H=g^{ij}\nabla_i\nabla_j+T

가 주어졌다고 하자. 만약

M

이 콤팩트 다양체이며,

T

가 에르미트 작용소라면,

H

는 복소수 힐베르트 공간

\mathcal H=\operatorname L^2(M;E\otimes_{\mathbb R}\mathbb C)

에 확장시킬 수 있으며, 스펙트럼 정리에 의하여 그 실수 고윳값들이 존재한다. 만약

T

의 고윳값들이 모두 양이 아닌 실수라면, 이 고윳값들은 0을 제외하고 모두 음의 실수이다.

:

0=\lambda_0<-\lambda_1\le-\lambda_2\le-\lambda_3\le\cdots

이에 대응하는 복소수 힐베르트 공간

\operatorname L^2(M;E\otimes_{\mathbb R}\mathbb C)

의 정규 직교 기저를

\phi_i

라고 하면, 열핵은

:

K(t,x,y)=\sum_{i=0}^\infty \exp(-\lambda_i)\phi_i(x)\phi_i(y)

와 같은 점근적 급수로 주어진다. 그러나 이 급수가 수렴하는지 여부는 일반적으로 복잡하다.

3. 1. 존재 조건

만약 콤팩트 리만 다양체라면, 그 위의 임의의 라플라스형 연산자는 열핵을 가지며, 이는 유일하다.^[3]

3. 2. 적분

콤팩트 리만 다양체

M

위의 실수 값 매끄러운 함수에 대한 라플라스형 연산자

:

Hf=\Delta f+\nabla_Xf+C

를 생각하자. 여기서

X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)

는

M

위의 임의의 벡터장이며,

C\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)

는 임의의 스칼라장이다.

이 경우, 열핵의 적분은 부분 적분을 통해 다음 성질을 만족시킨다.

:

\frac{\partial}{\partial t}\int_MK(t,x,y)\,\mathrm dx=\int_MHK(t,x,y)\,\mathrm dx=\int_M(\Delta+\nabla_X+C)K(t,x,y)\,\mathrm dx=C(y)\int_MK(t,x,y)\,\mathrm dx

즉,

:

F(t,y)=\int_MK(t,x,y)\,\mathrm dx

로 놓으면 다음이 성립한다.

:

F(t_0+s,y)=\exp(C(y)s)F(t_0,y)

특히, 만약

C=0

이라고 하면,

F(t,y)

는

t

에 의존하지 않으며, 이 경우

t\to0

에서의 경계 조건에 의하여 상수 함수

:

F(t,y)=1

가 된다.

3. 3. 반군 성질

콤팩트 리만 다양체

M

위의 매끄러운 벡터 다발

E\twoheadrightarrow M

위의 라플라스형 연산자

H

의 열핵

K(t,x,y)

가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

:

K(t+t',x,y)=\int_MK(t,x,z)K(t',z,y)\,\mathrm dz

즉, 이는 반군 준동형

:

K\colon (\mathbb R^+,+)\to (E\otimes|\Lambda M|^{1/2})\boxtimes(E^*\otimes|\Lambda M|^{1/2})

:

K\colon t\mapsto K(t,-,-)

을 정의한다. 여기서

(\mathbb R^+,+)

는 양의 실수들의 덧셈 반군이다. 이는 항등원 0을 갖지 않으므로 모노이드가 아니다. 이를 열핵의 '''반군 성질'''(semigroup property^영어)이라고 한다.

이를 사용하여 열핵의 다양한 성질들을 증명할 수 있다. 예를 들어,

E=M\times\mathbb R

가 자명한 선다발이고, 라플라스형 연산자가 상수항을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 시각

t_0\in\mathbb R^+

에서, 콤팩트 공간

M\times M

위의 실수 값 연속 함수

K(t_0,-,-)

는 최댓값

:

\max_{(x,y)\in M^2} K(t_0,x,x)=C_{t_0}

을 갖는다. 그렇다면,

t_0

초과의 임의의 시각

t\in\mathbb R^+

,

t>t_0

에서,

:

K(t,x,y)=\int_MK(t_0,x,z)K(t-t_0,z,y)\,\mathrm dz\leC_{t_0}\int_MK(t-t_0,z,y)\,\mathrm dz=C_{t_0}

이다.

따라서, 함수

:

C\colon \mathbb R^+\to\mathbb R^+

:

C\colon t\mapsto \max_{(x,y)\in M^2}K(t,x,y)

는 항상 감소 함수이다.

3. 4. 점근적 전개

콤팩트

n

차원 리만 다양체

M

위의 매끄러운 벡터 다발

E

위의 라플라스형 연산자

H

가 주어졌을 때, 그 열핵

K_H

는 다음과 같은 꼴로 전개된다.^[3]^[4]

:

K_H(t,x,y)=\frac1{(4\pi t)^{n/2}}\exp(-d(x,y)/4t)\sum_{i=0}^\infty t^if_i(x,y)

여기서

:

f_i\in \Gamma^\infty\left((E\otimes\sqrt

)\boxtimes (E^*\otimes\sqrt

)\right)

이다.

약간 다르게, 다음과 같은 전개를 사용할 수도 있다. 임의의

f\in\Gamma^\infty(\operatorname{End}(E))

에 대하여,^[4]

:

\operatorname{tr}(f\exp(-tH))=\sum_{i\in2\mathbb N}t^{(i-n)/2}a_i(f,H)

위 합에서는 오직 짝수

i

만이 등장한다.^[4] 만약

M

이 콤팩트 경계다양체인 경우, (적절한 경계 조건 아래) 홀수

i

역시 등장할 수 있다.

3. 5. 고윳값

M

위의 라플라스형 연산자

H=g^{ij}\nabla_i\nabla_j+T

가 주어졌다고 하자. 만약

M

이 콤팩트 다양체이며,

T

가 에르미트 작용소라고 하자. 그렇다면,

H

를 복소수 힐베르트 공간

:

\mathcal H=\operatorname L^2(M;E\otimes_{\mathbb R}\mathbb C)

에 확장시킬 수 있으며, 스펙트럼 정리에 의하여 그 실수 고윳값들이 존재한다. 또한, 만약

T

의 고윳값들이 추가로 모두 양이 아닌 실수라면, 이 고윳값들은 0을 제외하고 모두 음의 실수이다.

:

0=\lambda_0<-\lambda_1\le-\lambda_2\le-\lambda_3\le\cdots

이에 대응하는, 복소수 힐베르트 공간

\operatorname L^2(M;E\otimes_{\mathbb R}\mathbb C)

의 정규 직교 기저를

\phi_i

라고 하면, 열핵은 다음과 같은 점근적 급수로 주어진다.

:

K(t,x,y)=\sum_{i=0}^\infty \exp(-\lambda_i)\phi_i(x)\phi_i(y)

그러나 이 급수가 수렴하는지 여부는 일반적으로 복잡하다.

4. 예

(현재 섹션에서 출력할 내용 없음)

4. 1. 유클리드 공간

유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 위의 실수 값 매끄러운 함수에 대한 라플라스형 연산자 $H=\Delta+C$의 열핵은 다음과 같다.^[4]

:$K(t,x,y)=\frac1{(4\pi t)^{n/2}}\exp(tC-\|x-y\|^2/4t)$

4. 2. 대칭 공간

이 밖에도, 일부 리 군 또는 대칭 공간 위의 경우 열핵의 급수 표현이 알려져 있다.^[5] 예를 들어, 구

\mathbb S^2=\operatorname{SU}(2)/\operatorname U(1)

위의 (표준적) 라플라스 연산자의 경우, 열핵은 다음과 같다.^[6]

:

K(t,g\operatorname U(1),1_{\operatorname{SU}(2)}\!\operatorname U(1))=\sum_{n=0}^\infty(2n+1)\exp(-n(n+1)t/2)\operatorname P_n\left(\frac{\left(\operatorname{tr}g\right)^2+\left(\operatorname{tr}(\mathrm i\sigma_3g)\right)^2}2

1

\right)\qquad\left(t\in\mathbb R^+,\;g\in\operatorname{SU}(2)\right)

여기서

:

\mathrm i\sigma_3=\begin{pmatrix}\mathrm i&0\\0&-\mathrm i\end{pmatrix}\in\operatorname{SU}(2)

는 파울리 행렬이며,

\mathrm P_n(-)

는 르장드르 다항식이다.

4. 3. 멜러 핵

실수선

\mathbb R

위의 다음과 같은 라플라스형 연산자를 생각하자.

:

H=\frac1{2m}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}-\frac 12mx^2-E

이는 무게

m

의 조화 진동자의 해밀토니언 연산자이다.

H

의 열핵은 다음과 같다.

:

K(t,x,y)=\sqrt{\frac m{2\pi \sinh t}} \exp\left(-\frac{m(x^2+y^2)}{2\tanh t}+\frac{mxy}{\sinh(mxy)}-Et\right)

이를 '''멜러 핵'''(Mehler kernel^영어)이라고 한다.^[3]

5. 역사

멜러 핵은 구스타프 페르디난트 멜러(1835~1895)가 도입하였다.^[7]

참조

_[1] 서적 Heat kernel and analysis on manifolds http://bookstore.ams[...] American Mathematical Society, International Press
_[2] 서적 Probabilistic Approach to Geometry http://bookstore.ams[...] Mathematical Society of Japan, American Mathematical Society, World Scientific
_[3] 서적 Heat kernels and Dirac operators Springer-Verlag 1992
_[4] 논문 Heat kernel expansion: user’s manual 2003
_[5] 논문 Harmonic analysis and propagators on homogeneous spaces https://pdfs.semanti[...] 1990
_[6] 논문 The heat kernel on the two-sphere 1985-12
_[7] 논문 Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung http://resolver.sub.[...] 1866

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